Funcions contínues i derivables. Els Teoremes de Bolzano, Rolle, Lagrange i e...
Anàlisi 3
1. Anàlisi (III) Derivades Segon de batxillerat
Josep M. Lluch IES Ramon Muntaner
1 Concepte de derivada
1.1 Derivada d’una funció en un punt
Sigui f una funció definida en el punt x = a . S'anomena derivada de f en el punt x = a , i
es representa per f ' ( a ) , el límit següent (si existeix):
f ( x) − f (a) f ( a + h) − f ( a )
f '(a ) = lím També es pot expressar: f '(a ) = lím
x→a x−a h →0 h
Si existeix f ' ( a ) es diu que f és derivable en el punt x = a .
f ( x) − f (a)
L’expressió es diu taxa de variació de la funció en l’interval [ a , x ] ; la derivada
x−a
en un punt representa la taxa de variació instantània de la funció f en el punt x = a .
x3 − 1
Exemple: Si f ( x) = x3 i a = 1: f '(1) = lím = lím ( x 2 + x + 1) = 3
x →1 x −1 x → 1
Interpretació geomètrica:
La derivada d'una funció f en el punt x = a és el pendent de la recta tangent a la gràfica de
f en el punt P = (a , f (a ))
Q
f(x)
f ( x) − f (a)
= tg β =
x−a
f(x) – f(a) = pendent de PQ
β
P α t f '(a ) = lím tg β = tg α =
f(a) x→a
x–a pendent de t
(recta tangent )
a x
1.2 Derivades laterals
1.2.1 Derivada lateral per la dreta
És el límit següent (si existeix):
tg α = f '+ (a )
f ( x) − f (a )
f '+ ( a ) = lím + =
x→ a x−a α
f (a + h ) − f (a )
= lím + a
h→ 0 h
2. Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch________________2
1.2.2 Derivada lateral per l’esquerra
És el límit següent (si existeix):
f ( x) − f (a )
tg α = f '− (a)
f '− ( a ) = lím − =
x→ a x−a
f (a + h) − f (a ) α
= lím −
h→ 0 h a
Teorema: La condició necessària i suficient perquè f sigui derivable en x = a és que les
derivades laterals en x = a existeixin i coincideixin.
En aquest cas: f '(a ) = f '− (a ) = f '+ (a )
Punt
Si les derivades laterals existeixen en angulós
x = a però no coincideixen, es diu que f
té un punt angulós en x = a .
a
1.3 Recta tangent i recta normal a una corba
L'equació de la recta tangent a la gràfica de
f en el punt (a, f (a )) és:
y − f (a ) = f ' (a )( x − a )
tangent
f (a)
La recta perpendicular a la tangent en el punt
(a, f (a )) s'anomena normal a la gràfica en normal
aquest punt. La seva equació és:
a
1
y − f (a) = − ( x − a)
f ' (a )
(suposant que f '(a ) ≠ 0 ).
Si f '(a ) = 0 , l’equació de la normal és: x = a (recta paral·lela a l’eix d’ordenades) i la de la
tangent: y = f (a ) (recta paral·lela a l’eix d’abscisses)
3. Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch________________3
Exemple: Calculem les equacions de la tangent i la
normal a la gràfica de f ( x) = ln x en el punt (1, 0) .
tangent
ln x − ln1
= lím ln ( x1/( x −1) ) =
ln x
f '(1) = lím = lím
x →1 x −1 x → 1 x −1 x →1
= ln lím ( x1/( x −1) ) = ln e = 1
x →1
1
Tangent: y = x − 1
Normal: y = − ( x − 1) ⇔ y = − x + 1
normal
1.4 Derivada infinita
f ( x) − f (a)
Es diu que f té derivada infinita en x = a si hi és contínua i lím =∞
x→a x−a
Ho denotarem: f ' (a ) = ∞
En aquest cas la funció f no és derivable en x = a
En els punts de derivada infinita la tangent a la gràfica és paral·lela a l'eix d'ordenades.
a a
f '(a ) = + ∞ f '(a ) = − ∞
De manera anàloga es defineixen les
derivades laterals infinites. punt de retrocés
Si hi ha derivades laterals infinites de
signe diferent en x = a , es diu que f té
un punt de retrocés en x = a .
a
f −' (a ) = − ∞ f +' (a ) = + ∞
1.5 Funció derivada
Si f és derivable en tots els punts del conjunt E ⊂ Dom f podem definir la funció:
f' :E ℝ
a f ' (a)
que assigna a cada nombre a ∈ E la derivada de f en x = a . Es diu funció derivada (o
derivada primera) de f .
4. Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch________________4
df
La funció derivada es denota de diferents formes: y ' , f ' ( x) , Df ,
dx
Exemple: funció derivada de f ( x) = x3
x3 − a3
f '(a ) = lím = lím ( x 2 + a x + a 2 ) = 3 a 2 , per tant: f '( x) = 3 x 2
x→a x−a x→a
1.6 Derivades d’ordre superior
Si f ' és derivable es pot calcular la seva derivada, que s'anomena derivada segona (o
segona derivada) de f : f ''( x) = ( f '( x) ) ' .
2 d2 f
Es representa de diferents formes: y ' ' , f ' ' ( x) , D f , .
dx 2
Per recurrència es poden definir les derivades successives: tercera, quarta,..., enèsima:
f '''( x) = [ f ''( x) ] ' .... (
f n ( x) = f n −1
( x) ) '
2 Derivades de les funcions elementals
2.1 Taula de derivades
y = f ( x) y ' = f '( x)
y=k (k ∈ℝ) y'= 0
y=x y ' =1
y = x r ( r ∈ℝ ) y ' = rx r −1
1
y= x y'=
2 x
1
y=nx y'= n
n x n−1
y = ln x 1
y'=
x
1
y = log a x y'=
xlna
y = ex y ' = ex
y = ax (a > 0) y ' = a x · lna
y = sin x y ' = cos x
y = cos x y ' = − sin x
y = tg x 1
y'= 2
= 1 + tg 2 x
cos x
−1
y = cotg x y ' = 2 = − (1 + cotg 2 x)
sin x
1
y = arcsin x y'=
1 − x2
5. Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch________________5
y = arccos x −1
y'=
1 − x2
y = arctg x 1
y'=
1 + x2
y = arccotg x −1
y'=
1 + x2
2.2 Regles de derivació
2.2.1 Derivades i operacions amb funcions
f
Si f i g són derivables també ho són f + g , f · g , i (si el denominador no
g
s’anul·la) i es compleix:
( f + g )' = f '+ g '
( f · g )' = f '· g + f · g '
(k · f )' = k · f ' (k ∈ ℝ )
'
f f '· g − f · g '
=
g
g2
Si f , g i h són derivables, també ho és f · g · h i es compleix:
( f · g · h) ' = f '· g · h + f · g '· h + f · g · h '
2.2.2 Derivada d’una funció composta (regla de la cadena)
Si f és derivable en x = a i g és derivable en y = f (a) llavors
(g f )( x) = g ( f ( x)) també és derivable en x = a i es compleix:
( g f )'(a) = g '( f (a))· f '(a) (regla de la cadena)
Per reiteració, si h és derivable en z = g ( f (a )) s'obté:
(h g f )'(a) = h '( g ( f (a))· g '( f (a))· f '(a)
1
Exemple: y = sin (ln ( x 3 + x)) ⇒ y ' = cos (ln( x3 + x))· ·(3 x 2 + 1)
x +x
3
2.2.3 Derivada de la funció recíproca (o inversa)
−1
Si f és derivable en x = a (amb f ' (a ) ≠ 0 ) i existeix la funció recíproca f ,
aquesta és derivable en y = f (a ) i es compleix:
6. Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch________________6
1
( f −1 ) ' ( f (a )) =
f ' (a)
−1
Exemple: La recíproca de f ( x) = x n és f ( x) = n x , llavors:
'
( x) = x ( x) =1 ( x ) ·( x ) = 1 ( x) = n
n −1
n
n
⇒ n
n
⇒ n n n '
⇒ n ' 1
n
x n −1
2.2.4 Derivada logarítmica
S'utilitza sobretot per a derivar funcions potencials-exponencials de la forma:
y = f ( x) g ( x ) (amb f ( x) > 0 )
Exemple: y = ( sin x) 4 x
a) Apliquem logaritmes a cada membre: ln y = ln ( sin x) 4 x
b) Baixem l’exponent del segon membre: ln y = 4 x ln ( sin x)
y' cos x
c) Derivem cada membre: = 4 ln ( sin x) + 4 x
y sin x
d) Aïllem la derivada:
cos x
y ' = y 4 ln ( sin x) + 4 x ⇔ y ' = ( sin x) [ 4 ln ( sin x) + 4 x cotg x ]
4x
sin x
En general, si y = f ( x) g ( x ) , la derivada és:
f '( x)
y ' = f ( x) g ( x ) · g '( x)· ln f ( x) + g ( x)·
f ( x)
2.2.5 Derivada implícita
S’utilitza per derivar funcions en què la variable dependent, y , no està aïllada.
Exemple: x 2 y + y 2 sin x = cos y
Derivem cada membre, tenint en compte que y = f ( x) :
2 xy + x 2 y '+ 2 y y ' sinx + y 2 cos x = −( sin y ) y ' ⇔ y ' ( x 2 + 2 y sin x + sin y ) = −2 x y − y 2 cos x ⇔
−2 x y − y 2 cos x
⇔ y'=
x 2 + 2 y sin x + sin y
7. Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch________________7
3 Teoremes relatius a funcions derivables
3.1 Derivabilitat i continuïtat
Teorema: f derivable en x = a ⇒ f contínua en x = a
El recíproc no és cert: pot ser que f sigui contínua en x = a sense ser-hi derivable.
Exemples:
a) f ( x) = x és contínua en x = 0 però no hi és derivable: f '+ (0) = 1 i f '− (0) = −1
1
x · sin si x≠0
b) f ( x) = x és contínua en x = 0 però no hi és derivable.
0
si x=0
1
x · sin
f ( x) − f (0) x = lím sin 1 que no existeix
En efecte: lím = lím
x →0 x−0 x →0 x x →0
x
3.2 Estudi de la derivabilitat d’una funció
Teorema: Si f és contínua en x = a es compleix:
f '− (a ) = lím− f '( x) i f '+ (a ) = lím+ f '( x) (si aquests límits existeixen).
x→a x→a
Exemple 1: Estudiem la derivabilitat de la funció: f ( x) = 2 + ln ( x − 3) en x = 4 .
La funció és contínua en x = 4 perquè és composició de funcions contínues. Notem que la
funció es pot definir a trossos de la manera següent:
2 + ln( x − 3) si x ≥ 4
f ( x) =
2 − ln( x − 3) si 3 < x < 4
1
x−3 si x > 4
Llavors: f '( x) =
−1 si 3 < x < 4
x −3
2
−1
f '− (4) = lím− f '( x) = lím− = −1
x →4 x→4 x−3 4
1
f '+ (4) = lím+ f '( x) = lím+ =1
x→4 x →4 x − 3
Hi ha un punt angulós en x = 4 .
2e x − 1 si x<0
Exemple 2: Estudiem la derivabilitat de f ( x) = 2
− x + 2 x + 1 si x≥0
8. Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch________________8
2e x si x < 0
Òbviament: f ' ( x) = Estudiem la situació en x = 0 .
− 2 x + 2 si x > 0
a) Vegem primerament si f (x) és contínua en x = 0 :
f (0) = 1
lím f ( x) = lím− ( 2e x − 1) = 1 ⇒ f (x) és contínua en x = 0
x → 0− x →0
lím f ( x) = lím+ ( − x 2 + 2 x + 1) = 1
x → 0+ x →0
b) Derivabilitat:
f '− (0) = lím− f '( x) = lím− 2e x = 2
x →0 x →0
1
f (0) = lím+ f '( x) = lím+ ( −2 x + 2 ) = 2
'
+
x →0 x →0
0
⇒ f (x) és derivable en x = 0
i, per tant, en ℝ .
3.3 Teorema (o regla) de l’Hôpital
Siguin f i g dues funcions que compleixen:
a) lím f ( x) = lím g ( x) = 0 ,
x →c x →c
f '( x)
b) Existeix lím
x →c g '( x)
f ( x) f '( x)
En aquestes condicions es compleix: lím = lím
x →c g ( x) x → c g '( x )
Aquest teorema també es compleix quan f i g tendeixen a infinit i quan x tendeix a infinit.
La regla de l'Hôpital serveix per a resoldre diferents tipus d'indeterminacions en el càlcul de
límits.
Exemples:
1
1−
x − arctg x 0 1 + x 2 = lím 1 1
1. lím = = lím =
x→0 x3 0 x→0 3x 2
( ) 3
x→0 3 1 + x 2
1 − cos x 0 sin x cos x
2. lím 2
= = lím = lím =1
x→0 x /2 0 x→0 x x→0 1
3x ( ln 3)
2
3x ∞ 3x ln 3
3. lím 2 = = lím = lím = +∞
x→+∞ x
∞ x →+ ∞ 2 x x→+∞ 2
9. Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch________________9
1
ln ( x − 1) ∞
4. lím+ ln x ( ln ( x − 1) ) = [ 0·(− ∞)] = lím+
= = lím+ x − 1 =
x →1 x →1 1 ∞ x →1 −1/ x
ln x (ln x)2
x (ln x) 2 0 (ln x)2 + 2 ln x
= lím+ = = lím+ =0
x →1 1− x 0 x →1 −1
1 1
1−
1 1 x − 1 − ln x 0 1
= [ ∞ − ∞ ] = lím
2
5. lím − = lím x = = lím x =
x →1 ln x
x −1 x →1 ( x − 1)ln x x →1 x − 1 0 x →1 1 1 2
ln x + +
x x x2
6. lím+ ( x − 1)ln x = 00
Sigui A = lím+ ( x − 1)ln x = 00 ; prenent logaritmes:
x →1 x →1
ln A = ln lím+ ( x − 1)ln x ⇔ ln A = lím+ ln ( x − 1)ln x ⇔ ln A = lím+ [ln x ln ( x − 1) ] ⇔ ln A = 0
x →1
x →1 x →1
(segons l’exemple 4)
Per tant: A =1
4 Aplicacions a l’estudi de la gràfica d’una funció
4.1 Extrems relatius: màxims i mínims
Definició prèvia
Si a i r són nombres reals, amb r > 0 , s’anomena entorn de centre a i radi
r l’interval obert (a − r , a + r ) . Es representa: Er (a )
r
a–r a a+r
4.1.1 Màxim relatiu
Es diu que la funció f té un màxim relatiu en el punt x = a si existeix un entorn
Er (a ) tal que si x ∈ Er (a ) i x ≠ a es compleix: f ( x) < f (a ) . Si la desigualtat es
compleix per a qualsevol x del domini de f , es diu màxim absolut.
4.1.2 Mínim relatiu
Es diu que la funció f té un mínim relatiu en el punt x = a si existeix un entorn Er (a )
tal que si x ∈ Er ( a ) i x ≠ a es compleix: f ( x) > f (a ) . Si la desigualtat es compleix
per a qualsevol x del domini de f , es diu mínim absolut.
10. Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch________________10
Per a l’existència d’extrems relatius en un punt no cal que la funció hi sigui derivable, ni
tan sols contínua.
a a a
Mínim sense continuïtat Mínim amb continuïtat Mínim amb derivabilitat
però sense derivabilitat
4.1.3 Relació amb la derivada
Condició necessària: Si f té un extrem relatiu en x = a i és derivable en x = a ,
es compleix: f '(a ) = 0
Nota: La condició anterior no és suficient: pot ser f '(a ) = 0 sense que hi hagi extrem
en el punt x = a (per exemple: f ( x ) = x 3 en x = 0 )
Condicions suficients: Suposem que f admet derivades primera i segona en el
punt x = a .
Si f '( a ) = 0 i f ''( a ) > 0 , f té un mínim relatiu en x = a .
Si f '( a ) = 0 i f ''( a ) < 0 , f té un màxim relatiu en x = a .
(Si f '( a ) = 0 i f ''( a ) = 0 , no es pot afirmar res.)
Aquestes condicions no són necessàries: pot ser que f tingui un extrem en x = a
amb f ''( a ) = 0 (exemple: f ( x ) = x 4 en x = 0 ).
4.2 Monotonia: creixement i decreixement
4.2.1 Creixement en un punt i en un interval
4.2.1.1 Es diu que la funció
f és creixent en el punt
a ∈ Dom f si existeix un
entorn Er (a ) tal que:
( x ∈ Er (a ) i x < a ) ⇒ f ( x) ≤ f (a ) f (x2)
( x ∈ Er (a ) i x > a ) ⇒ f ( x) ≥ f (a ) f (a)
f (x1)
Si les desigualtats en els
segons membres de les
implicacions són estrictes es
diu que f és estrictament x1 a x2
creixent en el punt a .
11. Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch________________11
4.2.1.2 Es diu que la funció f és creixent en l’interval (a , b) si per a qualsevol
parell de punts x1 i x2 de l’interval, amb x1 < x2 , es compleix:
f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) .
Si la desigualtat és estricta, es diu estrictament creixent en l’interval.
Teorema: Una funció és creixent en un interval obert si ho és en cadascun dels punts
de l’interval, i viceversa.
4.2.2 Decreixement en un punt i en un interval.
4.2.1.1 Es diu que la funció f és decreixent en el punt a ∈ Dom f si existeix un
entorn Er (a ) tal que:
( x ∈ Er (a ) i x < a ) ⇒ f ( x) ≥ f (a )
( x ∈ Er (a ) i x > a ) ⇒ f ( x) ≤ f (a )
Si les desigualtats en els
segons membres de les
implicacions són estrictes
es diu que f és estric-
tament decreixent en el
punt a . f (x1)
4.2.1.3 Es diu que la f (a)
funció f és decreixent en f (x2)
l’interval (a , b) si per a
qualsevol parell de punts
x1 i x2 de l’interval, amb
x1 a x2
x1 < x2 , es compleix:
f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) .
Si la desigualtat és estricta, es diu estrictament decreixent en l’interval.
Teorema: Una funció és decreixent en un interval obert si ho és en cadascun dels
punts de l’interval, i viceversa.
4.2.3 Relació amb la derivada
Condicions suficients: Suposem que f és derivable en el punt x = a .
Si f '( a ) > 0 , f és creixent (estrictament) en x = a .
Si f '( a ) < 0 , f és decreixent (estrictament) en x = a .
(Si f '( a ) = 0 , no es pot afirmar res.)
Aquestes condicions no són necessàries: f pot ser creixent o decreixent en x = a
amb f '( a ) = 0 (per exemple: f ( x ) = x 3 en x = 0 ).
Conseqüència:
Si f '( a ) > 0 en tots els punts d’un interval, la funció f serà creixent en l’interval.
Si f '( a ) < 0 en tots els punts d’un interval, la funció f serà decreixent en l’interval.
12. Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch________________12
Condicions necessàries: Suposem que f és derivable en el punt x = a .
Si f és creixent en x = a , es compleix: f '( a ) ≥ 0 .
Si f és decreixent en x = a , es compleix: f '( a ) ≤ 0 .
Teorema:
a) Si f és contínua en x = a i existeix un entorn d’aquest punt tal que a l’esquerra de
a la funció és creixent i a la dreta és decreixent, la funció presenta un màxim
relatiu en x = a .
b) Si f és contínua en x = a i existeix un entorn d’aquest punt tal que a l’esquerra de
a la funció és decreixent i a la dreta és creixent, la funció presenta un mínim
relatiu en x = a .
4.3 Curvatura: concavitat i convexitat
4.3.1 Funció còncava
Es diu que la funció f és còncava en un interval si tot segment que uneix dos punts
de la gràfica dins de l’interval està per sobre de la gràfica.
Es diu que la funció f és còncava en un punt x = a si ho és en un entorn d’aquest
punt. En cas que f sigui derivable en x = a la tangent en el punt ( a , f (a ) ) estarà per
sota de la gràfica.
Funció còncava
Funció còncava en un punt
en un interval
a b a
4.3.2 Funció convexa
Es diu que la funció f és convexa en un interval si tot segment que uneix dos punts
de la gràfica dins de l’interval està per sota de la gràfica.
Es diu que la funció f és convexa en un punt x = a si ho és en un entorn d’aquest
punt. En cas que f sigui derivable en x = a la tangent en el punt ( a , f (a ) ) estarà per
sobre de la gràfica.
13. Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch________________13
Funció convexa Funció convexa
en un interval en un punt
a b a
Teorema: Si una funció és convexa o còncava en tots els punts d’un interval, ho serà
en tot l’interval.
4.3.3 Relació amb les derivades
Condicions suficients: Suposem que f admet segona derivada en el punt x = a .
Si f ''( a ) > 0 , f és còncava en x = a .
Si f ''( a ) < 0 , f és convexa en x = a .
(Si f ''( a ) = 0 , no es pot afirmar res.)
Aquestes condicions no són necessàries: f pot ser còncava o convexa en x = a amb
f ''(a ) = 0 (per exemple: f ( x) = x 4 en x = 0 ).
Conseqüència:
Si f ''( a ) > 0 en tots els punts d’un interval, la funció f serà còncava en l’interval.
Si f ''( a ) < 0 en tots els punts d’un interval, la funció f serà convexa en l’interval.
Condicions necessàries: Suposem que f té derivada segona en el punt x = a .
Si f és còncava en x = a , es compleix: f ''( a ) ≥ 0 .
Si f és convexa en x = a , es compleix: f ''( a ) ≤ 0 .
4.4 Punts d’inflexió
4.4.1 Definició
Es diu que la funció f té un punt d’inflexió en x = a si hi és contínua i en un entorn
d’aquest punt es compleix que a l’esquerra de a és còncava i a la dreta de a és
convexa (o al revés).
a a
14. Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch________________14
Si hi ha inflexió en x = a i existeix f '( a ) , la tangent en el punt ( a , f (a ) ) travessa la
gràfica.
4.4.2 Relació amb la derivada segona
Condició necessària: Si f té un punt d’inflexió en x = a i existeix f ''( a ) es
compleix: f ''(a ) = 0
Nota: La condició anterior no és suficient: pot ser f ''(a ) = 0 sense que hi hagi inflexió
en x = a (per exemple: f ( x ) = x 4 en x = 0 )
Condicions suficients: Suposem que f admet derivades primera, segona i
tercera en el punt x = a .
Si f ''( a ) = 0 i f '''( a ) > 0 , f té un punt d’inflexió en x = a (de convexa a còncava)
Si f ''( a ) = 0 i f '''( a ) < 0 , f té un punt d’inflexió en x = a (de còncava a convexa)
(Si f ''( a ) = 0 i f '''( a ) = 0 , no es pot afirmar res.)
Aquestes condicions no són necessàries: pot ser que f tingui una inflexió en x = a
amb f '''( a ) = 0 (exemple: f ( x ) = x 5 en x = 0 ).
4.5 Generalització dels criteris d’extrems i monotonia
f '(a ) > 0 ⇒ f és creixent en x = a
f '(a ) < 0 ⇒ f és decreixent en x = a
f ''(a ) > 0 ⇒ f té mínim relatiu en x = a
f ''(a ) < 0 ⇒ f té màxim relatiu en x = a
f '(a ) = 0 i f '''(a ) > 0 ⇒ f és creixent en x = a (amb inflexió)
f '''(a ) < 0 ⇒ f és decreixent en x = a (amb inflexió)
f ''(a ) = 0 i
f (4) (a ) > 0 ⇒ f té mínim relatiu en x = a
(4)
f '''(a ) = 0 i f (a ) < 0 ⇒ f té màxim relatiu en x = a
f (4) (a ) = 0 i ...
Resum (teorema de Taylor)
Per saber quina és la situació en el punt x = a es calculen les derivades successives en
aquest punt.
♦ Si la primera derivada que dóna diferent de zero és d'ordre parell, la funció té un
extrem relatiu en x = a (mínim si és positiva, màxim si és negativa).
♦ Si la primera derivada que dóna diferent de zero és d'ordre imparell, la funció és
creixent o decreixent en x = a segons que sigui positiva o negativa respectivament.
15. Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch________________15
4.6 Generalització dels criteris d’inflexions i curvatura
f ''(a ) > 0 ⇒ f és còncava en x = a
f ''(a ) < 0 ⇒ f és convexa en x = a
f '''(a ) > 0 ⇒ f té inflexió en x = a (de convexa a còncava )
f '''(a ) < 0 ⇒ f té inflexió en x = a (de còncava a concexa )
f ''(a ) = 0 i
f (4)
(a ) > 0 ⇒ f és còncava en x = a
f
(4)
(a ) < 0 ⇒ f és convexa en x = a
f '''(a ) = 0 i
f (5) (a ) > 0 ⇒ f té inflexió en x = a
(5)
f (4)
(a) = 0 i f (a ) < 0 ⇒ f té inflexió en x = a
f (5) (a ) = 0 i ...
Resum (teorema de Taylor)
Per saber quina és la situació en el punt x = a es calculen les derivades successives en
aquest punt a partir de la segona.
♦ Si la primera derivada que dóna diferent de zero és d'ordre parell, la funció és
còncava o convexa en x = a (segons si és positiva o negativa respectivament).
♦ Si la primera derivada que dóna diferent de zero és d'ordre imparell, la funció té un
punt d’inflexió en x = a (de convexa a còncava si és positiva, de còncava a convexa si
és negativa).
4.7 Relació entre les gràfiques de f i f ’ (exemple)
f’
f
3 4
1
Observeu que:
en l’interval en què la derivada és positiva la funció és creixent: (4 , + ∞)
en l’interval en què la derivada és negativa la funció és decreixent: (− ∞ , 4)
en el punt x = 4 en què la funció té un extrem (mínim) la derivada val 0 .
en els punts x = 1 i x = 3 en què la derivada té un extrem, la funció té inflexions.
16. Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch________________16
Criteris suficients per a l'existència d'extrems i inflexions i
per a la monotonia i la curvatura a partir de les derivades
successives
f ' (a) < 0 f ' (a) = 0 f ' (a) > 0
f decreixent i convexa Màxim en x = a f creixent i convexa
en x = a (convexa) en x = a
f’’(a) < 0
a a a
f '''(a)<0 f '''(a)>0 f '''(a)<0 f '''(a)>0 f '''(a)>0 f '''(a)<0
f’’(a) = 0
a a
a a
a a
f decreixent amb inflexió amb tangent f creixent amb inflexió
inflexió en x = a horitzontal en x = a en x = a
f decreixent i còncava mínim en x = a f creixent i còncava
en x = a (còncava) en x = a
f’’(a) > 0
a a a
Aquestes condicions són suficients però no necessàries:
♦ Pot haver-hi mínim en x = a sense que necessàriament sigui f ''( a ) > 0 (pot ser f ''( a ) = 0 ).
♦ Pot haver-hi màxim en x = a sense que necessàriament sigui f ''( a ) < 0 (pot ser f ''( a ) = 0 ).
♦ Pot haver-hi inflexió en x = a sense que necessàriament sigui f '''( a ) = 0 .
17. Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch________________17
4.5 Gràfica d’una funció. Exemple model
x3 x3
f ( x) = 2 =
x − 2 x + 1 ( x − 1) 2
1. Domini: {
Dom f = x ∈ ℝ x 2 − 2 x + 1 ≠ 0 = ℝ − {1} }
2. Signe de la funció: Noteu que el denominador és positiu; per tant, el signe de f
només depèn del numerador: f ( x) > 0 ⇔ x 3 > 0 ⇔ x > 0
f ( x) < 0 ⇔ x 3 < 0 ⇔ x < 0 .
Per tant f serà positiva si x > 0 (gràfica al primer quadrant) i negativa si x < 0 (gràfica al
tercer quadrant).
− x3 ≠ f ( x)
3. Simetries: f (− x) = per tant no és ni parella ni imparella: no té
(− x − 1) 2 ≠ − f ( x )
cap mena de simetria.
4. Interseccions amb els eixos:
a) Amb l'eix d'abscisses: f ( x ) = 0 ⇔ x 3 = 0 ⇔ x = 0 . Intersecció: (0, 0) .
b) Amb l'eix d'ordenades: f (0) = 0 . Intersecció: (0, 0) .
3x 2 ·( x − 1) 2 − 2( x − 1)·x 3 x 3 − 3x 2
5. Monotonia i extrems relatius: f '( x) = = =
( x − 1)4 ( x − 1)3
x 2 ( x − 3)
( x − 1)3
♦ Punts en què f ' és discontínua: x = 1.
x = 0
♦ Punts en què f ' ( x ) = 0 : x 3 − 3 x 2 = 0 ⇔ x 2 · ( x − 3) = 0 ⇔
x = 3
♦ Signe de la derivada:
• x < 0 ⇒ f ' ( x) > 0 ⇒ f ( x) és estrictament creixent en (− ∞, 0) .
• 0 < x < 1 ⇒ f ' ( x ) > 0 ⇒ f ( x ) és estrictament creixent en (0, 1) .
• 1 < x < 3 ⇒ f ' ( x ) < 0 ⇒ f ( x ) és estrictament decreixent en (1, 3) .
• x > 3 ⇒ f ' ( x) > 0 ⇒ f ( x) és estrictament creixent en (3, + ∞) .
Extrems relatius: En x = 3 la funció és contínua i passa de decreixent a creixent; per tant hi
ha un
0 1 3
27
mínim en el punt (3, f (3)) = 3,
4
(3 x 2 − 6 x) · ( x − 1) 3 − 3( x − 1) 2 · ( x 3 − 3 x 2 ) 6x
6. Curvatura: f ' ' ( x) = =
( x − 1) 6
( x − 1) 4
♦ Punts en què f '' és discontínua: x = 1 .
♦ Punts en què f ' ' ( x ) = 0 : 6x = 0 ⇔ x = 0 .
18. Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch________________18
♦ Signe de la derivada segona:
• x < 0 ⇒ f ' ' ( x) < 0 ⇒ f ( x) és convexa en (− ∞, 0) .
• 0 < x < 1 ⇒ f ' ' ( x ) > 0 ⇒ f ( x ) és còncava en (0, 1) .
• x > 1 ⇒ f ' ' ( x) > 0 ⇒ f ( x) és còncava en (1, + ∞) .
0 1
Inflexions: En x = 0 la funció és contínua i passa de convexa a còncava, per tant hi ha una
inflexió en el punt (0, f (0)) = (0, 0) .
7. Asímptotes i discontinuïtats:
a) Verticals: Només n'hi pot haver en x = 1 : lím f ( x ) = + ∞ (El signe positiu es
x →1
dedueix de l'estudi del creixement i de la concavitat.) Per tant, la recta x = 1 és asímptota
vertical de la funció. Hi ha una discontinuïtat infinita en x = 1 .
b) Horitzontals: lím f ( x) = + ∞ ; lím f ( x) = − ∞ . Per tant, no n'hi ha ni per la
x →+ ∞ x→ − ∞
dreta ni per l'esquerra.
f ( x) x3 x3
c) Obliqües: lím = lím = 1 (= m) lím ( f ( x) − mx) = lím 2 − x =
x→ ∞ x →∞ x ( x − 1) 2 x→ ∞ x→ ∞ x − 2 x + 1
x
2 x2 − x
= lím = 2 (= n) Per tant, la recta d'equació y = mx + n ⇔ y = x + 2 és
x→ ∞ x 2 − 2 x + 1
asímptota obliqua de la funció per l'esquerra i per la dreta.
27
4
y= x+2 0 1 3
x=1
19. Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch________________19
5 Problemes d’optimització (o d’extrems condicionats)
Aquests problemes consisteixen a trobar el valor màxim o mínim d'una magnitud (optimitzar-la)
que depèn d'una altra, estant totes dues sotmeses a una condició que les relaciona o lliga.
Cal expressar la magnitud a optimitzar com una funció f que depengui d'una sola variable
utilitzant la condició, i calcular el valor màxim o mínim de f .
Exemple model:
Calculem quines són les dimensions del triangle d'àrea màxima entre tots els que estan inscrits en
una circumferència de radi r = 10 cm
La funció que s'ha d'optimitzar (en aquest cas,
maximitzar) és l'àrea del triangle:
2y·x
A= = y·x
2
10
De moment depèn de dues variables: x i y .
El fet que el triangle estigui inscrit en la
x circumferència imposa a les variables la condició
següent (teorema de Pitàgores):
10
y 2 + ( x − 10) 2 = 10 2
D'aquesta condició obtenim: y = 20 x − x 2 .
y
Substituint en l'expressió de l'àrea, podem
expressar-la com una funció que depèn només de
x:
Àrea = A( x ) = x · 20 x − x definida en l'interval
2
[ 0, 20]
El valor màxim es presentarà per a algun valor de x en què f ' ( x) valgui 0 . (També es podria
donar en algun extrem de l'interval [ 0, 20] , però tant f (0) com f ( 20) valen 0 .)
20 − 2 x 30 x − 2 x 2
x=0
A ' ( x) = 20 x − x 2 + x · = ; A ' ( x) = 0 ⇒ 30 x − 2 x 2 = 0 ⇒
2 20 x − x 2 20 x − x 2 x = 15
La solució x = 0 no és vàlida (anul·la
el denominador de la derivada). El f ( x) = x · 20 x − x2
valor màxim de l'àrea es dóna quan
x = 15 cm . (Per confirmar que és un 75 3
màxim i no un mínim es podria calcular
A ' ' ( x) i comprovar que A ' ' (15) < 0 ).
Les dimensions són, doncs:
base = 2 y = 2 20·15 − 152 = 10 3 cm
altura = x = 15 cm .
L'àrea màxima serà: 0 15 20
10 3 ·15
A= = 75 3 cm 2 .
2
(Observeu que es tracta d'un triangle equilàter.)
20. Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch________________20
Relació entre les derivades successives d'una funció, la monotonia, els
extrems, la curvatura i els punts d'inflexió
6
f '''(0) > 0
–2 0 2
Exemple: f(x) = x 3 − 12x
f '''( x) = 6
f ''(0) = 0 f ''(−2) < 0 f ''(2) > 0 f ''( x) < 0 f ''( x) > 0
–2 0 2
f ''( x) = 6 x si x < 0 si x > 0
f '( x) > 0
si x ∉ [ − 2, 2 ]
f '( x) < 0
–2 0 2 f '(−2) = 0 f '(2) = 0 si x ∈ ( − 2 , 2)
– 12
f '( x) = 3 x − 12
2
− 12 – 2 0 2 12
inflexió màxim mínim f f f
en x = 0 en x = – 2 en x = 2 convexa còncava decreixent
si x < 0 si x > 0 en (– 2, 2)
creixent en
f ( x) = x3 − 12 x ( − ∞ , − 2) i
(2 , + ∞ )