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無理数とお友達になろう - 第384回科学勉強会
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Junpei Tsuji
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2015年8月3日に開催された第384回科学勉強会(http://tehiro.sakura.ne.jp/nsi/)にて辻(@tsujimotter)が発表した資料です。
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無理数とお友達になろう - 第384回科学勉強会
1.
無理数とお友達になろう 日曜数学者
辻 順平 ウェブサイト: http://tsujimotter.info/
2.
整数とお友達になろう(第348回 科学勉強会) http://www.slideshare.net/junpeitsuji/ss-‐39378514
Check it !!
3.
今日は「無理数」と お友達になりましょう! 3
4.
ほとんどすべての実数は「無理数」である 4 お友達がたくさんできる
5.
5 今日は全部で12組のお友達(無理数)をご紹介します 0 5 20
25 p 5 p 3 p 2 ⇣(2) ⇣(3) ⇣(4), ⇣(5), ⇣(6), . . . e ⇡ e⇡ 0.123 . . . p 2 p 2
6.
本日のお品書き • 無理数と超越数 •
絶対に覚えたい基本的な無理数3選 「無理数であること」の証明法 • 超越数発見の秘技「ゲルフォント・シュナイダーの定理」 • ゼータ・ファミリー 6
7.
無理数とは 有理数ではない数のこと ・・・・ 7
8.
定義 有理数とは 30 384 3.84
= 384 100 3 = 3 1 整数の比(分数)で表すことができる数のこと 8 0.142857 = 1 7 ・ ・
9.
無理数 有理数 実 数 全 体 π = 3.14159265…
e = 2.71828182846… √2 = 1.41421356… 3 3.84 30 384 9 無 限 続 循 環 小 数
10.
無理数 有理数 実 数 全 体 もう少し細かく分類できない? 10
11.
超越数 代数的数 有理数 実 数 全 体 11
12.
有理数 x は分数の形で表せる (互いに素な)整数 有理数の別の定義 整数係数の一次方程式の解 ・・・・・ 12 x
= b a 整数係数の一次方程式 両辺 a をかける () ax = b
13.
代数的数の定義 整数係数のn次方程式の解(nは正の整数) ※「代数的数ではない数」のことを超越数という ・・・・・ 13 一般化 例: の解 の解 •
• x2 = 2 x -2x10 + 7x7 + 6x3 - 19 = 0 x
14.
超越数 代数的数 有理数 π =
3.14159265… e = 2.71828182846… √2 = 1.41421356… 3 3.84 30 384 14
15.
絶対に覚えたい 基本的な無理数3選 √2 ,
e, π 15
16.
√2 (ルート2) • 代数的数
• 数学史上,最初に発見された「無理数」 の解のうち,正のもの 定義 超 代 有 お友達候補 No. 1 二次方程式 16 x2 = 2
17.
超 代 有 一辺の長さが 1
の正方形の対角線の長さは √2 ピタゴラスの定理 1 1 17 x2 = 12 + 12 ) x2 = 2
18.
超 代 有 18 ピタゴラス 「すべての数は整数の比で表せる(有理数)はずだ」 弟子「ピタゴラス先生の定理使ったら 有理数じゃない数できたったwww」 ピタゴラス「・・・」
19.
どうして 無理数だと わかるの? 19
20.
「無理数であること」の証明法 「(証明したい数が)有理数である」 と仮定して矛盾を導く 背理法(はいりほう) 20
21.
「無理数であること」の証明は たいへん 一般に 21
22.
「√2 は無理数である」の証明(概略) 「
は有理数である」を仮定すると, とかける(ただし, は互いに素な整数) いろいろあって, 実は は互いに素ではないことがわかる 仮定と矛盾 背理法により仮定は誤り よって「 は無理数である」 22 ・・ a, b p 2 = b a p 2 = b a p 2 = b a a, b
23.
p 2, p 3, p 4, p 5, p 6, p 7, . .
.超 代 有 お友達候補 No. 2 平方数ではない正の整数の平方根 は すべて「無理数」 23
24.
超 代 有 おぼえかた ひと よひとよにひとみご
ろ ひと な み に お ご れ や ふ じさんろくおうむなく 24 p 2 = 1.41421356... p 3 = 1.7320508... p 5 = 2.2360679...
25.
e (ネイピア数) • 微分積分学に登場する基本定数
• 歴史上2番目に超越数であることが示された数 (証明:エルミート,1873年) 定義 超 代 有 お友達候補 No. 3 25 e = lim n!1 ✓ 1 + 1 n ◆n
26.
超 代 有 26 e
= lim n!1 ✓ 1 + 1 n ◆n = 2.7182818...
27.
超 代 有 自然対数の底 指数関数は 微分しても形が変わらない 27 loge
x (ex )0 = ex
28.
超 代 有 テイラー展開が分かりやすい形でかける 無限和の形で書くことが出来る! ex = 1
+ x 1! + x2 2! + x3 3! + x4 4! + x5 5! + · · · e = 1 + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + 1 5! + · · · x = 1
29.
π (円周率) • 古代より知られた,円を象徴する定数
• リンデマンにより超越数であることが示された(1882 年) 定義 超 代 有 お友達候補 No. 4 円周 直径 π = 直径 円周 29
30.
超 代 有 どんな円をとってきても,円周と直径の比は一定 《不変なものには名前をつける価値がある》 数学ガール/ガロア理論より引用
31.
超 代 有 31 ⇡
= 3.14159265358...
32.
超 代 有 ライプニッツの公式 円周率πも無限和によって表せる 32 ⇡ =
4 ✓ 1 1 - 1 3 + 1 5 - 1 7 + · · · ◆
33.
超 代 有 これら2つの超越数はきれいな無限和で表すことができる 33 ⇡ =
4 ✓ 1 1 - 1 3 + 1 5 - 1 7 + · · · ◆ e = 1 + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + 1 5! + · · ·
34.
絶対に覚えたい 基本的な無理数3選 √2 ,
e, π Complete!! 34
35.
もっとお友達(無理数)を 増やしたい 35
36.
超越数かどうか不明 有理数か無理数か,すらわからない (未解決問題) どちらも超越数 36 e ⇡ e +
⇡ e - ⇡ e⇡ ⇡ e ee ⇡⇡
37.
無理数(超越数)を 見つけるのは難しい 37
38.
超越数発見の 秘技 38
39.
ゲルフォント ・ シュナイダー の定理
40.
ゲルフォント・シュナイダーの定理 0, 1 ではない数 有理数ではない数 のいずれか1つは超越数
超代代 40 a b a, b, ab
41.
オイラーの公式 「世界一美しい式」とよく言われる式 (基本的な定数 がきれいに組み合わされた式) 41 ei⇡ = -1 e,
⇡, i = p -1
42.
オイラーの公式 「世界一美しい式」とよく言われる式 (基本的な定数 がきれいに組み合わされた式) 42 ei⇡ = -1 e,
⇡, i = p -1超越数論において実用的な式の1つ
43.
使い方(例) 0,1 ではない代数的数 有理数ではない 代数的数 43 e⇡ = (ei⇡ )-i ∵オイラーの公式 =
(-1)-i よって,ゲルフォント・シュナイダーの定理より, は超越数e⇡ = (ei⇡ )-
44.
定義 eπ (ゲルフォントの定数) 超 代
有 お友達候補 No. 5 ゲルフォント・シュナイダーの定理より超越数 44 e⇡ = 23.1406926328...
45.
超 代 有 お友達候補 No.
6 ゲルフォント・ファミリー 45 自然数 n に対する は ゲルフォント・シュナイダーの定理より,すべて超越数 e⇡ p n e⇡ p 2 , e⇡ p 3 , e⇡ p 4 , e⇡ p 5 , e⇡ p 6 , e⇡ p 7 , . . .
46.
超 代 有 46 =
262537412640768743.99999999999925007… 超越数であるにも関わらず, 整数に非常に近い値をとる不思議な定数 (ほとんど整数) e⇡ p 163
47.
超 代 有 お友達候補 No.
7 √2√2 (ルート2のルート2乗) ゲルフォント・シュナイダーより超越数であることが示せる p 2 p 2 0,1 ではない代数的数 有理数ではない 代数的数 47
48.
超 代 有 お友達候補 No.
8 チャンパーノウン数 定義 小数点以下に正の整数を1から順に並べた数 48 単純な形で定められるにも関わらず,無理数かつ超越数 0.12345678910111213...
49.
ゼータ・ファミリー 49
50.
ゼータ関数ギリシャ文字の “ゼータ” 50 ⇣(x) = 1 1x + 1 2x + 1 3x + 1 4x + 1 5x + ·
· · 変数 に整数を入れたときのゼータ関数の値について考えたいx
51.
(ゼータツー) 定義 超 代 有 お友達候補 No.
9 51 ⇣(2) = 1 12 + 1 22 + 1 32 + 1 42 + 1 52 + · · · ⇣(2) • オイラーが を証明した(1735年) ⇣(2) = ⇡2 6 • リンデマンが「 は超越数である」を証明し, 超越数であることが明らかに(1882年) ⇡2
52.
超 代 有 偶数のゼータはすべて超越数 お友達候補
No. 10 (奇数のゼータは,ほとんどの場合無理数かどうかさえ不明) ・・・・・・・ ⇣(2) = ⇡2 6 ⇣(4) = ⇡4 90 ⇣(6) = ⇡6 945 ⇣(8) = ⇡8 9450 ⇣(10) = ⇡10 93555 ⇣(12) = 691⇡12 638512875
53.
(ゼータスリー,アペリーの定数) 定義 無 有 お友達候補 No. 11 53 ⇣(3) ロジャー・アペリーが「 は無理数である」を証明(1978年)⇣(3) ⇣(3)
= 1 13 + 1 23 + 1 33 + 1 43 + 1 53 + · · · = 1.2020569...
54.
54 1700年 1800年 1900年
2000年 オイラー(1735年) リンデマン(1882年) は超越数 アペリー(1978年) は無理数 約100年 ⇣(2) = ⇡2 6 ⇣(2n) ⇣(3) (未解決問題) 以外の奇数ゼータの無理性⇣(3)
55.
(ゼータファイブ) (ゼータセブン) (ゼータナイン) (ゼータイレブン) 無 有 お友達候補? No. 12 のうち,少なくとも1つは無理数(W.
Zudilin, 2001年) 55 ⇣(5) ⇣(7) ⇣(9) ⇣(11)
56.
奇数ゼータは 超HOT! 56
57.
なぜ「無理数かどうか」 にこだわるのか 57
58.
無 有 これ以上簡単には表現できない X がもし無理数であれば・・・ 58 「無理数かどうか」が分かれば 「(その数は)どこまで表現可能か」が分かる x
= 1 - 1 9 + 1 81 - 1 729 + · · · X がもし有理数であれば・・・ のように分数で表現できる x = 9 10
59.
「無理数であるかどうか」は 「数の理解」についての本質的な問い 59
60.
まとめ • 「無理数であるかどうか」は「数の理解」についての本質的な問い である •
ほとんどすべての実数は「無理数(超越数)」であるにも関わらず, 人類がそれと知っている数はごく一部である(未解決問題の宝庫) • 「ゲルフォント・シュナイダーの定理」をはじめとした「秘技」に よって,いくつかのクラスの超越数を見つけることができる 60
61.
ちょっと取っ付きにくいやつらですが, いいやつらなので,お友達になってあげてください 0 5 20
25 p 5 p 3 p 2 ⇣(2) ⇣(3) ⇣(4), ⇣(5), ⇣(6), . . . e ⇡ e⇡ 0.123 . . . p 2 p 2 無理数とお友達になろう(完) 61
62.
参考文献 • 塩川宇賢 著「無理数と超越数」森北出版
(定価 2,400 円) 62
63.
補足 63
64.
定義 α (リウヴィルの定数) 超 代 有 お友達候補
No. 0 • 超越数と証明された最初の数(リウヴィル,1844年) • 「超越数論」の研究はここからはじまった 64 c ↵ = 1 2 + 1 22! + 1 23! + 1 24! + 1 25! + · · ·
65.
「√2 は無理数である」の証明 65
66.
例:√2 の場合 「√2 が有理数である」と仮定する
・・・・ とかける ただし, は互いに素な整数 4 5 6 1 2 3 66 p 2 = b a a, b
67.
例:√2 の場合 両辺二乗すると 両辺に a
をかけて 左辺は偶数 よって, も偶数 4 5 6 1 2 3 67 p 2a = b 2a2 = b2 b2
68.
例:√2 の場合 は偶数より, も偶数 したがって, とかける 整数 4 5 6 1 2 3 68 b2 b2 b
= 2b0
69.
例:√2 の場合 代入すると 右辺は偶数 よって,同様に とかける 4 5 6 1 2 3 69 2a =
(2b0 )2 ) 2a = 4b02 ) a2 = 2b02 a = 2a0
70.
例:√2 の場合 これまでの議論より, とかけることが分かった。 つまり は互いに素ではない
これは仮定「√2 は有理数である」に矛盾する 4 5 6 1 2 3 70 すなわち はいずれも2で割り切れる。 a = 2a0 b = 2b0 a, b a, b
71.
例:√2 の場合 背理法により,仮定「√2 は有理数である」は誤り
したがって, 「√2 は無理数である」が示された(証明終わり) 4 5 6 1 2 3 71
72.
参考:ヒルベルトの23の問題(第7問) 『a が
0 でも 1 でもない代数的数で, b が代数的無理数であるとき,ab は超越数であるか』 72
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