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オイラー先生のおしゃれな素数判定 - 第14回 #日曜数学会

2019.01.05 に開催された 第14回 #日曜数学会 で発表しました。
オイラーが発見した巨大な素数の判定法についてのお話です。

発表者:tsujimotter
http://tsujimotter.info

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オイラー先生のおしゃれな素数判定 - 第14回 #日曜数学会

  1. 1. 18, 518, 809 = 1972 + 1848 ⇥ 1002 <latexit sha1_base64="ossEjePuvJoQ1uAVBQLA76d2OJc=">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</latexit><latexit sha1_base64="ossEjePuvJoQ1uAVBQLA76d2OJc=">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</latexit><latexit sha1_base64="ossEjePuvJoQ1uAVBQLA76d2OJc=">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</latexit><latexit sha1_base64="FtTsKrp6m8vAgXgOt3TU+67GUW0=">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</latexit> オイラー先⽣の おしゃれな素数判定 ⽇曜数学者  tsujimotter 2019.01.05 第14回 #⽇曜数学会
  2. 2. 18,518,809 2 は素数ですか?
  3. 3. 3 オイラー先⽣の解答
  4. 4. 便利数 n が以下の条件を満たすとき,n を便利数という: 4 奇数 m は n と互いに素で,整数x, yを⽤いて x2 + ny2 の形で表現できるものとする. m = x2 + ny2 が x, y >= 0 の範囲で ただ1つの解を持つならば,m は素数である.
  5. 5. 現在知られている便利数(65個) •  1, 2, 3, 4, 7 •  5, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 22, 25, 28, 37, 58 •  21, 24, 30, 33, 40, 42, 45, 48, 57, 60, 70, 72, 78, 85, 88, 93, 102, 112, 130, 133, 177, 190, 232, 253 •  105, 120, 165, 168, 210, 240, 273, 280, 312, 330, 345, 357, 385, 408, 462, 520, 760 •  840, 1320, 1365, 1848 5
  6. 6. E715 On various ways of examining very large numbers, for whether or not they are primes (便利数)
  7. 7. オイラー先⽣の判定法 7 奇数 m は 1848 と互いに素で,整数x, yを⽤いて x2 + 1848y2 の形で表現できるとする. m = x2 + 1848y2 が x, y >= 0 の範囲で ただ1つの解を持つならば,m は素数である. n = 1848 として,便利数の定義を適⽤.
  8. 8. •  m = 18518809 と n = 1848 は互いに素 •  18518809 = 1972 + 1848・1002 •  18518809 = x2 + 1848 y2 は他に解を持たない •  1848 は便利数より 18518809 は素数. 8 オイラー先⽣の判定法
  9. 9. 18,518,809 9 は素数!!!
  10. 10. 10
  11. 11. 便利数あれこれ •  便利数は,全く別の⽂脈で登場する –  正定値2次形式の種の理論において,判別式 –4n の2次形式の principal genusがsingle classであるときに限り n は便利数 •  65個の便利数のリストは,完全ではない(未解決問題) –  便利数は有限個 (Chowla, 1934) であり,たかだか66個であることが 証明されている(Weinberger, 1973) –  66個⽬があるどうかは未解決 –  ⼀般化リーマン予想を仮定すると,66個⽬は存在しない. 11

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