Este documento describe conceptos básicos de la notación Z, incluyendo conjuntos, relaciones, funciones y operaciones de conjuntos. La notación Z es un lenguaje formal basado en la teoría de conjuntos y lógica matemática que se utiliza para modelar sistemas y especificar programas de computadora. Proporciona una estructura llamada esquema para describir estados y operaciones mediante declaraciones de variables y predicados.

1. Notación Z Conjuntos, Relaciones y Funciones Recursos: Antonio Cabán XaymaraPérez José Valentín

2. CONJUNTOS Un cojuntoesunacolección de objetos de cualquiernaturaleza. Los objetos de estacolección son llamadoselementos del conjunto. elementoConjunto

3. Si x es un elemento del conjunto A, entonces se escribe x ∈ A. Si x no es un elemento del conjunto A, entonces se escribe x ∈ A. Para listarelementos; se escribenpormedio de llaves y son separadospor comas. Todoconjuntoseránombrado con letramayúscula.

5. Dos conjuntos A y B son igualessitodos los elementos del conjunto A son los mismoselementos del conjunto B. Escribimos A ⊂ B y B ⊂ A. Si A y B son igualesentonces se escribe A = B. Ejemplo: A={a, e, i, o ,u} y B={i, a, e, o ,u} A = B. Igualdad de Conjuntos

7. La unión de A y B, se denotacomo A ∪ B = {x: x ∈ A ó x ∈ B} o en ambos. Ejemplo: A = {1,2,3,4} y B = {1,3,5,6,7} A ∪ B = {1,2,3,4,5,6,7}

8. La diferencia de A y B se define como A – B = {x: x ∈ A y x ∈ B} Ejemplo: A – B = { 2, 4 } Si U es el universo y A ⊂ U,definimos el complemento de A como el conjunto A = U – A A = {x: x ∈ A}

9. Sean A y B conjuntos: A ∪ B = A ∩ B A ∩ B = A ∪ B Ejemplo: Sea X={2,3,4,5,7,10,19,21,22,40,115} A={2,4,10,22} y B= {5,10,40,115} A ∪ B = {3,7,19,21} A ∩ B = {2,3,4,5,7,19,21,22,115} Leyes de Morgan

10. RELACIONES Pares Ordenados ProductoCartesiano Introducción a Relaciones

11. Pares Ordenados Par ordenado- ente constituido por dos objetos o elementos tomados en un orden determinado. Se escriben dentro de paréntesis, separados por una coma. Ej. (a,b); (San Juan, PR) Igualdad de pares ordenados- (a,b)=(c,d) si y solo si a=c y b=d Ej. (5,8)=(5,8) porque 5=5 y 8=8

12. ProductoCartesiano El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, que se denota A x B es el conjunto de todos los pares ordenados (x , y) donde x es elemento de A y “y” es elemento de B. A x B = {(x , y)/ x ∈ A y “y” ∈ B} Ej. Si A = {1, 2, 3} y B = {a, b, c, d}: entonces A x B = {(1, a), (1, b), (1, c), (1, d),…,(3, b), (3, c), (3, d)}

13. Introducción a Relaciones Una relación R de A en B es un subconjunto del producto cartesiano A x B R ⊂ A x B Ejemplo: El productocartesiano M x N aparece dado a continuación. Hallar M x N 1) M x N = {(1,1),(1,2),(1,3), (4,1),(4,2),(4,3)} M = {(1,4)} N = {(1,2,3)} 2)M x N = {(1,4),(1,5),(2,4),(2,5)} M = ? N = ?

14. Orden de Relaciones Una relación puede tener una, varias o todas estas características o también no tener ninguna de ellas. Relaciones reflexivas-una relación R definida en un conjunto A es reflexiva si y solo si (a, a) ∈ R para toda a ∈ A. Ej. La relación “es subconjunto de” es reflexiva porque todo conjunto es subconjunto en si mismo.

15. Orden de Relaciones Relación simétrica- una relación R definida en conjunto A se llama simétrica si y solo si (a, b)∈R entonces (b, a) ∈R. Ej. En el conjunto de los seres humanos varones la relación “ser hermano de” es simétrica porque si a es hermano de b entonces se verifica que b es hermano de a.

16. Orden de Relaciones Relaciones transitivas- una relacion R definida en un conjunto A se llama transitiva si y solo si (a, b) ∈R y (b, c) ∈R entonces se verifica que (a, c) ∈R. Ej. En el conjunto de los numerosnaturales la relacion “ser mayor que” estransitivaporquesi a > b y b > c entonces se tiene que a > c.

17. Relaciones de Equivalencias Si una relación es reflexiva, simétrica y transitiva decimos que es una relación de equivalencia. Ej. Sea T= triángulos, considera R “es semejante a”. Indica la relación de equivalencia. Reflexiva: todo triángulo es semejante a si mismo. Simétrica: si un triángulo es semejante a otro, este es semejante al primero. Transitiva: si un triángulo es semejante a otro y este semejante al tercero, entonces el primero es semejante al tercero.

18. Relaciones de Equivalencias Una partición es la separación o división del conjunto en subconjuntos disjuntos o clases de equivalencia. Ej. Sea G el conjunto de figuras geométricas (círculos, triángulos y cuadrados) y R es “tener la misma forma” comprobar que se trata de una relación de equivalencia.

19. Continuación del Ejemplo

20. Funciones FunciónInyectiva FunciónBiyectiva FunciónSobreyectiva Función Inversa Permutaciones

21. FUNCIONES Es una correspondencia entre conjuntos que se produce cuando cada uno de los elementos del primer conjunto se halla relacionado con un solo elemento del segundo conjunto. Los elementos del primer conjunto se denotan como el dominio y los elementos del segundo conjunto se denotan como rango. Ej. Si un árbol crece 20 cm cada año, así que la altura del árbol está relacionada con la edad por la función f: f(edad) = edad × 20 Así que si la edad es 10 años, la altura es: f(10) = 200 cm

22. Ejemplos 1. A={1, 2, 3, 4, 5} , P={a, b, c, d, e}, Dom= (1, 2, 3, 4, 5), Rango =(a, b, c, d, e). f = {(1, a), (2, a), (3, d), (4, c), (5, b ) } es función ? 2. A ={1, 2, 3} B = {x, y, z} f = {(1, x), (1, y), (2, z), (3, y)} es función ?

23. Función Uno a Uno (FunciónInyectiva) Una función es inyectiva si cada f(x) en el rango es la imagen de exactamente un único elemento del dominio. De todos los pares (x, y) pertenecientes a la función, las y no se repiten. Ej. A={1, 2, 3} , P={a, b, c, d, e}. 1. f = {(1, a), (2, c), (3, d) } es función uno a uno? 2. g = {(1, a), (2, c), (3, c)} es función uno a uno?

24. FunciónSobreyectiva Una función f (de un conjunto Aa otro B) es sobreyectiva si para cada y en B, existe por lo menos un x en A que cumple f(x)= y, en otras palabras f es sobreyectiva si y sólo si f(A) = B. Ej. A = { a , e , i , o , u } B = {1 , 3 , 5 , 7 } f = {( a , 1 ) , ( e , 7 ) , ( i , 3 ) , ( o , 5 ) , ( u , 7 )}

25. FunciónBiyectiva Unafunción f (del conjunto A al B) esbiyectivasi, paracada y en B, hay exactamente un x en A quecumpleque f(x) = y. Unafunciónesbiyectivasies a la vezinyectiva y sobreyectiva. Ej. A = { a , e , i , o , u } B = { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 } f = {( a , 5 ), ( e , 1 ), ( i , 9 ), ( o , 3 ), ( u , 7 )}

26. Función Inversa Sea f : A ! B una función. Entonces f−1: B ->A es una función si y solo si f es biyectiva. Ejemplo: Sea f = {(1, 2), (2, 4), (3, 9)}. Observaque f esunafunciónuno a uno. Portanto, f-1 = {(2, 1), (4, 2), (9, 3)}. Propiedadesde lasfuncionesinversas: Si f-1existe, entonces: 1) f-1esunafunciónuno a uno 2) dominio de f-1 = recorrido de f 3) recorrido de f-1 = dominio de f

27. Permutaciones Dado un conjunto finito con todos sus elementos diferentes, llamamos permutación a cada una de las posibles ordenaciones de los elementos de dicho conjunto. Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada ordenación posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutación. Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1".

28. Permutación: Se le llama permutación a cualquier arreglo específico de los objetos. Si se selecciona r objetos de un conjunto de n objetos diferentes. Fórmula de Permutaciones: Fórmula factorial para las permutaciones P ( n , r ) = __ n!___ (n – r)! Las permutaciones sólo se aplican cuando: 1. No se permiten repeticiones 2. El orden es importante

29. Ejemplo 1. P ( 6 , 2 ) = 2. P ( 5 , 2 ) = 3. P ( 8 , 5 ) = 4. Determine el número de permutaciones diferentes de dos de las cinco vocales y haga una lista de todas ellas.

30. Notación Z

31. ¿Quées la notación Z? La notación Z es un lenguaje formal, el cual se basa en la teoría de conjuntos de Zermelo y lógica matemática de primer orden. En el mismo se representan procesos, algoritmos, funciones y datos, mediante estados, operaciones, símbolos lógicos, conjuntos de valores o condiciones.

32. Esta notación Z proporciona una construcción denominada esquema el cual se utiliza para describir el espacio de estados y las operaciones. Este agrupa declaraciones de variables con una lista de predicados que restringen los posibles valores de cada variable.

33. Un ejemplo de un esquema es: ___________________________ DECLARACIONES ___________ PREDICADOS ___________ El esquema contiene dos cajones, en la parte superior se escriben las declaraciones en donde expresa el nombre de las variables y sus tipos y en la parte posterior los predicados que son las relaciones entre las variables.

34. Por ejemplo, el siguiente esquema describe una estructura de datos que es una secuencia de números naturales de longitud menor que 10: __ColaAcotada_________ cola : seq N_____________ #cola ≤10______________ Para representar operaciones también se utilizan esquemas.

35. Además este lenguaje utiliza la simbología usada en la teoría de conjuntos. Tales como: pertenece, no pertenece, intersección, unión, funciones, lógica de predicados, etc.

36. Función de la notación Z La notación Z es muy expresiva para describir las entidades de los sistemas y aplicaciones software. También es muy adecuado para modelar las entidades estáticas y su comportamiento.

37. Se utiliza para describir y modelar sistemas de cálculo. Además se utiliza en la especificación clara de programas de computadora y la formulación de pruebas sobre el funcionamiento previsto del programa.

38. Además la notación Z es utilizada en una de las piezas mas exitosas de software a nivel mundial. Este software es conocido como CICS que significa CustomerInformation Control System. (Sistema de Control de Información del Cliente).

39. El mismo es una familia de productos para el procesamiento de transacciones producida por IBM en Reino Unido. Este provee servicios de acceso a datos de: comunicación, integridad y seguridad.

40. Es por esto que uno puede retirar dinero en un cajero automático en otro país y en segundos esta reflejado en tu banco, sin importar la distancia.

41. Estructura del Lenguaje La estructura es una que todo matemático reconoce como: Sets ({123,456,789}) Basic Type ([ADDRESS,DATE,PERSON]) IntegerType (mod, div, min, max,+, -, *) Predicados Esquemas Set type Set de operaciones Esquemas de cálculo Relaciones Binaria Función

42. Referencias Sets, Relations, Functions Autor: IvoDüntsch & GüntherGediga Serie I, Vol. I Matemáticapara Maestros Autor: L. Rodríguez Fundamentos de Matemática Autor: Luis F. Caceres RecintoUniversitario de Mayagüez http://www.lcc.uma.es/~av/Docencia/Doctorado/tema2.pdf http://www.cosc.brocku.ca/~duentsch/archive/methprimer1.pdf www.tmarris.com http://web.mit.edu/kolya/sipb/afs/root.afs/sipb.mit.edu/user/golem/papers/898/spivey-intro-to-z.pdf http://www-2.dc.uba.ar/materias/isoft1/Z/usingz.htm