El documento define las raíces y explica sus propiedades fundamentales. Las raíces son expresiones que constan de un índice, el símbolo de raíz y un subradical. Se explican las raíces cuadradas, cúbicas y de otros grados, así como propiedades como que el índice es igual al exponente del subradical, la multiplicación y división de raíces del mismo índice, tomar raíces de raíces y descomponer raíces.

1. RAICES
¿Qué es una Raíz?
La Definición de Raíz como Potencia
Raíz Cuadrada
Raíz Cúbica
El Indice Igual al Exponente
Multiplicación de Raíces de Igual Indice
División de Raíces de Igual Indice
Raíz de una Raíz.
Descomponer una Raíz
Racionalización
Condiciones de Existencia para las Raíces de Indice Par
Condiciones de Existencia para las Raíces de Indice Impar
Ecuaciones Irracionales
Curiosidades
Lugares en donde buscar más Información
H.L.M.

2. ¿Qué es una Raíz?
Una Raíz es una expresión que consta de un
INDICE, un símbolo de raíz y un SUBRADICAL.
¿Indice, raíz, cantidad subradical?
Símbolo Cantidad
Indice de Raíz Subradical
4 4
2
8
(-5,3)
4 2
 
5

3. Elementos de una Raíz
Exponente del
INDICE Subradical
n
m
a
Símbolo
de Raíz SUBRADICAL

4. ¿Qué significa la Raíz?
Una Raíz es una Potencia con Exponente Fracción.
Raíz = Potencia
3
5
_ _
4 2
2 =
5
2
4
2
= (-0,6)
3
_
3 2
Ojo: El Indice 2
(-5,3) = (-5,3) no se escribe.
7
_
_
 4 7 = 2
=  
6
6  
5 7

5. Transforma las siguientes raíces a Potencia
3 2
2
1
4  4
3
2 5 5 3
4 4 2
   
3    
3 7 7 3 3
73  7 2 1 5
1 3
5 5 3
m5  m 2
3 3 2 4 n
 
5 5
3
7 74 3 m
dn  d m
Transforma las siguientes Potencia a Raíces
9 1
9
1
 2 2
2  76  7 7 6
6  6
2       3  
 5 
7  3
5 5   5
5 2 c
 0,3 2  0,3 5
4  3 3
42 a  b b
a c

6. En General
a b
_
b= a
n n a≥2
Importante:
b b
a
0 =0 a
1 = 1
Lectura de una Raíz.
5
-Indice 2, Raíz Cuadrada. Ej. 6
3 7
-Indice 3, Raíz Cúbica. Ej. 6
4 7
-Indice 4, Raíz Cuarta. Ej. 6

7. Raíz Cuadrada
42 ya que 22  4
9 3 ya que 3 3  9
16  4 ya que 4  4  16
25  5 ya que 5 5  25
2  1,4142135623 7309504880 16887242 ...
Pero es solo una aproximación decimal de la
Raíz, que no es exacta. Por lo que la mejor
forma de representar a 2 es como 2 .
Esto sucede con muchas raíces cuadradas que
no entregan un resultado exacto

8. Raíz Cúbica
3
8 2 ya que 222  8
3
27  3 ya que 3  3  3  27
3
64  4 ya que 4  4  4  64
3
125  5 ya que 5  5  5  125
3
3  1,4422495703 0740838232 1638310779 6...
Pero, al igual que el anterior es solo una aproximación
decimal de la Raíz, que no es exacta. Por lo que la mejor
forma de representar a 3 3 es como 3 3 .
Esto sucede con muchas raíces Cúbicas que
no entregan un resultado exacto.

9. 1 - Propiedad:
El Indice Igual al Exponente.
3
_
7
Sabiendo que: 23 = 2
7
¿Cuál será el resultado de?
5
_
5 5 5 1
2 = 2 = 2 =2
a a
_
a=
En General: n n =na

10. 2 - Propiedad:
Multiplicación de Raíces de Igual Indice.
3
_
7
Sabiendo que: 2 = 2
3 7
¿Cuál será el resultado de?
9
2 •
7
57 = 29• 5
9
_ 7
_ 1
_ 1
_ 1
_
2 2 9 7 2 9 7
2 • 5 = (2 ) • (5 ) = (2 • 5 )
2 2
y
En General:
a x a
n • m =
y a
n •mx

11. 2 - Propiedad:
Multiplicación de Raíces de Igual Indice.
Resuelve usando la Propiedad de Potencia:
a) 3
6  3 36  6 f)   1,2    1,2 5  1,2 3
24 3  22 4
b) 8 2  4 g) 3  5 
3 3

9
c) 3 3 9 3 h)
3   3
m5  3 m 4  m3
4 16 4
d) 3 5  3  3 6  5  3 30  15 i) n  n 
7 5
n6
e) 3  4  2  9  6
3 3 3 3 j) a 3n  3 b 2 n  a 5 n  3 b 7 n  a 2 nb3n

12. 3 - Propiedad:
División de Raíces de Igual Indice.
3
_
7
Sabiendo que: 2 = 2
3 7
¿Cuál será el resultado de?
5
7 ÷ 57 = 75÷ 5
7
5
_ 7
_ 1
_ 1
_ 1
_
2 2 5 7 2 5 7
7 ÷ 5 = ( 7 ) ÷ (5 ) = (7 ÷ 5 )
2 2
y
En General:
a x a
n÷ m = y a x
n ÷m

13. 3 - Propiedad:
División de Raíces de Igual Indice.
Resuelve usando la Propiedad de Potencia:
8 0,08
a)  4 e)  0,2
2 0,02
3 4
b) 81  3 f) 3
256 3 4
 
3
3 3 81 3
3
5 7 3
m5  3 n8
c)  5 g)  mn 3
3
5 4 3
m2  3 n2
a
d) 81  2  3 d 4 3 a5
3
h) b
 3  
3
3 8 2 3
a 2 b d 6
b

14. 4 - Propiedad:
Raíz de una Raíz.
3
_ 2 3 6
Sabiendo que:
7
2 = 2
3 7
y (3 ) 3 =
¿Cuál será el resultado de?
75 = 4
7 5 3
75 = 6
75
5 1
_ _ 5 1
_ _ 5
_ 5 1
_ _ 5 1
_ _ 5
_
(7 )2 2 • (7 )3 2 •
= 7
2 2 4 3 2 6
= 7 = 7 = 7
b a n
En General: m n
= b•a
m

15. 4 - Propiedad:
Raíz de una Raíz.
Resuelve usando la Propiedad de Potencia:
2 4
a) 16  2 d) mn  mn
8 4
e) x12 x2
b) 3
7  7
6
3
6

y y
c) 3 4
5  12 5 3
x 24
f)  x2
3 3
x18

16. Descomponer una Raíz
Sabiendo que: mn  m  n
Resolver lo siguiente
50x 7
 32x 7

25  2  x  x 6  16  2  x  x 6 
25  2  x  x 6  16  2 x  x 6 
5 2  x  x3  4  2  x x 
3
3
5x 2x  4 x 3 2 x  Son términos semejantes
3
9x 2x

17. Descomponer una Raíz
Otro ejemplo
45  20  80  125
 95  45  4 45  5 25
 9 5  4 5  4  4  5  5  25
 3 5  2 5  22 5  5 5
 3 5  2 5  4 5  5 5
Son términos semejantes
4 5

18. Racionalización
Racionalizar es amplificar una fracción donde el
denominador presenta una Raíz, con el fin de
que ésta no aparezca.
Ejemplos:
1 2 a n 3
9n
  a 
2 2 a 3 3
3n 2 3
¿Qué es lo que hay que saber?
7 4 28 n
Amplificar:   Propiedad de Raíces: n
x x
n n
x
2 4 8
Multiplicar Raíces 2  8  2  8  16  4
Raíz como Potencia
Potencias
x3  x5  x3  x 5  x8  x 4

19. p
Racionalizar Raíces Cuadradas Simples de la Forma
q a
1) 7 7 3 7 3 7 3 7 3
    
3 3 3 3 3 32 3
n n x n x n x n x
2)     
m x m x x m xx m x 2 mx
3)
2 5

2  5   7

2  5  7

2 7  5 7

2 7  35
7 7 7 77 72 7
7 7 7 7 n 7 n 7 n
4)      2  3 
n 5
nn4 1
n 4
n n2 n n nn n
p p a p a p a p a
En General     
q a q a a q aa q a 2 qa

20. Racionaliza las siguientes Expresiones
7 7 7 7
i)   v)  
11 11 49 49
15ax 15ax ab
ii)   vi) 
2 5a 2 5a b a
40a 2b 40a 2b 8 2
iii)   vii) 
10a 10a 2
a a a a y xx y
iv)   viii) 
a3 a3 xy xy

21. p
Racionalizar Raíces Cuadradas de la Forma
q  n ak
1) 7 7 3 42 73 4 73 4 7 4 4
3    
3
4 4 4
3 2 3
44 2 3
4 3 4
n x n4 x n n  4 x n4 x
4
2)  4   
m4 x3 m  4 x3 x m  4 x3 x m  4 x 4 mx
3)
3
a a

 3
a a  3

a 3 a  a  3 a 3 a2  a  3 a
 

3
a  a3 a
3
a2 33 a 2
3
a 3 2
3 a a 3
3 a 3
3a
7 7 7 7 7
3
42
4)    2 3  2  .....
3
4 7 3
4 4
6 3
4  4 4  4 4  4 3 42
6 3 3
p p n
a nk p  n a nk p  n a nk p  n a nk
En General     
q a
n k
q a
n k n
a nk
q a a
n k nk
q  n an qa

22. Racionaliza las siguientes Expresiones
7 7 7 7
i) 3  v) 3
3 
3
11 11 49 49
15ax 15ax ab
ii)   vi) 
3 5
23 5a 2 2 3 5a 2 b a
40a b 2
40a b2 4
211  4 2 7
iii)   vii) 
4 3
3
10 2 a 3
10 2 a 2
ab a 3
ab a 3
3
x  7 x2 y6
iv)   viii) 
9 6
3
a 2b 3
a 2b
7
x y

23. Condiciones de Existencia de Raíces Cuadradas
e Indice Par
Como, por ejemplo, 4 2 ya que 22  4
y así para todas las Raíces Cuadradas
de Números Positivos
entonces
NO SE PUEDE OBTENER LA RAÍZ
CUADRADA DE NÚMEROS
NEGATIVOS
Es decir: En General, Esta condición es propia
de todas las Raíces de INDICE PAR.
4 No Existe
 0,2 No Existe
4  0,12 No Existe
25 25
 No Existe 8  No Existe
36 36

24. Condiciones de Existencia de Raíces Cúbicas e
Indice Impar
Las Raíces que tienen INDICE IMPAR
NO tienen restricción
Es decir:
3
 8  2 ya que  2  2  2   8
3
 27  3 ya que  3  3  3   27
8 2 2 2 2 8
3   ya que     
27 3 3 3 3 27
7
 128  2 ya que  2  2  2  2  2  2  2   128

25. Ecuaciones con Irracionales.
Una Ecuación Irracional es determinar el valor de
la incógnita que se encuentra bajo raíces.
Ejemplo de Ecuaciones Irracionales:
Para resolverlas hay que seguir
x3  7 dos pasos muy sencillos:
ii) Si hay más de una raíz, se
debe aislar en uno de los lados
x  3  1  2x de la ecuación.
iii) Elevar al cuadrado ambos lados
x  3  4  x  7 3x  1 de la ecuación.
3
2 x  1  5  7 3x  1

26. Ejemplo de Resolución de Ecuaciones Irracionales:
2x  4  6 Evitamos el paso i) ya que la raíz ya esta aislada
en uno de los dos lados de la ecuación.
2
2x  4  6 / Aplicamos el paso ii) anterior. Elevar ambos
lados de la igualdad a 2.
 2x  4  6 2 2 El elevar la raíz a 2, provoca que el Indice y
el exponente se simplifiquen.
2 x  4  36
Se resuelve como una ecuación de primer
grado con una incógnita.
x  20 OJO. En estricto rigor la solución de la
ecuación debe estar en el siguiente

conjunto: 2,   

27. Ejemplo de Resolución de Ecuaciones Irracionales:
Paso i) Aislar una de las raíces en uno de los dos
x 8  3 x 1 lados de la ecuación.
2
x  8  1 3  x / Aplicamos el paso ii) anterior. Elevar ambos
lados de la igualdad a 2.
  
2
x  8  1 3  x  2
El elevar la raíz a 2, provoca que el Indice y
el exponente se simplifiquen y en el otro
lado de la igualdad tengamos que realizar el
x  8  1 2 3  x  3  x cuadrado de un binomio.
2
4  2 3 x / Debemos volver al paso i), raíz aislada y
elevamos al cuadrado ambos lados de la

4  2 3 x
2
 2
igualdad.
16  4 3  x  Aquí en adelante la Ecuación Irracional se
transforma en una Ecuación de Primer Grado
con una Incógnita
16  12  4 x
1 x

28. Curiosidades 2) Algoritmo para determinar una raíz.
1) 1
2  1
1
2
1
2
1
2
2  ...

29. Links
http://www.euroresidentes.com/colegio/matematicas/races_cuadradas.htm
http://www.sectormatematica.cl/contenidos.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_cuadrada
http://www.mamutmatematicas.com/ejercicios/raices-cuadradas.php
http://clic.xtec.es/db/act_es.jsp?id=1327

30. RAICES
Harold Leiva Miranda
Harold.leiva@sekmail.com
Colegio Sek – Pacífico