SlideShare ist ein Scribd-Unternehmen logo
1 von 20
Downloaden Sie, um offline zu lesen
Anàlisi (III) Derivades                                                         Segon de batxillerat
Josep M. Lluch                                                                      IES Ramon Muntaner


                                     1 Concepte de derivada
    1.1       Derivada d’una funció en un punt
    Sigui f una funció definida en el punt x = a . S'anomena derivada de f en el punt x = a , i
    es representa per f ' ( a ) , el límit següent (si existeix):

                             f ( x) − f (a)                                                             f ( a + h) − f ( a )
             f '(a ) = lím                          També es pot expressar:             f '(a ) = lím
                      x→a         x−a                                                            h →0            h

    Si existeix f ' ( a ) es diu que f és derivable en el punt x = a .
                 f ( x) − f (a)
    L’expressió                 es diu taxa de variació de la funció en l’interval [ a , x ] ; la derivada
                      x−a
    en un punt representa la taxa de variació instantània de la funció f en el punt x = a .
                                                                                x3 − 1
    Exemple: Si f ( x) = x3 i                 a = 1:             f '(1) = lím          = lím ( x 2 + x + 1) = 3
                                                                         x →1   x −1 x → 1
    Interpretació geomètrica:

    La derivada d'una funció f en el punt x = a és el pendent de la recta tangent a la gràfica de
     f en el punt P = (a , f (a ))

                                                             Q
      f(x)
                                                                                          f ( x) − f (a)
                                                                                                         = tg β =
                                                                                               x−a
                                                                        f(x) – f(a)       = pendent de PQ
                                              β
                               P                         α                t               f '(a ) = lím tg β = tg α =
      f(a)                                                                                          x→a

                                              x–a                                         pendent de t
                                                                                          (recta tangent )
                               a                                 x

    1.2       Derivades laterals

              1.2.1 Derivada lateral per la dreta

              És el límit següent (si existeix):
                                                                                                          tg α = f '+ (a )
                                     f ( x) − f (a )
               f '+ ( a ) = lím +                    =
                             x→ a         x−a                                                                      α
                             f (a + h ) − f (a )
               =    lím +                                                                       a
                   h→ 0              h
Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades                        Josep M. Lluch________________2

             1.2.2 Derivada lateral per l’esquerra

             És el límit següent (si existeix):

                                  f ( x) − f (a )
                                                                                         tg α = f '− (a)
              f '− ( a ) = lím −                  =
                           x→ a        x−a
                         f (a + h) − f (a )                                α
              = lím −
                h→ 0             h                                                   a


      Teorema: La condició necessària i suficient perquè f sigui derivable en x = a és que les
      derivades laterals en x = a existeixin i coincideixin.

      En aquest cas:            f '(a ) = f '− (a ) = f '+ (a )



                                                                                                Punt
      Si les derivades laterals existeixen en                                                   angulós
       x = a però no coincideixen, es diu que f
      té un punt angulós en x = a .



                                                                                 a


      1.3    Recta tangent i recta normal a una corba

      L'equació de la recta tangent a la gràfica de
       f en el punt (a, f (a )) és:

                       y − f (a ) = f ' (a )( x − a )
                                                                                                   tangent
                                                                  f (a)
      La recta perpendicular a la tangent en el punt
      (a, f (a )) s'anomena normal a la gràfica en                                             normal
      aquest punt. La seva equació és:
                                                                                  a
                                       1
                       y − f (a) = −          ( x − a)
                                     f ' (a )

      (suposant que f '(a ) ≠ 0 ).
      Si f '(a ) = 0 , l’equació de la normal és: x = a (recta paral·lela a l’eix d’ordenades) i la de la
      tangent: y = f (a ) (recta paral·lela a l’eix d’abscisses)
Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades                                 Josep M. Lluch________________3


      Exemple: Calculem les equacions de la tangent i la
      normal a la gràfica de f ( x) = ln x en el punt (1, 0) .
                                                                                                                      tangent
                    ln x − ln1
                                                  = lím ln ( x1/( x −1) )  =
                                             ln x
       f '(1) = lím                 = lím
               x →1      x −1          x → 1 x −1   x →1                  

      = ln  lím ( x1/( x −1) )  = ln e = 1
           x →1
                               
                                                                                            1
      Tangent: y = x − 1
      Normal: y = − ( x − 1) ⇔ y = − x + 1
                                                                                                              normal


      1.4      Derivada infinita
                                                                                                       f ( x) − f (a)
      Es diu que f té derivada infinita en x = a si hi és contínua i                            lím                   =∞
                                                                                                 x→a        x−a
      Ho denotarem: f ' (a ) = ∞
      En aquest cas la funció f no és derivable en x = a
      En els punts de derivada infinita la tangent a la gràfica és paral·lela a l'eix d'ordenades.




                               a                                                                a
                              f '(a ) = + ∞                                               f '(a ) = − ∞


      De manera anàloga es defineixen les
      derivades laterals infinites.                                                          punt de retrocés


      Si hi ha derivades laterals infinites de
      signe diferent en x = a , es diu que f té
      un punt de retrocés en x = a .
                                                                                            a

                                                                                 f −' (a ) = − ∞         f +' (a ) = + ∞
      1.5      Funció derivada
      Si f és derivable en tots els punts del conjunt E ⊂ Dom f podem definir la funció:
                                     f' :E                       ℝ
                               a                                 f ' (a)
      que assigna a cada nombre a ∈ E la derivada de f                           en x = a . Es diu funció derivada (o
      derivada primera) de f .
Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades                                Josep M. Lluch________________4

                                                                                                              df
      La funció derivada es denota de diferents formes: y ' , f ' ( x) , Df ,
                                                                                                              dx
      Exemple: funció derivada de f ( x) = x3
                       x3 − a3
       f '(a ) = lím           = lím ( x 2 + a x + a 2 ) = 3 a 2 , per tant:                           f '( x) = 3 x 2
                x→a     x−a      x→a



      1.6     Derivades d’ordre superior

      Si f ' és derivable es pot calcular la seva derivada, que s'anomena derivada segona (o
      segona derivada) de f :                f ''( x) = ( f '( x) ) ' .
                                                                                 2   d2 f
      Es representa de diferents formes:                  y ' ' , f ' ' ( x) , D f ,      .
                                                                                     dx 2
      Per recurrència es poden definir les derivades successives: tercera, quarta,..., enèsima:

                         f '''( x) = [ f ''( x) ] '   ....                  (
                                                                  f n ( x) = f   n −1
                                                                                        ( x)   )   '




                   2 Derivades de les funcions elementals
      2.1     Taula de derivades

                                            y = f ( x)                                     y ' = f '( x)
                                    y=k           (k ∈ℝ)                               y'= 0
                                                y=x                                     y ' =1
                                      y = x r ( r ∈ℝ )                              y ' = rx r −1
                                                                                             1
                                              y= x                                  y'=
                                                                                            2 x
                                                                                             1
                                              y=nx                                y'= n
                                                                                         n x n−1
                                             y = ln x                                        1
                                                                                       y'=
                                                                                              x
                                                                                             1
                                            y = log a x                             y'=
                                                                                            xlna
                                               y = ex                                  y ' = ex
                                    y = ax      (a > 0)                            y ' = a x · lna
                                         y = sin x                                  y ' = cos x
                                         y = cos x                                 y ' = − sin x
                                             y = tg x                                1
                                                                              y'=      2
                                                                                             = 1 + tg 2 x
                                                                                  cos x
                                                                                 −1
                                           y = cotg x                     y ' = 2 = − (1 + cotg 2 x)
                                                                               sin x

                                                                                                           1
                                          y = arcsin x                                   y'=
                                                                                                         1 − x2
Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades                        Josep M. Lluch________________5


                               y = arccos x                                      −1
                                                                          y'=
                                                                                1 − x2
                                y = arctg x                                       1
                                                                           y'=
                                                                               1 + x2
                               y = arccotg x                                     −1
                                                                           y'=
                                                                               1 + x2

      2.2   Regles de derivació

      2.2.1 Derivades i operacions amb funcions
                                                                                    f
            Si f i g són derivables també ho són f + g , f · g , i                    (si el denominador no
                                                                                    g
            s’anul·la) i es compleix:

                                                         ( f + g )' = f '+ g '

                                                      ( f · g )' = f '· g + f · g '

                                                   (k · f )' = k · f '          (k ∈ ℝ )
                                                              '
                                                        f  f '· g − f · g '
                                                         =
                                                       g
                                                                 g2


            Si f , g i h són derivables, també ho és f · g · h i es compleix:

                                             ( f · g · h) ' = f '· g · h + f · g '· h + f · g · h '

      2.2.2 Derivada d’una funció composta (regla de la cadena)
            Si    f és derivable en x = a i g és derivable en                                         y = f (a)        llavors
             (g   f )( x) = g ( f ( x)) també és derivable en x = a i es compleix:

                                    ( g f )'(a) = g '( f (a))· f '(a)               (regla de la cadena)

            Per reiteració, si h és derivable en z = g ( f (a )) s'obté:

                                       (h g f )'(a) = h '( g ( f (a))· g '( f (a))· f '(a)

                                                                                    1
            Exemple:      y = sin (ln ( x 3 + x)) ⇒ y ' = cos (ln( x3 + x))·           ·(3 x 2 + 1)
                                                                                  x +x
                                                                                    3




      2.2.3 Derivada de la funció recíproca (o inversa)
                                                                                                                  −1
            Si f és derivable en x = a (amb f ' (a ) ≠ 0 ) i existeix la funció recíproca f                            ,
            aquesta és derivable en y = f (a ) i es compleix:
Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades                                       Josep M. Lluch________________6


                                                                                   1
                                                        ( f −1 ) ' ( f (a )) =
                                                                                 f ' (a)


                                                                                            −1
            Exemple: La recíproca de f ( x) = x n és                                    f        ( x) = n x ,    llavors:
                                                    '
                 ( x)  = x              ( x)  =1                      ( x ) ·( x ) = 1                        ( x) = n
                                                                                 n −1
                 n
                        n
                                  ⇒      n
                                                n
                                                               ⇒ n        n                 n      '
                                                                                                         ⇒       n   '      1
             
                     
                                   
                                             
                                                                                                                           n
                                                                                                                                x n −1

      2.2.4 Derivada logarítmica

            S'utilitza sobretot per a derivar funcions potencials-exponencials de la forma:
            y = f ( x) g ( x ) (amb f ( x) > 0 )

            Exemple:                  y = ( sin x) 4 x

            a) Apliquem logaritmes a cada membre:                                 ln y = ln ( sin x) 4 x 
                                                                                                         

            b) Baixem l’exponent del segon membre: ln y = 4 x ln ( sin x)

                                                           y'                       cos x
            c) Derivem cada membre:                           = 4 ln ( sin x) + 4 x
                                                           y                        sin x
            d) Aïllem la derivada:
                                                   cos x 
                      y ' = y  4 ln ( sin x) + 4 x        ⇔ y ' = ( sin x) [ 4 ln ( sin x) + 4 x cotg x ]
                                                                            4x

                                                   sin x 

            En general, si y = f ( x) g ( x ) , la derivada és:

                                                                                          f '( x) 
                                     y ' = f ( x) g ( x ) ·  g '( x)· ln f ( x) + g ( x)·         
                                                                                          f ( x) 

      2.2.5 Derivada implícita
            S’utilitza per derivar funcions en què la variable dependent, y , no està aïllada.

            Exemple:               x 2 y + y 2 sin x = cos y

            Derivem cada membre, tenint en compte que y = f ( x) :

             2 xy + x 2 y '+ 2 y y ' sinx + y 2 cos x = −( sin y ) y ' ⇔ y ' ( x 2 + 2 y sin x + sin y ) = −2 x y − y 2 cos x ⇔
                               −2 x y − y 2 cos x
             ⇔ y'=
                            x 2 + 2 y sin x + sin y
Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades                         Josep M. Lluch________________7


                  3 Teoremes relatius a funcions derivables
      3.1       Derivabilitat i continuïtat

      Teorema:                 f derivable en x = a           ⇒      f   contínua en x = a

      El recíproc no és cert: pot ser que f sigui contínua en x = a sense ser-hi derivable.

      Exemples:

      a) f ( x) = x        és contínua en x = 0 però no hi és derivable:            f '+ (0) = 1 i f '− (0) = −1
                              1
                       x · sin       si    x≠0
      b)     f ( x) =          x                     és contínua en x = 0 però no hi és derivable.
                      0
                                       si    x=0
                                                    1
                                            x · sin  
                      f ( x) − f (0)                 x  = lím sin  1  que no existeix
      En efecte: lím                 = lím                           
                 x →0      x−0         x →0       x         x →0
                                                                     x

      3.2       Estudi de la derivabilitat d’una funció

      Teorema:            Si f és contínua en x = a es compleix:

           f '− (a ) = lím− f '( x) i    f '+ (a ) = lím+ f '( x) (si aquests límits existeixen).
                     x→a                          x→a



      Exemple 1: Estudiem la derivabilitat de la funció: f ( x) = 2 + ln ( x − 3) en x = 4 .
      La funció és contínua en x = 4 perquè és composició de funcions contínues. Notem que la
      funció es pot definir a trossos de la manera següent:

                2 + ln( x − 3) si x ≥ 4
       f ( x) = 
                 2 − ln( x − 3) si 3 < x < 4
                                   1
                                   x−3  si x > 4
                                  
      Llavors:          f '( x) = 
                                   −1 si 3 < x < 4
                                   x −3
                                  
                                                                         2
                                       −1
       f '− (4) = lím− f '( x) = lím−       = −1
                   x →4           x→4 x−3                                               4
                                        1
       f '+ (4) = lím+ f '( x) = lím+       =1
                  x→4            x →4 x − 3


      Hi ha un punt angulós en x = 4 .


                                                        2e x − 1     si                     x<0
      Exemple 2: Estudiem la derivabilitat de f ( x) =  2
                                                       − x + 2 x + 1 si                     x≥0
Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades                              Josep M. Lluch________________8

                                       2e x        si x < 0
      Òbviament:           f ' ( x) =                                 Estudiem la situació en x = 0 .
                                      − 2 x + 2    si x > 0

      a)    Vegem primerament si f (x) és contínua en x = 0 :

             f (0) = 1
            lím f ( x) = lím− ( 2e x − 1) = 1                      ⇒      f (x) és contínua en x = 0
            x → 0−              x →0

            lím f ( x) = lím+ ( − x 2 + 2 x + 1) = 1
            x → 0+              x →0


      b)    Derivabilitat:

            f '− (0) = lím− f '( x) = lím− 2e x = 2
                         x →0                x →0
                                                                                             1
            f (0) = lím+ f '( x) = lím+ ( −2 x + 2 ) = 2
               '
               +
                         x →0                x →0

                                                                                                 0
                     ⇒      f (x) és derivable en x = 0

            i, per tant, en ℝ .




      3.3      Teorema (o regla) de l’Hôpital

      Siguin f i g dues funcions que compleixen:
      a)    lím f ( x) = lím g ( x) = 0 ,
             x →c           x →c

                                   f '( x)
      b)    Existeix lím
                           x →c    g '( x)
                                                                   f ( x)         f '( x)
      En aquestes condicions es compleix:                   lím           = lím
                                                            x →c   g ( x)   x → c g '( x )



      Aquest teorema també es compleix quan f i g tendeixen a infinit i quan x tendeix a infinit.

      La regla de l'Hôpital serveix per a resoldre diferents tipus d'indeterminacions en el càlcul de
      límits.

      Exemples:
                                                          1
                                                    1−
                    x − arctg x  0                   1 + x 2 = lím     1       1
      1.        lím            =   = lím                                     =
                x→0      x3       0  x→0             3x 2
                                                                      ( ) 3
                                                                 x→0 3 1 + x 2




                      1 − cos x  0       sin x       cos x
      2.        lím       2
                               =   = lím       = lím       =1
                x→0     x /2      0  x→0 x       x→0   1


                                                3x ( ln 3)
                                                                   2
                 3x  ∞         3x ln 3
      3.     lím 2 =   = lím           = lím             = +∞
            x→+∞ x
                      ∞  x →+ ∞ 2 x      x→+∞       2
Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades                       Josep M. Lluch________________9

                                                                                        1
                                                             ln ( x − 1)  ∞ 
      4.    lím+ ln x ( ln ( x − 1) )  = [ 0·(− ∞)] = lím+
                                                                      =   = lím+ x − 1 =
            x →1                                        x →1      1        ∞  x →1 −1/ x
                                                                ln x                 (ln x)2
                      x (ln x) 2  0        (ln x)2 + 2 ln x
             = lím+             =   = lím+                  =0
               x →1     1− x       0  x →1        −1

                                                                          1                 1
                                                                        1−
              1       1                      x − 1 − ln x                      0              1
                           = [ ∞ − ∞ ] = lím
                                                                                             2
      5. lím      −                                        = lím         x    =   = lím x    =
         x →1 ln x
                    x −1                x →1 ( x − 1)ln x   x →1        x − 1  0  x →1 1 1 2
                                                                   ln x +                   +
                                                                            x              x x2


      6.     lím+ ( x − 1)ln x = 00 
                                        Sigui A = lím+ ( x − 1)ln x = 00  ; prenent logaritmes:
                                                                         
            x →1                                    x →1




      ln A = ln  lím+ ( x − 1)ln x  ⇔ ln A = lím+ ln ( x − 1)ln x  ⇔ ln A = lím+ [ln x ln ( x − 1) ] ⇔ ln A = 0
                                                                    
                 x →1
                                   
                                              x →1                             x →1

      (segons l’exemple 4)

               Per tant:      A =1


           4 Aplicacions a l’estudi de la gràfica d’una funció
      4.1      Extrems relatius: màxims i mínims

               Definició prèvia

               Si a i r són nombres reals, amb r > 0 , s’anomena entorn de centre a i radi
               r l’interval obert (a − r , a + r ) . Es representa: Er (a )

                                                             r
                                            a–r        a         a+r
               4.1.1 Màxim relatiu

               Es diu que la funció f té un màxim relatiu en el punt x = a si existeix un entorn
               Er (a ) tal que si x ∈ Er (a ) i x ≠ a es compleix: f ( x) < f (a ) . Si la desigualtat es
               compleix per a qualsevol x del domini de f , es diu màxim absolut.

               4.1.2 Mínim relatiu
               Es diu que la funció f té un mínim relatiu en el punt x = a si existeix un entorn Er (a )
               tal que si x ∈ Er ( a ) i x ≠ a es compleix:        f ( x) > f (a ) . Si la desigualtat es compleix
               per a qualsevol x del domini de f , es diu mínim absolut.
Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades                   Josep M. Lluch________________10

            Per a l’existència d’extrems relatius en un punt no cal que la funció hi sigui derivable, ni
            tan sols contínua.




                         a                                  a                            a


            Mínim sense continuïtat           Mínim amb continuïtat           Mínim amb derivabilitat
                                              però sense derivabilitat

            4.1.3 Relació amb la derivada

            Condició necessària: Si f té un extrem relatiu en x = a i és derivable en x = a ,
            es compleix:                f '(a ) = 0

            Nota: La condició anterior no és suficient: pot ser f '(a ) = 0 sense que hi hagi extrem
            en el punt x = a (per exemple: f ( x ) = x 3 en x = 0 )

            Condicions suficients: Suposem que f admet derivades primera i segona en el
            punt x = a .
                         Si f '( a ) = 0 i f ''( a ) > 0 , f té un mínim relatiu en x = a .
                         Si f '( a ) = 0 i f ''( a ) < 0 , f té un màxim relatiu en x = a .
                         (Si f '( a ) = 0 i f ''( a ) = 0 , no es pot afirmar res.)

            Aquestes condicions no són necessàries: pot ser que f tingui un extrem en x = a
            amb f ''( a ) = 0 (exemple: f ( x ) = x 4 en x = 0 ).

      4.2   Monotonia: creixement i decreixement

            4.2.1 Creixement en un punt i en un interval

            4.2.1.1 Es diu que la funció
             f és creixent en el punt
            a ∈ Dom f si existeix un
            entorn   Er (a ) tal que:
             ( x ∈ Er (a ) i x < a ) ⇒ f ( x) ≤ f (a ) f (x2)
             
             
             ( x ∈ Er (a ) i x > a ) ⇒ f ( x) ≥ f (a ) f (a)
             
                                                      f (x1)
            Si les desigualtats en els
            segons membres de les
            implicacions són estrictes es
            diu que f és estrictament                                    x1    a    x2
            creixent en el punt a .
Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades                       Josep M. Lluch________________11


            4.2.1.2 Es diu que la funció f és creixent en l’interval (a , b) si per a qualsevol
            parell de punts x1 i x2 de l’interval, amb x1 < x2 , es compleix:
                     f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) .
            Si la desigualtat és estricta, es diu estrictament creixent en l’interval.

            Teorema: Una funció és creixent en un interval obert si ho és en cadascun dels punts
            de l’interval, i viceversa.

            4.2.2 Decreixement en un punt i en un interval.

            4.2.1.1 Es diu que la funció f és decreixent en el punt a ∈ Dom f si existeix un
            entorn Er (a ) tal que:
                                        ( x ∈ Er (a ) i x < a ) ⇒ f ( x) ≥ f (a )
                                        
                                        
                                        ( x ∈ Er (a ) i x > a ) ⇒ f ( x) ≤ f (a )
                                        

            Si les desigualtats en els
            segons membres de les
            implicacions són estrictes
            es diu que f és estric-
            tament decreixent en el
            punt a .                                    f (x1)
            4.2.1.3 Es diu que la                        f (a)
            funció f és decreixent en                   f (x2)
            l’interval (a , b) si per a
            qualsevol parell de punts
            x1 i x2 de l’interval, amb
                                                                             x1      a   x2
             x1 < x2 , es compleix:
                    f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) .
            Si la desigualtat és estricta, es diu estrictament decreixent en l’interval.

            Teorema: Una funció és decreixent en un interval obert si ho és en cadascun dels
            punts de l’interval, i viceversa.

            4.2.3 Relació amb la derivada

            Condicions suficients: Suposem que f és derivable en el punt x = a .
                        Si f '( a ) > 0 , f és creixent (estrictament) en x = a .
                        Si f '( a ) < 0 , f és decreixent (estrictament) en x = a .
                        (Si f '( a ) = 0 , no es pot afirmar res.)

            Aquestes condicions no són necessàries:                f pot ser creixent o decreixent en x = a
            amb f '( a ) = 0 (per exemple: f ( x ) = x 3 en x = 0 ).

            Conseqüència:

            Si f '( a ) > 0 en tots els punts d’un interval, la funció f serà creixent en l’interval.
            Si f '( a ) < 0 en tots els punts d’un interval, la funció f serà decreixent en l’interval.
Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades             Josep M. Lluch________________12


            Condicions necessàries: Suposem que f és derivable en el punt x = a .
                      Si f és creixent en x = a , es compleix: f '( a ) ≥ 0 .
                      Si f és decreixent en x = a , es compleix: f '( a ) ≤ 0 .

            Teorema:

            a) Si f és contínua en x = a i existeix un entorn d’aquest punt tal que a l’esquerra de
               a la funció és creixent i a la dreta és decreixent, la funció presenta un màxim
               relatiu en x = a .
            b) Si f és contínua en x = a i existeix un entorn d’aquest punt tal que a l’esquerra de
               a la funció és decreixent i a la dreta és creixent, la funció presenta un mínim
               relatiu en x = a .

      4.3   Curvatura: concavitat i convexitat

            4.3.1 Funció còncava

            Es diu que la funció f és còncava en un interval si tot segment que uneix dos punts
            de la gràfica dins de l’interval està per sobre de la gràfica.

            Es diu que la funció f és còncava en un punt x = a si ho és en un entorn d’aquest
            punt. En cas que f sigui derivable en x = a la tangent en el punt ( a , f (a ) ) estarà per
            sota de la gràfica.

                                                                             Funció còncava
                                  Funció còncava                             en un punt
                                  en un interval




                          a               b                                    a

            4.3.2 Funció convexa

            Es diu que la funció f és convexa en un interval si tot segment que uneix dos punts
            de la gràfica dins de l’interval està per sota de la gràfica.

            Es diu que la funció f és convexa en un punt x = a si ho és en un entorn d’aquest
            punt. En cas que f sigui derivable en x = a la tangent en el punt ( a , f (a ) ) estarà per
            sobre de la gràfica.
Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades               Josep M. Lluch________________13



                                     Funció convexa                                Funció convexa
                                     en un interval                                en un punt




                          a               b                                          a
            Teorema: Si una funció és convexa o còncava en tots els punts d’un interval, ho serà
            en tot l’interval.

            4.3.3 Relació amb les derivades

            Condicions suficients: Suposem que f admet segona derivada en el punt x = a .
                               Si f ''( a ) > 0 , f és còncava en x = a .
                               Si f ''( a ) < 0 , f és convexa en x = a .
                               (Si f ''( a ) = 0 , no es pot afirmar res.)

            Aquestes condicions no són necessàries: f pot ser còncava o convexa en x = a amb
             f ''(a ) = 0 (per exemple: f ( x) = x 4 en x = 0 ).

            Conseqüència:

            Si f ''( a ) > 0 en tots els punts d’un interval, la funció f serà còncava en l’interval.
            Si f ''( a ) < 0 en tots els punts d’un interval, la funció f serà convexa en l’interval.

            Condicions necessàries: Suposem que f té derivada segona en el punt x = a .
                              Si f és còncava en x = a , es compleix: f ''( a ) ≥ 0 .
                              Si f és convexa en x = a , es compleix: f ''( a ) ≤ 0 .


      4.4   Punts d’inflexió

            4.4.1 Definició

            Es diu que la funció f té un punt d’inflexió en x = a si hi és contínua i en un entorn
            d’aquest punt es compleix que a l’esquerra de a és còncava i a la dreta de a és
            convexa (o al revés).




                                 a                                           a
Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades                       Josep M. Lluch________________14

            Si hi ha inflexió en x = a i existeix f '( a ) , la tangent en el punt ( a , f (a ) ) travessa la
            gràfica.

            4.4.2 Relació amb la derivada segona

            Condició necessària:               Si f té un punt d’inflexió en x = a i existeix f ''( a ) es
            compleix:                             f ''(a ) = 0

            Nota: La condició anterior no és suficient: pot ser f ''(a ) = 0 sense que hi hagi inflexió
            en x = a (per exemple: f ( x ) = x 4 en x = 0 )

            Condicions suficients:              Suposem que f         admet derivades primera, segona i
            tercera en el punt x = a .

            Si f ''( a ) = 0 i f '''( a ) > 0 , f té un punt d’inflexió en x = a (de convexa a còncava)
            Si f ''( a ) = 0 i f '''( a ) < 0 , f té un punt d’inflexió en x = a (de còncava a convexa)
            (Si f ''( a ) = 0 i f '''( a ) = 0 , no es pot afirmar res.)

            Aquestes condicions no són necessàries: pot ser que f tingui una inflexió en x = a
            amb f '''( a ) = 0 (exemple: f ( x ) = x 5 en x = 0 ).


       4.5 Generalització dels criteris d’extrems i monotonia

             f '(a ) > 0 ⇒ f és creixent en x = a
             f '(a ) < 0 ⇒ f és decreixent en x = a
                           f ''(a ) > 0 ⇒   f té mínim relatiu en x = a
                           f ''(a ) < 0 ⇒   f té màxim relatiu en x = a
                          
                          
            f '(a ) = 0 i                    f '''(a ) > 0 ⇒ f és creixent en x = a (amb inflexió)
                                            
                                             f '''(a ) < 0 ⇒ f és decreixent en x = a (amb inflexió)
                                             
                           f ''(a ) = 0 i
                                            
                                                                f (4) (a ) > 0 ⇒ f té mínim relatiu en x = a
                                                                (4)
                                              f '''(a ) = 0 i  f (a ) < 0 ⇒ f té màxim relatiu en x = a
                                                               
                                                                
                                                                 f (4) (a ) = 0 i ...
                                                                



          Resum (teorema de Taylor)
          Per saber quina és la situació en el punt x = a es calculen les derivades successives en
          aquest punt.
          ♦ Si la primera derivada que dóna diferent de zero és d'ordre parell, la funció té un
          extrem relatiu en x = a (mínim si és positiva, màxim si és negativa).
          ♦ Si la primera derivada que dóna diferent de zero és d'ordre imparell, la funció és
          creixent o decreixent en x = a segons que sigui positiva o negativa respectivament.
Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades                            Josep M. Lluch________________15

      4.6     Generalització dels criteris d’inflexions i curvatura

               f ''(a ) > 0 ⇒ f és còncava en x = a
               f ''(a ) < 0 ⇒ f és convexa en x = a
                              f '''(a ) > 0 ⇒   f té inflexió en x = a (de convexa a còncava )
                              f '''(a ) < 0 ⇒   f té inflexió en x = a (de còncava a concexa )
                             
              f ''(a ) = 0 i 
                                                f   (4)
                                                            (a ) > 0 ⇒ f és còncava en x = a
                                                
                                                f
                                                      (4)
                                                            (a ) < 0 ⇒ f és convexa en x = a
                              f '''(a ) = 0 i   
                                                
                                                                        f (5) (a ) > 0 ⇒ f té inflexió en x = a
                                                                        (5)
                                                 f   (4)
                                                            (a) = 0   i  f (a ) < 0 ⇒ f té inflexió en x = a
                                                                        
                                                 
                                                                        
                                                                         f (5) (a ) = 0 i ...
                                                                        

            Resum (teorema de Taylor)
            Per saber quina és la situació en el punt x = a es calculen les derivades successives en
            aquest punt a partir de la segona.
            ♦ Si la primera derivada que dóna diferent de zero és d'ordre parell, la funció és
            còncava o convexa en x = a (segons si és positiva o negativa respectivament).
            ♦ Si la primera derivada que dóna diferent de zero és d'ordre imparell, la funció té un
            punt d’inflexió en x = a (de convexa a còncava si és positiva, de còncava a convexa si
            és negativa).


      4.7     Relació entre les gràfiques de f i f ’ (exemple)


                                                                       f’

                                         f

                                                               3      4
                                             1




              Observeu que:
              en l’interval en què la derivada és positiva la funció és creixent: (4 , + ∞)
              en l’interval en què la derivada és negativa la funció és decreixent: (− ∞ , 4)
              en el punt x = 4 en què la funció té un extrem (mínim) la derivada val 0 .
              en els punts x = 1 i x = 3 en què la derivada té un extrem, la funció té inflexions.
Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades                 Josep M. Lluch________________16


                 Criteris suficients per a l'existència d'extrems i inflexions i
                 per a la monotonia i la curvatura a partir de les derivades
                                          successives




                     f ' (a) < 0                       f ' (a) = 0                      f ' (a) > 0

               f decreixent i convexa             Màxim en x = a              f creixent i convexa
                      en x = a                      (convexa)                        en x = a


f’’(a) < 0


                                 a                          a                              a

                f '''(a)<0       f '''(a)>0   f '''(a)<0        f '''(a)>0   f '''(a)>0        f '''(a)<0




f’’(a) = 0
                                                   a                 a
                                                                                    a                a
                     a                a


                   f decreixent amb            inflexió amb tangent          f creixent amb inflexió
                    inflexió en x = a           horitzontal en x = a                 en x = a

               f decreixent i còncava              mínim en x = a             f creixent i còncava
                      en x = a                       (còncava)                       en x = a
f’’(a) > 0




                             a                              a                                    a


      Aquestes condicions són suficients però no necessàries:

   ♦ Pot haver-hi mínim en x = a sense que necessàriament sigui f ''( a ) > 0 (pot ser f ''( a ) = 0 ).
   ♦ Pot haver-hi màxim en x = a sense que necessàriament sigui f ''( a ) < 0 (pot ser f ''( a ) = 0 ).
   ♦ Pot haver-hi inflexió en x = a sense que necessàriament sigui f '''( a ) = 0 .
Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades                         Josep M. Lluch________________17

      4.5    Gràfica d’una funció. Exemple model

                                         x3           x3
                              f ( x) = 2         =
                                      x − 2 x + 1 ( x − 1) 2

      1.     Domini:                    {
                          Dom f = x ∈ ℝ x 2 − 2 x + 1 ≠ 0 = ℝ − {1}     }
      2.     Signe de la funció: Noteu que el denominador és positiu; per tant, el signe de f
      només depèn del numerador:         f ( x) > 0 ⇔ x 3 > 0 ⇔ x > 0
                                         f ( x) < 0 ⇔ x 3 < 0 ⇔ x < 0 .
      Per tant f serà positiva si x > 0 (gràfica al primer quadrant) i negativa si x < 0 (gràfica al
      tercer quadrant).
                                          − x3           ≠ f ( x)
      3.     Simetries:       f (− x) =                             per tant no és ni parella ni imparella: no té
                                        (− x − 1) 2     ≠ − f ( x )
      cap mena de simetria.

      4.     Interseccions amb els eixos:

             a)      Amb l'eix d'abscisses: f ( x ) = 0 ⇔ x 3 = 0 ⇔ x = 0 . Intersecció: (0, 0) .
             b)      Amb l'eix d'ordenades: f (0) = 0 . Intersecció: (0, 0) .

                                                                        3x 2 ·( x − 1) 2 − 2( x − 1)·x 3 x 3 − 3x 2
      5.     Monotonia i extrems relatius:                  f '( x) =                                   =           =
                                                                                   ( x − 1)4              ( x − 1)3
                                                            x 2 ( x − 3)
                                                             ( x − 1)3

             ♦       Punts en què f ' és discontínua:                x = 1.
                                                                                                    x = 0
             ♦       Punts en què f ' ( x ) = 0 :            x 3 − 3 x 2 = 0 ⇔ x 2 · ( x − 3) = 0 ⇔ 
                                                                                                    x = 3
             ♦       Signe de la derivada:

                  • x < 0 ⇒ f ' ( x) > 0 ⇒     f ( x) és estrictament creixent en (− ∞, 0) .
                  • 0 < x < 1 ⇒ f ' ( x ) > 0 ⇒ f ( x ) és estrictament creixent en (0, 1) .
                  • 1 < x < 3 ⇒ f ' ( x ) < 0 ⇒ f ( x ) és estrictament decreixent en (1, 3) .
                  • x > 3 ⇒ f ' ( x) > 0 ⇒       f ( x) és estrictament creixent en (3, + ∞) .

      Extrems relatius: En x = 3 la funció és contínua i passa de decreixent a creixent; per tant hi
                                                                                               ha un
                                0                   1                                           3


                                                27 
      mínim en el punt (3, f (3)) =  3,            
                                                 4 

                                   (3 x 2 − 6 x) · ( x − 1) 3 − 3( x − 1) 2 · ( x 3 − 3 x 2 )       6x
      6.     Curvatura:       f ' ' ( x) =                                                    =
                                                          ( x − 1) 6
                                                                                                ( x − 1) 4
             ♦       Punts en què f '' és discontínua: x = 1 .
             ♦       Punts en què f ' ' ( x ) = 0 :     6x = 0 ⇔ x = 0 .
Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades                      Josep M. Lluch________________18

              ♦      Signe de la derivada segona:
                   • x < 0 ⇒ f ' ' ( x) < 0 ⇒     f ( x) és convexa en (− ∞, 0) .
                   • 0 < x < 1 ⇒ f ' ' ( x ) > 0 ⇒ f ( x ) és còncava en (0, 1) .
                   • x > 1 ⇒ f ' ' ( x) > 0 ⇒       f ( x) és còncava en (1, + ∞) .




                                0              1
      Inflexions: En x = 0 la funció és contínua i passa de convexa a còncava, per tant hi ha una
      inflexió en el punt (0, f (0)) = (0, 0) .

      7.   Asímptotes i discontinuïtats:

           a) Verticals: Només n'hi pot haver en x = 1 : lím f ( x ) = + ∞ (El signe positiu es
                                                                    x →1

           dedueix de l'estudi del creixement i de la concavitat.) Per tant, la recta x = 1 és asímptota
           vertical de la funció. Hi ha una discontinuïtat infinita en x = 1 .

           b) Horitzontals: lím f ( x) = + ∞       ;   lím f ( x) = − ∞ . Per tant, no n'hi ha ni per la
                               x →+ ∞                  x→ − ∞

           dreta ni per l'esquerra.
                             f ( x)             x3                                            x3          
           c) Obliqües: lím         = lím               = 1 (= m) lím ( f ( x) − mx) = lím  2          − x =
                        x→ ∞          x →∞ x ( x − 1) 2           x→ ∞                 x→ ∞ x − 2 x + 1
                               x                                                                          
                    2 x2 − x
           = lím                = 2 (= n) Per tant, la recta d'equació         y = mx + n ⇔ y = x + 2 és
             x→ ∞ x 2 − 2 x + 1

           asímptota obliqua de la funció per l'esquerra i per la dreta.




                                                        27
                                                        4




               y= x+2                                           0          1   3


                                                                                    x=1
Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades                                  Josep M. Lluch________________19


    5 Problemes d’optimització (o d’extrems condicionats)
  Aquests problemes consisteixen a trobar el valor màxim o mínim d'una magnitud (optimitzar-la)
  que depèn d'una altra, estant totes dues sotmeses a una condició que les relaciona o lliga.
        Cal expressar la magnitud a optimitzar com una funció f que depengui d'una sola variable
  utilitzant la condició, i calcular el valor màxim o mínim de f .

  Exemple model:

  Calculem quines són les dimensions del triangle d'àrea màxima entre tots els que estan inscrits en
  una circumferència de radi r = 10 cm

                                                             La funció que s'ha d'optimitzar (en aquest cas,
                                                             maximitzar) és l'àrea del triangle:
                                                                                    2y·x
                                                                               A=        = y·x
                                                                                     2
                        10
                                                             De moment depèn de dues variables: x i y .
                                                             El fet que el triangle estigui inscrit en la
                                 x                           circumferència imposa a les variables la condició
                                                             següent (teorema de Pitàgores):
                 10
                                                                                y 2 + ( x − 10) 2 = 10 2

                                                             D'aquesta condició obtenim: y = 20 x − x 2 .
                    y
                                                             Substituint en l'expressió de l'àrea, podem
                                                             expressar-la com una funció que depèn només de
                                                             x:
                                     Àrea = A( x ) = x · 20 x − x definida en l'interval
                                                                 2
                                                                                                           [ 0, 20]
  El valor màxim es presentarà per a algun valor de x en què                            f ' ( x) valgui 0 . (També es podria
  donar en algun extrem de l'interval           [ 0, 20] , però          tant f (0) com f ( 20) valen 0 .)
                                     20 − 2 x       30 x − 2 x   2
                                                                                                                  x=0
   A ' ( x) = 20 x − x 2 + x ·                  =                          ;    A ' ( x) = 0 ⇒ 30 x − 2 x 2 = 0 ⇒ 
                                 2 20 x − x 2        20 x − x 2                                                    x = 15

  La solució x = 0 no és vàlida (anul·la
  el denominador de la derivada). El                                                                         f ( x) = x · 20 x − x2
  valor màxim de l'àrea es dóna quan
  x = 15 cm . (Per confirmar que és un                               75 3
  màxim i no un mínim es podria calcular
   A ' ' ( x) i comprovar que A ' ' (15) < 0 ).

  Les dimensions són, doncs:
  base = 2 y = 2 20·15 − 152 = 10 3 cm
  altura = x = 15 cm .
  L'àrea màxima serà:                                                0                            15             20
        10 3 ·15
   A=            = 75 3 cm 2 .
           2
  (Observeu que es tracta d'un triangle equilàter.)
Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades                                Josep M. Lluch________________20

  Relació entre les derivades successives d'una funció, la monotonia, els
                 extrems, la curvatura i els punts d'inflexió




                        6
                                        f '''(0) > 0

             –2         0      2
                                                          Exemple:                    f(x) = x 3 − 12x
    f '''( x) = 6




                                            f ''(0) = 0    f ''(−2) < 0     f ''(2) > 0     f ''( x) < 0   f ''( x) > 0
             –2         0      2

   f ''( x) = 6 x                                                                           si x < 0       si x > 0




                                                                                                                      f '( x) > 0
                                                                                                                   si x ∉ [ − 2, 2 ]
                                                                                                                      f '( x) < 0
            –2          0          2                       f '(−2) = 0      f '(2) = 0                             si x ∈ ( − 2 , 2)




                        – 12
   f '( x) = 3 x − 12
                    2




    − 12 – 2            0      2       12
                                        inflexió           màxim           mínim              f           f               f
                                        en x = 0          en x = – 2       en x = 2       convexa      còncava        decreixent
                                                                                           si x < 0    si x > 0       en (– 2, 2)
                                                                                                                      creixent en




  f ( x) = x3 − 12 x                                                                                                  ( − ∞ , − 2) i
                                                                                                                      (2 , + ∞ )

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

4 Temas Adicionales De La Derivada
4 Temas Adicionales De La Derivada4 Temas Adicionales De La Derivada
4 Temas Adicionales De La DerivadaERICK CONDE
 
Fractional programming (A tool for optimization)
Fractional programming (A tool for optimization)Fractional programming (A tool for optimization)
Fractional programming (A tool for optimization)VARUN KUMAR
 
Inner Product Space
Inner Product SpaceInner Product Space
Inner Product SpacePatel Raj
 
Transforming Quadratic functions from General Form to Standard Form
Transforming Quadratic functions from General Form to Standard FormTransforming Quadratic functions from General Form to Standard Form
Transforming Quadratic functions from General Form to Standard FormIvy Estrella
 
Linear Algebra PowerPoint
Linear Algebra PowerPointLinear Algebra PowerPoint
Linear Algebra PowerPointAshley Carter
 
Sum and product of the roots of a
Sum and product  of the roots of aSum and product  of the roots of a
Sum and product of the roots of aMartinGeraldine
 
The chain rule
The chain ruleThe chain rule
The chain ruleJ M
 
Lesson 2: Limits and Limit Laws
Lesson 2: Limits and Limit LawsLesson 2: Limits and Limit Laws
Lesson 2: Limits and Limit LawsMatthew Leingang
 
Limites de fonctions et de suites
Limites de fonctions et de suitesLimites de fonctions et de suites
Limites de fonctions et de suitesĂmîʼndǿ TrànCè
 
Lecture 8 derivative rules
Lecture 8   derivative rulesLecture 8   derivative rules
Lecture 8 derivative rulesnjit-ronbrown
 
Taylor Polynomials and Series
Taylor Polynomials and SeriesTaylor Polynomials and Series
Taylor Polynomials and SeriesMatthew Leingang
 
Tema 6 siruri seriidefunctii
Tema 6 siruri seriidefunctiiTema 6 siruri seriidefunctii
Tema 6 siruri seriidefunctiiSerghei Urban
 
Differentiation using First Principle - By Mohd Noor Abdul Hamid
Differentiation using First Principle  - By Mohd Noor Abdul HamidDifferentiation using First Principle  - By Mohd Noor Abdul Hamid
Differentiation using First Principle - By Mohd Noor Abdul HamidMohd. Noor Abdul Hamid
 
Sistema de ecuaciones lineales(05 09-2012)
Sistema de ecuaciones lineales(05 09-2012)Sistema de ecuaciones lineales(05 09-2012)
Sistema de ecuaciones lineales(05 09-2012)Carlita Vaca
 

Was ist angesagt? (20)

Ring homomorphism
Ring homomorphismRing homomorphism
Ring homomorphism
 
Funciones polinomicas
Funciones polinomicasFunciones polinomicas
Funciones polinomicas
 
Curve fitting
Curve fittingCurve fitting
Curve fitting
 
4 Temas Adicionales De La Derivada
4 Temas Adicionales De La Derivada4 Temas Adicionales De La Derivada
4 Temas Adicionales De La Derivada
 
Chain Rule
Chain RuleChain Rule
Chain Rule
 
Fractional programming (A tool for optimization)
Fractional programming (A tool for optimization)Fractional programming (A tool for optimization)
Fractional programming (A tool for optimization)
 
Inner Product Space
Inner Product SpaceInner Product Space
Inner Product Space
 
Transforming Quadratic functions from General Form to Standard Form
Transforming Quadratic functions from General Form to Standard FormTransforming Quadratic functions from General Form to Standard Form
Transforming Quadratic functions from General Form to Standard Form
 
Tipos de funciones
Tipos de funcionesTipos de funciones
Tipos de funciones
 
Linear Algebra PowerPoint
Linear Algebra PowerPointLinear Algebra PowerPoint
Linear Algebra PowerPoint
 
Sum and product of the roots of a
Sum and product  of the roots of aSum and product  of the roots of a
Sum and product of the roots of a
 
The chain rule
The chain ruleThe chain rule
The chain rule
 
Lesson 2: Limits and Limit Laws
Lesson 2: Limits and Limit LawsLesson 2: Limits and Limit Laws
Lesson 2: Limits and Limit Laws
 
Limites de fonctions et de suites
Limites de fonctions et de suitesLimites de fonctions et de suites
Limites de fonctions et de suites
 
Lecture 8 derivative rules
Lecture 8   derivative rulesLecture 8   derivative rules
Lecture 8 derivative rules
 
Polynomials
PolynomialsPolynomials
Polynomials
 
Taylor Polynomials and Series
Taylor Polynomials and SeriesTaylor Polynomials and Series
Taylor Polynomials and Series
 
Tema 6 siruri seriidefunctii
Tema 6 siruri seriidefunctiiTema 6 siruri seriidefunctii
Tema 6 siruri seriidefunctii
 
Differentiation using First Principle - By Mohd Noor Abdul Hamid
Differentiation using First Principle  - By Mohd Noor Abdul HamidDifferentiation using First Principle  - By Mohd Noor Abdul Hamid
Differentiation using First Principle - By Mohd Noor Abdul Hamid
 
Sistema de ecuaciones lineales(05 09-2012)
Sistema de ecuaciones lineales(05 09-2012)Sistema de ecuaciones lineales(05 09-2012)
Sistema de ecuaciones lineales(05 09-2012)
 

Ähnlich wie Anàlisi 3

Aplicacions de la derivada : Gràfiques de Funcions, Hôpital i el Polinomi de ...
Aplicacions de la derivada : Gràfiques de Funcions, Hôpital i el Polinomi de ...Aplicacions de la derivada : Gràfiques de Funcions, Hôpital i el Polinomi de ...
Aplicacions de la derivada : Gràfiques de Funcions, Hôpital i el Polinomi de ...Mònica Orpí Mañé
 
Introducció a les derivades Mònica Orpí
Introducció a les derivades Mònica OrpíIntroducció a les derivades Mònica Orpí
Introducció a les derivades Mònica OrpíMònica Orpí Mañé
 
Treball de mates(funcions)
Treball de mates(funcions)Treball de mates(funcions)
Treball de mates(funcions)sandrukkii
 
Treball de mates(funcions)
Treball de mates(funcions) Treball de mates(funcions)
Treball de mates(funcions) sandrukkii
 
Unitat de derivada d'una funció, matemàtiques de primer de batxillerat (versi...
Unitat de derivada d'una funció, matemàtiques de primer de batxillerat (versi...Unitat de derivada d'una funció, matemàtiques de primer de batxillerat (versi...
Unitat de derivada d'una funció, matemàtiques de primer de batxillerat (versi...SophieMoreno3
 
Integrals indefinides ampliat Mònica Orpí
Integrals indefinides ampliat Mònica OrpíIntegrals indefinides ampliat Mònica Orpí
Integrals indefinides ampliat Mònica OrpíMònica Orpí Mañé
 
Integrals indefinides Mònica Orpí
Integrals indefinides  Mònica OrpíIntegrals indefinides  Mònica Orpí
Integrals indefinides Mònica OrpíMònica Orpí Mañé
 
Aplicacions de la derivada Mònica Orpí
Aplicacions de la derivada Mònica OrpíAplicacions de la derivada Mònica Orpí
Aplicacions de la derivada Mònica OrpíMònica Orpí Mañé
 
Derivades 2n de Batxillerat CCSS
Derivades 2n de Batxillerat CCSSDerivades 2n de Batxillerat CCSS
Derivades 2n de Batxillerat CCSSAlbert Sola
 
Funcions contínues i derivables. Els Teoremes de Bolzano, Rolle, Lagrange i e...
Funcions contínues i derivables. Els Teoremes de Bolzano, Rolle, Lagrange i e...Funcions contínues i derivables. Els Teoremes de Bolzano, Rolle, Lagrange i e...
Funcions contínues i derivables. Els Teoremes de Bolzano, Rolle, Lagrange i e...Mònica Orpí Mañé
 

Ähnlich wie Anàlisi 3 (14)

Anàlisi 1
Anàlisi 1Anàlisi 1
Anàlisi 1
 
Anàlisi 2
Anàlisi 2Anàlisi 2
Anàlisi 2
 
Aplicacions de la derivada : Gràfiques de Funcions, Hôpital i el Polinomi de ...
Aplicacions de la derivada : Gràfiques de Funcions, Hôpital i el Polinomi de ...Aplicacions de la derivada : Gràfiques de Funcions, Hôpital i el Polinomi de ...
Aplicacions de la derivada : Gràfiques de Funcions, Hôpital i el Polinomi de ...
 
Introducció a les derivades Mònica Orpí
Introducció a les derivades Mònica OrpíIntroducció a les derivades Mònica Orpí
Introducció a les derivades Mònica Orpí
 
Treball de mates(funcions)
Treball de mates(funcions)Treball de mates(funcions)
Treball de mates(funcions)
 
Anàlisi 4
Anàlisi 4Anàlisi 4
Anàlisi 4
 
Treball de mates(funcions)
Treball de mates(funcions) Treball de mates(funcions)
Treball de mates(funcions)
 
Unitat de derivada d'una funció, matemàtiques de primer de batxillerat (versi...
Unitat de derivada d'una funció, matemàtiques de primer de batxillerat (versi...Unitat de derivada d'una funció, matemàtiques de primer de batxillerat (versi...
Unitat de derivada d'una funció, matemàtiques de primer de batxillerat (versi...
 
Integrals indefinides ampliat Mònica Orpí
Integrals indefinides ampliat Mònica OrpíIntegrals indefinides ampliat Mònica Orpí
Integrals indefinides ampliat Mònica Orpí
 
Integrals indefinides Mònica Orpí
Integrals indefinides  Mònica OrpíIntegrals indefinides  Mònica Orpí
Integrals indefinides Mònica Orpí
 
Aplicacions de la derivada Mònica Orpí
Aplicacions de la derivada Mònica OrpíAplicacions de la derivada Mònica Orpí
Aplicacions de la derivada Mònica Orpí
 
Derivades 2n de Batxillerat CCSS
Derivades 2n de Batxillerat CCSSDerivades 2n de Batxillerat CCSS
Derivades 2n de Batxillerat CCSS
 
Funcions
Funcions Funcions
Funcions
 
Funcions contínues i derivables. Els Teoremes de Bolzano, Rolle, Lagrange i e...
Funcions contínues i derivables. Els Teoremes de Bolzano, Rolle, Lagrange i e...Funcions contínues i derivables. Els Teoremes de Bolzano, Rolle, Lagrange i e...
Funcions contínues i derivables. Els Teoremes de Bolzano, Rolle, Lagrange i e...
 

Anàlisi 3

  • 1. Anàlisi (III) Derivades Segon de batxillerat Josep M. Lluch IES Ramon Muntaner 1 Concepte de derivada 1.1 Derivada d’una funció en un punt Sigui f una funció definida en el punt x = a . S'anomena derivada de f en el punt x = a , i es representa per f ' ( a ) , el límit següent (si existeix): f ( x) − f (a) f ( a + h) − f ( a ) f '(a ) = lím També es pot expressar: f '(a ) = lím x→a x−a h →0 h Si existeix f ' ( a ) es diu que f és derivable en el punt x = a . f ( x) − f (a) L’expressió es diu taxa de variació de la funció en l’interval [ a , x ] ; la derivada x−a en un punt representa la taxa de variació instantània de la funció f en el punt x = a . x3 − 1 Exemple: Si f ( x) = x3 i a = 1: f '(1) = lím = lím ( x 2 + x + 1) = 3 x →1 x −1 x → 1 Interpretació geomètrica: La derivada d'una funció f en el punt x = a és el pendent de la recta tangent a la gràfica de f en el punt P = (a , f (a )) Q f(x) f ( x) − f (a) = tg β = x−a f(x) – f(a) = pendent de PQ β P α t f '(a ) = lím tg β = tg α = f(a) x→a x–a pendent de t (recta tangent ) a x 1.2 Derivades laterals 1.2.1 Derivada lateral per la dreta És el límit següent (si existeix): tg α = f '+ (a ) f ( x) − f (a ) f '+ ( a ) = lím + = x→ a x−a α f (a + h ) − f (a ) = lím + a h→ 0 h
  • 2. Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch________________2 1.2.2 Derivada lateral per l’esquerra És el límit següent (si existeix): f ( x) − f (a ) tg α = f '− (a) f '− ( a ) = lím − = x→ a x−a f (a + h) − f (a ) α = lím − h→ 0 h a Teorema: La condició necessària i suficient perquè f sigui derivable en x = a és que les derivades laterals en x = a existeixin i coincideixin. En aquest cas: f '(a ) = f '− (a ) = f '+ (a ) Punt Si les derivades laterals existeixen en angulós x = a però no coincideixen, es diu que f té un punt angulós en x = a . a 1.3 Recta tangent i recta normal a una corba L'equació de la recta tangent a la gràfica de f en el punt (a, f (a )) és: y − f (a ) = f ' (a )( x − a ) tangent f (a) La recta perpendicular a la tangent en el punt (a, f (a )) s'anomena normal a la gràfica en normal aquest punt. La seva equació és: a 1 y − f (a) = − ( x − a) f ' (a ) (suposant que f '(a ) ≠ 0 ). Si f '(a ) = 0 , l’equació de la normal és: x = a (recta paral·lela a l’eix d’ordenades) i la de la tangent: y = f (a ) (recta paral·lela a l’eix d’abscisses)
  • 3. Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch________________3 Exemple: Calculem les equacions de la tangent i la normal a la gràfica de f ( x) = ln x en el punt (1, 0) . tangent ln x − ln1 = lím ln ( x1/( x −1) )  = ln x f '(1) = lím = lím x →1 x −1 x → 1 x −1 x →1  = ln  lím ( x1/( x −1) )  = ln e = 1 x →1    1 Tangent: y = x − 1 Normal: y = − ( x − 1) ⇔ y = − x + 1 normal 1.4 Derivada infinita f ( x) − f (a) Es diu que f té derivada infinita en x = a si hi és contínua i lím =∞ x→a x−a Ho denotarem: f ' (a ) = ∞ En aquest cas la funció f no és derivable en x = a En els punts de derivada infinita la tangent a la gràfica és paral·lela a l'eix d'ordenades. a a f '(a ) = + ∞ f '(a ) = − ∞ De manera anàloga es defineixen les derivades laterals infinites. punt de retrocés Si hi ha derivades laterals infinites de signe diferent en x = a , es diu que f té un punt de retrocés en x = a . a f −' (a ) = − ∞ f +' (a ) = + ∞ 1.5 Funció derivada Si f és derivable en tots els punts del conjunt E ⊂ Dom f podem definir la funció: f' :E ℝ a f ' (a) que assigna a cada nombre a ∈ E la derivada de f en x = a . Es diu funció derivada (o derivada primera) de f .
  • 4. Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch________________4 df La funció derivada es denota de diferents formes: y ' , f ' ( x) , Df , dx Exemple: funció derivada de f ( x) = x3 x3 − a3 f '(a ) = lím = lím ( x 2 + a x + a 2 ) = 3 a 2 , per tant: f '( x) = 3 x 2 x→a x−a x→a 1.6 Derivades d’ordre superior Si f ' és derivable es pot calcular la seva derivada, que s'anomena derivada segona (o segona derivada) de f : f ''( x) = ( f '( x) ) ' . 2 d2 f Es representa de diferents formes: y ' ' , f ' ' ( x) , D f , . dx 2 Per recurrència es poden definir les derivades successives: tercera, quarta,..., enèsima: f '''( x) = [ f ''( x) ] ' .... ( f n ( x) = f n −1 ( x) ) ' 2 Derivades de les funcions elementals 2.1 Taula de derivades y = f ( x) y ' = f '( x) y=k (k ∈ℝ) y'= 0 y=x y ' =1 y = x r ( r ∈ℝ ) y ' = rx r −1 1 y= x y'= 2 x 1 y=nx y'= n n x n−1 y = ln x 1 y'= x 1 y = log a x y'= xlna y = ex y ' = ex y = ax (a > 0) y ' = a x · lna y = sin x y ' = cos x y = cos x y ' = − sin x y = tg x 1 y'= 2 = 1 + tg 2 x cos x −1 y = cotg x y ' = 2 = − (1 + cotg 2 x) sin x 1 y = arcsin x y'= 1 − x2
  • 5. Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch________________5 y = arccos x −1 y'= 1 − x2 y = arctg x 1 y'= 1 + x2 y = arccotg x −1 y'= 1 + x2 2.2 Regles de derivació 2.2.1 Derivades i operacions amb funcions f Si f i g són derivables també ho són f + g , f · g , i (si el denominador no g s’anul·la) i es compleix: ( f + g )' = f '+ g ' ( f · g )' = f '· g + f · g ' (k · f )' = k · f ' (k ∈ ℝ ) '  f  f '· g − f · g '   = g   g2 Si f , g i h són derivables, també ho és f · g · h i es compleix: ( f · g · h) ' = f '· g · h + f · g '· h + f · g · h ' 2.2.2 Derivada d’una funció composta (regla de la cadena) Si f és derivable en x = a i g és derivable en y = f (a) llavors (g f )( x) = g ( f ( x)) també és derivable en x = a i es compleix: ( g f )'(a) = g '( f (a))· f '(a) (regla de la cadena) Per reiteració, si h és derivable en z = g ( f (a )) s'obté: (h g f )'(a) = h '( g ( f (a))· g '( f (a))· f '(a) 1 Exemple: y = sin (ln ( x 3 + x)) ⇒ y ' = cos (ln( x3 + x))· ·(3 x 2 + 1) x +x 3 2.2.3 Derivada de la funció recíproca (o inversa) −1 Si f és derivable en x = a (amb f ' (a ) ≠ 0 ) i existeix la funció recíproca f , aquesta és derivable en y = f (a ) i es compleix:
  • 6. Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch________________6 1 ( f −1 ) ' ( f (a )) = f ' (a) −1 Exemple: La recíproca de f ( x) = x n és f ( x) = n x , llavors: ' ( x)  = x ( x)  =1 ( x ) ·( x ) = 1 ( x) = n n −1  n n ⇒  n n ⇒ n n n ' ⇒ n ' 1         n x n −1 2.2.4 Derivada logarítmica S'utilitza sobretot per a derivar funcions potencials-exponencials de la forma: y = f ( x) g ( x ) (amb f ( x) > 0 ) Exemple: y = ( sin x) 4 x a) Apliquem logaritmes a cada membre: ln y = ln ( sin x) 4 x    b) Baixem l’exponent del segon membre: ln y = 4 x ln ( sin x) y' cos x c) Derivem cada membre: = 4 ln ( sin x) + 4 x y sin x d) Aïllem la derivada:  cos x  y ' = y  4 ln ( sin x) + 4 x  ⇔ y ' = ( sin x) [ 4 ln ( sin x) + 4 x cotg x ] 4x  sin x  En general, si y = f ( x) g ( x ) , la derivada és:  f '( x)  y ' = f ( x) g ( x ) ·  g '( x)· ln f ( x) + g ( x)·   f ( x)  2.2.5 Derivada implícita S’utilitza per derivar funcions en què la variable dependent, y , no està aïllada. Exemple: x 2 y + y 2 sin x = cos y Derivem cada membre, tenint en compte que y = f ( x) : 2 xy + x 2 y '+ 2 y y ' sinx + y 2 cos x = −( sin y ) y ' ⇔ y ' ( x 2 + 2 y sin x + sin y ) = −2 x y − y 2 cos x ⇔ −2 x y − y 2 cos x ⇔ y'= x 2 + 2 y sin x + sin y
  • 7. Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch________________7 3 Teoremes relatius a funcions derivables 3.1 Derivabilitat i continuïtat Teorema: f derivable en x = a ⇒ f contínua en x = a El recíproc no és cert: pot ser que f sigui contínua en x = a sense ser-hi derivable. Exemples: a) f ( x) = x és contínua en x = 0 però no hi és derivable: f '+ (0) = 1 i f '− (0) = −1  1  x · sin  si x≠0 b) f ( x) =   x és contínua en x = 0 però no hi és derivable. 0  si x=0 1 x · sin   f ( x) − f (0)  x  = lím sin  1  que no existeix En efecte: lím = lím   x →0 x−0 x →0 x x →0  x 3.2 Estudi de la derivabilitat d’una funció Teorema: Si f és contínua en x = a es compleix: f '− (a ) = lím− f '( x) i f '+ (a ) = lím+ f '( x) (si aquests límits existeixen). x→a x→a Exemple 1: Estudiem la derivabilitat de la funció: f ( x) = 2 + ln ( x − 3) en x = 4 . La funció és contínua en x = 4 perquè és composició de funcions contínues. Notem que la funció es pot definir a trossos de la manera següent: 2 + ln( x − 3) si x ≥ 4 f ( x) =   2 − ln( x − 3) si 3 < x < 4  1  x−3 si x > 4  Llavors: f '( x) =   −1 si 3 < x < 4  x −3  2 −1 f '− (4) = lím− f '( x) = lím− = −1 x →4 x→4 x−3 4 1 f '+ (4) = lím+ f '( x) = lím+ =1 x→4 x →4 x − 3 Hi ha un punt angulós en x = 4 .  2e x − 1 si x<0 Exemple 2: Estudiem la derivabilitat de f ( x) =  2 − x + 2 x + 1 si x≥0
  • 8. Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch________________8  2e x si x < 0 Òbviament: f ' ( x) =  Estudiem la situació en x = 0 . − 2 x + 2 si x > 0 a) Vegem primerament si f (x) és contínua en x = 0 : f (0) = 1 lím f ( x) = lím− ( 2e x − 1) = 1 ⇒ f (x) és contínua en x = 0 x → 0− x →0 lím f ( x) = lím+ ( − x 2 + 2 x + 1) = 1 x → 0+ x →0 b) Derivabilitat: f '− (0) = lím− f '( x) = lím− 2e x = 2 x →0 x →0 1 f (0) = lím+ f '( x) = lím+ ( −2 x + 2 ) = 2 ' + x →0 x →0 0 ⇒ f (x) és derivable en x = 0 i, per tant, en ℝ . 3.3 Teorema (o regla) de l’Hôpital Siguin f i g dues funcions que compleixen: a) lím f ( x) = lím g ( x) = 0 , x →c x →c f '( x) b) Existeix lím x →c g '( x) f ( x) f '( x) En aquestes condicions es compleix: lím = lím x →c g ( x) x → c g '( x ) Aquest teorema també es compleix quan f i g tendeixen a infinit i quan x tendeix a infinit. La regla de l'Hôpital serveix per a resoldre diferents tipus d'indeterminacions en el càlcul de límits. Exemples: 1 1− x − arctg x  0  1 + x 2 = lím 1 1 1. lím =   = lím = x→0 x3  0  x→0 3x 2 ( ) 3 x→0 3 1 + x 2 1 − cos x  0  sin x cos x 2. lím 2 =   = lím = lím =1 x→0 x /2  0  x→0 x x→0 1 3x ( ln 3) 2 3x  ∞  3x ln 3 3. lím 2 =   = lím = lím = +∞ x→+∞ x  ∞  x →+ ∞ 2 x x→+∞ 2
  • 9. Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch________________9 1 ln ( x − 1)  ∞  4. lím+ ln x ( ln ( x − 1) )  = [ 0·(− ∞)] = lím+   =   = lím+ x − 1 = x →1 x →1 1  ∞  x →1 −1/ x ln x (ln x)2 x (ln x) 2  0  (ln x)2 + 2 ln x = lím+ =   = lím+ =0 x →1 1− x  0  x →1 −1 1 1 1−  1 1  x − 1 − ln x 0 1  = [ ∞ − ∞ ] = lím 2 5. lím  − = lím x =   = lím x = x →1 ln x  x −1  x →1 ( x − 1)ln x x →1 x − 1  0  x →1 1 1 2 ln x + + x x x2 6. lím+ ( x − 1)ln x = 00    Sigui A = lím+ ( x − 1)ln x = 00  ; prenent logaritmes:   x →1 x →1 ln A = ln  lím+ ( x − 1)ln x  ⇔ ln A = lím+ ln ( x − 1)ln x  ⇔ ln A = lím+ [ln x ln ( x − 1) ] ⇔ ln A = 0    x →1    x →1 x →1 (segons l’exemple 4) Per tant: A =1 4 Aplicacions a l’estudi de la gràfica d’una funció 4.1 Extrems relatius: màxims i mínims Definició prèvia Si a i r són nombres reals, amb r > 0 , s’anomena entorn de centre a i radi r l’interval obert (a − r , a + r ) . Es representa: Er (a ) r a–r a a+r 4.1.1 Màxim relatiu Es diu que la funció f té un màxim relatiu en el punt x = a si existeix un entorn Er (a ) tal que si x ∈ Er (a ) i x ≠ a es compleix: f ( x) < f (a ) . Si la desigualtat es compleix per a qualsevol x del domini de f , es diu màxim absolut. 4.1.2 Mínim relatiu Es diu que la funció f té un mínim relatiu en el punt x = a si existeix un entorn Er (a ) tal que si x ∈ Er ( a ) i x ≠ a es compleix: f ( x) > f (a ) . Si la desigualtat es compleix per a qualsevol x del domini de f , es diu mínim absolut.
  • 10. Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch________________10 Per a l’existència d’extrems relatius en un punt no cal que la funció hi sigui derivable, ni tan sols contínua. a a a Mínim sense continuïtat Mínim amb continuïtat Mínim amb derivabilitat però sense derivabilitat 4.1.3 Relació amb la derivada Condició necessària: Si f té un extrem relatiu en x = a i és derivable en x = a , es compleix: f '(a ) = 0 Nota: La condició anterior no és suficient: pot ser f '(a ) = 0 sense que hi hagi extrem en el punt x = a (per exemple: f ( x ) = x 3 en x = 0 ) Condicions suficients: Suposem que f admet derivades primera i segona en el punt x = a . Si f '( a ) = 0 i f ''( a ) > 0 , f té un mínim relatiu en x = a . Si f '( a ) = 0 i f ''( a ) < 0 , f té un màxim relatiu en x = a . (Si f '( a ) = 0 i f ''( a ) = 0 , no es pot afirmar res.) Aquestes condicions no són necessàries: pot ser que f tingui un extrem en x = a amb f ''( a ) = 0 (exemple: f ( x ) = x 4 en x = 0 ). 4.2 Monotonia: creixement i decreixement 4.2.1 Creixement en un punt i en un interval 4.2.1.1 Es diu que la funció f és creixent en el punt a ∈ Dom f si existeix un entorn Er (a ) tal que: ( x ∈ Er (a ) i x < a ) ⇒ f ( x) ≤ f (a ) f (x2)   ( x ∈ Er (a ) i x > a ) ⇒ f ( x) ≥ f (a ) f (a)  f (x1) Si les desigualtats en els segons membres de les implicacions són estrictes es diu que f és estrictament x1 a x2 creixent en el punt a .
  • 11. Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch________________11 4.2.1.2 Es diu que la funció f és creixent en l’interval (a , b) si per a qualsevol parell de punts x1 i x2 de l’interval, amb x1 < x2 , es compleix: f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) . Si la desigualtat és estricta, es diu estrictament creixent en l’interval. Teorema: Una funció és creixent en un interval obert si ho és en cadascun dels punts de l’interval, i viceversa. 4.2.2 Decreixement en un punt i en un interval. 4.2.1.1 Es diu que la funció f és decreixent en el punt a ∈ Dom f si existeix un entorn Er (a ) tal que: ( x ∈ Er (a ) i x < a ) ⇒ f ( x) ≥ f (a )   ( x ∈ Er (a ) i x > a ) ⇒ f ( x) ≤ f (a )  Si les desigualtats en els segons membres de les implicacions són estrictes es diu que f és estric- tament decreixent en el punt a . f (x1) 4.2.1.3 Es diu que la f (a) funció f és decreixent en f (x2) l’interval (a , b) si per a qualsevol parell de punts x1 i x2 de l’interval, amb x1 a x2 x1 < x2 , es compleix: f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) . Si la desigualtat és estricta, es diu estrictament decreixent en l’interval. Teorema: Una funció és decreixent en un interval obert si ho és en cadascun dels punts de l’interval, i viceversa. 4.2.3 Relació amb la derivada Condicions suficients: Suposem que f és derivable en el punt x = a . Si f '( a ) > 0 , f és creixent (estrictament) en x = a . Si f '( a ) < 0 , f és decreixent (estrictament) en x = a . (Si f '( a ) = 0 , no es pot afirmar res.) Aquestes condicions no són necessàries: f pot ser creixent o decreixent en x = a amb f '( a ) = 0 (per exemple: f ( x ) = x 3 en x = 0 ). Conseqüència: Si f '( a ) > 0 en tots els punts d’un interval, la funció f serà creixent en l’interval. Si f '( a ) < 0 en tots els punts d’un interval, la funció f serà decreixent en l’interval.
  • 12. Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch________________12 Condicions necessàries: Suposem que f és derivable en el punt x = a . Si f és creixent en x = a , es compleix: f '( a ) ≥ 0 . Si f és decreixent en x = a , es compleix: f '( a ) ≤ 0 . Teorema: a) Si f és contínua en x = a i existeix un entorn d’aquest punt tal que a l’esquerra de a la funció és creixent i a la dreta és decreixent, la funció presenta un màxim relatiu en x = a . b) Si f és contínua en x = a i existeix un entorn d’aquest punt tal que a l’esquerra de a la funció és decreixent i a la dreta és creixent, la funció presenta un mínim relatiu en x = a . 4.3 Curvatura: concavitat i convexitat 4.3.1 Funció còncava Es diu que la funció f és còncava en un interval si tot segment que uneix dos punts de la gràfica dins de l’interval està per sobre de la gràfica. Es diu que la funció f és còncava en un punt x = a si ho és en un entorn d’aquest punt. En cas que f sigui derivable en x = a la tangent en el punt ( a , f (a ) ) estarà per sota de la gràfica. Funció còncava Funció còncava en un punt en un interval a b a 4.3.2 Funció convexa Es diu que la funció f és convexa en un interval si tot segment que uneix dos punts de la gràfica dins de l’interval està per sota de la gràfica. Es diu que la funció f és convexa en un punt x = a si ho és en un entorn d’aquest punt. En cas que f sigui derivable en x = a la tangent en el punt ( a , f (a ) ) estarà per sobre de la gràfica.
  • 13. Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch________________13 Funció convexa Funció convexa en un interval en un punt a b a Teorema: Si una funció és convexa o còncava en tots els punts d’un interval, ho serà en tot l’interval. 4.3.3 Relació amb les derivades Condicions suficients: Suposem que f admet segona derivada en el punt x = a . Si f ''( a ) > 0 , f és còncava en x = a . Si f ''( a ) < 0 , f és convexa en x = a . (Si f ''( a ) = 0 , no es pot afirmar res.) Aquestes condicions no són necessàries: f pot ser còncava o convexa en x = a amb f ''(a ) = 0 (per exemple: f ( x) = x 4 en x = 0 ). Conseqüència: Si f ''( a ) > 0 en tots els punts d’un interval, la funció f serà còncava en l’interval. Si f ''( a ) < 0 en tots els punts d’un interval, la funció f serà convexa en l’interval. Condicions necessàries: Suposem que f té derivada segona en el punt x = a . Si f és còncava en x = a , es compleix: f ''( a ) ≥ 0 . Si f és convexa en x = a , es compleix: f ''( a ) ≤ 0 . 4.4 Punts d’inflexió 4.4.1 Definició Es diu que la funció f té un punt d’inflexió en x = a si hi és contínua i en un entorn d’aquest punt es compleix que a l’esquerra de a és còncava i a la dreta de a és convexa (o al revés). a a
  • 14. Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch________________14 Si hi ha inflexió en x = a i existeix f '( a ) , la tangent en el punt ( a , f (a ) ) travessa la gràfica. 4.4.2 Relació amb la derivada segona Condició necessària: Si f té un punt d’inflexió en x = a i existeix f ''( a ) es compleix: f ''(a ) = 0 Nota: La condició anterior no és suficient: pot ser f ''(a ) = 0 sense que hi hagi inflexió en x = a (per exemple: f ( x ) = x 4 en x = 0 ) Condicions suficients: Suposem que f admet derivades primera, segona i tercera en el punt x = a . Si f ''( a ) = 0 i f '''( a ) > 0 , f té un punt d’inflexió en x = a (de convexa a còncava) Si f ''( a ) = 0 i f '''( a ) < 0 , f té un punt d’inflexió en x = a (de còncava a convexa) (Si f ''( a ) = 0 i f '''( a ) = 0 , no es pot afirmar res.) Aquestes condicions no són necessàries: pot ser que f tingui una inflexió en x = a amb f '''( a ) = 0 (exemple: f ( x ) = x 5 en x = 0 ). 4.5 Generalització dels criteris d’extrems i monotonia f '(a ) > 0 ⇒ f és creixent en x = a f '(a ) < 0 ⇒ f és decreixent en x = a  f ''(a ) > 0 ⇒ f té mínim relatiu en x = a  f ''(a ) < 0 ⇒ f té màxim relatiu en x = a   f '(a ) = 0 i   f '''(a ) > 0 ⇒ f és creixent en x = a (amb inflexió)     f '''(a ) < 0 ⇒ f és decreixent en x = a (amb inflexió)   f ''(a ) = 0 i     f (4) (a ) > 0 ⇒ f té mínim relatiu en x = a   (4)  f '''(a ) = 0 i  f (a ) < 0 ⇒ f té màxim relatiu en x = a     f (4) (a ) = 0 i ...  Resum (teorema de Taylor) Per saber quina és la situació en el punt x = a es calculen les derivades successives en aquest punt. ♦ Si la primera derivada que dóna diferent de zero és d'ordre parell, la funció té un extrem relatiu en x = a (mínim si és positiva, màxim si és negativa). ♦ Si la primera derivada que dóna diferent de zero és d'ordre imparell, la funció és creixent o decreixent en x = a segons que sigui positiva o negativa respectivament.
  • 15. Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch________________15 4.6 Generalització dels criteris d’inflexions i curvatura f ''(a ) > 0 ⇒ f és còncava en x = a f ''(a ) < 0 ⇒ f és convexa en x = a  f '''(a ) > 0 ⇒ f té inflexió en x = a (de convexa a còncava )  f '''(a ) < 0 ⇒ f té inflexió en x = a (de còncava a concexa )  f ''(a ) = 0 i   f (4) (a ) > 0 ⇒ f és còncava en x = a    f (4) (a ) < 0 ⇒ f és convexa en x = a  f '''(a ) = 0 i      f (5) (a ) > 0 ⇒ f té inflexió en x = a   (5) f (4) (a) = 0 i  f (a ) < 0 ⇒ f té inflexió en x = a     f (5) (a ) = 0 i ...  Resum (teorema de Taylor) Per saber quina és la situació en el punt x = a es calculen les derivades successives en aquest punt a partir de la segona. ♦ Si la primera derivada que dóna diferent de zero és d'ordre parell, la funció és còncava o convexa en x = a (segons si és positiva o negativa respectivament). ♦ Si la primera derivada que dóna diferent de zero és d'ordre imparell, la funció té un punt d’inflexió en x = a (de convexa a còncava si és positiva, de còncava a convexa si és negativa). 4.7 Relació entre les gràfiques de f i f ’ (exemple) f’ f 3 4 1 Observeu que: en l’interval en què la derivada és positiva la funció és creixent: (4 , + ∞) en l’interval en què la derivada és negativa la funció és decreixent: (− ∞ , 4) en el punt x = 4 en què la funció té un extrem (mínim) la derivada val 0 . en els punts x = 1 i x = 3 en què la derivada té un extrem, la funció té inflexions.
  • 16. Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch________________16 Criteris suficients per a l'existència d'extrems i inflexions i per a la monotonia i la curvatura a partir de les derivades successives f ' (a) < 0 f ' (a) = 0 f ' (a) > 0 f decreixent i convexa Màxim en x = a f creixent i convexa en x = a (convexa) en x = a f’’(a) < 0 a a a f '''(a)<0 f '''(a)>0 f '''(a)<0 f '''(a)>0 f '''(a)>0 f '''(a)<0 f’’(a) = 0 a a a a a a f decreixent amb inflexió amb tangent f creixent amb inflexió inflexió en x = a horitzontal en x = a en x = a f decreixent i còncava mínim en x = a f creixent i còncava en x = a (còncava) en x = a f’’(a) > 0 a a a Aquestes condicions són suficients però no necessàries: ♦ Pot haver-hi mínim en x = a sense que necessàriament sigui f ''( a ) > 0 (pot ser f ''( a ) = 0 ). ♦ Pot haver-hi màxim en x = a sense que necessàriament sigui f ''( a ) < 0 (pot ser f ''( a ) = 0 ). ♦ Pot haver-hi inflexió en x = a sense que necessàriament sigui f '''( a ) = 0 .
  • 17. Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch________________17 4.5 Gràfica d’una funció. Exemple model x3 x3 f ( x) = 2 = x − 2 x + 1 ( x − 1) 2 1. Domini: { Dom f = x ∈ ℝ x 2 − 2 x + 1 ≠ 0 = ℝ − {1} } 2. Signe de la funció: Noteu que el denominador és positiu; per tant, el signe de f només depèn del numerador: f ( x) > 0 ⇔ x 3 > 0 ⇔ x > 0 f ( x) < 0 ⇔ x 3 < 0 ⇔ x < 0 . Per tant f serà positiva si x > 0 (gràfica al primer quadrant) i negativa si x < 0 (gràfica al tercer quadrant). − x3  ≠ f ( x) 3. Simetries: f (− x) =  per tant no és ni parella ni imparella: no té (− x − 1) 2 ≠ − f ( x ) cap mena de simetria. 4. Interseccions amb els eixos: a) Amb l'eix d'abscisses: f ( x ) = 0 ⇔ x 3 = 0 ⇔ x = 0 . Intersecció: (0, 0) . b) Amb l'eix d'ordenades: f (0) = 0 . Intersecció: (0, 0) . 3x 2 ·( x − 1) 2 − 2( x − 1)·x 3 x 3 − 3x 2 5. Monotonia i extrems relatius: f '( x) = = = ( x − 1)4 ( x − 1)3 x 2 ( x − 3) ( x − 1)3 ♦ Punts en què f ' és discontínua: x = 1. x = 0 ♦ Punts en què f ' ( x ) = 0 : x 3 − 3 x 2 = 0 ⇔ x 2 · ( x − 3) = 0 ⇔  x = 3 ♦ Signe de la derivada: • x < 0 ⇒ f ' ( x) > 0 ⇒ f ( x) és estrictament creixent en (− ∞, 0) . • 0 < x < 1 ⇒ f ' ( x ) > 0 ⇒ f ( x ) és estrictament creixent en (0, 1) . • 1 < x < 3 ⇒ f ' ( x ) < 0 ⇒ f ( x ) és estrictament decreixent en (1, 3) . • x > 3 ⇒ f ' ( x) > 0 ⇒ f ( x) és estrictament creixent en (3, + ∞) . Extrems relatius: En x = 3 la funció és contínua i passa de decreixent a creixent; per tant hi ha un 0 1 3  27  mínim en el punt (3, f (3)) =  3,   4  (3 x 2 − 6 x) · ( x − 1) 3 − 3( x − 1) 2 · ( x 3 − 3 x 2 ) 6x 6. Curvatura: f ' ' ( x) = = ( x − 1) 6 ( x − 1) 4 ♦ Punts en què f '' és discontínua: x = 1 . ♦ Punts en què f ' ' ( x ) = 0 : 6x = 0 ⇔ x = 0 .
  • 18. Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch________________18 ♦ Signe de la derivada segona: • x < 0 ⇒ f ' ' ( x) < 0 ⇒ f ( x) és convexa en (− ∞, 0) . • 0 < x < 1 ⇒ f ' ' ( x ) > 0 ⇒ f ( x ) és còncava en (0, 1) . • x > 1 ⇒ f ' ' ( x) > 0 ⇒ f ( x) és còncava en (1, + ∞) . 0 1 Inflexions: En x = 0 la funció és contínua i passa de convexa a còncava, per tant hi ha una inflexió en el punt (0, f (0)) = (0, 0) . 7. Asímptotes i discontinuïtats: a) Verticals: Només n'hi pot haver en x = 1 : lím f ( x ) = + ∞ (El signe positiu es x →1 dedueix de l'estudi del creixement i de la concavitat.) Per tant, la recta x = 1 és asímptota vertical de la funció. Hi ha una discontinuïtat infinita en x = 1 . b) Horitzontals: lím f ( x) = + ∞ ; lím f ( x) = − ∞ . Per tant, no n'hi ha ni per la x →+ ∞ x→ − ∞ dreta ni per l'esquerra. f ( x) x3  x3  c) Obliqües: lím = lím = 1 (= m) lím ( f ( x) − mx) = lím  2 − x = x→ ∞ x →∞ x ( x − 1) 2 x→ ∞ x→ ∞ x − 2 x + 1 x   2 x2 − x = lím = 2 (= n) Per tant, la recta d'equació y = mx + n ⇔ y = x + 2 és x→ ∞ x 2 − 2 x + 1 asímptota obliqua de la funció per l'esquerra i per la dreta. 27 4 y= x+2 0 1 3 x=1
  • 19. Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch________________19 5 Problemes d’optimització (o d’extrems condicionats) Aquests problemes consisteixen a trobar el valor màxim o mínim d'una magnitud (optimitzar-la) que depèn d'una altra, estant totes dues sotmeses a una condició que les relaciona o lliga. Cal expressar la magnitud a optimitzar com una funció f que depengui d'una sola variable utilitzant la condició, i calcular el valor màxim o mínim de f . Exemple model: Calculem quines són les dimensions del triangle d'àrea màxima entre tots els que estan inscrits en una circumferència de radi r = 10 cm La funció que s'ha d'optimitzar (en aquest cas, maximitzar) és l'àrea del triangle: 2y·x A= = y·x 2 10 De moment depèn de dues variables: x i y . El fet que el triangle estigui inscrit en la x circumferència imposa a les variables la condició següent (teorema de Pitàgores): 10 y 2 + ( x − 10) 2 = 10 2 D'aquesta condició obtenim: y = 20 x − x 2 . y Substituint en l'expressió de l'àrea, podem expressar-la com una funció que depèn només de x: Àrea = A( x ) = x · 20 x − x definida en l'interval 2 [ 0, 20] El valor màxim es presentarà per a algun valor de x en què f ' ( x) valgui 0 . (També es podria donar en algun extrem de l'interval [ 0, 20] , però tant f (0) com f ( 20) valen 0 .) 20 − 2 x 30 x − 2 x 2 x=0 A ' ( x) = 20 x − x 2 + x · = ; A ' ( x) = 0 ⇒ 30 x − 2 x 2 = 0 ⇒  2 20 x − x 2 20 x − x 2  x = 15 La solució x = 0 no és vàlida (anul·la el denominador de la derivada). El f ( x) = x · 20 x − x2 valor màxim de l'àrea es dóna quan x = 15 cm . (Per confirmar que és un 75 3 màxim i no un mínim es podria calcular A ' ' ( x) i comprovar que A ' ' (15) < 0 ). Les dimensions són, doncs: base = 2 y = 2 20·15 − 152 = 10 3 cm altura = x = 15 cm . L'àrea màxima serà: 0 15 20 10 3 ·15 A= = 75 3 cm 2 . 2 (Observeu que es tracta d'un triangle equilàter.)
  • 20. Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch________________20 Relació entre les derivades successives d'una funció, la monotonia, els extrems, la curvatura i els punts d'inflexió 6 f '''(0) > 0 –2 0 2 Exemple: f(x) = x 3 − 12x f '''( x) = 6 f ''(0) = 0 f ''(−2) < 0 f ''(2) > 0 f ''( x) < 0 f ''( x) > 0 –2 0 2 f ''( x) = 6 x si x < 0 si x > 0 f '( x) > 0 si x ∉ [ − 2, 2 ] f '( x) < 0 –2 0 2 f '(−2) = 0 f '(2) = 0 si x ∈ ( − 2 , 2) – 12 f '( x) = 3 x − 12 2 − 12 – 2 0 2 12 inflexió màxim mínim f f f en x = 0 en x = – 2 en x = 2 convexa còncava decreixent si x < 0 si x > 0 en (– 2, 2) creixent en f ( x) = x3 − 12 x ( − ∞ , − 2) i (2 , + ∞ )