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LOGARITMO                       loga b = x
                                                                                                            x
O estudo e conhecimento de logaritmos nos são muito importantes e                   2) Log3 9 = x           3 =9          x=2       2 é o logaritmo de 9 na base 3
necessários em matemática financeira, principalmente para o cálculo do
                                                                                                                x
“n” – período, prazo.                                                               3) Log2 8 = x           2 =8           x=3      3 é o logaritmo de 8 na base 2

É certo que as máquinas financeiras realizam o cálculo do termo “n” de                                          x
                                                                                    4) Log2 16 = x          2 = 16        x=4      4 é o logaritmo de 16 na base 2
forma direta, porém, ao efetuarmos cálculos utilizando de formulário, o
recurso e a forma de fazermos são através do uso de logaritmos.
                                                                              Exercícios resolvidos:
Assim, vamos procurar desmistificar este verdadeiro tabu que envolve o
assunto. Vejam a singeleza do cálculo através deste breve texto:                    1) Calcular o logaritmo de 25 na base 5.

Se alguém nos perguntasse qual é o expoente que devemos impor ao                       Log5 25 = x
número 10 para obter 100, a resposta seria 2!  10x = 100 (fácil, não?).              Observação: Quando apresentamos um logaritmo usamos por
Pois é, quando perguntamos qual é o logaritmo de 100 na base 10               convenção a notação acima, onde a base “a” (5) aparece abaixo do
estamos fazendo exatamente a mesma pergunta. Assim, 2 é o expoente            número “N” (25).
que devemos impor a base 10 para obter 100 e 2 é também o logaritmo
de 100 na base 10.                                                            Acompanhe:

                                                      x
                                                                              “x” é o expoente que devemos dar a “5” para obter 25.
uma base “a” para obter esse número “N”.            a =n
                                                                                                        x
                                                                              Log5 25 = x           5 = 25                       Fatoramos o número 25

                                                                               25     5       log5 25 = x                  2 é o log de 25 na base 5
Exemplos:                                                                       5     5             x
                                                                                                5 = 25
                            x
    1) Log10 1000 = x     10 = 1000     x=3       3 é o logaritmo de 1000      1      52        5 =5
                                                                                                    x       2       x=2
       na base 10



                                                     José Wammes, Toledo, Paraná, 20100215
                                              1
2) Calcular o logaritmo de 81 na base 3.                                     1) Log10 10000 = x

                      x
Log3 81 = x        3 = 81                 Fatoramos o número 81

81        3      log3 81 =x         4 é o log de 81 na base 3

27        3       x
                 3 = 81

    9     3       x       4   x=4                                                                         x= 4
                 3 =3

    3     3                                                                          2) Log5 125 = x

    1     34



        3) Calcular o logaritmo de 64 na base 4.

                      x                                                                                   x=3
Log4 64 = x        4 = 64                 Fatoramos o número 64

64        4      log4 64 =x          3 é o log de 64 na base 4                       3) Log6 36 = x

16        4       x
                 4 = 64

4         4       x       3   x=3
                 4 =4

1         43



                                                                                                          x=2

EXERCÍCIOS PROPOSTOS:                                                                4) Log3 81 = x


                                                        José Wammes, Toledo, Paraná, 20100215
                                                   2
b) log3 (9)2             2 log3 9     Onde a = 3 N = 9 m= 2

                                                                                   c) log2 (4)2             2 log2 4     Onde a =2 N = 4 m = 2

                                                                               Observe que o expoente 2 que aparece nos três exemplos acima passa a
                                                                               ser apenas um multiplicador, transformando, assim, uma operação de
                                                                  x=4          exponenciação, que em algumas situações pode ser complexa, em uma
                                                                               singela operação de multiplicação, facilitando e agilizando enormemente
    5) Log2 64 = x
                                                                               os cálculos.

                                                                               A sua aplicação prática (da propriedade acima) dá-se sempre que
                                                                               tivermos a incógnita “x” no expoente.

                                                                               Exemplo:

                                                                                          x                               x                        x
                                                                                   1) 2 = 3 Quando afirmamos que 2 = 3 é porque a grandeza 2 é
                                                                                      igual a 3. Portanto:
                                                                  x=6
                                                                                    x
                                                                               log 2 = log 3 . Pela propriedade anunciada acima, podemos transformar a
Apresentado o conceito de logaritmo, podemos iniciar a sua utilização
                                                                               equação em:
prática principal, que é o de nos auxiliar na resolução de situações onde a
incógnita aparece no expoente, o que nos é possível graças a uma das           x log 2 = log 3 Resolvendo, isolando “x”, temos:
propriedades operatórias dos logaritmos, abaixo:
                                                                               x = log 3 / log 2
                         m
                    Loga N = m Loga N
                                                                               x = 0, 47712 / 0, 30103

                                                                               x= 1, 58496     (Utilizamos log base10      log10 )
Calma!!! Não nos preocupemos com a expressão. É de fácil
entendimento. Vamos a um exemplo numérico para a sua compreensão.              21,58496 = 3        3=3
                    2
    a) log10 (10)            2 log10 10   Onde a = 10 N = 10 m= 2              EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO:

                                                      José Wammes, Toledo, Paraná, 20100215
                                               3
x                                                                 x
  1) Calcular “x” para 7 = 3                                       4) Calcular “x” para 5 = 2




                                      x=0,56458


                       x
  2) Calcular “x” para 4 = 9                                                                        x= 0,430677

                                                                                             x
                                                                   5) Calcular “x” para 1,7 = 4




                                              x=
1,58496
                                                                                                        x=
                           x
  3) Calcular “x” para 15 = 0,1                                 2,61255

                                                                                             x
                                                                   6) Calcular “x” para 1,4 = 0,3




                                           x= -0,85027



                                      José Wammes, Toledo, Paraná, 20100215
                                  4
x= -      i = taxa de juros (i)
 3,57822

Concluindo, sempre que nos depararmos com a incógnita no expoente,
                                                                             Graficamente, temos:                                                  FV
usaremos, para o cálculo, logaritmo. Em matemática financeira, essa
incógnita será sempre o prazo, “n”, (número de períodos de uma               0
capitalização, anuidade, prazo).
                                                                             PV                                                                    n; i
Logaritmo, na verdade, tem uma utilização muito grande em vários ramos
das ciências exatas. Para nós, no entanto, vamos explorar o seu potencial    Após a introdução inicial, visando basicamente o atendimento à disciplina
em matemática financeira, notadamente para prazo “n”.                        de matemática financeira, faz-se necessário conhecermos as propriedades
                                                                             gerais e operatórias para fácil entendimento e práticas de cálculo.
Assim, temos:
                                                                             Antes, no entanto, um pouco da origem de logaritmo.
              n
M = P( 1 + i )
                                                                             A invenção dos logaritmos: (fonte: Bongiovann/Vissoto/Laureano.
                  n                                                          Matemática e Vida. 2º. Grau. Volume I. 6ª. edição. Editora Ática. 1998.
M / P = (1 + i )
                                                                             São Paulo)
                           n
Log M / P = Log (1 + i )
                                                                             Na passagem da Idade Média para a Idade Moderna (séculos XIV a XVI),
                                                                             os países da Europa Ocidental sofreram profundas transformações.
Log M / P = n Log (1 + i )
                                                                             Acompanhando essas mudanças econômicas, políticas e sociais, ocorreu
n =[ Log (M / P)] / [ Log (1 + i )]                                          também um extraordinário desenvolvimento da arte, da cultura e das
                                                                             ciências.
Onde:
                                                                             Essa revolução cultural ficou conhecida como Renascimento. Foi a época
M = Montante, valor futuro (FV)                                              em que as grandes navegações ampliaram os limites do mundo.
P = Valor presente (PV)                                                      O desenvolvimento da navegação e da astronomia trouxe consigo cálculos
n = prazo, período (n)                                                       aritméticos longos e trabalhosos. Cada vez mais havia necessidade de



                                                    José Wammes, Toledo, Paraná, 20100215
                                              5
descobrir um processo que permitisse simplificar esses cálculos. Muitos      dois métodos são os mais difundidos e utilizados, até pela facilidade de
matemáticos passaram a ocupar-se com esse problema.                          entendimento e de cálculo.

A solução foi encontrada, ao mesmo tempo, por dois estudiosos.               Atualmente, embora as tábuas de logaritmos já não sejam tão usadas
                                                                             como instrumento de cálculo, os logaritmos continuam sendo de grande
Jost Bürgi (1552 – 1632), relojoeiro, matemático e inventor suíço, e John    importância em várias áreas do conhecimento humano.
Neper(Napier).
                                                                             O termo logaritmo foi empregado pela primeira vez por Neper e se
Bürgi, em 1620, e Neper, em 1614, publicaram as primeiras tabelas de         originou da composição das palavras gregas logos (razão) e arithmos
logaritmos, que permitiram a simplificação de cálculos aritméticos           (números).
complicados.
                                                                             Vejamos, então, algumas propriedades operatórias de logaritmos.
Logo após a publicação de sua primeira tabela, Neper, juntamente com o
matemático inglês Henry Briggs, elaborou uma nova tábua, mais fácil de       Vamos considerar um número “a”, positivo e diferente de 1, (“a” > 0 e ≠ 1)
ser utilizada, contendo os chamados logaritmos decimais.                     e um número “b”, positivo (“b” > 0).      Esta é uma condição para o
                                                                             cálculo de logaritmos.
Logaritmo decimal (log10)
                                                                              Definimos logaritmo de “b” na base “a” ao expoente “x” que se deve
O seu idealizador, Henry Briggs, de nacionalidade inglesa, nasceu em 1561
                                                                              dar à base “a” de modo que a potência obtida seja igual a “b”.
e faleceu em 1631. Este sistema de cálculo é conhecido como logaritmos
decimais, vulgares ou de Briggs, em homenagem ao seu inventor.               Simbolicamente, temos:

Logaritmo neperiano (ln)                                                                                        x
                                                                                             Loga b = x        a =b
John Neper (Napier), barão de Merchiston, teólogo, nasceu na Escócia em
1550, vindo a falecer em 1617. Foi o idealizador de outro método de          Diz-se ainda:
cálculo. Este sistema de cálculo é conhecido como logaritmos naturais
                                                                                             “b” é o logaritmando ou antilogarítmo
(e= 2,718281828...) ou neperianos, em homenagem ao seu inventor.
                                                                                             “a” é a base do logaritmo
Para que não pensemos que há somente dois métodos ou sistemas de
cálculo de logaritmos, existem, na verdade, inúmeros. Apenas, que estes                      “x” é o logaritmo de “b” na base “a”


                                                    José Wammes, Toledo, Paraná, 20100215
                                              6
m
                                                                                 Loga b =             m . Loga b

                                                                                      n
                                                                                 Loga √ b =           ( Loga b) / n
Exemplos:
                                                                                Verificando as propriedades
                                        3
   1) Log2 8 = 3                   pois 2 = 8
                                            2
                                                                                    a) Loga 1 = 0       a0 = 1       Qualquer número elevado a zero é
   2) Log10 100 =2                 pois 10 = 100                                       um.        O logaritmo de 1 é zero.
                                        -3
   3) Log2 1/8 = -3                pois 2 = 1/8
                                                                                    b) Loga a = 1      a1 = a             Qualquer numero elevado a unidade
   4) Log3 3 = 1
                                        1
                                   pois 3 = 3                                          (1) é ele mesmo, “a”.              O logaritmo da própria base é 1.

                                                                                                  m                                 m     4
   5) Log2 1 = 0
                                        0
                                   pois 2 = 1                                       c) Loga a = m         log 2 24 = m     2 =2 m=4                      O
                                                                                       logaritmo de uma potência da base é o expoente.
PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS

Loga 1 = 0              O logaritmo de 1 é zero.
                                                                                Verificando as propriedades operatórias

Loga a = 1              O logaritmo da própria base é 1.
                                                                                     a) Loga (b . c) =    Loga b + Loga c       O logaritmo do produto
       m                                                                                (b.c) é igual a soma dos logaritmos dos fatores “b” e “c”.
Loga a = m              O logaritmo de uma potência da         base é o
expoente.                                                                       log2 (32 . 128)              log2 32 + log2 128    log2 25 + log2 27

PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS                                                                      5 + 7 = 12

Loga (b . c) =   Loga b + Loga c                                                     b) Loga b ÷ c =  Loga b – Loga c        O logaritmo do quociente
                                                                                        b ÷ c é igual a diferença entre o logaritmo do dividendo
Loga b ÷ c =     Loga b – Loga c                                                        (numerador) “b” e o logaritmo do divisor (denominador) “c”.

                                                                                Log2 (512 ÷ 64)              log2 512 – log2 64    log2 29 – log2 26

                                                       José Wammes, Toledo, Paraná, 20100215
                                                   7
9–6=3                                                    Log15 5 = 0,59432

     c) Loga b =
                  m
                      m . Loga b          O logaritmo de uma                        ESQUEMA DE RESOLUÇÃO
        potência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da
                                                                                                                    x
        base .                                                                             Loga N = x             a =N

log25 53          3 . log25 5     a) 25x = 5        (52)x = 5        52x =51        Exemplo:

                  2x = 1          x= 1÷2            b) 3 . 1÷2       3 ÷2               a) Log10 100 = x
                                                                                                                        x
                                                                                                                  10 = 100
                                                                                                                                              x
                                                                                                                                          10 = 10
                                                                                                                                                    2


              n
    d) Loga √ b = ( loga b) ÷ n               O logaritmo de uma raiz é                    x= 2
       igual ao logaritmo do radicando, dividido pelo índice da raiz.
                                                                                                                        2
                                                                                        b) Log10 N = 2            10 = N                  100 = N
Log10 √10000               log10 100                log = 2
                                                                                           N = 100
Log10 √10000               log10 10000 ÷ 2          4÷2                                                             2
                                                                                        c) Loga 100 = 2           a = 100                 a= √100
Log = 2
                                                                                           a = 10
MUDANÇA DE BASE
                                                                                    CALCULAR O LOGARITMO DADO UM LOGARITMO DE
Loga b = logc b ÷ logc a   O logaritmo de “b” na base “a” é igual ao                UM NÚMERO QUALQUER
logaritmo de “b” na nova base “c”, dividido pelo logaritmo de “a”
também na base “c”.                                                                 Nesses casos, tem-se que “trabalhar” o número (logaritmando) dado para
                                                                                    o cálculo do logaritmo. Requer um pouco de atenção e cuidado às
Normalmente, as máquinas calculadoras científicas têm a capacidade de               propriedades.
calcular logaritmos na base 10. Digamos que você quer, por exemplo,
calcular log15 5. É só mudar a base do logaritmo para a base 10 da                  Exemplos:
máquina:
                                                                                        a) Dado o log 2 igual a 0,301030 pede-se o log 125.
Log15 5 = log10 5 ÷ log10 15           0,69897 ÷ 1,17609         0,59432

                                                           José Wammes, Toledo, Paraná, 20100215
                                                   8
Resolução: Como posso escrever o número 125?              53

Log 125 = log 53                   3 log 5          3 log 10 ÷ log 2                EXERCÍCIOS

3 (log 10 – log 2)                 3(1 – 0,301030)          3(0,698970)                1) Log2 16 = x
                                                                                                  Resp. = 4
Log 125 = 2,096931
                                                                                       2) Log3 9 = x
    b) Dado o log 2 igual a 0,301030 e log 7 igual a 0,845 pede-se                                Resp. = 2
       calcular o log de 28.
                                                                                       3) Log1/2 1/4 = x
Resolução: Como posso escrever o número 28, considerando os números                               Resp. = 2
2 e 7?       28 = 22 . 7 Logo:
                                                                                       4) Log4 1/2 = x
               2
Log 28 = log (2 . 7)           2
                           log 2 + log 7            2 log 2 + log 7                              Resp. = - 1/2

2 (0,301030) + 0,845               0,602060 + 0,845                                    5) Log1/4 16 = x
                                                                                                  Resp. = - 2
Log 28 = 1,447060
                                                                                       6) Loga 7 = 1
    c) Dado o log 2 igual a 0,301030 pede-se o log 5.                                             Resp. a = 7

Resolução: Como posso escrever o número 5, partindo de 2?                              7) Loga 4 = 2
                                                                                                  Resp. a = 2
10 ÷ 2 = 5         Logo:   log 10 ÷ log 2 = log 5
                                                                                       8) Loga 9 = -2
Log 10 – log 2 = log 5
                                                                                                  Resp. a = 1/3
1 – 0,301030 = log 5
                                                                                       9) Log2 (8 . 16) = x
Log 5 = 0,698970                                                                                   Resp. Log2 8 + Log2 16   x=7




                                                          José Wammes, Toledo, Paraná, 20100215
                                                    9
10) Log2 4/32 = x
              Resp. Log2 4 – Log2 32   x = -3
          4
11) Log2 2 = x                                                           LOGARITMO COM O USO DA CALCULADORA HP 12C
           Resp. = 4
                                                                         A calculadora HP 12C tem recursos para cálculos de logaritmos. No
12) Log3 27 = x                                                          entanto, o faz apenas com base natural, neperiano. Caso queiramos o
          Resp. = 3                                                      logaritmo em outra base, normalmente decimal, 10, precisamos de um
                                                                         pequeno ajuste – mudança de base.
13) Log1/3 27 = x
            Resp. = -3                                                   Vejamos alguns exemplos:

                                                                             1) Neperiano ou natural - ln
14) Loga 8 = 1
            Resp. a = 8                                                      a) Ln 100           100 g ln              4,605170

15) Loga 16 = 4                                                              b) Ln 150           150 g ln              5,010635
            Resp. a = 2
                                                                             c) Ln 1000                     1000 g ln           6,907755 . . .
16) Log3 9/81 = x                                                            2) Decimal ou base 10 – log
           Resp. = - 2
                                                                             a) Log 100                     100 g ln            10 g ln ÷        2,000000
          2
17) Log3 3 = x
           Resp. = 2                                                         b) Log 150                     150 g ln            10 g ln ÷        2,176091

                                                                             c) Log 1000         1000 g ln             10 g ln ÷        3,000000 . . .
18) Logx 100 = -2
           Resp. = 1/10                                                      3)           Base qualquer que não as anteriores

19) Log10 1 = x                                                              a) Log2 100         100 g ln              2 g ln   ÷       6,643856
           Resp. = 0
                                                                             b) Log25 150        150 g ln              25 g ln ÷        1,556641
20) Log2x 36 = 2
                                                                             c) Log7 1000        1000 g ln             7 g ln   ÷       3,549884 . . .
           Resp. x = 3

                                                José Wammes, Toledo, Paraná, 20100215
                                        10
José Wammes, Toledo, Paraná, 20100215
11

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000004 logaritmo

  • 1. LOGARITMO loga b = x x O estudo e conhecimento de logaritmos nos são muito importantes e 2) Log3 9 = x 3 =9 x=2 2 é o logaritmo de 9 na base 3 necessários em matemática financeira, principalmente para o cálculo do x “n” – período, prazo. 3) Log2 8 = x 2 =8 x=3 3 é o logaritmo de 8 na base 2 É certo que as máquinas financeiras realizam o cálculo do termo “n” de x 4) Log2 16 = x 2 = 16 x=4 4 é o logaritmo de 16 na base 2 forma direta, porém, ao efetuarmos cálculos utilizando de formulário, o recurso e a forma de fazermos são através do uso de logaritmos. Exercícios resolvidos: Assim, vamos procurar desmistificar este verdadeiro tabu que envolve o assunto. Vejam a singeleza do cálculo através deste breve texto: 1) Calcular o logaritmo de 25 na base 5. Se alguém nos perguntasse qual é o expoente que devemos impor ao Log5 25 = x número 10 para obter 100, a resposta seria 2! 10x = 100 (fácil, não?). Observação: Quando apresentamos um logaritmo usamos por Pois é, quando perguntamos qual é o logaritmo de 100 na base 10 convenção a notação acima, onde a base “a” (5) aparece abaixo do estamos fazendo exatamente a mesma pergunta. Assim, 2 é o expoente número “N” (25). que devemos impor a base 10 para obter 100 e 2 é também o logaritmo de 100 na base 10. Acompanhe: x “x” é o expoente que devemos dar a “5” para obter 25. uma base “a” para obter esse número “N”. a =n x Log5 25 = x 5 = 25 Fatoramos o número 25 25 5 log5 25 = x 2 é o log de 25 na base 5 Exemplos: 5 5 x 5 = 25 x 1) Log10 1000 = x 10 = 1000 x=3 3 é o logaritmo de 1000 1 52 5 =5 x 2 x=2 na base 10 José Wammes, Toledo, Paraná, 20100215 1
  • 2. 2) Calcular o logaritmo de 81 na base 3. 1) Log10 10000 = x x Log3 81 = x 3 = 81 Fatoramos o número 81 81 3 log3 81 =x 4 é o log de 81 na base 3 27 3 x 3 = 81 9 3 x 4 x=4 x= 4 3 =3 3 3 2) Log5 125 = x 1 34 3) Calcular o logaritmo de 64 na base 4. x x=3 Log4 64 = x 4 = 64 Fatoramos o número 64 64 4 log4 64 =x 3 é o log de 64 na base 4 3) Log6 36 = x 16 4 x 4 = 64 4 4 x 3 x=3 4 =4 1 43 x=2 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 4) Log3 81 = x José Wammes, Toledo, Paraná, 20100215 2
  • 3. b) log3 (9)2 2 log3 9 Onde a = 3 N = 9 m= 2 c) log2 (4)2 2 log2 4 Onde a =2 N = 4 m = 2 Observe que o expoente 2 que aparece nos três exemplos acima passa a ser apenas um multiplicador, transformando, assim, uma operação de x=4 exponenciação, que em algumas situações pode ser complexa, em uma singela operação de multiplicação, facilitando e agilizando enormemente 5) Log2 64 = x os cálculos. A sua aplicação prática (da propriedade acima) dá-se sempre que tivermos a incógnita “x” no expoente. Exemplo: x x x 1) 2 = 3 Quando afirmamos que 2 = 3 é porque a grandeza 2 é igual a 3. Portanto: x=6 x log 2 = log 3 . Pela propriedade anunciada acima, podemos transformar a Apresentado o conceito de logaritmo, podemos iniciar a sua utilização equação em: prática principal, que é o de nos auxiliar na resolução de situações onde a incógnita aparece no expoente, o que nos é possível graças a uma das x log 2 = log 3 Resolvendo, isolando “x”, temos: propriedades operatórias dos logaritmos, abaixo: x = log 3 / log 2 m Loga N = m Loga N x = 0, 47712 / 0, 30103 x= 1, 58496 (Utilizamos log base10 log10 ) Calma!!! Não nos preocupemos com a expressão. É de fácil entendimento. Vamos a um exemplo numérico para a sua compreensão. 21,58496 = 3 3=3 2 a) log10 (10) 2 log10 10 Onde a = 10 N = 10 m= 2 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO: José Wammes, Toledo, Paraná, 20100215 3
  • 4. x x 1) Calcular “x” para 7 = 3 4) Calcular “x” para 5 = 2 x=0,56458 x 2) Calcular “x” para 4 = 9 x= 0,430677 x 5) Calcular “x” para 1,7 = 4 x= 1,58496 x= x 3) Calcular “x” para 15 = 0,1 2,61255 x 6) Calcular “x” para 1,4 = 0,3 x= -0,85027 José Wammes, Toledo, Paraná, 20100215 4
  • 5. x= - i = taxa de juros (i) 3,57822 Concluindo, sempre que nos depararmos com a incógnita no expoente, Graficamente, temos: FV usaremos, para o cálculo, logaritmo. Em matemática financeira, essa incógnita será sempre o prazo, “n”, (número de períodos de uma 0 capitalização, anuidade, prazo). PV n; i Logaritmo, na verdade, tem uma utilização muito grande em vários ramos das ciências exatas. Para nós, no entanto, vamos explorar o seu potencial Após a introdução inicial, visando basicamente o atendimento à disciplina em matemática financeira, notadamente para prazo “n”. de matemática financeira, faz-se necessário conhecermos as propriedades gerais e operatórias para fácil entendimento e práticas de cálculo. Assim, temos: Antes, no entanto, um pouco da origem de logaritmo. n M = P( 1 + i ) A invenção dos logaritmos: (fonte: Bongiovann/Vissoto/Laureano. n Matemática e Vida. 2º. Grau. Volume I. 6ª. edição. Editora Ática. 1998. M / P = (1 + i ) São Paulo) n Log M / P = Log (1 + i ) Na passagem da Idade Média para a Idade Moderna (séculos XIV a XVI), os países da Europa Ocidental sofreram profundas transformações. Log M / P = n Log (1 + i ) Acompanhando essas mudanças econômicas, políticas e sociais, ocorreu n =[ Log (M / P)] / [ Log (1 + i )] também um extraordinário desenvolvimento da arte, da cultura e das ciências. Onde: Essa revolução cultural ficou conhecida como Renascimento. Foi a época M = Montante, valor futuro (FV) em que as grandes navegações ampliaram os limites do mundo. P = Valor presente (PV) O desenvolvimento da navegação e da astronomia trouxe consigo cálculos n = prazo, período (n) aritméticos longos e trabalhosos. Cada vez mais havia necessidade de José Wammes, Toledo, Paraná, 20100215 5
  • 6. descobrir um processo que permitisse simplificar esses cálculos. Muitos dois métodos são os mais difundidos e utilizados, até pela facilidade de matemáticos passaram a ocupar-se com esse problema. entendimento e de cálculo. A solução foi encontrada, ao mesmo tempo, por dois estudiosos. Atualmente, embora as tábuas de logaritmos já não sejam tão usadas como instrumento de cálculo, os logaritmos continuam sendo de grande Jost Bürgi (1552 – 1632), relojoeiro, matemático e inventor suíço, e John importância em várias áreas do conhecimento humano. Neper(Napier). O termo logaritmo foi empregado pela primeira vez por Neper e se Bürgi, em 1620, e Neper, em 1614, publicaram as primeiras tabelas de originou da composição das palavras gregas logos (razão) e arithmos logaritmos, que permitiram a simplificação de cálculos aritméticos (números). complicados. Vejamos, então, algumas propriedades operatórias de logaritmos. Logo após a publicação de sua primeira tabela, Neper, juntamente com o matemático inglês Henry Briggs, elaborou uma nova tábua, mais fácil de Vamos considerar um número “a”, positivo e diferente de 1, (“a” > 0 e ≠ 1) ser utilizada, contendo os chamados logaritmos decimais. e um número “b”, positivo (“b” > 0). Esta é uma condição para o cálculo de logaritmos. Logaritmo decimal (log10) Definimos logaritmo de “b” na base “a” ao expoente “x” que se deve O seu idealizador, Henry Briggs, de nacionalidade inglesa, nasceu em 1561 dar à base “a” de modo que a potência obtida seja igual a “b”. e faleceu em 1631. Este sistema de cálculo é conhecido como logaritmos decimais, vulgares ou de Briggs, em homenagem ao seu inventor. Simbolicamente, temos: Logaritmo neperiano (ln) x Loga b = x a =b John Neper (Napier), barão de Merchiston, teólogo, nasceu na Escócia em 1550, vindo a falecer em 1617. Foi o idealizador de outro método de Diz-se ainda: cálculo. Este sistema de cálculo é conhecido como logaritmos naturais “b” é o logaritmando ou antilogarítmo (e= 2,718281828...) ou neperianos, em homenagem ao seu inventor. “a” é a base do logaritmo Para que não pensemos que há somente dois métodos ou sistemas de cálculo de logaritmos, existem, na verdade, inúmeros. Apenas, que estes “x” é o logaritmo de “b” na base “a” José Wammes, Toledo, Paraná, 20100215 6
  • 7. m Loga b = m . Loga b n Loga √ b = ( Loga b) / n Exemplos: Verificando as propriedades 3 1) Log2 8 = 3 pois 2 = 8 2 a) Loga 1 = 0 a0 = 1 Qualquer número elevado a zero é 2) Log10 100 =2 pois 10 = 100 um. O logaritmo de 1 é zero. -3 3) Log2 1/8 = -3 pois 2 = 1/8 b) Loga a = 1 a1 = a Qualquer numero elevado a unidade 4) Log3 3 = 1 1 pois 3 = 3 (1) é ele mesmo, “a”. O logaritmo da própria base é 1. m m 4 5) Log2 1 = 0 0 pois 2 = 1 c) Loga a = m log 2 24 = m 2 =2 m=4 O logaritmo de uma potência da base é o expoente. PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS Loga 1 = 0 O logaritmo de 1 é zero. Verificando as propriedades operatórias Loga a = 1 O logaritmo da própria base é 1. a) Loga (b . c) = Loga b + Loga c O logaritmo do produto m (b.c) é igual a soma dos logaritmos dos fatores “b” e “c”. Loga a = m O logaritmo de uma potência da base é o expoente. log2 (32 . 128) log2 32 + log2 128 log2 25 + log2 27 PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS 5 + 7 = 12 Loga (b . c) = Loga b + Loga c b) Loga b ÷ c = Loga b – Loga c O logaritmo do quociente b ÷ c é igual a diferença entre o logaritmo do dividendo Loga b ÷ c = Loga b – Loga c (numerador) “b” e o logaritmo do divisor (denominador) “c”. Log2 (512 ÷ 64) log2 512 – log2 64 log2 29 – log2 26 José Wammes, Toledo, Paraná, 20100215 7
  • 8. 9–6=3 Log15 5 = 0,59432 c) Loga b = m m . Loga b O logaritmo de uma ESQUEMA DE RESOLUÇÃO potência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da x base . Loga N = x a =N log25 53 3 . log25 5 a) 25x = 5 (52)x = 5 52x =51 Exemplo: 2x = 1 x= 1÷2 b) 3 . 1÷2 3 ÷2 a) Log10 100 = x x 10 = 100 x 10 = 10 2 n d) Loga √ b = ( loga b) ÷ n O logaritmo de uma raiz é x= 2 igual ao logaritmo do radicando, dividido pelo índice da raiz. 2 b) Log10 N = 2 10 = N 100 = N Log10 √10000 log10 100 log = 2 N = 100 Log10 √10000 log10 10000 ÷ 2 4÷2 2 c) Loga 100 = 2 a = 100 a= √100 Log = 2 a = 10 MUDANÇA DE BASE CALCULAR O LOGARITMO DADO UM LOGARITMO DE Loga b = logc b ÷ logc a O logaritmo de “b” na base “a” é igual ao UM NÚMERO QUALQUER logaritmo de “b” na nova base “c”, dividido pelo logaritmo de “a” também na base “c”. Nesses casos, tem-se que “trabalhar” o número (logaritmando) dado para o cálculo do logaritmo. Requer um pouco de atenção e cuidado às Normalmente, as máquinas calculadoras científicas têm a capacidade de propriedades. calcular logaritmos na base 10. Digamos que você quer, por exemplo, calcular log15 5. É só mudar a base do logaritmo para a base 10 da Exemplos: máquina: a) Dado o log 2 igual a 0,301030 pede-se o log 125. Log15 5 = log10 5 ÷ log10 15 0,69897 ÷ 1,17609 0,59432 José Wammes, Toledo, Paraná, 20100215 8
  • 9. Resolução: Como posso escrever o número 125? 53 Log 125 = log 53 3 log 5 3 log 10 ÷ log 2 EXERCÍCIOS 3 (log 10 – log 2) 3(1 – 0,301030) 3(0,698970) 1) Log2 16 = x Resp. = 4 Log 125 = 2,096931 2) Log3 9 = x b) Dado o log 2 igual a 0,301030 e log 7 igual a 0,845 pede-se Resp. = 2 calcular o log de 28. 3) Log1/2 1/4 = x Resolução: Como posso escrever o número 28, considerando os números Resp. = 2 2 e 7? 28 = 22 . 7 Logo: 4) Log4 1/2 = x 2 Log 28 = log (2 . 7) 2 log 2 + log 7 2 log 2 + log 7 Resp. = - 1/2 2 (0,301030) + 0,845 0,602060 + 0,845 5) Log1/4 16 = x Resp. = - 2 Log 28 = 1,447060 6) Loga 7 = 1 c) Dado o log 2 igual a 0,301030 pede-se o log 5. Resp. a = 7 Resolução: Como posso escrever o número 5, partindo de 2? 7) Loga 4 = 2 Resp. a = 2 10 ÷ 2 = 5 Logo: log 10 ÷ log 2 = log 5 8) Loga 9 = -2 Log 10 – log 2 = log 5 Resp. a = 1/3 1 – 0,301030 = log 5 9) Log2 (8 . 16) = x Log 5 = 0,698970 Resp. Log2 8 + Log2 16 x=7 José Wammes, Toledo, Paraná, 20100215 9
  • 10. 10) Log2 4/32 = x Resp. Log2 4 – Log2 32 x = -3 4 11) Log2 2 = x LOGARITMO COM O USO DA CALCULADORA HP 12C Resp. = 4 A calculadora HP 12C tem recursos para cálculos de logaritmos. No 12) Log3 27 = x entanto, o faz apenas com base natural, neperiano. Caso queiramos o Resp. = 3 logaritmo em outra base, normalmente decimal, 10, precisamos de um pequeno ajuste – mudança de base. 13) Log1/3 27 = x Resp. = -3 Vejamos alguns exemplos: 1) Neperiano ou natural - ln 14) Loga 8 = 1 Resp. a = 8 a) Ln 100 100 g ln 4,605170 15) Loga 16 = 4 b) Ln 150 150 g ln 5,010635 Resp. a = 2 c) Ln 1000 1000 g ln 6,907755 . . . 16) Log3 9/81 = x 2) Decimal ou base 10 – log Resp. = - 2 a) Log 100 100 g ln 10 g ln ÷ 2,000000 2 17) Log3 3 = x Resp. = 2 b) Log 150 150 g ln 10 g ln ÷ 2,176091 c) Log 1000 1000 g ln 10 g ln ÷ 3,000000 . . . 18) Logx 100 = -2 Resp. = 1/10 3) Base qualquer que não as anteriores 19) Log10 1 = x a) Log2 100 100 g ln 2 g ln ÷ 6,643856 Resp. = 0 b) Log25 150 150 g ln 25 g ln ÷ 1,556641 20) Log2x 36 = 2 c) Log7 1000 1000 g ln 7 g ln ÷ 3,549884 . . . Resp. x = 3 José Wammes, Toledo, Paraná, 20100215 10
  • 11. José Wammes, Toledo, Paraná, 20100215 11