Polinomios de Taylor. Formas cuadráticas

1. March 18, 2010 () March 18, 2010 1 / 16

2. Semana 9 Tema 4: Derivadas de orden superior Polinomios de Taylor. Formas cuadráticas Universidad Carlos III. Madrid Matemáticas II Curso 2008-2009 Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II () 9 Tema 4: Derivadas de orden superior Semana Curso 2008-2009 2 / 16

3. Polinomios de Taylor Aproximación de primer orden por desarrollos de Taylor Observación Sabemos que si (x , y , z ) ∈ T , plano tangente de f , g (a, b, f (a, b)) · ((x , y , z ) − (a, b, f (a, b))) = 0, donde g (x , y , z ) = f (x , y ) − z . En la siguiente gráca (en el que se represanta − g (a, b, f (a, b)) para más facilidad), u = (x , y , z ), p = (a, b, f (a, b)), y v = u − p . −∇ g(p) v u T p S={(x,y,z): g(x,y,z) = f(x,y)-z=0} ( gráfico de z=f(x,y) ) 0 Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II () 9 Tema 4: Derivadas de orden superior Semana Curso 2008-2009 3 / 16

4. Polinomios de Taylor Aproximación de primer orden por desarrollos de Taylor Observación Sabemos que si (x , y , z ) ∈ T , plano tangente de f , g (a, b, f (a, b)) · ((x , y , z ) − (a, b, f (a, b))) = 0, donde g (x , y , z ) = f (x , y ) − z . En la siguiente gráca (en el que se represanta − g (a, b, f (a, b)) para más facilidad), u = (x , y , z ), p = (a, b, f (a, b)), y v = u − p . −∇ g(p) v u T p S={(x,y,z): g(x,y,z) = f(x,y)-z=0} ( gráfico de z=f(x,y) ) 0 Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II () 9 Tema 4: Derivadas de orden superior Semana Curso 2008-2009 3 / 16

5. Polinomios de Taylor Aproximación de primer orden por desarrollos de Taylor La ecuación del plano tangente nos daba: ∂f ∂f z = f (a, b) + (a, b) · (x − a) + (a, b) · (y − b) ∂x ∂y Si el plano tangente T es una buena aproximación de la función cerca del punto p = (a, b, f (a, b)), podemos utilizar el valor de la variable z en la ecuación anterior como una aproximación del valor de f (x , y ). Es decir ∂f ∂f f (x , y ) ≈ f (a, b) + (a, b) · (x − a) + (a , b ) · (y − b ) ∂x ∂y Denición Dada una función f ∈ C 1 (D ), p ∈ D ⊂ R , el polinomio de Taylor n de grado 1 en el punto p es P1 (x ) = f (p) + f (p) · (x − p) Si f (x , y ) es una función de dos variables y p = (a, b), ∂f ∂f P1 (x , y ) = f (a, b) + (a, b) · (x − a) + (a , b ) · (y − b ) ∂x ∂y Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II () 9 Tema 4: Derivadas de orden superior Semana Curso 2008-2009 4 / 16

8. Polinomios de Taylor Aproximación de primer orden por desarrollos de Taylor Denición Si f ∈ C 2 (D ) se dene el polinomio de Taylor de grado 2 en el punto p como 1 P2 (x ) = f (p) + f (p) · (x − p) + (x − p ) H f (p )(x − p ) 2 1 = P1 (x ) + (x − p ) H f (p )(x − p ) 2 Observación Si f (x , y ) es una función de dos variables y p = (a, b) el polinomio de Taylor de grado 2 para la función f alrededor del punto p = (a, b) es, en forma extendida, ∂f ∂f P2 (x , y ) = f (a , b ) + (a, b)(x − a) + (a, b)(y − b) + ∂x ∂y 1 ∂2f ∂2f ∂2f + (x − a)2 + 2 (x − a)(y − b) + 2 (y − b)2 2 ∂x 2 ∂x ∂y ∂y Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II () 9 Tema 4: Derivadas de orden superior Semana Curso 2008-2009 5 / 16

9. Polinomios de Taylor Aproximación de primer orden por desarrollos de Taylor Denición Si f ∈ C 2 (D ) se dene el polinomio de Taylor de grado 2 en el punto p como 1 P2 (x ) = f (p) + f (p) · (x − p) + (x − p ) H f (p )(x − p ) 2 1 = P1 (x ) + (x − p ) H f (p )(x − p ) 2 Observación Si f (x , y ) es una función de dos variables y p = (a, b) el polinomio de Taylor de grado 2 para la función f alrededor del punto p = (a, b) es, en forma extendida, ∂f ∂f P2 (x , y ) = f (a , b ) + (a, b)(x − a) + (a, b)(y − b) + ∂x ∂y 1 ∂2f ∂2f ∂2f + (x − a)2 + 2 (x − a)(y − b) + 2 (y − b)2 2 ∂x 2 ∂x ∂y ∂y Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II () 9 Tema 4: Derivadas de orden superior Semana Curso 2008-2009 5 / 16

10. Polinomios de Taylor Aproximación de primer orden por desarrollos de Taylor Obviamente, la aproximación de una función es, en general, más exacta si usamos el polinomio de grado 2 que el de grado 1. La siguiente proposición precisa lo dicho: Proposición Sea f una función de clase C 1 (D ) en R y sea P1 (x ) el polinomio n de Taylor de grado 1 para la función f alrededor del punto p . Entonces, f (x ) − P1 (x ) lim =0 x →p x −p Si f es de clase C 2 (D ), entonces, f (x ) − P2 (x ) lim =0 x →p x −p 2 Notar que el polinomio no solo se aproxima a la función, sino que lo hace más rápido que la aproximación de x a p . En el caso del polinomio de grado 2, la aproximación es más rápida todavía. Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II () 9 Tema 4: Derivadas de orden superior Semana Curso 2008-2009 6 / 16

16. Formas Cuadráticas Denición Una forma cuadrática de orden n es una función Q : R → R de la n forma n Q (x1 , x2 , . . . , x n )= a xx ij i j , =1 i j con a ∈ R para todo i , j = 1, . . . , n ij Ejemplo Q (x , y , z ) = x 2 − 2xy + 4xz + 6yz + 5z 2 Observación Una forma cuadrática puede expresarse utilizando el producto de matrices. Por ejemplo, 1 −1 2 x    Q (x , y , z ) = x y z −1 0 3 y  = x 2 − 2xy + 4xz + 6yz + 5z 2 2 3 5 z Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II () 9 Tema 4: Derivadas de orden superior Semana Curso 2008-2009 7 / 16

19. Formas Cuadráticas Observación (Continuación) En general, es posible hacer esto de muchas maneras. Por ejemplo, la forma cuadrática anterior puede expresarse también como 1 −2 1 x    Q (x , y , z ) = x y z 0 0 4  y  3 2 5 z La condición es que xAx = xBx si a + a = b + b para todo t t ij ji ij ji i , j = 1, 2, . . . , n. Pero observemos que si requerimos que la matriz A sea simétrica, entonces existe una única manera de expresar Q (x ) de la forma Q (x ) = xAx . Formalmente, t Proposición Toda forma cuadrática Q : R → R, puede ser expresada de manera n única como Q (x ) = xAx con A = A , una matriz simétrica. t t Identicaremos la forma cuadrática Q (x ) = xAx con la matriz simétrica A. t Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II () 9 Tema 4: Derivadas de orden superior Semana Curso 2008-2009 8 / 16

24. Formas Cuadráticas Clasicación de las formas cuadráticas Denición Una forma cuadrática Q : R → R es n 1 Denida positiva si Q (x ) 0 para todo x ∈ R , x = 0. n 2 Denida negativa si Q (x ) 0 para todo x ∈ R , x = 0. n 3 Semidenida positiva si Q (x ) ≥ 0 para todo x ∈ R y Q (x ) = 0 para n algún x = 0. 4 Semidenida negativa si Q (x ) ≤ 0 para todo x ∈ R y Q (x ) = 0 para n algún x = 0. 5 Indenida si hay dos puntos x , y ∈ R tal que Q (x ) 0 y Q (y ) 0. n Ejemplo 1 Q1 (x , y , z ) = x 2 + 3y 2 + z 2 es denida positiva. 2 Q2 (x , y , z ) = −2x 2 − y 2 es semidenida negativa. 3 Q3 (x , y ) = −2x 2 − y 2 es denida negativa. 4 Q4 (x , y , z ) = x 2 − y 2 + 3z 2 es indenida. Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II () 9 Tema 4: Derivadas de orden superior Semana Curso 2008-2009 9 / 16

33. Formas Cuadráticas Clasicación de las formas cuadráticas Las formas cuadráticas anteriores 1 Q1 (x , y , z ) = x 2 + 3y 2 + z 2 2 Q2 (x , y , z ) = −2x 2 − y 2 3 Q3 (x , y ) = −2x 2 − y 2 4 Q4 (x , y , z ) = x 2 − y 2 + 3z 2 son fáciles de clasicar porque están en forma diagonal, es decir, 1 0 0 −2 0 0     A1 = 0 3 0 A2 =  0 −1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0   −2 0 A3 = 0 −1 A4 = 0 −1 0 0 0 3 Esto se formaliza en la próxima proposición Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II () 9 Tema 4: Derivadas de orden superior Semana Curso 2008-2009 10 / 16

34. Formas Cuadráticas Clasicación de las formas cuadráticas Las formas cuadráticas anteriores 1 Q1 (x , y , z ) = x 2 + 3y 2 + z 2 2 Q2 (x , y , z ) = −2x 2 − y 2 3 Q3 (x , y ) = −2x 2 − y 2 4 Q4 (x , y , z ) = x 2 − y 2 + 3z 2 son fáciles de clasicar porque están en forma diagonal, es decir, 1 0 0 −2 0 0     A1 = 0 3 0 A2 =  0 −1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0   −2 0 A3 = 0 −1 A4 = 0 −1 0 0 0 3 Esto se formaliza en la próxima proposición Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II () 9 Tema 4: Derivadas de orden superior Semana Curso 2008-2009 10 / 16

35. Formas Cuadráticas Clasicación de las formas cuadráticas Proposición Consideremos la matriz 0 0 ··· 0   λ1 0 λ2 0 ··· 0  A= . . . . . . ··· .  .  . . . . 0 0 0 ··· λ n y su forma cuadrática Q (x ) = xAx = λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λ x 2 . En este 2 2 t n n caso, A (o Q ) es 1 denida positiva si y sólo si λ 0 para todo i = 1, 2, . . . , n . i 2 denida negativa si y sólo si λ 0 para todo i = 1, 2, . . . , n . i 3 semidenida positiva si y sólo si λ ≥ 0 para todo i = 1, 2, . . . , n y i λ = 0 para algún k = 1, 2, . . . , n. k 4 semidenida negativa si y sólo si λ ≤ 0 para todo i = 1, 2, . . . , n y i λ = 0 para algún k = 1, 2, . . . , n. k 5 indenida si y sólo si existe algún λ 0 y algún λ 0. i i Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II () 9 Tema 4: Derivadas de orden superior Semana Curso 2008-2009 11 / 16

41. Formas Cuadráticas Clasicación de las formas cuadráticas Ahora estudiaremos algunos métodos para determinar si una forma cuadrática es denida/semidenida positiva/negativa o indenida. Están basados en hacer un cambio de variables, de forma que, con las nuevas variables, la matriz asociada a la forma cuadrática está en forma diagonal. Sea a11 a12 a14   ··· a12 a22 ··· a24  A= .  . . . .. .   .   . . . . a1 n a2 n ··· ann una matriz simétrica y a11 a12 a13 D1 = a11 , D2 = a11 a12 a21 a22 D3 = a12 a22 a23 , , ..., Dn = |A| a13 a23 a33 sus menores principales, con D1 = 0, D2 = 0, . . . , D n = 0. Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II () 9 Tema 4: Derivadas de orden superior Semana Curso 2008-2009 12 / 16

45. Formas Cuadráticas Clasicación de las formas cuadráticas Entonces, existe un cambio de variable x = Qz tal que la forma cuadrática Q (x ) = xAx se convierte en t D2 2 D3 2 D 2 Q (z ) = D1 z1 + 2 z2 + z3 + · · · + z n D1 D2 D −1 n n De esta expresión de Q se obtiene fácilmente un criterio (no exhaustivo)para clasicar formas cuadráticas. Proposición Supongamos Q (x ) = xAx con A una matriz simétrica y supongamos t que |A| = D = 0. Entonces, n 1 la forma cuadrática Q (x ) es denida positiva si y sólo si D 0 i para cada i = 1, 2, . . . , n; 2 la forma cuadrática Q (x ) es denida negativa si y sólo si (−1) D 0 para cada i = 1, 2, . . . , n; i i 3 si (1) y (2) no se cumplen, entonces Q es indenida. Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II () 9 Tema 4: Derivadas de orden superior Semana Curso 2008-2009 13 / 16

51. Formas Cuadráticas Clasicación de las formas cuadráticas La anterior proposición es valida cuando |A| = 0. ¾Qué podemos decir si |A| = 0? La siguiente proposición nos provee de una respuesta para algunos casos. Proposición (*) Supongamos Q (x ) = xAx con A una matriz simétrica y supongamos t que |A| = D = 0, D1 = 0, D2 = 0, . . . , D −1 = 0. Entonces, n n 1 la forma cuadrática Q (x ) es semidenida positiva si y sólo si D1 , D2 , . . . , D −1 0; n 2 la forma cuadrática Q (x ) es semidenida negativa si y sólo si D1 0, D2 0, . . . , (−1) −1 D −1 0; n n 3 en todos los demás casos, la forma cuadrática Q (x ) es indenida. A continuación se presentan algunos ejemplos de qué cosas se pueden hacer cuando D = 0 y además alguno de los menores principales n D1 , ..., D −1 también se anula. n Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II () 9 Tema 4: Derivadas de orden superior Semana Curso 2008-2009 14 / 16

57. Formas Cuadráticas Clasicación de las formas cuadráticas Ejemplo Consideremos la matriz  1 0 0  A = 0 0 0 0 0 a Observamos que D1 = 1, D2 = D3 = 0, y no podemos concluir nada usando la regla de los menores tal como está. Sin embargo, usando la proposición que usamos para el caso de matrices diagonales, la forma cuadrática asociada es semidenida positiva si a ≥ 0 e indenida si a 0. Pero observemos que si intercambiamos las variables y y z , entonces la matriz asociada se convierte en 1 0 0   A = 0 a 0 0 0 0 y ahora sí que podemos utilizar la proposición anterior. Este resultado se presenta de manera formal luego de la siguiente denición. Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II () 9 Tema 4: Derivadas de orden superior Semana Curso 2008-2009 15 / 16

62. Formas Cuadráticas Clasicación de las formas cuadráticas Denición Un menor es central si incluye las mismas las y columnas. Por ejemplo el menor a11 a13 a31 a33 es un menor central, porque incluye las las y columnas 1 y 3. Pero el menor a11 a12 a31 a32 no es central, porque incluye las las 1 y 3 y las columnas 1 y 2. Proposición La proposición (*) se cumple si sustituimos la cadena de menores principales por otra cadena formada por menores centrales. Observación Los criterios que hemos estudiado son especialmente útiles en matrices simétricas de orden 2 × 2. Por ejemplo si A es de orden 2 × 2 y |A| 0, entonces la forma cuadrática asociada es indenida. ¾Por qué? Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II () 9 Tema 4: Derivadas de orden superior Semana Curso 2008-2009 16 / 16

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