integral indefinida; concepto y ejercicios

1. “UNIVERSIDADNACIONAL HERMILIO VALDIZÁN “
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN.
DOCENTE: Dr.Fermín Pozo Ortega
ALUMNO: Jorge Huahuatico Huacho
ESPECIALIDAD: Matemática y física
TEMA: CÁLCULO INTEGRAL – LA INTEGRAL INDEFINIDA
ASIGNATURA: Soporte informático

2. HISTORIA DEL CÁLCULO INTEGRAL
El calculo integral es en gran medida, fundamento de variadas disciplinas. Ha propiciado el avance en
numerosos campos de estudio y desarrollado nuevas perspectivas ante problemas, investigaciones y
descubrimientos. Su invención se podría atribuir a Newton y Leibniz, sin embargo es necesario
mencionar su preexistencia parcial y su evolución a través del tiempo.
El papiro de Moscu, documento egipcio de suma importancia, muestra, a través de 25 problemas
matemáticos, sus estudios con respecto al calculo de volumen y superficies. En dos de estos
problemas, se introduce la formula para hallar el volumen de un tronco piramidal.
Eudoxo de Cnido (390 AC-355AC) matemático turco, conocido por diversos planteamientos
astronómicos, propuso el MÉTODO EXHAUSTIVO (AGOTAMIENTO O EXHAUSCION) que consistía en
encontrar áreas y volúmenes partiendo la totalidad del espacio de estudio en formas infinitas de
volúmenes o áreas ya conocidas. Arquimedes uso este método para realizar el calculo de áreas en
parábolas así como el área de un circulo de manera aproximada. Paralelamente, en oriente, se
desarrollaban algunos procedimientos de asombrosa semejanza. Liu Hui, matemático de origen chino,
realizo el calculo del numero π (pi) a través de polígonos regulares en el área de un circulo, calculo de
volúmenes en sólidos, mediciones y variados procedimientos matemáticos de gran trascendencia. Zu
Chongzhi profundizo en el trabajo de Liu con el fin de hallar el área de una esfera.
Es necesario destacar las contribuciones de algunos pensadores y matemáticos, como Platon,Tales de
Mileto, Pitagoras y Zenon. Posteriores a estos, como Cavalieri, Galileo y Kepler, quienes ofrecieron su
pensamiento para las generaciones futuras, tales como Fermat y Barrow, quienes retomando los
estudios de sus antecesores, ampliaron el conocimiento y estructuraron las bases del calculo. (Sandino

3. 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒙 + 𝑪
Función
integrada
Diferencial
Constante de
integración
Símbolo de la
integral
Integrando
LA INTEGRAL
Es una generalización de
la suma de infinitos
sumandos,
infinitesimalmente
pequeños: una suma
continua. La integral es
la operación inversa a la
derivada.

4. INTEGRAL INDEFINIDA
¿qué es la antiderivada de una función
?
Decimos que una función 𝐹(𝑥) es una ANTIDERIVADA de otra función 𝑓(𝑥) continua en un
intervalo 𝐼,si se cumple:
𝐹´ 𝑥 = 𝑓 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝐼
Ejemplo:
La antiderivada de 𝑓 𝑥 = 4𝑥3
es 𝐹 𝑥 = 𝑥4
, porque 𝐹´ 𝑥 = 4𝑥3

5. LA ANTIDERIVADA GENERAL
Si 𝐹 𝑥 es una ANTIDERIVADA de 𝑓(𝑥) sobre el intervalo 𝐼, es decir:
Si 𝐹´ 𝑥 = 𝑓 𝑥 sobre 𝐼, entonces la función 𝐺 𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶 es la ANTIDERIVADA
GENERAL de 𝑓(𝑥)
LA INTEGRAL INDEFINIDA
Se llama INTEGRAL INDEFINIDA de una función 𝑓(𝑥), a la antiderivada general de la
función.
Es decir, si 𝑓 𝑥 = 𝐹´ 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝐼, entonces:
𝐺 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶, ∀𝑥 ∈ 𝐼

6. PROPIEDADES ELEMENTALES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA
𝑐𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑐 =constante
𝑓 𝑥 ± 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ± 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
𝑎𝑓 𝑥 ± 𝑏𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ± 𝑏 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
REGLA DE LA CADENA
La regla de la cadena, es: 𝑓 𝑢 𝑥 𝑢´ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑢 𝑥 + 𝐶

7. TABLA DE INTEGRALES (formas
básicas)
 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢
 𝑢𝑛
𝑑𝑢 =
𝑢𝑛+1
𝑛+1
+ 𝐶, 𝑛 ≠ −1

𝑑𝑢
𝑢
= ln 𝑢 + 𝐶
 𝑒𝑢𝑑𝑢 = 𝑒𝑢 + 𝐶
 𝑏𝑢𝑑𝑢 =
𝑏𝑢
𝑙𝑛𝑏
+ 𝐶
 sin 𝑢 𝑑𝑢 = − cos 𝑢 + 𝐶
 cos 𝑢 𝑑𝑢 = sen 𝑢 + 𝐶
 𝑠𝑒𝑐2 𝑢 𝑑𝑢 = tan 𝑢 + 𝐶
 𝑐𝑠𝑐2 𝑢 𝑑𝑢 = −cot 𝑢 + 𝐶
 sec 𝑢 tan 𝑢 𝑑𝑢 = sec 𝑢 + 𝐶
 csc 𝑢 cot 𝑢 𝑑𝑢 = − csc 𝑢 + 𝐶
 tan 𝑢 𝑑𝑢 = ln | sec 𝑢| + 𝐶
 cot 𝑢 𝑑𝑢 = ln | se𝑛 𝑢| + 𝐶
 sec 𝑢 𝑑𝑢 = ln | sec 𝑢 + tan 𝑢 | + 𝐶
 csc 𝑢 𝑑𝑢 = ln | csc 𝑢 − cot 𝑢 | + 𝐶

8. EJEMPLOS:
𝑥3
𝑑𝑥 =
𝑥3+1
3 + 1
+ 𝐶 =
𝑥4
4
+ 𝐶
5
𝑥8
𝑑𝑥 = 5 𝑥−8𝑑𝑥 + 𝐶 = 5
𝑥−8+1
−8 + 1
+ 𝐶 = −
5
7𝑥7
+ 𝐶
sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶
𝑠𝑒𝑐2
𝑥𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝐶

9. (𝒙𝟐 − 𝟓)𝟐
𝒙
𝒅𝒙
=
𝑥4 − 10𝑥2 + 25
𝑥
𝑑𝑥
=
𝑥4
𝑥
𝑑𝑥 − 10
𝑥2
𝑥
𝑑𝑥 + 25
1
𝑥
= 𝑥
7
2𝑑𝑥 − 10 𝑥
3
2𝑑𝑥 + 25 𝑥−
1
2
=
2
9
𝑥
9
2 − 4𝑥
5
2 + 50𝑥
1
2 + 𝐶

10. GRACIA