Ejercicio referente a ecuaciones exacta. Tema de Ecuaciones Diferenciales

1. Msc. Juan Carlos Briceño
Asignatura: Matemática III
Ejercicio Resuelto de
Ecuaciones Exacta
y’ + P(x)y = Q(x)

2. En matemáticas, una ecuación diferencial exacta es una ecuación diferencial
ordinaria de primer orden que presenta la forma:
M (x,y)dx + N(x,y) dy =0
en donde las derivadas parciales de las funciones M y N :
𝝏𝑴
𝝏𝒀
Y
𝝏𝑵
𝝏𝑿
son iguales.
Esto es :
𝝏𝑴
𝝏𝒀
=
𝝏𝑵
𝝏𝑿
Donde
𝝏𝒇
𝝏𝒙
= M( x,y) y
𝝏𝒇
𝝏𝒚
= N( x,y)

3. Para resolver una ecuación exactas es importante tener en
cuenta los siguientes pasos:
1.) Debe tener esta forma: M(x,y) ∂x + N (x,y) ∂y = 0
2.) Se debe comprobar si es homogénea o no.
3.)
𝝏𝑴
𝝏𝒀
=
𝝏𝑵
𝝏𝑿
De cumplirse el paso (1), (2) y (3) se garantiza que es una ecuación exacta y por lo
tanto se aplica el algoritmo exacto.
4.) Introducimos una función auxiliar: F = 𝑴 𝒙, 𝒚 𝝏x , C = f(y)
5.) Derivamos en ambos miembros con respecto a y :
𝝏𝑭
𝝏𝒚
6.) Igualamos :
𝝏𝑭
𝝏𝒚
= N( x,y)
7.) ∫
𝝏𝑭
𝝏𝒚

4. a) ( 4Y+ 2X- 5) 𝝏𝒙 + ( 6y + 4x – 1 ) 𝝏𝒚 = 𝟎
b.) ( 𝒆 𝟐 + y) 𝝏x + ( 2 + x + y 𝒆 𝒚) 𝝏𝒚= 0
Solución al ejercicio a:
1) Observemos que el ejercicio tiene la forma: M(x,y) ∂x + N (x,y) ∂y =0
esto es: (4y + 2x - 5) ∂x + (6y + 4x - 1) ∂y = 0
2) Determinar si es o no homogénea
M(x,y) = 4y + 2x - 5 ; N(x,y) = 6y + 4x -1
M(kx,ky) = 4ky + 2kx -5 ; N(kx,ky) = 6ky 4kx -1
Observa que en las expresiones anteriores, no se pudo extraer la k como factor
común, por lo tanto la ecuación diferencial no es homogénea.

5. 3.) Se deriva la función con M(x,y ) y N(x,y) , una con respecto a ¨y¨ ,
la otra con respecto a ¨x¨
𝑑𝑁(𝑥,𝑦)
𝑑𝑥
=
𝜕(6𝑦 + 4𝑥 − 1)
𝜕𝑥
Por lo tanto, de lo anterior se tiene:
En base al paso (1), (2) y (3), aplicamos algoritmo exacto.
=
𝜕(6𝑦)
𝜕𝑥
+ 4
𝜕𝑥
𝜕𝑥
-
𝜕1
𝜕𝑥
Recuerda: que al derivar
𝑑𝑀(𝑥,𝑦)
𝑑𝑦
, la ¨x¨ se convierten en constante y
al derivar
𝑑𝑁(𝑥,𝑦)
𝑑𝑥
, la ¨y¨ es constante
𝑑𝑀(𝑥,𝑦)
𝑑𝑦
=
𝜕(4𝑦 + 2𝑥 −5)
𝜕𝑦
= 4
𝜕𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕(2𝑥)
𝜕𝑦
−
𝜕5
𝜕𝑦
𝑑𝑀(𝑥,𝑦)
𝑑𝑦
= 4 𝑑𝑁(𝑥,𝑦)
𝑑𝑦
= 4
𝒅𝑴(𝒙,𝒚)
𝒅𝒚
=
𝒅𝑵(𝒙,𝒚)
𝒅𝒙

6. 4.) Se introduce una función auxiliar F = 𝑴 𝒙, 𝒚 𝝏x , C= f(y)
Esto es: F = (4y+2x−5) 𝝏x
F = 4y dx + 𝟐𝒙𝒅𝒙 − 𝟓 𝝏x
F = 𝟒𝐲 dx + 𝟐 𝒙𝒅𝒙 − 𝟓 𝝏x Recuerda que en este caso:
la letra ¨y¨, son constante
F = 𝟒𝐲𝐱 + 𝟐
𝒙 𝟐
𝟐
− 𝟓𝒙 + C
F = 𝟒𝐲𝐱 + 𝒙 𝟐
− 𝟓𝒙 + f(y) Recuerda que: C = f(y)
5.) A continuación, derivamos a ¨ F ¨ con respecto a y :
𝝏𝑭
𝝏𝒚
𝒅𝑭
𝒅𝒚
=
𝒅 𝟒𝐲𝐱 + 𝒙 𝟐− 𝟓𝒙 + f(y)
𝒅𝒚

7. 𝒅𝑭
𝒅𝒚
=
𝒅𝟒𝒚𝒙
𝒅𝒚
+
𝒅𝒙 𝟐
𝒅𝒚
+
𝒅−𝟓𝒙
𝒅𝒚
+
𝒅𝒇(𝒚)
𝒅𝒚
𝒅𝑭
𝒅𝒚
= 4x
𝒅𝒚
𝒅𝒚
+
𝒅𝒇(𝒚)
𝒅𝒚
Recuerda que al derivar:
𝒅𝒙 𝟐
𝒅𝒚
,
𝒅−𝟓𝒙
𝒅𝒚
, es cero
𝒅𝑭
𝒅𝒚
= 4x +
𝒅𝒇(𝒚)
𝒅𝒚
Observa que en este caso:
la letra ¨y¨, son constante
6.) Siguiendo el algoritmo exacto, se tiene:
𝝏𝑭
𝝏𝒚
= N( x,y)
Pero
𝒅𝑭
𝒅𝒚
= 4x +
𝒅𝒇(𝒚)
𝒅𝒚
y N(x,y) = 6y + 4x – 1
Igualando 4x +
𝒅𝒇(𝒚)
𝒅𝒚
= 6y + 4x – 1
𝒅𝒇(𝒚)
𝒅𝒚
= 6y – 1
Simplificamos 4x en ambos miembros

8. 7.) Por último integramos en ambos miembros: ∫𝝏𝑭
𝝏𝒚
Para ello, tomamos inicialmente la expresión anterior:
𝒅𝒇(𝒚)
𝒅𝒚
= 6y – 1
𝒅𝒇(𝒚) = (6y – 1 ) dy
𝒅𝒇 𝒚 = (6𝑦 – 1 ) 𝑑𝑦
𝒅𝒇 𝒚 = 6 𝑦 𝑑𝑦 – 𝑑𝑦
𝒇(𝒚) = 6
𝑦2
2
– 𝑦
𝒇(𝒚) = 3𝑦2– 𝑦
Aplicando teorema de integración:
𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
Sustituyendo la expresión anterior en:
F = 𝟒𝐲𝐱 + 𝒙 𝟐
− 𝟓𝒙 + f (y)
Se tiene: F = 𝟒𝐲𝐱 + 𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙 + 3𝑦2– 𝑦
Despejamos 𝒅𝒚
Integramos en ambos miembros

9. Solución del ejercicio 2:
1) Debe tener esta forma: M(x,y) ∂x + N (x,y) ∂y =0
( 𝒆 𝒙 + y) 𝝏x + ( 2 + x + y 𝒆 𝒚) 𝝏𝒚= 0
2) Determinar si es o no homogénea
M( x,y) = 𝑒 𝑥
+ y ; N(x,y) = 2 + x + y𝑒 𝑦
M(kx,ky) = 𝑒 𝑘𝑥
+ ky ; N(kx,ky) = 2 + kx + ky.𝑒 𝑘𝑦
= 𝑒 𝑘𝑥+ Ky ; = 2 + kx + ky𝑒 𝑘𝑦
Observa, que en las expresiones anteriores no se pudo extraer la k, como factor
común, por lo tanto la ecuación diferencial no es homogénea.
∂M ( x,y ) = ∂ (𝑒 𝑥 + y) ; ∂N (x,y) = ∂ (2+ x+ y 𝑒 𝑦)
∂y ∂y ∂x ∂x
3.) Se deriva la función con M(x,y ) y N(x,y) , una con respecto a ¨y¨ ,
la otra con respecto a ¨x¨

10. 𝑑𝑀(𝑥,𝑦)
𝑑𝑦
=
𝑑
𝑑𝑦
𝑒 𝑥
+
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑁(𝑥,𝑦)
𝑑𝑥
=
𝑑2
𝑑𝑥
+
𝑑𝑥
𝑑𝑥
+
𝑑
𝑑𝑥
(y 𝑒 𝑦
)
= 1 = 1
Por lo tanto:
𝑑𝑀 𝑥,𝑦
𝑑𝑦
=
𝑑𝑁(𝑥,𝑦)
𝑑𝑥
4) Introducimos una función auxiliar: F = 𝑴 𝒙, 𝒚 𝝏x , C = f(y)
Recuerda: que al realizar las derivadas en los términos:
𝑑
𝑑𝑦
𝑒 𝑥,
𝑑
𝑑𝑦
2,
d
dx
y𝑒 𝑦 , son cero
F = (𝑒 𝑥
+ y) 𝑑x
𝐅 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 + y 𝑑𝑥 Ten encuenta que en este caso y es constante
𝐅 = ex
+ y.x + C
𝐅 = ex
+ y.x + f(y) Recuerda que debemos sustituir C por f(y)

11. 5.) Derivamos en ambos miembros con respecto a y :
𝝏𝑭
𝝏𝒚
𝐅 = ex + y.x + f(y)
𝝏𝑭
𝝏𝒚
=
𝝏
𝝏𝒚
(ex + y.x + f(y))
𝝏𝑭
𝝏𝒚
=
𝝏
𝝏𝒚
ex +
𝝏
𝝏𝒚
y.x +
𝝏
𝝏𝒚
f(y))
𝝏𝑭
𝝏𝒚
=
𝝏
𝝏𝒚
ex
+ x
𝝏𝒚
𝝏𝒚
+
𝝏f(y)
𝝏𝒚
𝝏𝑭
𝝏𝒚
= x +
𝝏f(y)
𝝏𝒚
𝑹𝒆𝒄𝒖𝒆𝒓𝒅𝒂 𝒒𝒖𝒆:
𝝏
𝝏𝒚
ex
= 0,
𝝏𝒚
𝝏𝒚
= 1
6.) Ahora debemos igualar :
𝝏𝑭
𝝏𝒚
= N( x,y)

12. 𝝏𝑭
𝝏𝒚
= x +
𝝏f(y)
𝝏𝒚
Como: N(x,y) = 2 + x + y𝑒 𝑦y
Entonces al igualar en:
𝝏𝑭
𝝏𝒚
= N( x,y)
x +
𝝏f(y)
𝝏𝒚
= 2 + x + y𝑒 𝑦 Luego simplificamos la x
𝝏f(y)
𝝏𝒚
= 2 + y𝑒 𝑦
7.) A continuación debemos integrar ∫
𝝏𝑭
𝝏𝒚
𝝏f(y)
𝝏𝒚
= 2 + y𝑒 𝑦
Para ello procedamos de manera análoga como en la lamina 8, correspondiente al primer
ejercicio. Seguramente te quedaran dos integrales, una con constante y otra relacionada
a una por sustitución, la cual tiene solución a través de alguno de los teoremas presente
en los formularios, será inmediata.
Propuesto

13. Agradecimientos
Este material, fue elaborado en conjunto con los estudiantes de la 3M1ES
Aldana Yenismar C.I: 22.092.861
Pérez María F. C:I 23.481.691
Valera Dorenny C.I: 22.092.860
MATEMATICAS III