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ゼータへ続く素数の階段物語 第13回 数学カフェ「素数!!」

2016年5月7日に開催された 第13回 数学カフェ「素数!!」で
tsujimotterが講演した際に使用したスライド資料です。

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ゼータへ続く素数の階段物語 第13回 数学カフェ「素数!!」

  1. 1. @tsujimotter 2016.5.7 13
  2. 2. •  • 
  3. 3. #1, #2
  4. 4. 12 99 ごーせーすー 2, 3, 5, 7, 11, …
  5. 5. http://page.freett.com/hougi/contents/prime.html
  6. 6. 105 5 21 3 7
  7. 7. B.C. 323 - B.C.283
  8. 8. 2 3 5 7 11 13 17 19
  9. 9. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2, 3, 5, 7, …
  10. 10. 1 100 何か法則がありそう 25 20 15 10 5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 x x
  11. 11. 1777 - 1855
  12. 12. x log x ⇠ x
  13. 13. X X X / X ( ) 10 4 2.5 - 8 % 100 25 4.0 +15 % 1,000 168 6.0 +16 % 10,000 1,229 8.1 +13 % 100,000 9,592 10.4 +10 % 1,000,000 78,498 12.7 + 8 % ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ x
  14. 14. 12 1,000,000,000,000 30 1
  15. 15. 25 20 15 10 5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Li(x) = 1 log 2 + 1 log 3 + 1 log 4 + · · · + 1 log x
  16. 16. 1826 - 1866 素数階段を 再現する公式 みつけたった
  17. 17. 1859
  18. 18. •  「素数階段マーク2」 厳密な公式 •  「素数階段マーク2」 簡単な関係 • 
  19. 19. 素数階段マーク2 素数階段マーク2 25 20 15 10 5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 21 1 31 1 22 1/2 23 1/3 32 1/2 m 1/m
  20. 20. 素数階段マーク2 素数階段マーク2 25 20 15 10 5 10 20 30 40 50 60 70 80 90
  21. 21. 素数階段マーク2 素数階段マーク2 素数階段 メビウス 変換 NEW
  22. 22. •  「素数階段マーク2」 厳密な公式 •  「素数階段マーク2」 簡単な関係 • 
  23. 23. ⇣(s) = 1 + 1 2s + 1 3s + 1 4s + 1 5s + · · · (Re s > 1)
  24. 24. #2
  25. 25. 関数のイメージ x y f 関数値 1次元(数直線) 1次元(数直線) 2次元(平面) 2次元(平面) 引数 s u 関数値引数
  26. 26. ゼータ関数の3Dプロット(見えるゼータ関数) y 軸: 虚部 z 軸: ゼータ関数の絶対値 x 軸: 実部
  27. 27. とある変換
  28. 28. とある変換
  29. 29. 素数階段マーク2
  30. 30. 素数階段マーク2
  31. 31. 素数公式可視化アプリ http://tsujimotter.info/works/prime-number-formula/ "Visualization of Riemann's Prime Number Formula“
  32. 32. 素数の世界 数の根源だが捉えどころが なかったもの ゼータ関数の世界 素数の分布を理解する鍵 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 リーマンの素数公式
  33. 33. #2
  34. 34. ⇣(s) = 1 + 1 2s + 1 3s + 1 4s + 1 5s + · · · = 1X n=1 1 ns (Re s > 1)
  35. 35. 1X n=1 1 ns = Y p 1 1 - p-s p
  36. 36. Y p 1 1 - p-s = 1 1 - 2-s · 1 1 - 3-s · 1 1 - 5-s · 1 1 - 7-s · · · · 1 1 - x = 1 + x + x2 + x3 + · · · (|x| < 1) Y p ( 1 + p-s + p-2s + p-3s + · · · )
  37. 37. {2, 3} ( 1 + 2-s + 2-2s + 2-3s + · · · ) ⇥( 1 + 3-s + 3-2s + 3-3s + · · · ) = 1 + 2-s + 3-s + 2-2s + 2-s 3-s + 2-3s + 3-2s + · · · = 1 + 2-s + 3-s + 4-s + 6-s + 8-s + 9-s + · · · “2 3 ”
  38. 38. 1X n=1 1 ns = Y p 1 1 - p-s
  39. 39. 3. 1. 2. 1 3 2
  40. 40. 1X n=1 1 ns = Y p 1 1 - p-s s = 1 1. ⇣(1) = 1
  41. 41. ⇣(1) = 1 ⇣(1) > 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 + · · · + 1 2m - 1 > 1 + 1 2 + 1 4 + 1 4 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + · · · + 1 2m - 1 > 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + · · · + 1 2 m m!1 ----! +1
  42. 42. 1 2 Hn = 1 2 1 + 1 2 + 1 3 + · · · + 1 n
  43. 43. s = 1 1.
  44. 44. ⇣(s) = 0 2
  45. 45. y 軸: 虚部 x 軸: 実部 = 1X n=1 1 ns (Re s > 1) s 1 ⇣(s) = 1 + 1 2s + 1 3s + 1 4
  46. 46. f(x), g(x) f(x), g(x) f(x) g(x) f(x) f(x) = g(x) g(x)
  47. 47. f(x) f(x) = g(x) g(x) s = 1
  48. 48. ⇣(s) = 2s ⇡s-1 sin ⇣⇡s 2 ⌘ (1 - s)⇣(1 - s) Re(s) = 1/2 ⇣(s) ! ⇣(1 - s)
  49. 49. = 1X n=1 1 ns (Re s > 1) ⇣(10) ⇣(s) ! ⇣(1 - s) ⇣(-9) ⇣(s) = 1 + 1 2s + 3
  50. 50. ⇣(s) = 2s ⇡s-1 sin ⇣⇡s 2 ⌘ (1 - s)⇣(1 - s) ⇠(s) = ⇠(1 - s) ⇠(s) = (s - 1)⇡-s/2 ⇣ s 2 + 1 ⌘ ⇣(s)
  51. 51. •  •  ⇠(s) = (s - 1)⇡-s/2 ⇣ s 2 + 1 ⌘ ⇣(s)
  52. 52. ⇠(s) = (s - 1)⇡-s/2 ⇣ s 2 + 1 ⌘ ⇣(s) s s 0
  53. 53. J(x) = Li(x) - log 2 - X ⇢ Li(x⇢ ) + Z1 x dt t(t2 - 1) log t ρ
  54. 54. J(x) = Li(x) - log 2 - X ⇢ Li(x⇢ ) + Z1 x dt t(t2 - 1) log t 素数階段マーク2
  55. 55. 対数積分の再定義 Li(x) = 1 log 2 + 1 log 3 + 1 log 4 + · · · + 1 log x Li(x) = Zx 0 dt log t
  56. 56. = lim "!+0 Z1-" 0 dt log t + Zx 1+" dt log t ✏ Li(x) = Zx 0 dt log t
  57. 57. 1. 2. 3. 2. 4.
  58. 58. ⇠(s) = ⇠(0) Y ⇢ ✓ 1 - s ⇢ ◆ log ⇣(s) = log ⇠(0) + X ⇢ log ✓ 1 - s ⇢ ◆ - log ⇣s 2 + 1 ⌘ + s 2 log ⇡ - log(s - 1) ⇠(s) = (s - 1)⇡-s/2 ⇣ s 2 + 1 ⌘ ⇣(s)
  59. 59. log ⇣(s) = s Z1 0 J(x)x-s-1 dx (Re s > 1)
  60. 60. p-ns = s Z1 pn x-s-1 dx (Re s > 1) ∵オイラー積 log ⇣(s) = log Y p 1 1 - p-s = X p log 1 1 - p-s = X p 1X n=0 p-ns
  61. 61. J(x) 21 1 31 1 22 1/2 23 1/3 32 1/2 m 1/m
  62. 62. ⇥x-s-1 J(x)x-s-1J(x) pn 1 n Z1 pn 1 n x-s-1 dx p-ns s =
  63. 63. log ⇣(s) = s Z1 0 J(x)x-s-1 dx log ⇣(s) s
  64. 64. log ⇣(s) = s Z1 0 J(x)x-s-1 dx (Re s > 1)
  65. 65. log ⇣(s) s = Z1 0 J(x)x-s-1 dx (Re s > 1) J(x) = 1 2⇡i Za+i1 a-i1 log ⇣(s) s xs ds (a > 1) log ⇣(s)/sJ(x)
  66. 66. J(x) = 1 2⇡i Za+i1 a-i1 log ⇣(s) s xs ds (a > 1) J(x) = - 1 2⇡i · 1 log x Za+i1 a-i1 d ds ✓ log ⇣(s) s ◆ xs ds (a > 1)
  67. 67. J(x) = 1 2⇡i · 1 log x Za+i1 a-i1 d ds ✓ log(s - 1) s ◆ xs ds (a > 1) - 1 2⇡i · 1 log x Za+i1 a-i1 d ds ✓P ⇢ log(1 - s/⇢) s ◆ xs ds (a > 1) - 1 2⇡i · 1 log x Za+i1 a-i1 d ds ✓ log ⇠(0) s ◆ xs ds (a > 1) Li(x) - X ⇢ Li(x⇢ ) Z1 x dt t(t2 - 1) log t - log 2 - 1 2⇡i · 1 log x Za+i1 a-i1 d ds ✓ log (s/2 + 1) s ◆ xs ds (a > 1) s = ⇢ s = 1
  68. 68. J(x) = Li(x) - log 2 - X ⇢ Li(x⇢ ) + Z1 x dt t(t2 - 1) log t ⇠(0) (s/2 + 1)⇢1/(s - 1)
  69. 69. ⇠(0) (s/2 + 1) ⇢ 1/(s - 1)
  70. 70. 3 < Re( ) < 1
  71. 71. Re(s) > 1 s = 1 0 < Re(s) < 1
  72. 72. ⇣(1 + it) 6= 0 http://integers.hatenablog.com/entry/2016/04/17/012949 ⇣(1 + ti) = 0 Z( ) := ⇣( )3 |⇣( + ti)|4 |⇣( + 2ti)|2 lim !1+ Z( ) = 0 3 + 4 cos ✓ + 2 cos 2✓ = 0 Z( ) = 1
  73. 73. ⇣(2) = ⇡2 6 ⇣(3) 62 Q ⇣(2n) = (-1)n+1 B2n(2⇡)2n 2(2n)! ⇣(12) = 691⇡12 638512875 http://integers.hatenablog.com/archive
  74. 74. •  etc. •  etc. •  etc.
  75. 75. •  •  •  • 

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