Modulo algebra 9°

Colegio Salesiano
de León XIII
Función Lineal y sus
Aplicaciones
Modulo 1
2011
Pitágoras
Algebra
Autor
Docente: Juan Guillermo Núñez Osuna
Grado Noveno
Bogotá, 22 de octubre de 2010

PRESENTACIÓN
Reseña histórica
René Descartes Johan Bernoulli
La primera fase corresponde a lo que se denomina algebra geométrica desarrollada
por los griegos valiosa en cuanto a los métodos geométricos para resolver
ecuaciones. Más adelante en le libro el arte matemático (siglo II a. de c.)
encontramos algunos problemas que se resuelven por medio de ecuaciones.
Con ayuda de Viete, Descartes y Euler se implementan procesos mucho más
complejos facilitando la creación del algebra simbólica. Pero realmente la palabra
función fue creada por Gottfried Leibnitz en el año 1694, para representar cualquier
cantidad asociada a una curva.
Más adelante René Descartes fue quien estableció el plano cartesiano que
corresponde al producto de dos conjuntos y el plano cartesiano denominado sistema
de coordenadas cartesianas. En 1718 Johann Bernoulli refirió a la función como
una combinación de variables y constantes.
Pero la definición formal fue creada por Peter G. Lejeune Dirichet. Este es uno de
los conceptos más importantes en matemáticas pues toda la matemática moderna
está relacionada con funciones.
Este concepto es uno de los más importantes en matemáticas y juega un papel
central en la interpretación de muchos problemas.
Es allí donde las funciones son muy útiles para expresar situaciones cotidianas y
especificas que relacionan dos magnitudes en términos de una ecuación. Por lo
tanto de una función es necesario aprender tanto su parte analítica como su
representación gráfica.

Los conceptos de función y relación son por lo tanto importantes para plantear y
resolver problemas de la vida real a partir de gráficas y tablas, de física, química,
biología, astronomía, astronomía y estadística entre otros; constituyéndose en
herramienta de gran ayuda en muchos contextos.
AMBITO CONCEPTUAL
1. Sistemas de coordenadas cartesianas
2. Pendiente de una recta y ecuación punto - pendiente
3. Concepto de función y función lineal
4. Ecuación lineal
5. Problemas sobre ecuaciones lineales
6. Técnicas de conteo
PROPÓSITOS
Competencia
 Solución de problemas
 Comunicativa
Subcompetencia
 Interpreta el lenguaje verbal simbólico y matemático
Estándar curricular
 Reconocer la ecuación lineal y sus aplicaciones
 Manejar las técnicas de conteo
Desempeños
 Identificar y comprender las ecuaciones lineales, funciones lineales,
problemas de aplicación y técnicas de conteo
 Desarrollar ejercicios sobre ecuaciones lineales, funciones lineales,
problemas de aplicación y técnicas de conteo
 Valorar el trabajo tanto individual como grupal en su crecimiento personal
Eje problémico
¿La función lineal presenta alguna ayuda en la vida cotidiana?

Criterios
Interpretativo
 Expresar y comunicar la función lineal, ecuaciones lineales , problemas y
técnicas de conteo
Argumentativo
 Justificar y reconocer la función lineal y las diferentes técnicas de conteo
Propositivo
 Realizar ejercicios y problemas sobre función lineal y técnicas de conteo
Valorativo
 Especificar y reconocer la función lineal sus aplicaciones y las técnicas de
conteo dentro de la vida cotidiana
Indicadores
 Conceptual
Identifica la función lineal, ecuación lineal y las técnicas de conteo.
 Procedimental
Aplica la ecuación lineal y las técnicas de conteo.
 Actitudinal
Muestra interés y responsabilidad por sus actividades y compromisos
académicos.
 Socializador
Soluciona problemas de su entorno con ayuda de ecuaciones lineales,
funciones lineales y técnicas de conteo.
SITUACION PROBLEMICA
Suponga que un comprador tiene un total de $1.000.000.oo para gastos. Los
precios de corbatas y camisas son fijos. El costo de camisas es de $20.000.oo por
unidad y el de las corbatas es de $10.000.oo por prenda. Partiendo del hecho de

que este hombre gasta todo su dinero en alguna combinación de corbatas y
camisas.
En marcha:
1. Elaborar una ecuación de la situación
2. Construir un gráfico ilustrativo
3. ¿Cuántas corbatas puede adquirir si decide no comprar ninguna camisa?
4. ¿Cuántas camisas puede adquirir si decide no comprar ninguna corbata?
5. ¿Qué interrogantes surgen de la situación problémica?
DIAGNOSTICO
1. Ubique en la recta numérica los siguientes números y ordénelos de mayor a
menor:
1.1. – 3 1.2.
3
7
1.3. 18 1.4 0
1.5. -
1
2
1.6. - 0,3
1.7.
5
6
2. Simplificar las expresiones:
2.1. - 4 (- 8 + 7) – ( 82 – 92 ) – ( - 10 )2 - √4
2.2. 7° (- 6) + (- 4)3 . 26 - (- 6)3 . 14
2.3. -
2
3
(
6
5
-
12
7
)
2.4.
3
7
-
2
5
(
1
2
-
21
21
) +
1
5

3. Adicionar los polinomios dados:
3.1. 5xy + 3ab; 14xy – 12ab
3.2. 12 rst + 7 abc – 5mn; 3mn – 4abc – 3rst
3.3.
1
2
ab +
1
3
a2 ;
1
2
ab +
1
4
b2
3.4. -
1
2
+
2
3
x2 +
1
2
xy ;
5
3
x2 -
1
10
xy +
1
6
y2 ;
1
12
x2 -
1
3
y2
4. Eliminar los signos de agrupación y simplificación:
4.1. - (a – 3b) + ( 2ª – b ) – (a + b )
4.2. 5x – ( 3y + 2 ) - - 4x + y – 5 z + 2y
4.3. 4 a -
2𝑎
3
+
𝑎
3
+ ( 3 a -
5𝑎
3
) -
𝑎
4
+ 2 a
5. Factorizar:
5.1. a2 by – ab2 y – aby
5.2. x2 - x +
1
4
5.3. 2 ( x – y) + y (x – y )
5.4. a2 – a2 b2 +
𝑏4
4
5.5. x2 - y2
5.6. x2 + 4x + 4

EVALUACIÓN DEL DIAGNOSTICO
1. Ficha de evaluación
INDICADOR CRITERIOS A S B Bj
Maneja y aplica
operaciones con números
reales y realiza
operaciones algebraicas
Realiza operaciones con
números reales
Suma y resta expresiones
algebraicas
Maneja la supresión de
paréntesis
2. Análisis:
 ¿Por qué obtuve los resultados anteriores?
____________________________________________________________
____________________________________________________________
 ¿Qué debo hacer para mejorar en los aspectos que presente dificultades?
____________________________________________________________
____________________________________________________________
3. A nivel grupal evalúo a mis compañeros
Fortalezas de mi grupo en
la prueba
Aspectos que requieren
refuerzo
Actividades de refuerzo
por parte del docente

SABER SER
VALORES
 Responsabilidad
Es la conciencia acerca de las consecuencias que tiene todo lo que hacemos
o dejamos de hacer sobre nosotros mismos o sobre los demás. Dentro del
campo del estudio o del trabajo, por ejemplo, el que es responsable lleva todas
las tareas con diligencia, severidad y prudencia porque sabe que las cosas
deben hacerse bien desde el principio hasta el final y que así solamente se
saca una verdadera enseñanza.
Otro aspecto valioso dentro de la responsabilidad se encuentra en la
capacidad de asumir las consecuencias de nuestros actos. Todos estamos en
la obligación de responder por lo que hacemos, tanto si está bien hecho como
si no.
La responsabilidad en matemáticas constituye un elemento importante
facilitando la consecución de los objetivos que se proponen dentro del área,
ya que en ella el trabajo se constituye en un reto intelectual.
SABER CREER
DIRCURSO DE LA SABIDURIA
La sabiduría se hace escuchar, se pone en primer lugar entrelazando caminos,
llegando a todos los sitios. Jóvenes inexpertos y tercos ¡aprender a ser prudentes y
comprendidos!
Todas mis palabras son justas y verdaderas, para el inteligente mis palabras son
claras. Adquieren instrucción y conocimiento, por eso:

“Vale más la sabiduría que piedras preciosas” ¡lo más deseable se le puede
comparar!
ACTIVIDAD DE EXPLORACIÓN
1. Hallar el producto cartesiano con ayuda de los conjuntos A y B:
a. A = 1,2,3,4 y B = 2,4,6,8
b. A = 0,2,5 y B = 3,5,8,9,10
c. A = 1,2,3,4 y B = 3,6,9,12
2. Cuales de las siguientes son funciones:
a. A B
b. C D
-2
-3
-1
0
1
2
a
b
c
d
e
f
X .
Y .
Z.
a
b

c. A B
3. ¿Cuáles son las diferencias entre relación y función?
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
4. ¿Cuáles de las siguientes son ecuaciones lineales?
a. 2 z2 + 4 = 7
b. 12 t – 15 = 17
c. 19 t3 + 5 = 6
d. 14 w - 24 = 12
√25
√27
3
√16
4
5
3
4
4

5. Verificar cuales de las siguientes gráficas son funciones:
a.
▲ y ▲
- x x
- y
y
b.
- x x
- y

c. y
- x x
- y
d.
y
-x x
-y
AMBITOS CONCEPTUALES
SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS
El sistema de coordenadas cartesianas está conformado, por rectas de números
reales, una vertical y otra horizontal, y hacemos que se corten en el origen (cero)
como se indica en la figura.

y
- x x
- y
Hacia arriba y hacia la derecha están los valores positivos, hacia abajo y a la
izquierda tenemos los valores positivos. Estas dos rectas reciben el nombre eje
vertical y eje horizontal.
Ejemplos:
Localizar los puntos (3,4), (1,5), (-3, 7)
(-3,7) °
° (1,5)
° (3,4)
FUNCIÓN
Dados dos conjuntos A y B, una función f de A en B, la correspondencia que
asigna a cada elemento de a є A exactamente un solo elemento de b є B.

 El conjunto A, se llama dominio de f
 El conjunto B, se llama codominio de f
A B
FUNCIÓN LINEAL
Una función lineal es una función de la forma f(x) = mx + b, donde m es la
pendiente, b el intercepto y su gráfica es una línea recta.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES LINEALES
Las graficas permiten presentar informes nuevos y entendibles en los negocios,
colegios y deportes entre otros. Para este proceso se requiere de los siguientes
pasos:
1. Confeccionar una tabla de valores en las que se asignan a la variable x
cantidades entre - 2 , 2 = - 2, -1, 0, 1, 2 ; los cuales se reemplazan en la
ecuación para obtener los valores respectivos de la variable y.
2. Ubicar en el plano cartesiano los puntos que se han obtenido en la tabulación.
3. Unir los puntos ubicados para obtener la representación gráfica deseada.
a
b
c
1
2
3

Ejemplo:
f(x) = 2x + 1 -2,2
X f(x)
-2 -3
-1 -1
0 1
1 3
2 5
°
°
°
°
°
ACTIVIDADES DE APLICACIÓN
1. Representa los puntos:
a) (1,9)
b) (-3,4) y (9,5)
c) (-3,4) y (1,5)

2. Grafico las funciones lineales:
a) f(x) = 2x +7 c) f(x) = 6x – 2
b) y = -x + 2 d) y = 7x - 1
3. Represento gráficamente solo las funciones lineales:
a) f(x) = 4x + 6
b) y = 2x2 + 2
c) f(x) = 4x
d) f(x) = 2x2 – 6
e) f(x) = -2x + 4
TRABAJO FUERA DEL AULA
1. Consultar en una página web las diferentes aplicaciones de la función lineal
en las diversas ciencias y elaborar un resumen en el cuaderno.
2. Escribir un artículo de una pagina con la ayuda de la consulta anterior.
3. Traer tres ejercicios de aplicación encontrados en la consulta.
PENDIENTE DE UNA RECTA Y ECUACIÓN PUNTO – PENDIENTE
 La pendiente de una recta es el número de unidades que sube (positiva) o
baja (negativa), representada por m. Dados los puntos P1 (X0, Y0) y
P2 (X1, Y1) se puede calcular por:
M =
𝑌1− 𝑌0
𝑋1−𝑥0

Ejemplo:
Dados los puntos
P1 ( 4,2 ) y P2 ( - 7, 5 )
m =
5−2
−7−4
=
3
−11
 Dada la pendiente m y el punto p (X0, Y0 ) es posible hallar su ecuación con
ayuda de la ecuación punto – pendiente, de la siguiente manera:
Dada la pendiente
5
3
y el punto (-3, 4 ) tendremos:
y – 4 =
5
3
( x + 3 )
3y – 12 = 5x + 15
-5x + 3y = 27
ACTIVIDAD DE APLICACIÓN
1. Calculo la pendiente dados los puntos:
a) p1 ( 3, 7 ) y p2 ( - 6, 4 )
b) p1 ( -5, - 2 ) y p2 ( 6, 4 )
c) p1 ( -5, - 2 ) y p2 ( - 9, 4 )
d) p1 ( - 3, 0 ) y p2 ( 3, 4 )
2. Halla la ecuación para:
y – y0 = m ( x – x 0 )

a) m =
− 1
3
p ( 4, 6 )
b) m =
4
7
p ( 3, 4 )
c) m =
3
4
p ( 2, - 7 )
d) m =
−5
3
p ( -2, 4 )
1. Consultar en libros de geometría analítica sobre las diferentes aplicaciones
de la pendiente
2. Investigar el concepto de peralte y sus diversas aplicaciones
3. Indagar sobre los casos de accidentalidad en las vías, las causas y sus
posibles soluciones.
ECUACIÓN LINEAL Y RAICES
Se dice que una ecuación es lineal si todas las variables presentes en ella tienen
exponentes iguales a 1, por ejemplo:
14x – 6 = 3x- 1
 Las raíces de una ecuación son los valores de la incógnita que satisfacen
la ecuación, por lo tanto al ser reemplazados en el lugar de las incógnitas,
convierten la ecuación en una igualdad, tal que:
5x – 6 = 3x + 8
5x – 3x = 8 + 6
2x = 14
X = 7
5 ( 7 ) – 6 = 3 ( 7 ) + 8
35 - 6 = 21 + 8
29 = 29

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA
INCOGNITA
Para la solución de ecuaciones de primer grado con una incógnita vamos a utilizar
los siguientes pasos:
1. Se efectúan las operaciones indicadas, si las hay.
2. Se hace la transposición de términos, reuniendo a un lado los términos que
contengan variables y en el otro todas las cantidades conocidas haciendo
cambios de signos.
3. Se reducen términos semejantes en cada miembro o lado.
4. Se despeja la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el
coeficiente de la incógnita.
Ejemplos:
1.
3𝑥+5
4
-
2𝑥−1
3
= 2
12
3𝑥+5
4
-
2𝑥−1
3
= 2 . 12
3 ( 3x + 5 ) – ( 2x - 1) = 24
9x + 15 – 8x + 4 = 24
9x - 8x = 24 – 19
X = 5
2. ( 6x – 7 ) -
3
8
( 3x – 2 ) =
2
3
( 5x – 6 )
24
5
6
( 6x – 7 ) -
3
8
( 3x – 2 ) =
2
3
(5x – 6 ) 24
20 ( 6x – 7 ) – 9 ( 3x – 2 ) = 16 ( 5x – 6 )
120 x – 140 – 27 x + 18 = 80 x – 96
120 x – 27 x - 80 x = - 96 + 140 – 18
13 x = 26
x = 2

1. Resuelve las ecuaciones:
a) 11 x + 5 x – 1 = 65 x – 36
b) 16 + 7 x – 5 + x = 11 x – 3 x
c) 18 x – 12 x – 40 x – 60 x = 53 x + 31 x – 126
d) 5 z + 6 z – 81 = 7z + 102 + 65 z
2. Solucione las ecuaciones dadas:
a) t + 3 ( t – 1 ) = 6 – 4 (2 t + 3)
b) 5 (w – 1 ) + 16 ( 2w + 3 ) = 3 (2 w – 7 ) – w
c) 2 ( 3h + 3) – 4 ( 5 h – 3 ) = 4 ( 6h + 5 ) – 2 ( 7 h – 5)
d) 14 x – ( 3x – 2 ) - 5 x + 2 – ( x – 1 ) = 0
e)
𝑥−1
3
+
2𝑥−3
2
=
7
2
f)
9 𝑥+1
9
+
𝑥+7
6
= 2
3. Solucione las ecuaciones dadas:
a)
𝑥+1
4
+
2𝑥−5
2
=
6𝑥−6
2
-
4𝑥−6
2
b)
7𝑥+1
(−2)
+
4𝑥−6
4
=
7𝑥+4
2
-
6𝑥+6
8
c)
7ℎ+2
3
-
2ℎ+6
3
=
4ℎ−5
4
-
7ℎ+2
5

d)
7𝑧−6
8
-
6 𝑧+8
4
=
2 𝑧−7
2
-
4 𝑧+6
6
e)
7 𝑟−4
2
-
6 𝑟−7
6
=
5 𝑟+4
5
-
6 𝑟+4
6
1. Visitar una sección de un supermercado o almacén de cadena y plantear
ecuaciones con ayuda de los productos allí ofrecidos escribiendo la inicial de
cada uno.
2. Considerando que una variable es una letra represente matemáticamente
sus actividades diarias.
PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES LINEALES
Los problemas planteados con palabras son enunciados que expresan relaciones
entre cantidades numéricas, por lo tanto nuestro propósito es el de traducir la
expresión del problema a una ecuación algebraica que puede ser resuelta por
medios conocidos. Para solucionar el problema planteado con palabras, se pueden
utilizar los siguientes pasos:
1. Se determina la cantidad incógnita y se le representa con una variable.
2. Todas las demás cantidades incógnitas se deben expresar en términos de la
misma variable.
3. Se traducen los enunciados del problema relativos a la variable de una ecuación
algebraica.
4. Se resuelve la ecuación para la incógnita y luego las otras cantidades
requeridas.
5. Se comprueba la respuesta en el problema original planteado con palabras.

Ejemplo:
1. La tercera parte de un número es 7 unidades menor que la mitad de el.
1
3
x + 7 =
1
2
x
6
1
3
x + 7 =
1
2
x
2x + 42 = 3x
X = 42
2. Un número de dos cifras es 6 unidades menor que el séxtuplo de la suma de
sus dígitos. Si los dígitos se intercambian el resultado excede 3 a 11 veces el
digito de las unidades del número original. Encontrar dicho número:
x = digito de las unidades Dígito de las unidades = y
y = digito de las decenas Dígito de las decenas = x
Número = x +10 y Número = y + 10 x
Suma de los dígitos = x + y y + 10 x = 11 x + 3
x + 10 y = 7 (x +y) – 6 x - y = 3
x + 10 y = 7 x + 7 y – 6
-6 x + 3 y = - 6
2 x – y = 2
Resolviendo el sistema 2 x – y = 2 Y x – y = 3 tenemos lo siguiente:
2 x – y = 2
-x + y = 3
x = 5
Reemplazando x tendremos lo siguiente:
2 (5) – y = 2 ; luego y = 8
Por lo tanto el número pedido es 85

1. Si a un número se le suma 15, el resultado es 21, Determine el número.
2. Ocho veces un número es 30 unidades más que 6 veces el mismo. Encuentre
el número.
3. La suma de dos números es 8. El cuádruple del menor es igual al doble de
mayor. Encuentre los números.
4. La suma de tres números es 44. El segundo es el doble del primero, el tercero
es 4 menos que el primero. Encuentre las cifras.
5. Halle dos números consecutivos tales que la diferencia de sus cuadrados es 31.
6. Representar en lenguaje matemático:
a) El doble de una cantidad con la raíz cuadrado de otro.
b) La mitad de una cantidad más el doble de otra.
c) El triple del producto de m Y n
d) La adición de la raíz cuadrada de una cantidad con el doble de otra.
1. Realizar alguna actividad mencionando los elementos que influyen en ella y
expresarlo en forma matemática.
2. Consultar algunas aplicaciones de las ecuaciones a la vida cotidiana,
explicarlas y elaborar un ensayo.
OTRAS APLICACIONES SOBRE ECUACIONES
En ocasiones la relación entre dos números se expresa como un porcentaje. Tanto
por ciento significa “por cada cien” y se representa con el símbolo %.
Para tal caso divide al primer número entre el segundo, se multiplica el cociente y
se simplifica.
Ejemplo:

1. ¿Cuál es el 70% de 48%?
70% (48) = 70x
1
100
x 48 = 33,6 %
2. El precio de venta al detal de una máquina de coser es de U$360. Si se ofrece
en venta a precio de U$297, ¿Cuál es el porcentaje de reducción?
Reducción de precio = 360 – 279 = U$63
Porcentaje de reducción =
63
360
x 100% =
6300
360
% = 17.5 %
1. Una casa se vendió en U$168.000 ¿Cuántos recibe el propietario si el corredor
de bienes raíces tiene una comisión del 6% sobre el precio de venta.
2. ¿Cuál es el precio normal de un traje si se ha vendido en $245 luego de aplicar
un 12.5% de descuento?
3. El costo de una alfombra es de $581 ¿Cuál es el precio de venta si el margen
de utilidad es el 30% del precio de venta?
4. El monto de interés anual producido por $28.000 es de $488 que el producido
por $16.000 con 2% más de interés anual ¿Cuál es la tasa de interés aplicada?
1. Consultar en una pagina web aplicaciones de matemática financiera en las
cuales encuentre ecuaciones, elaborar un resumen en el cuaderno.
2. Comprar un artículo pedir el tiquete y registrar el valor correspondiente al
IVA.
3. Investigar la norma que reglamenta el cobro del IVA.
Ejemplos:

1. Un hombre mezcló 48 onzas de una solución de yodo al 4% con 40 onzas
de una solución al 15% de la misma sustancia ¿Cuál es el porcentaje de
yodo en la mezcla?
Primera solución Segunda solución Mezcla
48 onzas 40 onzas 88 onzas
4% del yodo 15% del yodo x% de yodo
4% (48) + 15% (40) = x% (88)
4
100
(48) +
15
100
(40) =
𝑥
100
(88)
4(48) + 15 (40) = 88 . x
192 + 600 = 88 x
792 = 88 x
x = 9
La mezcla tiene una solución del 9%.
La distancia recorrida, es igual al producto de la velocidad por el tiempo; por lo
tanto:
x = v . t
2. Dos automóviles se encuentran a una distancia de 375 km entre sí y cuyas
velocidades difieren 5 km / h, se dirigen el uno hacia el otro. Se encuentran
dentro de 3 horas. ¿Cual es la velocidad de cada automóvil?
Primer auto Segundo auto
Velocidad x. km (x+ 5) km. h
Tiempo 3 h 3 h
Distancia 3 km 3 (x+5) km
3x + 3 (x+5) = 375
3x +3x +15 = 375
6x = 375 – 15
6x = 360
X = 60
Velocidad primer auto = 60 km/h
Velocidad segundo auto = 65 km /h

1. ¿Cuántas onzas de una solución de yodo al 16% deben añadir a 60 onzas del
mismo tipo de solución al 3% para obtener una al 8%.
2. Jaime mezclo 45 litros del mismo tipo de solución al 18% con 60 litros de una
al 32% ¿Cuál es el porcentaje del ácido en la mezcla?
3. Dos automóviles que están a una distancia de 464 km entre sí y cuyas
velocidades diferentes en 8 km/h, se dirigen el uno hacia el otro. Se encontraran
dentro de 4 horas ¿Cual es la velocidad de cada uno?
4. Dos autos que parten de A dan una ventaja de 30 m a otro que parte de B. El
primero hace 8 m por segundo y el segundo 5 m por segundo ¿a que distancia
de A se encontraran?
5. Un tren de carga que va a 42 km/h es seguido 3 horas después por un tren de
pasajeros que va a 60 km/h ¿en cuantas horas el tren de pasajeros alcanza al
de carga y a que distancia del punto de partida?
1. Consultar en textos de física la definición de espacio y velocidad,
determinando su influencia en la vida cotidiana.
2. Investigar que es una solución y como está compuesta
3. Elaborar un artículo sobre las aplicaciones de la física y la química en las
ecuaciones lineales.
GENERALIDADES DE ESTADISTICA

Blaise Pascal Pierre de Fermat
El concepto de probabilidad se utiliza para establecer el “grado de creencia” que
uno tiene de la ocurrencia de un suceso; se refiere a algo que puede suceder con
base en la experiencia que se tiene, cotidianamente escuchamos “el estado del
tiempo”, o la presencia de lluvias fuertes o ligeras, vientos fuertes o en calma, entre
otros; algo similar ocurre con los que juegan lotería o apuestan; todos aquellos
pronósticos que hacemos con la esperanza de que sucedan.
El origen de las probabilidades se remonta al siglo XVII cuando Antonie Gombauld,
pensó haber descubierto una táctica infalible para jugar a los dados, con muy
buenos resultados, después comenzó a perder, situación que lo obligó a Blaise
Pascal y Pierre de Fermat, iniciándose así poco a poco una ciencia mucho más
estructurada.
Actualmente las probabilidades guardan una estrecha relación con la teoría de
conjuntos, siendo de gran importancia en el campo de la inferencia estadística.
ALGUNOS CONCEPTOS BÁSICOS
Para entender la explicación y el procedimiento vamos a definir los siguientes
conceptos:
a. Experimento:
Es un conjunto de pruebas que conduce a un resultado del cual no se está
seguro.
b. Eventos
Son los resultados posibles al realizar un experimento.
c. Espacio muestral
Es un conjunto de posibles resultados al realizar un experimento.
d. Probabilidad empírica
Es aquella que se obtiene al realizar el experimento.

Ejemplo:
Experimento: Lanzar dos monedas
Eventos: cara, cara; cara, sello; sello, cara; sello, sello
Espacio muestral: U = c,c; c,s; s,c; s,s
Probabilidad =
1
4
,
1
4
,
1
4
,
1
4
=
1
4
x 100 % = 25 %
ACTIVIDAD DE APLICACIÓN
1. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un as al extraer una carta de una baraja de
40 cartas?
2. Si se lanzan tres mondas, ¿Cuál es la probabilidad de obtener:
a) Exactamente una cara? b) Dos caras?
3. En una urna hay 20 fichas numeradas del 1 al 20 ¿Cuál es la probabilidad de
que al hacer una extracción la ficha tenga número par?
4. Se tiene una urna con 20 bolas de plástico distribuidas en los siguientes
colores:
5 amarillas; 8 negras; 7 rojas; ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una
bola sea?
a) Negra b) Sea rojo C) No sea negra

1. Seleccionar una lectura sobre probabilidades o pagina web, leerla determinar
los aspectos importantes y realizar un resumen en el cuaderno.
2. Elaborar un artículo sobre probabilidades con ayuda del texto anterior.
TECNICAS DE CONTEO
El análisis combinatorio construye una rama muy importante de la matemática finita,
la cual estudia las formas más notables de agrupar y ordenar los elementos de un
conjunto, además de establecer de manera rápida la ocurrencia de un suceso; para
ello utilizamos las técnicas de conteo que mencionaremos a continuación:
a) Regla de la multiplicación
Se dice que dos o más eventos son independientes entre sí; cuando la
ocurrencia de un evento no está relacionada con la ocurrencia del otro. Si
hay tres eventos independientes A, B y C, la probabilidad de que ocurren A,
B y C se obtiene:
P(A y B y C) = p (A). p (B). p (C).
Ejemplo:
Una persona vive en el norte de la ciudad y solo cuenta con dos rutas para
poder acceder a la autopista del norte de la ciudad. Una vez alcanzada la
autopista tiene tres rutas de menor congestión para llegar al centro de la
ciudad. Ya en el centro puede relacionar dos rutas para llegar al parqueadero
más próximo a su oficina ¿De cuantas rutas dispone?
1 1 1
Casa autopista 2 centro parqueadero
2 3 2
P = 2 x 3 x 2 = 12 posibilidades

b) Regla del exponente
Es una forma sencilla para determinar el número de casos posibles, dentro
de los cuales hay fenómenos constantes; al respecto cabe anotar lo
siguiente:
 Para el caso de las monedas tendremos 2n
 Para el caso de los dados tendremos 6n
Ejemplo:
1. El lanzamiento de dos monedas se tendrán los resultados
p = 22 = 4 casos posibles
2. El lanzamiento de tres dados se tendrán los resultados
p = 63 = 216 casos posibles
c) Permutaciones
Es una forma de ordenar o arreglar la totalidad de los elementos de un
conjunto. También se dice que son todas las ordenaciones distintas que se
pueden dar a los elementos de un conjunto; por lo tanto tendremos lo
siguiente:
P n = n!
Ejemplo:
En la primera línea del salón de clases se tiene 8 pupitres y se quiere sentar
a 8 alumnos ¿De cuantas maneras se podrán organizar?
8 p8 = 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 40320
d) Variaciones
Son permutaciones en las que implica un orden en la colocación de los
elementos, pero se toma una parte de los elementos del conjunto; por lo tanto
tenemos:
n V r =
𝑛 !
𝑛−𝑟 !
Ejemplo:
Si tenemos 8 pupitres colocados en la primera línea del salón y se quiere
determinar de cuantas maneras será posible ordenar los 5 alumnos;
tendríamos lo siguiente:

8 p5 =
8 !
(8−5) !
=
8 !
3 !
=
8 𝑥 7 𝑥 6 𝑥 5 𝑥 4 𝑥 3 𝑥 2 𝑥 1
3 𝑥 2 𝑥 1
= 6720 maneras
e) Combinaciones
Es un arreglo de los elementos sin importar el orden en que se disponga,
también es una selección de v de los n objetos, sin atender a la ordenación
de los mismos, por lo tanto:
n C r =
𝑛 !
( 𝑛− 𝑟 )! 𝑟!
Ejemplo:
Se tienen los números 1, 2, 3, 4 y 5 con las letras A, B y C ¿Cuántas
combinaciones se podrán hacer?
5 C 3 =
5 𝑥 4 𝑥 3 𝑥 2 𝑥 1
( 5−3 ) 3 !
=
5 𝑥 4 𝑥 3 𝑥2 𝑥1
2 𝑥 1 𝑥 3 𝑥2 𝑥 1
=
20
2
= 10 Combinaciones
1. Completar las expresiones siguientes:
a) 12 personas se sientan en un banco con capacidad para 6 personas pueden
sentarse de ___________ formas diferentes
b) 12 objetos pueden dividirse en dos grupos de 7 y 5 objetos de _________
formas diferentes.
c) Una cantidad para combinar es __________________________________
_______________________________________________________________
2. Aplicar técnicas de conteo:
a) De cuantas formas pueden colocarse 7 libros alternados de 2?
b) De cuantas formas pueden colocarse en un estante 3 libros de matemáticas
y tres de estadística?

c) ¿Cuántas ordenaciones diferentes de diez letras se pueden hacer utilizando
la palabra CONVENCIÓN?
d) Un vendedor en su recorrido inicialmente tiene 4 posibles rutas para visitar
unos clientes, mas adelante 4, y finalmente cuenta con 7 rutas ¿Cuáles son
todas las posibles trayectorias de que dispone?
3. Cuál es la posibilidad para:
a) Lanzar un par de dados
b) Lanzar tres monedas
c) Sacar dos cartas de una baraja de 52.
1. Consultar sobre las diferentes aplicaciones de las técnicas de conteo a la
vida cotidiana y copiarlas en el cuaderno.
2. Elaborar un ensayo de una pagina con base en la consulta anterior.
CENTROS DE INTERES
Se plantean cuatro centros de interés para que con su grupo realicen la
investigación y sustentación de este, estos son:
El éxito de este trabajo esta en la forma en que se recoja la información, en la
sistematización y aplicación que se haga de ella.
 Escalada en roca: pendiendo de un hilo
 La caída libre y el paracaidismo
 Los primeros cohetes y la exploración espacial
 Los misiles teledirigidos

Los portaaviones se lanzan desde una cubierta de portaaviones mediante una
catapulta. En combinación con los motores de chorro del avión, la catapulta
rápidamente lo acelera a la rapidez necesaria para el despegue. De manera común,
durante tal disparo de catapulta, su rapidez del avión aumenta de cero a 260 km / h
en solo dos segundos.
1. Recoger la información de diferentes fuentes. (dibujo de avión)
2. Sistematizarla
3. Elaborar trabajo escrito
4. Diseñar una maqueta sobre el tema seleccionado con ayuda de la consulta.
EVALUACIÓN DE PROFUNDIZACIÓN
1. Indicadores
 Conceptual
Identificar la función, ecuación lineal y técnica de conteo
 Procedimental
Aplica la función, ecuación lineal y técnicas de conteo
 Actitudinal
Muestra interés y responsabilidad por sus actividades y trabajos.
 Socializador
Soluciona problemas en el campo tecnológico aplicando la información
encontrada.
2. Trabajo personal
2.1. Evaluación de actividades

INDICADOR CRITERIOS A S B Bj
Conceptual
Procedimental
Actitudinal
Socializador
2.2. Análisis
¿Por qué obtuve los resultados anteriores?
_________________________________________________________
_________________________________________________________
2.3. ¿Qué debo hacer para mejorar los aspectos en que presenté dificultades
_________________________________________________________
_________________________________________________________
3. A nivel grupal
Evalúo con mis compañeros
Fortalezas de mi grupo
en la prueba
Aspectos que requieren
nivelación
Actividades de nivelación
dirigidas por el docente
EVALUACIÓN FINAL

1. Representar los puntos:
a) p1 (4,7) y p ( - 5,7)
b) p1 (4,6), p2 (5,7) y p3 ( -6, -2)
2. Hallar las ecuaciones para:
a) m =
1
2
p (4,5)
b) m =
−5
3
p ( -2, 7)
3. Resolver las ecuaciones:
a) 12 x + 6 = 5x + 7
b)
𝑥−13
5
-
𝑥+7
4
=
𝑥 + 5
7
4. Solucionar los problemas dados:
a) Si a un número se le agregan 16, el resultado es 30. Determine el número.
b) ¿Cuántas onzas de una solución de yodo al 20% deben añadirse a 80 onzas
del mismo tipo de solución al 2% para obtener una al 8%.?
5. Hallar la probabilidad:
a) En una urna hay 18 fichas numeradas del 1 al 18 ¿Cuál es la probabilidad
de que al hacer una extracción obtengamos un número impar?
b) En una bolsa hay 24 bolas con los siguientes colores:
8 azules, 6 amarillas, 3 rojas y 3 verdes
¿Cuál es la probabilidad de sacar?:

 Bolas azules
 Bolas rojas
 Bolas verdes
6. Aplicar las técnicas de conteo.
a) En la primera fila de una competencia hay 10 atletas los cuales deben salir
de a 10 ¿De cuantas maneras podrán salir?
b) Tenemos 12 saltadores de vallas los cuales deben salir en 4 postas. ¿De
cuantas maneras es posible?
AUTOEVALUACIÓN

¿Qué tipo de estudiante soy?
INDICADORES
Conceptual Procedimental Actitudinal Socializador
Respondo en forma
clara y concreta las
preguntas
Hago buen uso de la
biblioteca
Resuelvo ejercicios de
manera apropiada
Calculo la pendiente y
ecuación dados dos
puntos
Apoyo a mis
compañeros en la
solución de ejercicios
Grafico funciones
lineales
Obtengo ecuaciones
lineales
Resuelvo con propiedad
ecuaciones lineales
Soluciono problemas
sobre ecuaciones
lineales
Obtengo la probabilidad
de diversas situaciones
Aplico las técnicas de
conteo

GLOSARIO
 Espacio muestral
Conjunto de todos los posibles resultados de un experimento.
 Experimento
Prueba bien planeada y elaborada para obtener información acerca de un problema
que se trata de resolver.
 Dominio
Es el conjunto formado por los primeros elementos de las parejas ordenadas de una
relación
 Rango
Es el conjunto formado por los segundos elementos de las parejas ordenadas de
una relación
 Función
Es una relación en la cual cada elemento del dominio se relaciona con un único
elemento del codominio
 Probabilidad
Proporción de los resultados favorables a un suceso respecto al número de
acontecimientos considerados.
 Suceso.
Cada uno de los resultados definidos en un experimento.
 Factorial
Operación matemática consistente en el producto de n factores, decrecientes a
partir de unidad en unidad.
 Permutación
Ordenaciones distintas de r en r efectuadas en los elementos de un conjunto,
atendiendo a su ordenación.
 Combinación

Selección de r en n elementos de un conjunto, sin atender a su ordenación.
BIBLIOGRAFIA
 Bonett Raymond y Uribe Julio Algebra y Geometría 2 McGraw – Hill
 Londoño Nelson y Hernando Bedoya Matemática progresiva 9° algebra y
geometría Editorial Norma.
 Alfonso Gobram Algebra elemental Grupo Editorial Iberoamérica.
 Dimaté M. Et al Matemática 9° Prentice Hall
 Olmos Alfredo y Martinez Luis Carlos Matemática práctica 9º Editorial Voluntad
 Centeno Gustavo, Centeno Holman y Jiménez Nelson Matemática constructiva
9º Editorial Libros y libres S.A.
 Kerner de Durán Silviane – Martínez J Heli – Ballesteros Víctor – Sabogal
Narciso Elementos de calculo Unisur Santa Fe Bogotá 1993.
 Dr. Aurelio Baldor Algebra Elemental Cultural Colombiana Ltda. Bogotá
Colombia.
 Torres de castro Luz Stella Manual práctico de Estadística 2 PIME Editores
Bogotá (Colombia)
 Villegas Mauricio R y Melo Esther Clara Matemática 2000 9° Editorial voluntad
Santa Fe Bogotá (Colombia)
 Martínez M. José, Cuadra L. Rafael y Jiménez V. José Matemáticas II McGraw
– Hill
PLAN LECTOR

Los conejos de de Fibonacci
¡Un conejito! Exclamó Alicia.
Una conejita precisó el matemago, mientras depositaba suavemente en el suelo el
pequeño roedor blanco.
Dentro de un mes será adulto. Dicho esto, el anciano dio una palmada y la conejita
aumentó varias veces de tamaño.
El matemago dio otra palmada, hay junto a la oveja apareció otra tan pequeña como
la primera al salir del gorro. Dio otra palmada y sucedió lo que la niña había previsto:
por el suelo correteaban tres conejas adultas y dos crías otra palmada más: cinco
adultas y tres crías y otra: ocho adultas y cinco crías…
c
C
C c
C C c
C C C c c c
C C C C c c c
C C C C C c c c c c
¡Bravo! Aplaudió la niña, pero se contuvo de pronto-. Menos mal que mis palmadas
no hacen crecer y multiplicarse a las conejitas, si no se había llenado la habitación.
Vamos a ver la serie:
Al principio había un solo ejemplar; al cabo de un mes, seguía uno; al cabo de dos
meses, eran dos; al cabo de tres, tres…
Entre el matamago y la niña encontraron lo siguiente:
1 1 2 3 5 8 13
Cada número es la suma del anterior:
2 = 1+1; 3 = 1+2; 5 = 2+3; 8 = 3+5; 13 = 5+8…
Si das otra palmada, habrá 21 conejitas, y luego 34 y luego 55, 89…
Esta serie fue descubierta por Fibonacci.

1. ¿Cuáles son los aportes en el campo de la matemática de Fibonacci?
2. ¿Qué otros seres de la naturaleza tienen como característica una serie?
3. ¿Las series sólo se refieren a crecimientos? ¿Por qué?
4. ¿El crecimiento personal es una serie? ¿Por qué?
5. Mencione dos aspectos, fundamentales de la lectura.
Tus Notas

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