bien

1. UNIVERSIDAD NACIONAL
AGRARIA LA MOLINA
Alessandri Canchoa Q.
I . Aproximación Numérica y errores

2. 29/11/2021 2
Preliminares
SISTEMAS DIGITALES
• Representación analógica y digital
• Hay dos maneras básicas de representar
la información:
Representación analógica.
Representación digital.
Métodos Numéricos I - A. Canchoa Q.

3. 29/11/2021 3
a) Representación analógica :
• Los valores que pueden asignarse a una
variable analógica no están separados por
“huecos”, sino que forman una secuencia
regular y sin interrupciones. Es decir las
cantidades análogicas pueden variar
gradualmente sobre un intervalo continuo de
valores.
• Ejemplo : Entre dos puntos cualesquiera de una
regla hay un número infinito de otros puntos,
cada uno de los cuales representa o sirve como
“analogía” de una distancia física que se medirá.
Métodos Numéricos I - A. Canchoa Q.

4. 29/11/2021 4
• En la representación analógica, una
cantidad se denota por medio de otra que
es proporcional a la primera.
• Ejemplo : El velocímetro de un automóvil
donde la deflexión de la aguja es
proporcional a la velocidad a la que se
desplaza el auto.
• Ejemplo : Reloj análogico tradicional.
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Canchoa Q.

5. 29/11/2021 5
b) Representación digital :
• La información digital, se representa con un
número fijo de símbolos discontinuos o
discretos, llamados dígitos.
• Los formatos digitales son más precisos y
confiables que los analógicos.
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Canchoa Q.

6. 29/11/2021 6
Ejemplo :
• En un reloj digital, el cual da la hora en forma de
dígitos decimales que representan horas,
minutos y segundos.
• Se sabe que la hora varia continuamente, pero
la lectura del reloj digital , no cambia de la
misma manera; lo hace en etapas de uno por
segundo.
• Esto es, en esta representación digital de la
hora varía en etapas discretas, en comparación
con la representación análogica de la hora que
da un reloj de pulso donde la lectura del
cuadrante varia continuamente.
Métodos Numéricos I - A.
Canchoa Q.

7. 29/11/2021 7
1.2 Conversión analógico-digital
• Si bien es cierto que un dispositivo análogico
puede indicar una cantidad infinitamente grande
de valores, es difícil convertirlos a formato
digital, sobre todo cuando se desea un alto nivel
de precisión. Por lo general es conveniente
trabajar exclusivamente con información digital.
• La mayoría de los sistemas de procesamiento
de información que existen en la actualidad
operan en forma digital y se apoyan en
mecanismos de conversión analógico-digital y
digital-analógico cuando es necesario
interactuar con un ambiente analógico.
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8. 29/11/2021 8
Cuantificación
• Muchas de las señales físicas que se emplean para
transmitir información digital son de naturaleza
análogica, en lugar de digital.
• Por ejemplo, un voltaje eléctrico V, que es el principal
medio portador de información en los circuitos
eléctronicos, es una cantidad analógica.
• La información digital se representa por un conjunto
discreto V1, V2, ...., Vk de los valores analógicos que
pueden tener V.
• Cada valor analógico de V se asigna a la cantidad
discreta Vk más próxima, este proceso es
denominado cuantificación o digitalización.
• Desafortunadamente este proceso es inexacto, lo
cual implica una pérdida inevitable en la precisión.
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Canchoa Q.

9. 29/11/2021 9
Sistemas binarios
• Las señales digitales de dos valores y los sistemas
digitales que las procesan se denominan sistemas
binarios.
• Bits: Las cantidades binarias se presentan en
diversas formas físicas, por lo cual es conveniente
que exista una manera común o abstracta de
representar los estados binarios.
El metodo usual es emplear los símbolos 0 y 1 para
representar los dos valores posibles de una
cantidad binaria en cualquier instante. Estos
símbolos se conocen como bits.
Métodos Numéricos I - A.
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10. 29/11/2021 10
• Conmutadores: Son dispositivos binarios con dos
estados: encendido(1) y apagado (0).
• Las ventajas más importantes de los sistemas
binarios son las siguientes:
• La mayoría de los sistemas de procesamiento de
información se constituyen con base de
conmutadores, los cuales son dispositivos binarios
• Los procesos básicos de toma de decisiones que se
requieren en un sistema digital son binarios.
• Las señales binarias son más confiables que las
formadas por más de dos niveles de cuantificación.
• La palabra sistema se refiere a una colección
organizada de objetos que interactúan para formar
un todo.
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11. 29/11/2021 11
REPRESENTACION DE CANTIDADES BINARIAS
• En los sistemas digitales la información se
representa en los siguientes dos estados:
• ON, OFF
• V, F (Verdadero, Falso)
• Abierto, cerrado
• 1, 0
• Los 0 y 1 binarios se reprentan mediante
voltajes :
• 0V→ 0
• +5V → 1
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12. 29/11/2021 12
Realmente, se representan por intervalos:
0,0 – 0,8V → 0
2,0 – 5,0V → 1
5 V
2 V
0.8 V
0 V
No se
utiliza
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13. 29/11/2021 13
El sumador completo
El sumador incluye de otras sumas por lo que
dispone de tres entradas. Las salidas son dos.
Entradas Salidas
A B CEnt S CSal
0 0 0 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
1 1 0 0 1
1 1 1 1 1
Tabla de verdad del
sumador completo.
S
CSal
Sumador
completo
CEnt
A
B
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14. 29/11/2021 14
1.1 Sistemas de Numeración
• Un sistema de numeración es un conjunto
de símbolos y reglas de generación que
permiten construir todos los números
válidos en el sistema.
• En general: Cualquier entero b>1 puede
utilizarse como base para un sistema
numérico. Los números representados en
base b incluirán los dígitos: 0,1,2,,b-1.
Métodos Numéricos I - A.
Canchoa Q.

15. 29/11/2021 15
Números binarios:
• Los datos binarios, se pueden representar como un
número en un sistema numérico binario. Mientras
que el sistema numérico decimal se utiliza 10
dígitos diferentes {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, el
sistema binario sólo utiliza dos, {0, 1}.
• En el sistema numérico decimal el entero 4897 se
puede expresar como potencias de 10 de la siguiente
manera:
4897 = 41000 + 8100 + 910 + 71
= 4103 + 8102 + 9101 + 7100
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Canchoa Q.

16. 29/11/2021 16
• En cambio, en el sistema binario el entero
10101 se puede expresar como potencias de 2
de la siguiente manera:
101012 = 124 + 023 + 122 + 021 + 120
= 116 + 08 + 14 + 02 + 11
= 16 + 0 + 4 + 0 + 1
= 21 = 2110
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Canchoa Q.

17. 29/11/2021 17
Los primeros 16 enteros en los sistemas numéricos
binario y decimal:
Número Binario Decimal Número Binario Decimal
Cero 0000 00 Ocho 1000 08
Uno 0001 01 Nueve 1001 09
Dos 0010 02 Diez 1010 10
Tres 0011 03 Once 1011 11
Cuatro 0100 04 Doce 1100 12
Cinco 0101 05 Trece 1101 13
Seis 0110 06 Catorce 1110 14
Siete 0111 07 Quince 1111 15
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Canchoa Q.

18. 29/11/2021 18
Sistema Decimal
La base es 10 y se utilizan los dígitos:
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
• Se cumple
}.
,5,6,7,8,9
{0,1,2,3,4
a
,
a
,
a
,
,
a
,
a
donde
10
×
b
10
×
b
10
×
b
10
×
a
10
×
a
10
×
a
10
×
a
10
×
a
=
)
b
b
·b
a
a
a
a
(a
=
b
b
·b
a
a
a
a
a
b
b
·b
a
a
a
a
a
0
1
2
1
-
n
n
m
-
m
2
-
2
1
-
1
0
0
1
1
2
2
1
-
n
1
-
n
n
n
10
m
2
1
0
1
2
1
-
n
n
m
2
1
0
1
2
1
-
n
n
10
m
2
1
0
1
2
1
-
n
n

+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=









Métodos Numéricos I - A.
Canchoa Q.

19. 29/11/2021 19
Sistema en base dos o sistema binario
• La base es 2 y se utilizan los dígitos: 0,1,
que son llamados dígitos binarios o bits.
• Ejemplos: 101012
• Suma de Números Binarios:
• Sumas básicas:
• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 102
Métodos Numéricos I - A.
Canchoa Q.

20. 29/11/2021 20
Métodos Numéricos I - A.
Canchoa Q.

21. 29/11/2021 21
Ejemplo: 1001101012+110101012
=
1111 1 1
100110101+
11010101
10000010102
Métodos Numéricos I - A.
Canchoa Q.

22. 29/11/2021 22
Resta de Números binarios
• Es semejante que en sistema decimal.
• 0 1 1 1 1 10 0 10 0 10
1 0 0 0 0 0 1 0 1 0
-1 1 0 1 0 1 0 1
1 0 0 1 1 0 1 0 1
Métodos Numéricos I - A.
Canchoa Q.

23. 29/11/2021 23
Cómo lo hace el CPU?
x = 1000001010
Cambiamos las cifras de x:
xc = 0111110101+
y = 11010101
xc+y = 1011001010
Cambiamos las cifras de
(xc+y)c=
x-y = 01001101012
Métodos Numéricos I - A.
Canchoa Q.

24. 29/11/2021 24
• El producto y cociente de números
binarios es semejante al decimal.
• Los productos básicos son:
• 0*0 = 0
• 0*1 = 0
• 1*0 = 0
• 1*1 = 1
Métodos Numéricos I - A.
Canchoa Q.

25. 29/11/2021 25
1 0 1 1 0 ×
1 0 0 1
1 0 1 1 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1 0 1 1 0______
1 1 0 0 0 1 1 0
Métodos Numéricos I - A.
Canchoa Q.

26. 29/11/2021 26
En base 2
• A) Los números de un dígito (un bit): 0, 1
• En total: 21 = 2.
• B) Los números de dos dígitos (dos bits):
• 00 → 0
• 01 → 1
• 10 → 2
• 11 → 3
• En total: 22 = 4
Métodos Numéricos I - A.
Canchoa Q.

27. 29/11/2021 27
En base 2
• D) Con n dígitos ( o n bits) se representan los
números positivos de 0 a 2n-1.
• Ejemplo.- Con 8 bits, se pueden representar los
números decimales:
• 0,1,2,3,4,…, 28-1= 255.
Métodos Numéricos I - A.
Canchoa Q.

28. 29/11/2021 28
En base 2
• C) Los números de tres dígitos (tres bits):
• 000 → 0
• 001 → 1
• 010 → 2
• 011 → 3
• 100 → 4
• 101 → 5
• 110 → 6
• 111 → 7
• En total: 23 = 8
Métodos Numéricos I - A.
Canchoa Q.

29. 29/11/2021 29
Sistema Octal (base 8)
• La base es 8 y se utilizan los dígitos: 0,1, 2, 3, 4,
5, 6, 7.
• Ejemplo: 2768=2×82+7×81+6×80=210
• Base Octal Binario
• 0 000
• 1 001
• 2 010
• 3 011
• 4 100
• 5 101
• 6 110
• 7 111
Métodos Numéricos I - A.
Canchoa Q.

30. 29/11/2021 30
• Convertir 5468 a base 2(binario)
5 4 6
101 100 110
5468 = 101100 110 2
Métodos Numéricos I - A.
Canchoa Q.

31. 29/11/2021 31
• Convertir 10 011 0012 a base 8(octal)
010 011 0012
2 3 1(octal)
10 011 0012 = 2318
Decimal Octal Binario
Métodos Numéricos I - A.
Canchoa Q.

32. 29/11/2021 32
Sistema Hexadecimal
• En este sistema existen 16 símbolos que
son denominados cifras, las cuales son:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
donde A, B, C, D, E, F en base decimal son
respectivamente 10, 11, 12, 13, 14 y 15.
Métodos Numéricos I - A.
Canchoa Q.

33. 29/11/2021 33
• Convertir 12A3C16 a base 2
1 2 A 3 C
0001 0010 1010 0011 1100
12A3C16 = 000100101010001111002
Métodos Numéricos I - A.
Canchoa Q.

34. 29/11/2021 34
• A. Conversión de un número entero del
sistema decimal al sistema de base b
Se realiza divisiones sucesivas hasta que
el último cociente sea menor que b.
Escribiendo el último cociente y todos los
restos en orden inverso a como los
obtenidos se obtienen los dígitos del
número en la base b.
Métodos Numéricos I - A.
Canchoa Q.

35. 29/11/2021 35
• Ejemplo. Determinar la representación del
número 1299 en base 6.
1 2 9 9 |_6_
3 216|_6_
0 36|_6_
0 6 |_6_
0 1
1299= 100036
Métodos Numéricos I - A.
Canchoa Q.

36. 29/11/2021 36
• Ejemplo. Determinar la representación del número
358 en binario.
3 5 8 |_2_
0 179|_2_
1 89|_2_
1 44|_2_
0 22|_2_
0 11|_2_
1 5|_2_
1 2 |_2_
0 1
358 = 1011001102
Métodos Numéricos I - A.
Canchoa Q.

37. 29/11/2021 37
B. Conversión de un número entero en base
b al sistema decimal
0
1
2
2
3
3
)
(
0
1
2
3
a
b
a
b
a
b
a
b
a
a
a
a
a
a
k
k
b
k
+

+

+

+
+

=
=


Métodos Numéricos I - A.
Canchoa Q.

38. 29/11/2021 38
Usando el método de Horner
• Ejemplo.- Representar 21316 en base 10
21316 = 2 ×162 + 1×16 + 3
= (2 ×16 + 1)×16 + 3
2 1 3
16  32 528
2 33 531
Luego 21316= 531
Métodos Numéricos I - A.
Canchoa Q.

39. 29/11/2021 39
• Ejemplo.- Representar el número de base
octal 121278 en base 10.
8 1 2 1 2 7
 8 80 648 5200
1 10 81 650 5207
Luego 121278 = 5207
Métodos Numéricos I - A.
Canchoa Q.

40. 29/11/2021 40
• Ejemplo.- Representar el número de base dos
1010102 en base 10.
2 1 0 1 0 1 0
 2 4 10 20 42
1 2 5 10 21 42
Luego 1010102 = 42 (“cuatro, dos en base diez)
= 42
Métodos Numéricos I - A.
Canchoa Q.

41. 29/11/2021 41
• CONVERSIÓN DE UN NÚMERO FRACCIONARIO
DEL SISTEMA DECIMAL AL SISTEMA DE BASE b.
• Para convertir un número fraccionario 0.f a base b:
• 0.f = (0.e1e2e3…)b
• Multiplicando por b: t1.f1 = (e1.e2e3e4…)b
• Se obtiene, parte entera e1 = t1 y parte fraccionaria
• 0.f1 = (0.e2e3e4…)b
• Multiplicando por b: t2.f2 = (e2. e3e4e5…)b
• Se obtiene, parte entera e2 = t2 y parte fraccionaria
• 0.f2 = (0. e3e4e5 …)b
• Este procedimiento se continua hasta que fi=0.
• Finalmente se obtiene: (0.e1e2e3…)b
Métodos Numéricos I - A.
Canchoa Q.

42. 29/11/2021 42
• Ejemplo: Convierta 1/10 a binario.
• 1/10 =0.1= (0•e1e2e3e4….)2
• ×2: 0.2 = (e1 • e2e3e4….)2 → e1=0
• 0.2 = ( 0•e2e3e4….)2
• ×2: 0.4 = (e2.•e3e4…. )2 → e2=0
• 0.4 = ( 0•e3 e4e5 ….)2
• ×2: 0.8 = (e3.•e4e5…. )2 → e3=0
• 0.8 = ( 0•e4 e5e6 ….)2
• ×2: 1.6 = (e4.•e5e6…. )2 → e4=1
• 0.6 = (0.•e5e6…. )2
• ×2: 1.2 = (e5• e6e7…. )2 → e5=1
• 0.2 = (0.•e6e7…. )2 →1/10 =(0.00011)2
Métodos Numéricos I - A.
Canchoa Q.

43. 29/11/2021 43
• Ejemplo: Determinar 3.625 en base binaria.
• Parte entera: 3 = 112
• Parte decimal: 0.625 = (0.e1e2e3….)2
• ×2: 1. 25 = (e1•e2e3e4….)2 → e1=1
• 0.25 = ( 0•e2e3e4….)2
• ×2: 0.50 = (e2.•e3e4…. )2 → e2=0
• 0.50 = (0 • e3. e4e5…. )2
• ×2: 1.0 = (e3.•e4e5…. )2 → e3=1
• 0.0 = (0.•e4e5…. )2
 0.625 = 0. 1012
Finalmente : 3.625 =112+0. 1012 = 11.1012
Métodos Numéricos I - A.
Canchoa Q.

44. 29/11/2021 44
• Ejemplo: Determinar 0.625 en base octal.
• 0.625 = (0.e1e2e3….)8
• ×8: 5. 00 = (e1•e2e3e4….)2 → e1=5
• 0.00 = ( 0•e2e3e4….)2
 0.625 = 0.58
Métodos Numéricos I - A.
Canchoa Q.

45. 29/11/2021 45
D. Conversión de un número fraccionario en
base b al sistema decimal
k
k
3
3
2
2
1
1
(b)
k
3
2
1
b
a
b
a
b
a
b
a
a
a
a
a
0.
−
−
−
−

+
+

+

+

=
=


1
Métodos Numéricos I - A.
Canchoa Q.

46. 29/11/2021 46
• Ejemplo: Convertir 0.100112 al sistema
decimal.
0.1 0 0 1 12
= 1×2-1 + 0 ×2-2 + 0 ×2-3 + 1 ×2-4 +1 ×2-5
= 19/32
= 0.59375
Métodos Numéricos I - A.
Canchoa Q.

47. 29/11/2021 47
• Ejemplo: Convertir 10011.111012 al sistema
decimal.
10011.111012 =
= 1 ×24+0 ×23+0 ×22+1 ×21+1 ×20 +
+1×2-1 + 1×2-2 + 1 ×2-3 + 0 ×2-4 +1 ×2-5
= 9.9062510
= 9.90625
Métodos Numéricos I - A.
Canchoa Q.