Funciones vectoriales Cálculo de funciones vectoriales Movimiento sobre una curva

1. CALCULO VECTORIAL
PARTE III
Jorge Patricio Muñoz Vizhñay
Ing. Eléctrico, MSc. , MBA
FACULTAD DE ENERGÍA, LAS
INDUSTRIAS Y LOS RECURSOS
NATURALES NO RENOVABLES
CARRERA DE
INGENIERÍA
ELECTROMECÁNICA

2. Contenido:
Funciones vectoriales
Cálculo de funciones vectoriales
Movimiento sobre una curva
FUNCIONES DE VALORES VECTORIALES

3. 12.1 FUNCIONES VECTORIALES
Introducción: En ciencias e ingeniería muchas veces es conveniente introducir un
vector r con las funciones f y g como componentes:
r(t) = {f(t), g(t)} = f(t) i + g(t) j
Funciones de valores vectoriales: Una curva C en el espacio tridimensional, o una
curva espacial, se parametriza mediante tres ecuaciones
x = f (t), y = g(t), z = h(t), a <= t <= b.
Al emplear las funciones en la última ecuación como componentes, el equivalente
en el espacio tridimensional es
r(t) = {f(t), g(t),h(t)} = f(t) i + g(t) j + h(t) k
VECTORES Y ESPACIO TRIDIMENSIONAL

4. 12.1 FUNCIONES VECTORIALES
Rectas: Las ecuaciones paramétricas de una recta L que pasa por un punto en
el espacio y es paralela a un vector v = {a, b, c}, v diferente de 0, son
x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct -∞ ≤ t ≤ ∞
Estas ecuaciones resultan del hecho de que los vectores r – r0 y v son paralelos de
modo que r – r0 es un múltiplo escalar de v, esto es, r – r0 = tv. En consecuencia,
una función vectorial de la recta L está dada por r(t) = r0 + tv
Si r0 = {x0, y0, z0} y r1 = {x1, y1, z1} son los vectores de posición de dos puntos
distintos P0 y P1, entonces podemos considerar v = r1 – r0 ={x1 – x0, y1 – y0, z1 -
z0}. Una función vectorial de la recta que pasa por los dos puntos es r(t) = (1-t) r0 +
t r1 , o
VECTORES Y ESPACIO TRIDIMENSIONAL

5. 12.1 FUNCIONES VECTORIALES
Rectas:
0 ≤ t ≤ 1
VECTORES Y ESPACIO TRIDIMENSIONAL

6. 12.1 FUNCIONES VECTORIALES
Curva helicoidal: Una función vectorial de la forma
describe una hélice circular (Figura). El número 2πc/k recibe el nombre de
horquilla de una hélice. Una hélice circular es sólo un caso especial de la función
vectorial
que describe una hélice elíptica cuando a diferente b.
VECTORES Y ESPACIO TRIDIMENSIONAL

7. 12.1 FUNCIONES VECTORIALES
La curva definida por
se denomina hélice cónica.
Una curva dada por
se llama hélice esférica.
VECTORES Y ESPACIO TRIDIMENSIONAL

8. 12.2 CALCULO DE FUNCIONES VECTORIALES
Limites y continuidad
VECTORES Y ESPACIO TRIDIMENSIONAL

9. 12.2 CALCULO DE FUNCIONES VECTORIALES
Limites y continuidad
Derivada de una funcion vectorial:
la derivada de r tambien se describe dr/dt
VECTORES Y ESPACIO TRIDIMENSIONAL

10. 12.2 CALCULO DE FUNCIONES VECTORIALES
VECTORES Y ESPACIO TRIDIMENSIONAL

11. 12.2 CALCULO DE FUNCIONES VECTORIALES
Interpretacion geometrica de r'(t): Como sugieren las figuras, la posición límite del
vector [r(t+h) - r(t)]/h es un vector sobre la recta tangente en P. También definimos
la recta tangente como la recta que pasa por P que es paralela al vector r'(t).
VECTORES Y ESPACIO TRIDIMENSIONAL

12. 12.2 CALCULO DE FUNCIONES VECTORIALES
VECTORES Y ESPACIO TRIDIMENSIONAL

13. 12.2 CALCULO DE FUNCIONES VECTORIALES
Integrales de funciones vectoriales: Si r(t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k es una función
vectorial continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral indefinida de r está
definida por
Debido a la continuidad de las funciones componentes f, g y h, la integral definida
de r(t) sobre [a, b] puede definirse como
donde R es una función vectorial tal que R'(t) = r(t)
VECTORES Y ESPACIO TRIDIMENSIONAL
https://www.mathway.com/es/popular-problems/Calculus/546291
https://www.calculadora-de-derivadas.com/

14. 12.2 CALCULO DE FUNCIONES VECTORIALES
Longitud de una curva espacial: Si C es una curva suave en el espacio
tridimensional definida por las ecuaciones paramétricas
x = f (t), y = g(t), z = h(t), a ≤ t ≤ b,
donde
VECTORES Y ESPACIO TRIDIMENSIONAL

15. 12.2 CALCULO DE FUNCIONES VECTORIALES
Funcion de la longitud de arco: La integral definida a continuacion se denomina
funcion de longitud de arco para la curva C.
El simbolo u es una variable de integracion sustituta. La funcion s(t) representa la
longitud de C entre los puntos sobre la curva definida por los vectores de posicion
r(a) y r(t). Si podemos resolver esa ecuacion para t en terminos de s, entonces es
factible expresar r(t) = {f(t), g(t), h(t)} como
r(s) = {x(s), y(s), z(s)}
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16. 12.3 MOVIMIENTO SOBRE UNA CURVA
Introduccion: Suponga que una partícula o cuerpo se mueve a lo largo de la curva
C de manera que su posición en el tiempo t está dada por la función de valores
vectoriales
r(t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k
Podemos describir la velocidad y la aceleración de la partícula en términos de
derivadas de r(t).
v(t) = r'(t) = f'(t) i + g'(t) j + h'(t) k
a(t) = r''(t) = f''(t) i + g''(t) j + h''(t) k
La siguiente funcion escalar representa la rapidez de la particula.
La rapidez se relaciona con la longitud de arco, entonces su longitud entre el punto
inicial en t = a y el punto terminal en t = b está dada por
Si P(x1, y1, z1) es la posición de la partícula sobre la curva C en el tiempo t1,
entonces en base a la geométrica concluimos que v(t1) es tangente a la curva C en
P.
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