ÁLGEBRA DE BOOLE Introducción. Variables y Funciones, definiciones y Tipos. Funciones AND, OR, NAND, NOR, etc. Operaciones lógicas; Diagrama de VENN. Teorema de MORGAN. Ejemplos y Ejercicios prácticos.

1. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
´
Algebra de Boole
Prof. Rodrigo Araya E.
raraya@inf.utfsm.cl
Universidad T´cnica Federico Santa Mar´
e
ıa
Departamento de Inform´tica
a
Valpara´ 1er Semestre 2006
ıso,
RAE
´
Algebra de Boole

2. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
1
Introducci´n
o
2
Expresiones de Conmutaci´n
o
3
Compuertas L´gicas
o
4
Minimizaci´n de Funciones
o
RAE
´
Algebra de Boole

3. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Introducci´n
o
En 1815 George Boole propuso una herramienta matem´tica
a
´
llamada Algebra de Boole.
Luego en 1938 Claude Shannon propuso que con esta ´lgebra
a
es posible modelar los llamados Sistemas Digitales.
RAE
´
Algebra de Boole

4. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
´
Algebra de Boole
´
El Algebra de Boole es un sistema matem´tico que utiliza
a
variables y operadores l´gicos. Las variables pueden valer 0
o
o
´ 1. Y las operaciones b´sicas son OR(+) y AND(·).
a
Luego se definen las expresiones de conmutaci´n como un
o
n´mero finito de variables y constantes, relacionadas mediante
u
los operadores (AND y OR).
En la ausencia de par´ntesis, se utilizan las mismas reglas de
e
precedencia, que tienen los operadores suma (OR) y
multiplicaci´n (AND) en el ´lgebra normal.
o
a
RAE
´
Algebra de Boole

5. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
´
Algebra de Boole
Leyes
En el ´lgebra de Boole se cumplen las siguientes Leyes:
a
1) Conmutatividad:
X +Y =Y +X
X ·Y =Y ·X
RAE
´
Algebra de Boole

6. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
´
Algebra de Boole
Leyes
2) Asociatividad:
X + (Y + Z ) = (X + Y ) + Z
X · (Y · Z ) = (X · Y ) · Z
3) Distributividad:
X + (Y · Z ) = (X + Y ) · (X + Z )
X · (Y + Z ) = (X · Y ) + (X · Z )
RAE
´
Algebra de Boole

7. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
´
Algebra de Boole
Identidades
4) Elementos Neutros (Identidad):
X +0=X
X ·1=X
5) Complemento:
X +X =1
X ·X =0
RAE
´
Algebra de Boole

8. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
´
Algebra de Boole
Leyes
6) Dominaci´n:
o
X +1=1
X ·0=0
Demostraci´n:
o
X + 1 = (X + 1) · 1 = (X + 1) · (X + X )
(X + 1) · (X + X ) = X + (1 · X ) = 1
7) Idempotencia:
X +X =X
X ·X =X
RAE
´
Algebra de Boole

9. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
´
Algebra de Boole
Leyes
8) Doble complemento:
X =X
.
9) Absorci´n:
o
X +X ·Y =X
X · (Y + X ) = X
Demostraci´n:
o
X + X · Y = (X · 1) + (X · Y ) = X · (1 + Y ) = X
RAE
´
Algebra de Boole

10. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
´
Algebra de Boole
Leyes
10) DeMorgan:
A·B =A+B
A+B =A·B
RAE
´
Algebra de Boole

11. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
´
Algebra de Boole
Teoremas
Luego se establecen los siguientes Teoremas:
Teorema de la Simplificaci´n
o
A+A·B =A+B
A · (A + B) = A · B
Demostraci´n:
o
→
A·A=0
A·A+B =B
(A + B) · (A + B) = B
A · (A + B) · (A + B) = A · B
A · (A + B) = A · B
RAE
´
Algebra de Boole

12. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
´
Algebra de Boole
Teoremas
Teorema del complemento unico
´
Suponemos 2 complementos para A (A1 y A2 )
A + A1 = 1 A + A2 = 1
A · A1 = 0
A · A2 = 0
Luego,
A1 = A1 · 1 = A1 · (A + A2 ) = A1 · A + A1 · A2
A1 = 0 + A2 · A1
A1 = A · A2 + A1 · A2 = (A + A1 ) · A2
A1 = 1 · A2 = A2
RAE
´
Algebra de Boole

13. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Algunas definiciones:
Literal: Es toda ocurrencia de una variable, ya sea
complementada o sin complementar, en una expresi´n de
o
conmutaci´n.
o
Por ejemplo, en la expresi´n de conmutaci´n:
o
o
A·B +C ·A+D +B ·1
A, B, C y D son Variables.
A, B, C , A, D y B son Literales.
1 es una Constante.
RAE
´
Algebra de Boole

14. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Algunas definiciones:
Expresi´n Dual: Esta expresi´n se obtiene, intercambiando
o
o
las operaciones AND por OR (y vice versa), e intercambiando
las constantes 0 por 1 y 1 por 0 en la expresi´n de
o
conmutaci´n.
o
Por ejemplo, para la expresi´n de conmutaci´n:
o
o
(A · B) + (C · D) + 0
La Expresi´n Dual es:
o
(A + B) · (C + D) · 1
RAE
´
Algebra de Boole

15. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Funciones de conmutaci´n
o
Las funciones de conmutaci´n se pueden expresar: de Forma
o
Algebraica, mediante una Tabla de Verdad o en Forma
Can´nica.
o
La manera m´s did´ctica de representar una funci´n de
a
a
o
conmutaci´n es mediante una Tabla de Verdad, ya que en ella
o
se muestran los valores de salida para cada combinaci´n de
o
valor de entrada.
Las Tablas de Verdad permiten modelar los Sistemas
Combinacionales.
RAE
´
Algebra de Boole

16. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Tablas de Verdad
Ejemplo de una tabla de Verdad
Dada la funci´n de conmutaci´n: f (X1 , X2 , X3 ) = X1 + (X2 · X3 )
o
o
La Tabla de Verdad es:
X1
0
0
0
0
1
1
1
1
X2
0
0
1
1
0
0
1
1
X3
0
1
0
1
0
1
0
1
RAE
f (X1 , X2 , X3 )
0
0
1
0
1
1
1
1
´
Algebra de Boole

17. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Formas Normales
Dada una tabla de verdad tambi´n es posible obtener la forma
e
algebraica.
Existen 2 m´todos para identificar la forma algebraica: la
e
forma normal disyuntiva y la forma normal conjuntiva.
En el caso de la forma normal disyuntiva, es necesario
identificar los 1’s que resultan de la tabla de verdad y formar
los t´rminos (conjunciones fundamentales) que los
e
representan.
Para formar las conjunciones fundamentales, se usa la variable
complementada si para esa combinaci´n tiene un cero, o se
o
deja sin complementar, si en la combinaci´n hay un 1.
o
RAE
´
Algebra de Boole

18. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Formas Normales
Forma normal disyuntiva
Dada la Tabla de Verdad:
X1
0
0
0
0
1
1
1
1
X2
0
0
1
1
0
0
1
1
X3
0
1
0
1
0
1
0
1
f (X1 , X2 , X3 )
0
0
1
0
1
1
1
1
RAE
→
X1 · X2 · X3
→
→
→
→
X1 · X2 · X3
X1 · X2 · X3
X1 · X2 · X3
X1 · X2 · X3
´
Algebra de Boole

19. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Formas Normales
Del ejemplo anterior, se suman las conjunciones
fundamentales, resultando la forma normal disyuntiva:
f (X1 , X2 , X3 )
=
X1 · X2 · X3 +X1 · X2 · X3 +X1 · X2 · X3
+X1 · X2 · X3 +X1 · X2 · X3
Estos t´rminos formados por todas las variables conectadas
e
e
mediante operadores AND se denominan mint´rminos
(conjunciones fundamentales).
Como la funci´n de conmutaci´n corresponde a un OR de
o
o
todos los mint´rminos, se puede expresar tambi´n de la forma
e
e
can´nica (OR can´nico de AND).
o
o
F (X1 , X2 , X3 ) =
RAE
m
(m0 , m1 , . . . , mn )
´
Algebra de Boole

20. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Formas Can´nicas
o
Para la representaci´n de la forma can´nica, se utilizan las
o
o
posiciones de los mint´rminos en la Tabla de Verdad.
e
Para el ejemplo anterior resulta:
f (X1 , X2 , X3 ) =
m (2, 4, 5, 6, 7)
RAE
´
Algebra de Boole

21. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Formas Can´nicas
o
Mint´rminos en una Tabla de Verdad
e
Dada una Tabla de Verdad:
X1
0
0
0
0
1
1
1
1
X2
0
0
1
1
0
0
1
1
X3
0
1
0
1
0
1
0
1
Mint´rmino
e
X1 · X2 · X3
X1 · X2 · X3
X1 · X2 · X3
X1 · X2 · X3
X1 · X2 · X3
X1 · X2 · X3
X1 · X2 · X3
X1 · X2 · X3
RAE
Etiqueta
0
1
2
3
4
5
6
7
´
Algebra de Boole

22. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Formas Normales
En el caso de la forma normal conjuntiva, se opera de manera
contraria a la vista anteriormente.
En este caso es necesario identificar los 0’s que resultan de la
tabla de verdad y formar los t´rminos (disyunciones
e
fundamentales o maxt´rminos) que los representan.
e
Para ello se utiliza la variable complementada si para esa
combinaci´n tiene un 1, o se deja sin complementar si en la
o
combinaci´n hay un 0.
o
RAE
´
Algebra de Boole

23. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Formas Normales
Forma normal conjuntiva
Dada la Tabla de Verdad:
X1
0
0
0
0
1
1
1
1
X2
0
0
1
1
0
0
1
1
X3
0
1
0
1
0
1
0
1
f (X1 , X2 , X3 )
0
0
1
0
1
1
1
1
RAE
→
→
X1 + X2 + X3
X1 + X2 + X3
→
X1 + X2 + X3
´
Algebra de Boole

24. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Formas Normales
Del ejemplo anterior, se opera con un AND sobre las
disyunciones fundamentales, resultando la forma normal
conjuntiva:
f (X1 , X2 , X3 )
=
(X1 + X2 + X3 ) · (X1 + X2 + X3 )
·(X1 + X2 + X3 )
De igual manera es posible expresar esta funci´n de
o
conmutaci´n, compuesta por maxt´rminos, de la forma
o
e
can´nica (AND can´nico de OR).
o
o
F (X1 , X2 , X3 ) =
RAE
M
(M0 , M1 , . . . , Mn )
´
Algebra de Boole

25. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Formas Can´nicas
o
Para la representaci´n de la forma can´nica, se utilizan las
o
o
posiciones de los mint´rminos en la Tabla de Verdad.
e
Para el ejemplo anterior resulta:
f (X1 , X2 , X3 ) =
M (0, 1, 3)
RAE
´
Algebra de Boole

26. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Formas Can´nicas
o
¿Como pasar de una forma algebraica, directamente a una
forma can´nica?
o
F (X1 , X2 , X3 )
=
=
=
=
X1 + (X2 · X3 )
X1 · (X2 + X2 ) · (X3 + X3 )
+(X1 + X1 )(X2 · X3 )
X1 · X2 · (X3 + X3 ) + X1 · X2 · (X3 + X3 )
+X1 · X2 · X3 + X1 · X2 · X3
X1 · X2 · X3 + X1 · X2 · X3 + X1 · X2 · X3
+X1 · X2 · X3 + X1 · X2 · X3 + X1 · X2 · X3
RAE
´
Algebra de Boole

27. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Formas Can´nicas
o
¿Como convertir de una forma OR can´nico de AND a una
o
forma AND can´nico de OR?
o
F (X1 , X2 , X3 )
F (X1 , X2 , X3 )
F (X1 , X2 , X3 )
=
=
=
=
F (X1 , X2 , X3 )
=
m (2, 4, 5, 6, 7)
m (0, 1, 3)
(X1 · X2 · X3 ) + (X1 · X2 · X3 ) + (X1 · X2 · X3 )
(X1 + X2 + X3 ) · (X1 + X2 + X3 ) · (X1 + X2
+X3 )
M (0, 1, 3)
RAE
´
Algebra de Boole

28. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Funciones equivalentes
Se dice que dos funciones de conmutaci´n son equivalentes si
o
tienen expansiones en forma can´nica id´nticas. Es decir, que
o
e
tienen valores de salida id´nticos para las mismas
e
combinaciones de entrada.
Dicho de otra manera, dos funciones de conmutaci´n son
o
equivalentes si tienen la misma tabla de verdad.
RAE
´
Algebra de Boole

29. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Funciones equivalentes
¿Cu´ntas funciones distintas (No equivalentes) existen para
a
un n´mero n de variables?
u
22
n
Esto se puede demostrar f´cilmente, construyendo tablas de
a
verdad y bas´ndose en que las funciones no equivalentes
a
tienen tablas de verdad distintas.
RAE
´
Algebra de Boole

30. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Algunos Operadores
Algunos operadores...
NOT
AND
OR
NAND
NOR
XAND
XOR
F (X1 ) = X1
F (X1 , X2 ) = X1 · X2
F (X1 , X2 ) = X1 + X2
F (X1 , X2 ) = X1 · X2 = X1 + X2
F (X1 , X2 ) = X1 + X2 = X1 · X2
F (X1 , X2 ) = X1 · X2 + X1 · X2
F (X1 , X2 ) = X1 · X2 + X1 · X2
Tarea: Analizar las tablas de verdad de cada uno de estos
operadores.
RAE
´
Algebra de Boole

31. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Operadores funcionalmente completos
Se dice que un conjunto de operadores es funcionalmente
completo si se puede expresar cualquier funci´n de
o
conmutaci´n, utilizando s´lo los operadores del conjunto.
o
o
Por ejemplo el conjunto {AND, OR, NOT} es
funcionalmente completo por definici´n del ´lgebra. Sin
o
a
embargo el conjunto {AND, NOT} tambi´n lo es.
e
Otros conjuntos funcionalmente completos son: {NOR} y
{NAND}.
RAE
´
Algebra de Boole

32. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Compuertas L´gicas
o
Existen dispositivos electr´nicos que son capaces de
o
representar funciones de conmutaci´n. Estos dispositivos
o
denominan Compuertas L´gicas y est´n construidos a base
o
a
de silicio.
Las compuertas l´gicas son altamente usadas en el campo de
o
la electr´nica digital, debido al bajo costo que se logra con la
o
alta densidad de integraci´n.
o
Las compuertas corresponden a bloques fundamentales para la
construcci´n de circuitos l´gicos y sistemas digitales.
o
o
Una red de compuertas l´gicas constituye un circuito
o
combinacional.
RAE
´
Algebra de Boole

33. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Compuertas L´gicas
o
RAE
´
Algebra de Boole

34. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Compuertas L´gicas
o
Las compuertas pueden tener m´s de una o dos entradas. Por
a
ejemplo la ecuaci´n de conmutaci´n F (A, B, C ) = A · B · C
o
o
puede ser representada por:
O bien por:
RAE
´
Algebra de Boole

35. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Compuertas L´gicas
o
Ejemplo de compuertas
Representar la siguiente ecuaci´n mediante compuertas l´gicas.
o
o
F (A, B, C , D) = (B + D) · (A + B) · C
RAE
´
Algebra de Boole

36. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Compuertas L´gicas
o
Las compuertas l´gicas se pueden encontrar en dispositivos
o
peque˜os de uso general, llamadas pastillas l´gicas TTL. Su
n
o
numeraci´n corresponde a 74LSXXX.
o
Tambi´n existen dispositivos con alta densidad de integraci´n
e
o
como PLA, CPLD y FPGA.
RAE
´
Algebra de Boole

37. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Compuertas L´gicas
o
Las pastillas l´gicas internamente est´n dise˜adas con varias
o
a
n
compuertas, dependiendo de la pastilla. Por ejemplo un
74LS32 internamente es de la siguiente forma:
RAE
´
Algebra de Boole

38. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Minimizar una funci´n F (X1 , X2 , X3 , . . . Xn ) es encontrar una
o
funci´n equivalente G (X1 , X2 , X3 , . . . Xn ) que tenga el m´
o
ınimo
n´mero de t´rminos y literales.
u
e
RAE
´
Algebra de Boole

39. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Por ejemplo, si tenemos la siguiente tabla de verdad:
AB
00
00
00
00
01
01
01
01
CD
00
01
10
11
00
01
10
11
Z
1
0
1
0
1
0
1
1
RAE
AB
10
10
10
10
11
11
11
11
CD
00
01
10
11
00
01
10
11
´
Algebra de Boole
Z
1
0
1
0
1
0
1
1

40. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Luego extraemos los mint´rminos
e
AB
00
00
00
00
01
01
01
01
CD
00
01
10
11
00
01
10
11
Z
1
0
1
0
1
0
1
1
Mint´rmino
e
→A · B · C · D
→A · B · C · D
→A · B · C · D
→A · B · C · D
→A · B · C · D
RAE
AB
10
10
10
10
11
11
11
11
CD
00
01
10
11
00
01
10
11
´
Algebra de Boole
Z
1
0
1
0
1
0
1
1
Mint´rmino
e
→A · B · C · D
→A · B · C · D
→A · B · C · D
→A · B · C · D
→A · B · C · D

41. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Minimizaci´n de Funciones
o
La forma normal disyuntiva de la ecuaci´n queda de la
o
siguiente manera:
F (A, B, C , D)
=
(A · B · C · D) + (A · B · C · D) + (A · B · C · D)
+(A · B · C · D) + (A · B · C · D) + (A · B · C · D)
+(A · B · C · D) + (A · B · C · D) + (A · B · C · D)
+(A · B · C · D)
RAE
´
Algebra de Boole

42. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Minimizaci´n de Funciones
o
RAE
´
Algebra de Boole

43. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Si intentamos minimizar la ecuaci´n, resulta la siguiente
o
expresi´n:
o
F (A, B, C , D)
=
=
=
=
=
(A · B · C · D) + (A · B · C · D) + (A · B · C · D)
+(A · B · C · D) + (A · B · C · D) + (A · B · C · D)
+(A · B · C · D) + (A · B · C · D) + (A · B · C · D)
+(A · B · C · D)
(A · B + A · B + A · B + A · B) · (C · D)
+(A · B + A · B + A · B + A · B) · (C · D)
+(A + A) · (B · C · D)
(A + A) · (B + B) · (C · D + C · D) + (B · C · D)
D + (B · C · D)
D + (B · C )
RAE
´
Algebra de Boole

44. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Minimizaci´n de Funciones
o
RAE
´
Algebra de Boole

45. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Mapas de Karnaugh
Los mapas de Karnaugh son una herramienta gr´fica utilizada
a
para simplificar las ecuaciones l´gicas o bi´n, minimizar
o
e
funciones de conmutaci´n.
o
Estos mapas son una versi´n modificada de la tablas de
o
verdad, permitiendo mostrar la relaci´n entre las entradas
o
l´gicas y la salida deseada.
o
Los mapas de Karnaugh permiten el dise˜o de circuitos con el
n
m´
ınimo compuertas, por lo que tiene un alto impacto en la
reducci´n de costos.
o
RAE
´
Algebra de Boole

46. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Pasos para la construcci´n de un Mapa de Karnaugh
o
1) Al igual que en las tablas de verdad, una funci´n de n
o
variables tiene 2n combinaciones de posibles valores de
entrada. En el caso de los mapas de Karnaugh, estas
combinaciones se representan mediante celdas.
n=2
n=3
RAE
n=3
´
Algebra de Boole
n=4

47. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Pasos para la construcci´n de un Mapa de Karnaugh
o
2) Luego, las coordenadas de las celdas se enumeran, seg´n el
u
c´digo Grey, quedando de la siguiente manera:
o
RAE
´
Algebra de Boole

48. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Pasos para la construcci´n de un Mapa de Karnaugh
o
3) Si se tiene una tabla de verdad, basta con escribir en cada
celda la salida correspondiente de la tabla de verdad para cada
combinaci´n. Por ejemplo:
o
A B C Z
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
→
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
RAE
´
Algebra de Boole

49. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Pasos para la construcci´n de un Mapa de Karnaugh
o
Equivalentemente se puede representar una funci´n de la
o
forma can´nica, como mapa de Karnaugh. Para ello se debe
o
asignar un 0 a una variable complementada y un 1 a una
variable sin complementar.
→
RAE
´
Algebra de Boole

50. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Pasos para la construcci´n de un Mapa de Karnaugh
o
Con esto se forma la siguiente numeraci´n para las celdas.
o
Luego si se quiere representar la funci´n
o
F (A, B, C ) = m (0, 2, 3, 7), resulta:
RAE
´
Algebra de Boole

51. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Pasos para la construcci´n de un Mapa de Karnaugh
o
Para 4 variables, la numeraci´n de las celdas corresponde a:
o
RAE
´
Algebra de Boole

52. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Pasos para la construcci´n de un Mapa de Karnaugh
o
4) Dos celdas son adyacentes s´lo si difieren en una de las
o
variables.
RAE
´
Algebra de Boole

53. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Pasos para la construcci´n de un Mapa de Karnaugh
o
5) Un subcubo es un conjunto de 2m celdas con valor 1, las
cuales tienen la propiedad que cada celda del subcubo es
adyacente a exactamente m celdas del conjunto.
RAE
´
Algebra de Boole

54. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Pasos para la construcci´n de un Mapa de Karnaugh
o
6) Los subcubos se pueden representar mediante t´rminos
e
algebraicos. Estos t´rminos est´n compuestos por n − m
e
a
literales, donde n es el n´mero de variables y 2m es el tama˜o
u
n
del subcubo.
RAE
´
Algebra de Boole

55. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Pasos para la construcci´n de un Mapa de Karnaugh
o
7) Si se suman los t´rminos dados por los subcubos que
e
abarcan todos los unos del mapa, se obtiene la funci´n
o
algebraica.
Para que la funci´n sea m´
o
ınima, se debe buscar el m´
ınimo
n´mero de subcubos que cubren todos los unos. Esto se logra,
u
buscando los subcubos de mayor tama˜o posible, sin importar
n
que se traslapen.
RAE
´
Algebra de Boole

56. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Pasos para la construcci´n de un Mapa de Karnaugh
o
El siguiente mapa de Karnaugh:
Representa la funci´n
o
F (A, B, C , D) = D + B + C
RAE
´
Algebra de Boole

57. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Minimizaci´n mediante Mapas de Karnaugh
o
En la pr´ctica, al utilizar el m´todo de los mapas de Karnaugh
a
e
manualmente, resulta util para un m´ximo de 5 o 6 variables.
´
a
RAE
´
Algebra de Boole

58. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Minimizaci´n mediante Mapas de Karnaugh
o
En el siguiente mapa de Karnaugh de 5 variables se identifican
4 subcubos:
Resultando la ecuaci´n
o
F (A, B, C ) = A · B · C · E + A · B · C · E + A · B · C · E
+A · B · C · E
RAE
´
Algebra de Boole

59. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Minimizaci´n mediante Mapas de Karnaugh
o
Sin embargo en el mapa anterior no est´n marcados los
a
subcubos m´s grandes. Por lo que la funci´n no es m´
a
o
ınima.
En el siguiente MK est´n marcados los subcubos m´s grandes.
a
a
Resultando la ecuaci´n
o
F (A, B, C ) = B · C · E + B · C · E
RAE
´
Algebra de Boole

60. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Mapas de Karnaugh (AND de OR)
Tambi´n es posible expresar funciones de la forma can´nica
e
o
AND de OR en los mapas de Karnaugh.
Para ello es necesario identificar los subcubos que cubren
todos los ceros del MK.
Por ejemplo minimizar
F (A, B, C , D) =
(0, 2, 5, 8, 10, 13, 14)
M
RAE
´
Algebra de Boole

61. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Mapas de Karnaugh (AND de OR)
El siguiente MK representa a la funci´n
o
F (A, B, C , D) = M (0, 2, 5, 8, 10, 13, 14). En el se deben
cubrir los ceros de mapa.
Resultando la ecuaci´n
o
F (A, B, C , D) = (B + D) · (B + C + D) · (A + C + D)
RAE
´
Algebra de Boole

62. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Minimizaci´n de Funciones
o
La minimizaci´n de funciones es fundamental tanto para el
o
dise˜o de procesadores, como de otros componentes digitales
n
que utilizan tecnolog´ de alta densidad de integraci´n (como
ıa
o
VLSI).
La minimizaci´n no solo tiene un alto impacto en el costo de
o
los dispositivos, sino que tambi´n en el rendimiento.
e
Sin embargo el m´todo de MK no es viable en dise˜os
e
n
complejos, como por ejemplo el dise˜o de un procesador,
n
debido a la cantidad de variables que involucra.
RAE
´
Algebra de Boole

63. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
M´todo Quine - McKluskey
e
El m´todo de Quine y McKluskey es una t´cnica tabular.
e
e
Esta t´cnica resulta f´cil de programar, con lo que se logra
e
a
una herramienta autom´tica para la obtenci´n de expresiones
a
o
de conmutaci´n m´
o
ınimas.
RAE
´
Algebra de Boole

64. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
M´todo Quine - McKluskey
e
Una expresi´n de conmutaci´n se puede escribir como una
o
o
suma de t´rminos donde cada t´rmino esta compuesto de
e
e
factores.
Por ejemplo:
F (A, B, C ) = A · B · C + B · C + . . .
Se define como implicante primo a un t´rmino que
e
est´ contenido en la funci´n y que la eliminaci´n de cualquiera
a
o
o
de sus literales genera un nuevo t´rmino que no esta
e
contenido en a funci´n.
o
RAE
´
Algebra de Boole

65. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
M´todo Quine - McKluskey
e
Implicantes Primos
Por ejemplo la funci´n F (A, B, C ) = AB + C tiene 2 t´rminos
o
e
(AB y C ), y ambos son implicantes primos.
En cambio la funci´n F (A, B, C ) = ABC + A + BC tiene 3
o
t´rminos, pero s´lo 2 de ellos son implicantes primos. El
e
o
t´rmino ABC no es implicante primo, ya que si se elimina la
e
literal A, queda el t´rmino BC que ya existe en la funci´n.
e
o
RAE
´
Algebra de Boole

66. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
M´todo Quine - McKluskey
e
Se puede observar que los implicantes primos corresponden a
los subcubos en un mapa de Karnaugh. Por lo tanto, la
ecuaci´n minimizada tendr´ tantos t´rminos, como
o
a
e
implicantes primos tenga la funci´n.
o
Los algoritmos computacionales para la minimizaci´n de
o
funciones, se basan en la b´squeda automatizada de
u
implicantes primos.
RAE
´
Algebra de Boole

67. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
M´todo Quine - McKluskey
e
El m´todo Quine-McKluskey genera el conjunto de
e
implicantes primos de una funci´n dada.
o
Pasos para el desarrollo del m´todo Quine - McKluskey
e
1) Para desarrollar el m´todo, primero se debe contar
e
con la funci´n de la forma can´nica OR de AND.
o
o
2) Luego se representa cada t´rmino, de la forma
e
binaria.
3) Se agrupan los t´rminos en funci´n de la cantidad de
e
o
1’s que tengan.
RAE
´
Algebra de Boole

68. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
M´todo Quine - McKluskey
e
Pasos para el desarrollo del m´todo Quine - McKluskey
e
4) Cada grupo (que representa la cantidad de 1’s del
t´rmino), se vuelve a agrupar con alg´n grupo
e
u
adyacente buscando diferencias en un solo bit. El bit
en que difieren es reemplazado por “-”.
5) Se vuelve a aplicar el paso anterior. Para la
adyacencia se debe considerar que el s´
ımbolo “-” se
encuentra en la misma posici´n.
o
6) Finalmente Se deben cubrir todos los t´rminos de la
e
funci´n original, utilizando el m´
o
ınimo n´mero de
u
implicantes primos.
RAE
´
Algebra de Boole

69. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
M´todo Quine - McKluskey
e
Ejemplo del m´todo Quine - McKluskey
e
1) Como ejemplo se considera la siguiente funci´n de la
o
forma can´nica OR de AND. m (0, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9)
o
2) Se escribe cada t´rmino, de la forma binaria:
e
(0)
(2)
(3)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
RAE
0000
0010
0011
0101
0110
0111
1000
1001
´
Algebra de Boole

70. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
M´todo Quine - McKluskey
e
Ejemplo del m´todo Quine - McKluskey
e
3) Luego se agrupan los t´rminos, en funci´n a la
e
o
cantidad de 1’s que tienen.
RAE
´
Algebra de Boole

71. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
M´todo Quine - McKluskey
e
Ejemplo del m´todo Quine - McKluskey
e
4) Se reagrupan los grupos adyacentes, buscando
diferencias en un solo bit y reemplazando el bit en
que difieren con un “-”.
RAE
´
Algebra de Boole

72. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
M´todo Quine - McKluskey
e
Ejemplo del m´todo Quine - McKluskey
e
5) Se vuelve a reagrupar considerando que el s´
ımbolo
“-” se encuentre en la misma posici´n.
o
RAE
´
Algebra de Boole

73. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
M´todo Quine - McKluskey
e
Ejemplo del m´todo Quine - McKluskey
e
Los siguientes t´rminos corresponden a los implicantes primos:
e
(0,2)
(0,8)
(8,9)
(5,7)
(2,3,6,7)
RAE
00-0
-000
10001-1
0-1-
→A
→B
→C
→D
→E
´
Algebra de Boole

74. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
M´todo Quine - McKluskey
e
Ejemplo del m´todo Quine - McKluskey
e
6) Finalmente se deben cubrir todos los t´rminos de la
e
funci´n original, utilizando el m´
o
ınimo n´mero de
u
implicantes primos.
RAE
´
Algebra de Boole

75. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
M´todo Quine - McKluskey
e
Ejemplo del m´todo Quine - McKluskey
e
Los implicantes primos que representan a todos los t´rminos
e
pueden ser: C + D + E + B o C + D + E + A
Si se consideran t´rminos con las variables W , X , Y , Z se traduce
e
a: W · X · Y + W · X · Z + W · Y + X · Y · Z
o W ·X ·Y +W ·X ·Z +W ·Y +W ·X ·Z
´
RAE
´
Algebra de Boole

76. Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o
Fin...
Fin...
RAE
´
Algebra de Boole