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integrales

Veröffentlicht in: Ingenieurwesen
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  1. 1. 100 Unidad 5 : INTEGRALES MÚLTIPLES Tema 5.6 : Integrales Triples en Coordenadas Cilíndricas y Esféricas (Estudiar la Sección 15.8 en el Stewart 5ª Edición; Hacer la Tarea No. 23) Ejemplo 1 en Coordenadas Cilíndricas: Evalúe la integral triple: dVyx E ∫∫∫ + 22 , en donde E es el volumen dentro del cilindro 122 =+ yx , debajo del plano 4=z , y arriba del paraboloide 22 1 yxz −−= [ ] ( )[ ] ( ) 5 12 2 5 6 5 1 1 5 314 2 0 1 0 2 0 5 3 2 0 1 0 42 2 0 1 0 22 2 0 1 0 4 1 2 2 0 1 0 4 1 2 2 0 1 0 4 1 22 2 22 π πθθ θθθ θθ ππ πππ ππ =⋅=      +=      += =+=−−== ===+ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫∫ − −− dd r r ddrrrddrrrddrzr ddrdzrddrrdzrdVyx r rr E Ejemplo 2 en Coordenadas Cilíndricas: Evalúe la integral ( )∫ ∫ ∫ + − −+ −− + + 2 2 4 4 2 22 2 2 22 x x yx dxdydzyx cambiando a coordenadas cilíndricas, Solución: La curva de intersección del cono 22 yxz += , y el plano 2=z , es el círculo de 422 =+ yx , que limita la región de integración: [ ] ( ) 5 16 2 5 8 5 32 8 52 2 2 0 2 0 2 0 542 0 2 0 43 2 0 2 0 2 2 0 2 0 233 2 0 2 0 2 2 π π θθθ θθθ πππ π ππ =⋅= =      −=      −=−= === ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ dd rr ddrrr ddrzrddrdzrddrrdzr r r r
  2. 2. 101 Ejemplo 3 en coordenadas esféricas: Evalúe la integral ( ) dVe E zyx ∫∫∫ ++ 2 3 222 , en donde ( ){ }1,, 222 =++= zyxzyxE Solución: ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( )1 3 4 2 3 12 3 12 cos 3 1 3 1 1 3 1 3 1 2 0 0 2 00 2 00 2 0 0 2 0 1 0 0 2 2 0 1 0 332 3 222 −=⋅ − = − = − − = − =−= == ∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫∫ ++ e e d e d e ddsen e ddsene ddsenedddsenedVe E zyx π πθ θϕϕθϕϕθϕ ϕθϕϕθρϕρ π πππ ππ π π π ρ π π ρ Ejemplo 4 en coordenadas esféricas: Encuentre el volumen del sólido sobre el cono 22 yxz += y debajo de la esfera zzyx =++ 222 Solución: Completando el cuadrado la ecuación de la esfera es: 22 22 2 1 2 1       =      −++ zyx y en coordenadas esféricas es: ϕρρ cos2 = , o simplificada: ϕρ cos= . Entonces: ( )[ ] 8 21 4 1 12 1 0cos4cos 12 1 4 cos 3 1 cos 3 1 3 2 0 4 4 0 2 0 4 4 0 2 0 34 0 2 0 cos 0 3 4 0 2 0 cos 0 22 π πθπθ φ φθϕϕφθϕ ρ φθρϕρφθρϕρ π π π π ππ π ϕ π π ϕ =      − − =− − =     − = =      = === ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ dd ddsenddsen dddsendddsendVV
  3. 3. 102 Diferencial de volumen en coordenadas esféricas: Para la próxima clase estudiar las secciones 15.8 Integrales Triples en Coordenadas Cilíndricas y Esféricas 16.1 Campos Vectoriales Tarea para entregar la próxima clase Tarea No. 23 Integrales Triples en Coordenadas Cilíndricas y Esféricas ρd θϕρ dsen ϕρ d ( )( )( ) ϕθρϕρ θϕρϕρρ dddsendV dsendddV 2 = =
  4. 4. 103 Ma-817 : MATEMÁTICAS III PARA INGENIERIA Tarea No 23 : Integrales Triples en Coordenadas Cilíndricas y Esféricas (Sección 15.8 del Stewart 5ª Edición) En los problemas 1 y 2 evalúe la integral triple en coordenadas cilíndricas: P1: Evalúe ∫∫∫E dVy en donde E es el sólido que está entre los cilindros 4,1 2222 =+=+ yxyx , arriba del plano xy, y abajo del plano 2+= xz 0:1R P2: Evalúe ∫∫∫E dVx2 en donde E es el sólido que está dentro del cilindro 122 =+ yx , arriba del plano 0=z , y abajo del cono 222 44 yxz += 5 2 :2 π R En los problemas 3 y 4 evalúe la integral triple en coordenadas esféricas: P3: Evalúe ∫∫∫E dVz , donde E está entre las esferas 4,1 222222 =++=++ zyxzyx en el primer octante. 16 15 :3 π R P4: Calcule el volumen del sólido que está sobre el cono 3πφ = y debajo de la esfera φρ cos4= π10:4R P5: Transforme a coordenadas cilíndricas y evalúe la integral: ( )∫ ∫ ∫− − −− −− + + 1 1 1 1 2 2322 2 2 22 22 dxdydzyx x x yx yx 35 8 :5 π R P6: Transforme a coordenadas esféricas y evalúe la integral: ∫ ∫ ∫− − −− −− ++ 3 3 9 9 9 0 222 2 2 22 x x yx dxdydzzyxz 5 243 :6 π R

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