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「にじたい」へのいざない #ロマンティック数学ナイト

2020.5.30に大盛況に終わった数学イベント「ロマンティック数学ナイト@オンライン」で発表したスライドです。

2次体を知らない人向けに、その魅力をピンポイントで伝える発表となりました。

日曜数学者tsujimotterのウェブサイト:
http://tsujimotter.info

スライドで紹介されているWebページ:
http://tsujimotter.info/works/romantic2020/

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「にじたい」へのいざない #ロマンティック数学ナイト

  1. 1. 「にじたい」へのいざない ⽇曜数学者 辻 順平 @tsujimotter 2020.05.30 ロマンティック数学ナイト@オンライン #15
  2. 2. ⽇曜数学者 tsujimotter • 趣味として数学を楽しむ = ⽇曜数学 • 数学を楽しんでいる様⼦を熱く語っています • 最近、興味があるのは「2次体(にじたい)」 2
  3. 3. 魔法の多項式 f(X) = X2 + X + 41 3
  4. 4. f(13) = 223 (素数!!) f(14) = 251 (素数!!) f(15) = 281 (素数!!) f(16) = 313 (素数!!) f(17) = 347 (素数!!) f(18) = 383 (素数!!) f(19) = 421 (素数!!) f(20) = 461 (素数!!) f(21) = 503 (素数!!) f(22) = 547 (素数!!) f(23) = 593 (素数!!) f(24) = 641 (素数!!) f(25) = 691 (素数!!) f(0) = 41 (素数!!) f(1) = 43 (素数!!) f(2) = 47 (素数!!) f(3) = 53 (素数!!) f(4) = 61 (素数!!) f(5) = 71 (素数!!) f(6) = 83 (素数!!) f(7) = 97 (素数!!) f(8) = 113 (素数!!) f(9) = 131 (素数!!) f(10) = 151 (素数!!) f(11) = 173 (素数!!) f(12) = 197 (素数!!) f(26) = 743 (素数!!) f(27) = 797 (素数!!) f(28) = 853 (素数!!) f(29) = 911 (素数!!) f(30) = 971 (素数!!) f(31) = 1033 (素数!!) f(32) = 1097 (素数!!) f(33) = 1163 (素数!!) f(34) = 1231 (素数!!) f(35) = 1301 (素数!!) f(36) = 1373 (素数!!) f(37) = 1447 (素数!!) f(38) = 1523 (素数!!) f(39) = 1601 (素数!!) X = 0 から 39 までf(X) = X2 + X + 41 4
  5. 5. f(13) = 223 (素数!!) f(14) = 251 (素数!!) f(15) = 281 (素数!!) f(16) = 313 (素数!!) f(17) = 347 (素数!!) f(18) = 383 (素数!!) f(19) = 421 (素数!!) f(20) = 461 (素数!!) f(21) = 503 (素数!!) f(22) = 547 (素数!!) f(23) = 593 (素数!!) f(24) = 641 (素数!!) f(25) = 691 (素数!!) f(0) = 41 (素数!!) f(1) = 43 (素数!!) f(2) = 47 (素数!!) f(3) = 53 (素数!!) f(4) = 61 (素数!!) f(5) = 71 (素数!!) f(6) = 83 (素数!!) f(7) = 97 (素数!!) f(8) = 113 (素数!!) f(9) = 131 (素数!!) f(10) = 151 (素数!!) f(11) = 173 (素数!!) f(12) = 197 (素数!!) f(26) = 743 (素数!!) f(27) = 797 (素数!!) f(28) = 853 (素数!!) f(29) = 911 (素数!!) f(30) = 971 (素数!!) f(31) = 1033 (素数!!) f(32) = 1097 (素数!!) f(33) = 1163 (素数!!) f(34) = 1231 (素数!!) f(35) = 1301 (素数!!) f(36) = 1373 (素数!!) f(37) = 1447 (素数!!) f(38) = 1523 (素数!!) f(39) = 1601 (素数!!) f(X) = X2 + X + 41 X = 0 から 39 まで 全部素数︕ 5
  6. 6. 魔法の多項式 f(X) = X2 + X + 41 の X に 0 から 39 の整数を⼊れるとすべて素数 6
  7. 7. 魔法の多項式を探せ︕ は 2 以上の整数︓ の X に 0 から n – 2 の整数を⼊れるとすべて素数 fn(X) = X2 + X + n n 7
  8. 8. 魔法の多項式を探せ︕ は 2 以上の整数︓ の X に 0 から n – 2 の整数を⼊れるとすべて素数 fn(X) = X2 + X + n n 8
  9. 9. 魔法の多項式を探せ︕ は 2 以上の整数︓ の X に 0 から n – 2 の整数を⼊れるとすべて素数 fn(X) = X2 + X + n n このような を「ティック数」と呼ぶことにする(今回だけの⽤語)n 9
  10. 10. n fn(0) fn(1) fn(2) fn(3) fn(4) fn(5) 2 2 3 3 5 4 4 6 10 5 5 7 11 17 6 6 8 12 18 26 7 7 9 13 19 27 37 ⾚⾊は素数 10
  11. 11. 2 3 11 5 17 41 ⾚⾊は素数 11
  12. 12. ⾚⾊は素数 2 3 11 5 17 41 ⾚⾊は素数「ティック数」は n = 2, 3, 5, 11, 17, 41 だけだと証明できる︕ そんなこと 証明できんの︕︖ 12
  13. 13. 「ティック数」理解に向けて 素朴に「整数論」を考えると、難しい問題 新しい発想 fn(X) = X2 + X + n 13
  14. 14. もっと分解してしまえ X2 + X + 41 14
  15. 15. もっと分解してしまえ 「整数に を加えた世界」で素因数分解 1 + p 163 2 · 1 p 163 2 = 1 + 163 4 = 41 X2 + X + 41 = ✓ X + 1 + p -163 2 ◆ ✓ X + 1 - p -163 2 ◆ 15
  16. 16. もっと分解してしまえ 「整数に を加えた世界」で素因数分解 1 + p 163 2 · 1 p 163 2 = 1 + 163 4 = 41 1 + p -163 2 · 1 - p -163 2 = 1 + 163 4 = 41 X2 + X + 41 = ✓ X + 1 + p -163 2 ◆ ✓ X + 1 - p -163 2 ◆ 16
  17. 17. X2 + X + n 「整数に を加えた世界」で素因数分解 1 + p 1 - 4n 2 = ✓ X + 1 + p 1 - 4n 2 ◆ ✓ X + 1 - p 1 - 4n 2 ◆ 17
  18. 18. 「ティック数」のカラクリ 「整数に を加えた世界」で 素因数分解の⼀意性が成り⽴つとき、 そのときに限り、n は「ティック数」 1 + p 1 - 4n 2 素因数分解の⼀意性が成り⽴つのは、n = 2, 3, 5, 11, 17, 41 だけ 18
  19. 19. 「数の世界を広げる」 ポイントは 19
  20. 20. 2次体 (にじたい) 20
  21. 21. 2次体(にじたい)の整数環 • 「整数 + 整数 」という形の数の集合 p D D ⌘ 2, 3 (mod 4) (平⽅因⼦をもたない 0 ではない)整数 D について のとき︓ Z hp D i 21
  22. 22. 2次体(にじたい)の整数環 • 「整数 + 整数 」という形の数の集合 p D 1 + p D 2 • 「整数 + 整数 」という形の数の集合 D ⌘ 1 (mod 4) D ⌘ 2, 3 (mod 4) (平⽅因⼦をもたない 0 ではない)整数 D について のとき︓ のとき︓ Z h 1+ p D 2 i Z hp D i 22
  23. 23. 2次体(にじたい)の整数環 • 「整数 + 整数 」という形の数の集合 p D 1 + p D 2 • 「整数 + 整数 」という形の数の集合 D ⌘ 2, 3 (mod 4) (平⽅因⼦をもたない 0 ではない)整数 D について のとき︓ Z h 1+ p D 2 i Z hp D i D ⌘ 1 (mod 4) のとき︓ Dの値ごとに 集合がある︕ 23
  24. 24. 「数の世界を広げる」 ポイントは 24
  25. 25. よくみる「数の広がり」の図 25
  26. 26. 26
  27. 27. 27
  28. 28. 28
  29. 29. 29
  30. 30. 2次体 新⼤陸発⾒︕ 30
  31. 31. 「ちょうどよい」数の世界の広げ⽅ • 整数論の問題が解きたい • でも「通常の整数論」では解けないことも • ちょうど良いところまで数の世界を広げる • 広げても「整数論」ができる 31
  32. 32. 2次体の整数論 • ⾜し算・引き算・掛け算ができる • 「割り切れる」がある • 数が素数の積に分解できる(素因数分解) 32
  33. 33. 2次体の整数論 • ⾜し算・引き算・掛け算ができる • 「割り切れる」がある • 数が素数の積に分解できる(素因数分解) • Dによっては、素因数分解の⼀意性が成り⽴つとは限らない 33
  34. 34. 6 = 2 ⇥ 3 整数の世界では 素因数分解は⼀意的 34
  35. 35. 6 = 2 ⇥ 3 整数の世界では 素因数分解は⼀意的 6 = 2 ⇥ 3 = (1 + p -5)(1 - p -5) では 素因数分解は⼀意的でない Z[ p -5] 35
  36. 36. 素因数分解の⼀意性(D < 0 のとき) 成り⽴つ︓ 成り⽴たない︓ ほかのすべての D < 0 Z ⇥p -1 ⇤ , Z ⇥p -2 ⇤ , Z ⇥p -3 ⇤ , Z h 1+ p -7 2 i , Z h 1+ p -11 2 i , Z h 1+ p -19 2 i , Z h 1+ p -43 2 i , Z h 1+ p -67 2 i , Z h 1+ p -163 2 i , 36
  37. 37. 素因数分解の⼀意性 成り⽴つ︓ 成り⽴たない︓ ほかのすべての D < 0 Z ⇥p -1 ⇤ , Z ⇥p -2 ⇤ , Z ⇥p -3 ⇤ , Z h 1+ p -7 2 i , Z h 1+ p -11 2 i , Z h 1+ p -19 2 i , Z h 1+ p -43 2 i , Z h 1+ p -67 2 i , Z h 1+ p -163 2 i , ティック数 に対応 37
  38. 38. Z h 1+ p 1-4n 2 i -3 ⇤ , Z h 1+ p -7 2 i , Z h 1+ p -11 2 i , Z h 1+ p -19 2 i , Z h 1+ p -43 2 i , Z h 1+ p -67 2 i , Z h 1+ p -163 2 i , n = 2 n = 3 n = 5 n = 7 n = 11 n = 41 38
  39. 39. 「26」という数のもつ性質 25 26 27 3352 平⽅数 ⽴⽅数 = = 平⽅数と⽴⽅数に挟まれた正の整数は26だけ 39
  40. 40. 2次体へのいざない • 無数に存在する数の新⼤陸 • 整数論が展開できるギリギリまで数を広 げる⾯⽩さ • ⼀緒に航海してみませんか︖ 40
  41. 41. 「ゆるにじたい」へのいざない • 毎週⽔曜開催のオンラインの数学書読書 会(ハッシュタグ #ゆるにじたい ) • 「素数と2次体の整数論」読破に向けて、 鋭意進⾏中 • 次回から第4章(全7章) • 参加者随時募集中 41
  42. 42. 以下、補⾜スライド 42
  43. 43. Webページ公開中 http://tsujimotter.info/works/romantic2020/ 43
  44. 44. 交流タイム(お品書き) • 発表に関しての質問 • 「魔法の多項式」の観察をしたい • 「26」の詳しい話が聞きたい • 「ティック数」の主定理の証明について知りたい • その他、「2次体」についての話が聞きたい • ゼータ関数、好きです • そのほか、つじもったーさんに聞きたいこと 44
  45. 45. 好きな⽇付の数字(1〜31)を 思い浮かべてください ⾃分の誕⽣⽇でもOK 思い⼊れのある⽇付など 45
  46. 46. その数と その数の2乗を ⾜してください 46
  47. 47. ⾜し算の結果に 41 を⾜し てください 47
  48. 48. 得られた数がもし素数であれば、 あなたにはロマンティックなでき ごとが訪れるでしょう 48
  49. 49. 「26」という数のもつ性質 25 26 27 49
  50. 50. 平⽅数と⽴⽅数に挟まれた正の整数は26だけ 50
  51. 51. 平⽅数と⽴⽅数に挟まれた正の整数は26だけ • の整数解は だけ • の整数解は だけ Y3 - X2 = 2 Y2 - X3 = 2 X = 5, Y = ±3 X = -1, Y = ±1 51
  52. 52. 平⽅数と⽴⽅数に挟まれた正の整数は26だけ • の整数解は だけ • の整数解は だけ Y3 - X2 = 2 Y2 - X3 = 2 X = 5, Y = ±3 X = -1, Y = ±1 2次体で 解ける 52
  53. 53. Y3 - X2 = 2• の整数解は︖ 53
  54. 54. Y3 - X2 = 2 Y3 = X2 + 2 = (X + p -2)(X - p -2) • の整数解は︖ Z[ p -2] で素因数分解 2次体の整数論 54
  55. 55. 「ティック数」の主定理 を素数とする. とするとき, 以下の (i), (ii), (iii) は同値︓ (i) (ii) 連続する n – 1 個の整数 X = 0, 1, … , n – 2 に対して は素数 (iii) 虚2次体 の類数は1 n 2 n = 2, 3, 5, 11, 17, 41 fn(X) = X + X + n Q( p 1 - 4n) (iii) は「 で素因数分解の⼀意性が成り⽴つ」と同値Z[1+ p 1-4n 2 ] 55 (⼀般には「オイラーの幸運数」と呼ばれる) fn(X) = X2 + X + n
  56. 56. 証明の概略 • (i) => (ii) は明らか(数を代⼊すれば確かめられる) • (ii) => (iii) が本質的(しかし難しい) • (iii) => (i) はベイカー・スターク・ヘーグナーの定理 • (iii) => (ii) の概略︓ • 類数1より では素因数分解の⼀意性が成り⽴つ。 • fn(X)が合成数になるXが存在すると仮定し、 fn(X)の素因数をpとする。 • pを で素因数分解すると、⼀意的に とかける。 • a, bに不合理が⽣じて⽭盾。よって、 fn(X)は合成数にならない。 p = (a + b1+ p 1-4n 2 )(a + b1- p 1-4n 2 ) Z[1+ p 1-4n 2 ] Z[1+ p 1-4n 2 ] 56
  57. 57. 類似の「魔法の多項式」 57 を素数とする. とするとき, 以下の (i), (ii) は同値︓ (i) 連続する n 個の整数 X = 0, 1, … , n – 1 に対して は素数 (ii) 虚2次体 の類数は2 • (ii) => (i) Frobenius (1912), (i) => (ii) Hendy (1974) が証明 • 類数の計算により、条件を満たす n は 3, 5, 11, 29 に限られる gn(X) = 2X2 + n Q( p -2n) gn(X) n 2
  58. 58. g(14) = 421 (素数!!) g(15) = 479 (素数!!) g(16) = 541 (素数!!) g(17) = 607 (素数!!) g(18) = 677 (素数!!) g(19) = 751 (素数!!) g(20) = 829 (素数!!) g(21) = 911 (素数!!) g(22) = 997 (素数!!) g(23) = 1087 (素数!!) g(24) = 1181 (素数!!) g(25) = 1279 (素数!!) g(26) = 1381 (素数!!) g(27) = 1487 (素数!!) g(28) = 1597 (素数!!) g(0) = 29 (素数!!) g(1) = 31 (素数!!) g(2) = 37 (素数!!) g(3) = 47 (素数!!) g(4) = 61 (素数!!) g(5) = 79 (素数!!) g(6) = 101 (素数!!) g(7) = 127 (素数!!) g(8) = 157 (素数!!) g(9) = 191 (素数!!) g(10) = 229 (素数!!) g(11) = 271 (素数!!) g(12) = 317 (素数!!) g(13) = 367 (素数!!) X = 0 から 28 まで すべて素数 58 g29(X) = 2X2 + 29

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