Taller ultimo corte

1. MATEMATICAS DISCRETAS
TALLER No 3
PATRICIA OLMOS
CAROLINA ACOSTA
MARYLUZ OSPINA
OMAR URAZAN
ROLANDO CUENCA
JONATHAN CASTRO
UNIVERSIDAD ECCI
BOGOTA

2. 1. Convierta a binario, octal y hexadecimal los
siguientes números en decimal:
a.) 854310 b.) 1856.2310 c.) 3816.2510
•854310
Binario

3. Octal
Hexadecimal

4. • 1856.2310
Binario
Octal

5. Hexadecimal
• 3816.2510
Binario

6. Octal
Hexadecimal

7. 2. Convierta a decimal los siguientes números en su base
indicada:
a.)72568 b.) 1E5C.EE16 c.) 11110000.1112
a.
b.
c.

8. 3. Calcule la adición y la sustracción por complemento de la
base, de los siguientes pares de números.
a. (72568, 62768)
Adición
Resta
72568 − 62768 = 7608
72568 + 62768 = 155548

9. b. 1𝐹𝐸5𝐶16, 𝐴𝐹𝐹5𝐶16
1𝐹𝐸5𝐶16 + 𝐴𝐹𝐹5𝐶16) = 𝐶𝐹𝐷𝐵816
Adición
Resta
𝐴𝐹𝐹5𝐶16 − 1𝐹𝐸5𝐶16 = 9010016

10. c. 11111000112, 11110000102
Adición
11111000112 + 11110000102 = 111101001012
Resta
11111000112 − 11110000102 = 1000012

11. 4. Calcule el mcd(245,105), mcd(440,225), mcd(1234,56); mediante la
aplicación de los algoritmos de:
a. Descomposición en Factores Primos
• m.c.d (245,105) = 7*5 = 35
• m.c.d (440,225) = 5

12. • m.c.d (1234,56) = 2
b. Diferencias
• m.c.d (245,105) = 35

13. • m.c.d (440,225) = 5

14. • m.c.d (1234,56) = 2

15. c. Modulo Euclides
• m.c.d (245,105) = 35
245 mod 105 = 35
105 mod 35 = 0
• m.c.d (440,225) = 5
440 mod 225 = 215
225 mod 215 = 10
215 mod 10 = 5
10 mod 5 = 0
• m.c.d (1234,56) = 2
1234 mod 56 = 2
56 mod 2 = 0

16. a. 14852 mod 314 = 94
b. 58
𝑚𝑜𝑑 200 = 9
c. 1015
𝑚𝑜𝑑 61 = 50
d. 14150 𝑚𝑜𝑑 532 = 140
5. Calcular:
6. Utilice el método de exponenciación rápida (útil en técnicas de
intercambio de clave y firma digital), para calcular los valores de:
a. 2332
mod 51 = 1
3210 → 1000002

17. b. 100125 mod 201 = 73
12510 → 11111012
c. 125512 mod 2500 = 625
51210 → 10000000002

18. 7. Calcular:
a. Ø(17) = 16
∅ 17 = 17 − 1 = 16
a. Ø(77) = 60
∅ 17 = 𝑝 − 1 𝑞 − 1 → 𝑝 ∗ 𝑞 = 17
∅ 17 = 11 − 1 7 − 1 = 10 ∗ 6 = 60
a. Ø(200) = 80
∅ 200 = 𝑃 𝑅−1 𝑅 − 1 ∗ 𝑞 ∗ 𝑟
∅ 200 = 202−1 2 − 1 5 − 1 = 20 1 4 = 80

19. 8. Elabore un breve resumen sobre el artículo denominado: “BASES
MATEMÁTICAS DESARROLLADAS EN EL AULA DE CLASE PARA LA SEGURIDAD DE
LOS DATOS EN REDES”, publicado en la revista universitaria ED N° 2 de
2014, página 59.
En el artículo leído se puede verificar la importancia que tiene las
matemáticas en todos los campos tanto en nuestra carrera nuestra vida
cotidiana y todo en su alrededor tiene que ver con matemáticas, cuando son
enfocadas a las redes en la cual habla en la criptografía en la cual es la
ciencia que ocupa los procesos que alteran la representación del mensaje eso
quiere decir damos un ejemplo. Cuando la información viaja mediante un
correo o las redes sociales u otras formas que conocemos en el proceso del
envió la información va encriptado en el camino teniendo en cuenta que es
por mantener la información segura en al cual obliga a utilizar modelos
matemáticos internamente de los protocolos establecidos en la internet o el
mundo como modelo osi, tc/ip entre otros que conocemos, ya hablando de la
historia que se plantea en el artículo vemos que se estableció una
metodología conocida como escitala que es basado en el propósito de cifrar
y descifrar, entre otros métodos nombrados, fueron la importancia del hoy
ya que poco a poco fue creciendo el conocimiento para mejorar cada vez el
uso y la metodologías.

20. los lenguajes de programación tiene mucho que ver con los temas hablados ya que
trabajamos en la creación y combinación de códigos para llegar a un fin es decir
nosotros realizamos los códigos para mostrar una interfaz gráfica en el cual el
usuario interactúa pero se tiene en cuenta que cuando el ingresa algún dato o
información esta es encriptado , internamente tanto sea en una base de datos o
como prueba en el mismo código para si dar un ejemplo más sencillo, en general
todo el articulo plasmado habla sobre el cifrado y descifrado ya que es muy
importante por todos los beneficios que nos trae las matemáticas, la programación, y
nuestros antepasados , la cual estudia las propiedades de la criptografía.

21. 9. Utilice la expresión de aproximación RSA (n + 15) mod28, para cifrar
las siguientes palabras: Aplique ahora la expresión (n-15) mod28 para
descifrar estos mensajes.
Cifrado
a. Encriptar el mundo

22. Descifrado

23. 10. Sean p=17, q=23, n=31. Aplique el método RSA de encriptado
para realizar los siguientes cálculos: z, Ø, s; cifre 101, 200;
descifre 300, 250.
𝑧 = 𝑝 ∗ 𝑞 → 𝑧 = 17 ∗ 23 → 𝑧 = 391∅ = 𝑝 − 1 𝑞 − 1 → ∅
= 17 − 1 23 − 1 = 16 22 → ∅ = 352𝑠 = 863
→ 𝑛 ∗ 𝑠 𝑚𝑜𝑑 ∅ = 126753 𝑚𝑜𝑑 352 = 1 𝑧, 𝑛
→ 391,31 𝑠𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑒 𝑝𝑢𝑏𝑙𝑖𝑐𝑜
a. Para cifrar 101
𝐶 = 10131
𝑚𝑜𝑑 391 = 186
101 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠 186

24. b. Para cifrar 200
𝐶 = 20031 𝑚𝑜𝑑 391 = 123
200 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠 123
c. Para descifrar 300
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝐶 𝑆
→ 300863
𝑚𝑜𝑑 391 = 116
300 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠 116
d. Para descifrar 250
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝐶 𝑆
→ 250863
𝑚𝑜𝑑 391 = 10
250 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠 1

25. 11. Encontrar una fórmula que sea recurrente, de tal manera que sirva para
digitalizar las siguientes funciones: a.) Sen2X, b.) CosX, c.) e3x con la
aproximación de cinco derivadas e implemente la codificación respectiva en
Matlab.
𝑆𝑒𝑛2𝑥𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 → 𝑓 0 = 0
𝑓′
𝑥 = 2 cos 𝑥 → 𝑓 0 = 2
𝑓′′
𝑥 = −4𝑠𝑒𝑛 2𝑥 → 𝑓 0 = 0
𝑓′′′
𝑥 = −8𝑐𝑜𝑠 2𝑥 → 𝑓 0 = −8
𝑓′𝑣
𝑥 = 16𝑠𝑒𝑛 2𝑥 → 𝑓 0 = 0
𝑓 𝑣
𝑥 = 32𝑐𝑜𝑠 2𝑥 → 𝑓 0 = 32
𝑓 𝑥
= 𝑓 0 +
𝑓′
0 𝑥
1!
+
𝑓′′
0 𝑥2
2!
+
𝑓′′′
0 𝑥3
3!
+
𝑓′𝑣
0 𝑥4
4!
+
𝑓 𝑣
0 𝑥5
5!
𝑠𝑒𝑛 2𝑥 = 0 +
2
1!
𝑥 + 0 +
−8
3!
𝑥3
+ 0 +
32
5!
𝑥5
𝑠𝑒𝑛 2𝑥 =
𝑛=1
∝
−1) 𝑛+1
22𝑛−1
𝑥2𝑛−1
2𝑛 − 1 !
a. Función Matlab:
function se = sen(r)
x=r*pi/180;
tmp=0;
for n=1:1:10
A(n,:)=((-1)^(n+1)*(2^(2*n-
1))*(x^(2*n-1))/factorial(2*n-1));
tmp=tmp+A(n,:);
end
se=tmp;
end

26. cos 𝑥
𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 → 𝑓 0 = 1
𝑓′
𝑥 = −sen 𝑥 → 𝑓 0 = 0
𝑓′′
𝑥 = −𝑐𝑜𝑠 𝑥 → 𝑓 0 = −1
𝑓′′′
𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 → 𝑓 0 = 0
𝑓′𝑣
𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 → 𝑓 0 = 1
𝑓 𝑣
𝑥 = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 → 𝑓 0 = 0
𝑓 𝑥
= 𝑓 0 +
𝑓′
0 𝑥
1!
+
𝑓′′
0 𝑥2
2!
+
𝑓′′′
0 𝑥3
3!
+
𝑓′𝑣
0 𝑥4
4!
+
𝑓 𝑣
0 𝑥5
5!
𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 1 + 0 +
−1
2!
𝑥2
+ 0 +
1
4!
𝑥4
+ 0
𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 1 +
−1
2!
𝑥2
+
1
4!
𝑥4
𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 1 +
𝑛=1
∝
−1) 𝑛
𝑥2𝑛
2𝑛!
b. Función Matlab:
function co = cos(r)
x=r*pi/180;
tmp=1;
for n=1:1:15
tmp=tmp+((-
1)^(n)*(x^(2*n))/factorial(2
*n));
end
co=tmp;
end

27. 𝑒3𝑥
𝑓 𝑥 = 𝑒3𝑥
→ 𝑓 0 = 1
𝑓′
𝑥 = 3𝑒3𝑥
→ 𝑓 0 = 3
𝑓′′
𝑥 = 32
𝑒3𝑥
→ 𝑓 0 = 32
𝑓′′′
𝑥 = 33
𝑒3𝑥
→ 𝑓 0 = 33
𝑓′𝑣
𝑥 = 34
𝑒3𝑥
→ 𝑓 0 = 34
𝑓 𝑣
𝑥 = 35
𝑒3𝑥
→ 𝑓 0 = 35
𝑓 𝑥 = 𝑓 0 +
𝑓′
0 𝑥
1!
+
𝑓′′
0 𝑥2
2!
+
𝑓′′′
0 𝑥3
3!
+
𝑓′𝑣
0 𝑥4
4!
+
𝑓 𝑣
0 𝑥5
5!
𝑒3𝑥
= 1 +
3
1!
𝑥 +
32
2!
𝑥2
+
33
3!
𝑥3
+
34
4!
𝑥4
+
35
5!
𝑥5
𝑒3𝑥
= 1 +
𝑛=1
∝
3) 𝑛
𝑥 𝑛
𝑛!
c.
Función Matlab:
function e3 = exp(x)
tmp=1;
for n=1:1:15
tmp=tmp+((3)^(n)*(x^(n))/
factorial(n));
end
e3=tmp;
end

28. 12. Calcule las combinaciones y permutaciones indicadas:
a.
b.
c.

29. 13. Utilice la combinatoria para hacer la expansión de los
siguientes binomios: a.) (x – 3)6; b.) (x + 5)8; c.) (2 + y) 10.
a. (x – 3)6
x6-6(x5 .3)+15(x4.32)-20(x3.33)+15(x2.34)-6(x.35)+ 36
x6-18x5+135x4-540x3+1215x2-1458x+729
b. (x + 5)8
x8 +8(x7.5)+28(x6.52 )+6(x5.53)+70(x4.54)+56(x3.55)+28(x2.56)+8(x.57)+58
x8+40x7+700x6+750x5+43750x4+175000x3+437500x2+625000x+390625
c. (2 + y) 10
210+10(29.y)+45(28.y2)+120(27.y3)+210(26.y4)+252(25.y5)+210(24.y6)+120(23.y7)+45(22.y8)+10(2.y9)+y10
1024+5120y+11520y2+15360y3+13440y4+8064y5+3360y6+960y7+180y8+20y9+y10

30. 14. Una clase se compone de 12 niños y 10 niñas. Hallar el número de
posibilidades que tiene un profesor de elegir un comité de: a.) de 6. b.) 4
niños y 3 niñas. c.) 4 niños o 4niñas. d.) Al menos una niña.
c.
d.
b.
a.

31. 15. Cuántas palabras o cifras se pueden expresar con los elementos de los
siguientes conjuntos: a.) {C,A,M,I,S.A} b.) {2,4,6,8} c.) {m,u,r,c,i,e,l,a,g,o}
a.
b.
c.

32. 16. Se tira un par de dados. Sea X el menor de los dos números que salen.
Determinar el espacio muestral, el rango RX, la distribución de
probabilidad y la esperanza de X.

33. 17. Un jugador tira tres monedas. Gana $500 si salen tres caras, $300 si
salen dos caras y $100 si sale una. Por otra parte, pierde $1000 si salen tres
sellos. Hallar el valor del juego para el jugador.

34. 18. Se ordenan cartas numeradas del 1 al 5, se escogen dos cartas al azar
(sin reemplazamiento). Sea X la suma de los números que salen.
a) Hallar la distribución de X.
b) Hallar E(X).
c) La varianza y la desviación típica.
a.

35. b.

36. 20. Considere la distribución conjunta de X e Y que se muestra en
la siguiente tabla. Con los datos consignados allí, determine:
E(X), E(Y), cov(X,Y), σX, σY y ρ(X,Y).