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ゼータへ続く素数の階段物語 第13回 数学カフェ「素数!!」
- 19. X X X / X ( )
10 4 2.5 - 8 %
100 25 4.0 +15 %
1,000 168 6.0 +16 %
10,000 1,229 8.1 +13 %
100,000 9,592 10.4 +10 %
1,000,000 78,498 12.7 + 8 %
÷
÷
÷
÷
÷
÷
x
- 31. ⇣(s) = 1 +
1
2s
+
1
3s
+
1
4s
+
1
5s
+ · · ·
(Re s > 1)
- 47. ⇣(s) = 1 +
1
2s
+
1
3s
+
1
4s
+
1
5s
+ · · ·
=
1X
n=1
1
ns
(Re s > 1)
- 49. Y
p
1
1 - p-s
=
1
1 - 2-s
·
1
1 - 3-s
·
1
1 - 5-s
·
1
1 - 7-s
· · · ·
1
1 - x
= 1 + x + x2
+ x3
+ · · · (|x| < 1)
Y
p
( 1 + p-s
+ p-2s
+ p-3s
+ · · · )
- 50. {2, 3}
( 1 + 2-s
+ 2-2s
+ 2-3s
+ · · · )
⇥( 1 + 3-s
+ 3-2s
+ 3-3s
+ · · · )
= 1 + 2-s
+ 3-s
+ 2-2s
+ 2-s
3-s
+ 2-3s
+ 3-2s
+ · · ·
= 1 + 2-s
+ 3-s
+ 4-s
+ 6-s
+ 8-s
+ 9-s
+ · · ·
“2 3 ”
- 54. ⇣(1) = 1
⇣(1) > 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
+ · · · +
1
2m - 1
> 1 +
1
2
+
1
4
+
1
4
+
1
8
+
1
8
+
1
8
+
1
8
+ · · · +
1
2m - 1
> 1 +
1
2
+
1
2
+
1
2
+
1
2
+
1
2
+
1
2
+
1
2
+ · · · +
1
2
m
m!1
----! +1
- 65. ⇠(s) = (s - 1)⇡-s/2
⇣ s
2
+ 1
⌘
⇣(s)
s s 0
- 66. J(x) = Li(x) - log 2 -
X
⇢
Li(x⇢
) +
Z1
x
dt
t(t2 - 1) log t
ρ
- 67. J(x) = Li(x) - log 2 -
X
⇢
Li(x⇢
) +
Z1
x
dt
t(t2 - 1) log t
素数階段マーク2
- 71. ⇠(s) = ⇠(0)
Y
⇢
✓
1 -
s
⇢
◆
log ⇣(s) = log ⇠(0) +
X
⇢
log
✓
1 -
s
⇢
◆
- log
⇣s
2
+ 1
⌘
+
s
2
log ⇡ - log(s - 1)
⇠(s) = (s - 1)⇡-s/2
⇣ s
2
+ 1
⌘
⇣(s)
- 80. J(x) =
1
2⇡i
·
1
log x
Za+i1
a-i1
d
ds
✓
log(s - 1)
s
◆
xs
ds (a > 1)
-
1
2⇡i
·
1
log x
Za+i1
a-i1
d
ds
✓P
⇢ log(1 - s/⇢)
s
◆
xs
ds (a > 1)
-
1
2⇡i
·
1
log x
Za+i1
a-i1
d
ds
✓
log ⇠(0)
s
◆
xs
ds (a > 1)
Li(x)
-
X
⇢
Li(x⇢
)
Z1
x
dt
t(t2 - 1) log t
- log 2
-
1
2⇡i
·
1
log x
Za+i1
a-i1
d
ds
✓
log (s/2 + 1)
s
◆
xs
ds (a > 1)
s = ⇢
s = 1
- 81. J(x) = Li(x) - log 2 -
X
⇢
Li(x⇢
) +
Z1
x
dt
t(t2 - 1) log t
⇠(0) (s/2 + 1)⇢1/(s - 1)
- 86. ⇣(1 + it) 6= 0
http://integers.hatenablog.com/entry/2016/04/17/012949
⇣(1 + ti) = 0
Z( ) := ⇣( )3
|⇣( + ti)|4
|⇣( + 2ti)|2
lim
!1+
Z( ) = 0
3 + 4 cos ✓ + 2 cos 2✓ = 0
Z( ) = 1
- 87. ⇣(2) =
⇡2
6
⇣(3) 62 Q
⇣(2n) = (-1)n+1 B2n(2⇡)2n
2(2n)!
⇣(12) =
691⇡12
638512875
http://integers.hatenablog.com/archive