1. INTERVALOS REAIS

2. INTERVALOS REAIS
 Considere os conjuntos A = {x  ℤ /–3 ≤ x < 2} e
B = {x  ℝ /–3 ≤ x < 2}. É verdade que A = B?
 O conjunto A tem apenas os elementos –3, –2, –1, 0 e
1, enquanto o conjunto B tem infinitos elementos,
dentre os quais estão os elementos de A, logo A e B
não são iguais.
 O conjunto B pode ter seus elementos representados
na reta real, delimitando-se uma parte dessa reta.
veja
–3 2
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3. INTERVALOS REAIS
 Muitas vezes trabalhamos com determinados
subconjuntos de ℝ (partes da reta), denominados
intervalos reais. Em geral eles são definidos por
desigualdades.
 Suponhamos dois números reais a e b tais que a < b.
Os subconjuntos de ℝ definidos a seguir são chamados
de intervalos reais de extremos a e b.
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4. INTERVALOS REAIS – LIMITADOS
 Intervalo fechado a, b.
 Representações: [a, b] = {x  ℝ /a ≤ x ≤ b}
Na reta real:
a b
 Intervalo aberto a, b.
 Representações: ]a, b[ = {x  ℝ /a < x < b}
Na reta real:
a b
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5. INTERVALOS REAIS – LIMITADOS
 Intervalo fechado em a e aberto em b.
 Representações: [a, b[ = {x  ℝ /a ≤ x < b}
Na reta real:
a b
 Intervalo aberto em a e fechado em b.
 Representações: ]a, b] = {x  ℝ /a < x ≤ b}
Na reta real:
a b
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6. OBSERVAÇÃO
 Observe que cada intervalo inclui todos os reais
entre a e b; para os extremos a e b, temos:
 Inclui os extremos  fechado  bolinha cheia (•) 
colchetes normais [ ].
 Não inclui os extremos  aberto  bolinha vazia (o)
 colchetes invertidos ] [.
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7. INTERVALOS REAIS – ILIMITADOS
 Intervalo de a fechado até +.
 Representações: [a, +[ = {x  ℝ / x ≥ a}
Na reta real:
a
 Intervalo de a aberto até +.
 Representações: ]a, +[ = {x  ℝ /x > a}
Na reta real:
a
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8. INTERVALOS REAIS – ILIMITADOS
 Intervalo de – até a fechado.
 Representações: ]–, a] = {x  ℝ / x ≤ a}
Na reta real:
a
 Intervalo de – até a aberto.
 Representações: ]–, a[ = {x  ℝ /x < a}
Na reta real:
a
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9. EXEMPLOS
 Vamos analisar, em detalhes, o intervalo real
A = [–3, 5[.
 Temos um intervalo fechado em –3 e aberto em 5;
 Representa todos os reais entre –3 e 5, incluindo o
extremo -3, porém o extremo 5 não faz parte do
intervalo.
A = {x  ℝ / –3 ≤ x < 5}
–3 5
Note, por exemplo, que: –3  A; 0  A; 3  A
4,99  A; 5  A
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10. EXEMPLOS
 Vamos analisar, agora, o intervalo B,
representado na reta real.
2
 temos um intervalo aberto de 2 a +;
 estão indicados todos os reais maiores que 2;
 o extremo 2 não faz parte do intervalo.
B = {x  ℝ / x > 2}
Note que: 0  B; 1  B; 1,9  B; 2  B; 2,001  B;
10000000  B; 1035  B
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11. OPERAÇÕES COM
INTERVALOS REAIS

12. OPERANDO COM INTERVALOS REAIS
 Podemos efetuar, com intervalos, as operações
usuais com conjuntos.
 A  B  A interseção B: conjunto dos elementos comuns
a A e B;
 A  B  A união B: conjunto dos elementos que
pertencem a pelo menos um dos conjuntos A ou B;
 A – B  A menos B: conjunto dos elementos que
pertencem a A e não pertencem a B.
 Na prática, operações que envolvem intervalos são
efetuadas a partir da representação na reta real.
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13. EXEMPLO
 Dado os intervalos A = ]–2, 6] e B = ]3, +[,
obter A  B, A  B e A – B.
 Cálculo de A  B.
A = ]–2, 6]
–2 6
B = ]3,+[
3
A ⋂ B = ]3, 6]
3 6
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14.  Cálculo de A  B .
A = ]–2, 6]
–2 6
B = ]3,+[
3
A  B = ]–2, +[
–2
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15.  Cálculo de A – B.
A = ]–2, 6]
–2 6
B = ]3,+[
3
A – B = ]–2, 3]
–2 3
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