1. Sucesiones Prof. Lic. Javier Velásquez Espinoza

3. 11/03/10 Racso Editores SUCESIÓN Recibe el nombre de sucesión en  una función, f :  *  U, cuyo dominio es el conjunto de los números naturales no nulos (  *), y su rango es un conjunto cuyos elementos pertenecen a cualquier otro conjunto U. Ejemplo.- Sea la sucesión literal: Luego la sucesión es: f = {(1, A), (2, C), (3, D), … } Esta misma sucesión se puede presentar así: A , C , D , …

4. 11/03/10 Racso Editores SUCESIÓN NUMÉRICA A = { a 1 ; a 2 ; a 3 ; . . . ; a N ; . . . } Obsérvese que cada elemento de la sucesión numérica tiene un orden dentro del conjunto: A los elementos de este conjunto se les llama términos de la sucesión . a 1 es el 1ro, a 2 es el 2do, ... etc. Se llama sucesión numérica a un conjunto de números en el que a cada uno se le ha hecho corresponder con un número ordinal.

5. 11/03/10 Racso Editores 2do. En adelante una sucesión se denotará así {a n } n  1 , o, simplemente {a n }, o, bien a n , n   *, siendo los elementos de dicha sucesión los valores de a n . 3ro. El número « n » , llamado ordinal , define el nombre y posición del término a n . Luego: {a n } n  1 = a 1 ; a 2 ; a 3 ; …. CONSIDERACIONES IMPORTANTES 1ro. En general los términos de la sucesión numérica pertenecen a cualquier conjunto numérico.

7. 11/03/10 Racso Editores SUCESIONES POLINOMIALES Sea {a n } n  1 una sucesión de números naturales. Se dice que {a n } n  1 es una sucesión polinomial si la fórmula del término general « a n » es un polinomio entero en «n», es decir, de la forma P(n). Si: A 1  0 , entonces « k » define el orden de la sucesión. Si: k = 1, la sucesión es de primer orden, Si: k = 2, la sucesión es de segundo orden y así sucesivamente. Ejemplos.- Sean las siguientes sucesiones: i) {3 n + 1} ii) {2 n 2 + 5n – 1} iii) { n 3 – 3 n 2 +8} es una sucesión polinomial de 1er orden es una sucesión polinomial de 2do orden es una sucesión polinomial de 3er orden

8. 11/03/10 Racso Editores SUCESIONES ARITMÉTICAS (S.A) Sea {a n } n  1 una sucesión de números naturales. Se dice que {a n } n  1 es una sucesión aritmética si la fórmula del término general « a n » es un polinomio entero en « n » de primer grado. La sucesión aritmética resulta ser una sucesión polinomial de primer orden. También se le conoce como progresión aritmética . Ejemplo 1.- Las siguientes son sucesiones aritméticas: i) {a n } n  3 = 3n + 7 ii) {a n } n  5 = -5n + 9 iii) {a n } n  8 = 2n - 11

9. 11/03/10 Racso Editores Ejemplo 2.- Construir las siguientes sucesiones aritméticas: i) {3n} n  4 ii) {2n + 7} n  1 iii) {5n - 9} n  3 Si observamos cualquier par de términos consecutivos de estas sucesiones comprobaremos que entre ellos existe una diferencia constante llamada razón ( r ) de la progresión aritmética. En los ejemplos anteriores la razón es 3; 2 y 5 respectivamente = 12; 15; 18; … r = 3 = 9; 11; 13; … r = 2 = 6; 11, 16; … r = 5

11. 11/03/10 Racso Editores Ejemplo 1.- Determinar la fórmula del término general de cada sucesión aritmética: i) 3; 7; 11; 15; 19; .... Reconociendo que a 1 = 3, r = 7 – 3 = 4, se tiene: ii) 160; 152; 146; 138; 130; .... Reconociendo que a 1 = 160, r = 152 – 160 = -8, se tiene: a n = 3 + ( n – 1)4  a n = 4 n – 1 a n = 160 + ( n –1)(-8)  a n = 168 – 8 n

12. 11/03/10 Racso Editores Ejemplo 2.- Determinar el término de lugar 12 de la sucesión aritmética: 2; 8; 14; 20; .... Reconociendo que a 1 = 2, r = 8 – 2 = 6, se tiene: a n = 2 + ( n – 1)6  a n = 6 n – 4 Luego para n = 12, reemplazamos: a 12 = 6(12) – 4  a 12 = 68 Observación.- En ocasiones los términos de una sucesión aritmética se definen en el conjunto de los números enteros. Ejemplo .- -5; -2; 1; 4; …

13. 11/03/10 Racso Editores SUCESIONES POLINOMIALES DE SEGUNDO ORDEN Sea {a n } n  1 una sucesión de números naturales. Se dice que {a n } n  1 es una sucesión polinomial de segundo orden si la fórmula del término general a n es un polinomio entero en «n» de segundo grado. Ejemplos.- Sean las siguientes sucesiones polinomiales: Analizando los términos se descubre que: a)

14. 11/03/10 Racso Editores Analizando los términos se tiene: Analizando los términos se tiene: b) c)

15. 11/03/10 Racso Editores DESCRIPCIÓN DE UNA SUCESIÓN DE 2DO ORDEN donde d 1 , d 2 , d 3 , ...corresponden a las primeras diferencias obtenidas al restar un par de términos consecutivos. Sea la sucesión polinomial de segundo orden cuyo esquema es: Debe reconocerse que los valores de las primeras diferencias forman una secuencia aritmética de razón « r ». El valor de la razón « r » se constituye en la segunda diferencia de los términos de la sucesión.

16. 11/03/10 Racso Editores La fórmula del término general de la sucesión polinómica de segundo orden es: Los elementos se relacionan de un modo recurrente, así : Para calcular el valor de un término de lugar « n », en este tipo de sucesiones, se recomienda construir el esquema en el que se logren deducir los valores de las diferencias. Donde:

17. 11/03/10 Racso Editores Ejemplo.- Determinar la fórmula del término general de la siguiente sucesión: 1; 6; 13; 22; 33; .... Elaboramos el esquema de la sucesión: Aplicando la fórmula de a n :

20. 11/03/10 Racso Editores Pero si « r » es la razón de la sucesión aritmética entonces se cumple que: Ejemplo 2.- Calcular la suma de los 50 primeros términos de la sucesión aritmética: 3; 7; 11; 15; ... Identificamos los términos: a 1 = 3, r = 7 – 3 = 4 y n = 50 Luego:  S = 150 + 4 900 = 5 050