Theory imparted to Leveling course at Yachay Tech University (Urcuquí, Ecuador) during semester October 2014 - March 2015. Thanks to Dr. Leonardo Reyes for the figures and the sketch of the document.

1. UNIDAD 4
Trabajo, energía y potencia
Nivelación. Física
El estudio de sistemas complejos puede tener complicaciones a la hora de usar mate-
mática vectorial, ya que en dinámica y cinemática se usan vectores para representar las
magnitudes de interés. Sin embargo, existe otra manera de aproximarnos a la descripción
de los fenómenos naturales utilizando matemática escalar. Además, el uso de escalares
evita el empleo del controvertido concepto de campo, el cual permite las interacciones a
distancia entre dos cuerpos. Es por ello que se introduce en el siglo XVII el concepto de
vis viva, antecedente directo del concepto de energía.
1. Trabajo
Para una partícula, a partir de su estudio cinemático, se le puede asociar un vector
de posición, r(t). El cambio de posición a lo largo del tiempo genera su trayectoria, que
puede ser simple o compleja, de tal manera que el vector desplazamiento, ∆r(t), considera
solo las posiciones inicial y nal. De igual manera, dinámicamente se puede considerar un
cambio en el movimiento debido a la aparición de un vector denominado fuerza, F, que
generará una aceleración sobre la partícula de estudio.
Ahora podemos identicar esta importante magnitud vectorial, que es la fuerza, y
ligarla con el vector desplazamiento de tal manera que podemos generar una nueva mag-
nitud, denominada trabajo:
W = F · ∆r = |F|∆x cos θ,
donde esta expresión es válida siempre y cuando la fuerza aplicada sea constante y su
signo dependerá de los signos de la fuerza y del desplazamiento. Es decir, el trabajo lo
realiza una fuerza que actúa sobre una partícula, logrando un desplazamiento concreto.
Sin embargo, este desplazamiento ha de darse a lo largo de la línea de movimiento. Se
tiene además que el trabajo es el producto escalar entre la fuerza constante dada y el
cambio de posición, de tal manera que es una magnitud escalar.
Dimensionalmente, el trabajo depende de la masa, la longitud y el tiempo: [M][L]2
/[T]2
y su correlato en unidades del Sistema Internacional es kg m2
/s2
= N m. Esta notación
se simplica usando la unidad J, el julio (o joule).
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2. Cuando varias fuerzas realizan trabajo sobre una partícula el trabajo total será la
suma de todos los trabajos considerados. El desplazamiento de la partícula se puede
determinar, luego en vez de considerar cada miembro por separado se puede determinar
la fuerza resultante o neta para conocer el trabajo total.
WT =
i
Wi =
i
Fi∆x = ∆x
i
Fi = ∆xFN .
Figura 1: Deniciones de trabajo cotidiana y física dieren.
En la gura se puede observar que para que el operario mantenga la caja en la misma
posición ha de ejercer una fuerza. De esa manera el sistema estará en equilibrio al oponerse
a la fuerza peso. Sin embargo, como la caja no cambia de posición, por denición, el trabajo
es nulo, por lo que el trabajo realizado por el operario se opone al trabajo generado por
la gravedad (que, como no hay desplazamiento ambos serán nulos). Es decir, la denición
física de trabajo es más particular y concreta que la denición que generalmente se usa.
De igual modo, una partícula que se mueve sobre una supercie sufre una fuerza
normal hacia arriba por parte de la mencionada supercie. Sin embargo, como no hay
desplazamiento en el eje vertical el trabajo creado por esta fuerza normal es nulo. El uso
de cualquier sistema de referencia inercial para describir esto no afecta el valor del trabajo.
Puesto que el desplazamiento es la recta entre vector posición nal y vector posición inicial
y el ángulo que genere este vector con la fuerza será igual, independientemente del sistema
de referencia empleado.
Veamos otro ejemplo, el de una partícula de masa m que está sujeta a una caída libre.
Si no hay rozamiento del aire la partícula está afectada por el peso a causa de la atracción
gravitatoria:
P = mg = −mgj.
Si se desplaza una cierta altura en un tiempo determinado el trabajo realizado por la
gravedad entonces será
W = −mg(yf − yi).
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3. Por consiguiente, el trabajo W depende únicamente de la posición inicial y nal vertical
de la partícula, no del tipo de trayectoria que exista entre estos dos puntos.
Debido a la denición de trabajo mediante un producto vectorial el signo de W puede
ser positivo, negativo o nulo. Mientras que fuerza aplicada y desplazamiento sean en el
mismo sentido el trabajo será positivo; en cambio, si se dan en sentidos opuestos el trabajo
será negativo. Existe el caso especial que si fuerza y desplazamiento son perpendiculares
entre sí, el trabajo será cero, aunque ninguna magnitud de las dos sea nula.
Figura 2: Trabajo realizado por cada una de las fuerzas actuantes sobre el cuerpo.
2. Energía cinética de un cuerpo
Leibniz introdujo el concepto de vis viva allá por el siglo XVII el cual prácticamente
se asemeja al concepto actual de energía cinética de un cuerpo. Su expresión depende de
la velocidad y de la masa de la partícula:
Ec =
1
2
mv2
.
En principio se pensó que la energía cinética era una magnitud que se conservaba, pero los
experimentos negaron tal posibilidad. Sin embargo, sí entra en juego para describir una
magnitud conservada. Es necesario mencionar que bajo ciertas condiciones sí se conserva
la energía cinética.
Un análisis dimensional para la energía cinética advierte que son las mismas que el
trabajo. Es decir, sus unidades en el Sistema Internacional son el julio. Esto es una pista
para indicar que ambas magnitudes están relacionadas entre sí. Sabemos que FN
x = max
y que si la fuerza es constante también lo será la aceleración, de acuerdo con la segunda
ley de Newton. En el caso de movimientos rectilíneos uniformemente acelerados se tiene
que
v2
f = v2
0 + 2ax∆x ⇒ ax =
1
2∆x
v2
f − v2
0 .
3

4. En este caso podemos aplicar la segunda ley de Newton y llevar hasta el primer miembro
el desplazamiento, quedando
FN
x ∆x =
1
2
mv2
f −
1
2
mv2
0.
Es decir, que WT = Ef
c − E0
c .
Según esta expresión, la energía cinética de una partícula se ve alterada por la apli-
cación de un trabajo externo. Es el teorema trabajo-energía. Este teorema podemos verlo
desde otro punto de vista, recurriendo al análisis sobre qué le pasa a un objeto que parte
del reposo y cae una altura d. Si esto ocurre cerca de la supercie de la Tierra y no hay
resistencia por parte del aire, la velocidad nal será v. Todas estas magnitudes son medi-
bles y se puede evaluar el trabajo realizado por el peso y la energía cinética que posee la
partícula cuando llega a dicho valor de velocidad:
W = −mg(yf − y0) = mgd
Ec =
1
2
mv2
.
Experimentalmente se puede comprobar que mgd = 1
2
mv2
(apoyado por el hecho de
que las unidades de trabajo y energía cinética son idénticas) y dicha igualdad se mantiene
independientemente del valor d utilizado.
Si este proceso se repite, pero partiendo de una velocidad inicial v0 podemos llegar a
una conclusión similar, puesto que en el primer instante la energía cinética del cuerpo es
1
2
mv2
0 y la energía cinética nal es 1
2
mv2
f , por lo que
mgd = Ef
c − E0
c = ∆Ec =
1
2
m v2
f − v2
0
W = ∆Ec,
por lo que se obtiene experimentalmente el teorema trabajo-energía y puede ser derivado
a partir de las leyes de Newton utilizando cálculo integral y diferencial. Como la energía
cinética también es un escalar, dependerá no del vector velocidad, sino de su módulo:
v2
= v · v. Si el objeto aumenta o decrece su energía cinética se puede comprobar que el
trabajo hecho por el peso puede ser positivo o negativo.
En este caso se puede determinar experimentalmente la validez del teorema trabajo-
energía y se puede comprobar que es independiente a cómo sea el movimiento horizontal.
Es decir, se obtienen los mismos resultados si el desplazamiento se completa mediante un
tiro hacia arriba, un lanzamiento hacia abajo o incluso un lanzamiento horizontal.
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5. Figura 3: El teorema trabajo-energía es independiente a movimientos en otros ejes dife-
rentes al de estudio.
Es de resaltar que para este caso el peso era la única fuerza que participaba en el
sistema. Si generalizamos, el trabajo que aparece en la expresión del teorema ha de hacer
referencia al trabajo total.
Así pues, gracias al planteamiento de este teorema se puede indicar que el trabajo se
puede entender como la transferencia de energía hacia un cuerpo por medio de una fuerza.
Esto abre la posibilidad a que no solo la energía cinética pueda variar en un cuerpo, sino
otras formas de energía.
3. Energía potencial (gravitatoria y elástica)
Hay ocasiones en que es interesante estudiar el trabajo realizado por un sistema de
partículas. Además, si el trabajo realizado por fuerzas externas al sistema no altera la
energía cinética puede alterar en cambio la conguración de dicho sistema. Este tipo de
energía se denomina potencial.
Cuando soltamos desde el reposo y a cierta altura un objeto aumentará su energía
cinética con el tiempo. Este suministro de energía es provisto por la fuerza peso. Es más,
ya conocemos que la fuerza peso aparece por la interacción entre el objeto y el planeta
Tierra, por lo que en dicho sistema formado se produce una transformación de energía, es
decir, la energía potencial gravitatoria se utiliza para generar energía cinética.
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6. Recordemos que para una fuerza constante el trabajo se denía como W = F · ∆r.
Como en la denición aparece el desplazamiento el trabajo generado por una fuerza cons-
tante solo va a depender de la posición nal e inicial de la partícula, es decir, no depende
de la trayectoria de la partícula. Siempre que esto se verique se determina que la fuerza
es conservativa.
La fuerza peso es conservativa, ya que la energía potencial gravitatoria no depende
de la trayectoria, sino de su posición inicial y nal, de cómo cambia la conguración del
sistema. Recordemos que el peso tenía la expresión de F = P = mg = −mgj y en el
espacio cualquier desplazamiento puede expresarse como ∆r = rf − r0 = (xf − x0)i +
(yf −y0)j+(zf −z0)k. En la denición de trabajo, fuerza y desplazamiento se relacionaban
mediante el producto escalar, así que W = −mg(yf − y0).
Con esto se puede ver que si dos trayectorias diferentes tienen los mismos puntos
inicial y nal su trabajo será idéntico, sin importar la trayectoria, de acuerdo entonces
con el teorema trabajo-energía. Si hay otras fuerzas actuando el trabajo realizado por
cada fuerza no se ve alterado, pero sí, evidentemente, el trabajo total, luego la variación
de energía cinética cambiará. En el caso de la energía potencial gravitatoria el trabajo
de la fuerza peso siempre es igual para un punto nal e inicial, independientemente de si
hay rozamiento del aire o no. Sin embargo, esta fuerza de rozamiento generará un trabajo
y se añadirá al otro para obtener el trabajo total, siendo este la medida de cuánto ha
cambiado la energía cinética de la partícula.
Recordemos la expresión del trabajo realizado por la fuerza peso:
W = −mg(yf − y0) = −mgyf + mgy0 = −(Uf − U0) = −∆U,
es decir, el trabajo es el cambio de energía potencial gravitatoria entre el punto nal y el
punto inicial, con un cambio de signo.
De manera general, y jando un punto como de energía potencial gravitatoria cero, se
puede denir la energía potencial gravitatoria en un punto como
U = mgy,
y esta denición es válida al depender el trabajo únicamente de las posiciones inicial
y nal, no de la trayectoria en sí. Reiterando, las fuerzas que generan trabajos de estas
características se denominan conservativas y las fuerzas constantes son ejemplos de fuerzas
conservativas. De manera interesante se puede ver que si el trabajo total es cero cuando
una partícula realiza una trayectoria cerrada, es decir, que vuelve al punto de origen, esa
fuerza es conservativa.
Otro ejemplo de fuerza conservativa es la Ley de Hooke para un muelle. En los muelles
el trabajo es negativo, ya que la fuerza se opone a la dirección del movimiento de compre-
sión o alargamiento. Cuando la fuente de deformación se elimina, el trabajo es positivo,
tendiendo el sistema a volver a su punto de equilibrio. Por consiguiente, el trabajo total
es cero y la trayectoria vuelve al punto de partida. Si las deformaciones son elásticas, es
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7. decir, se vuelve siempre a la posición de equilibrio sin deformación permanente (situación
plástica), se puede denir una energía potencial elástica para los puntos inicial y nal:
∆Ue =
1
2
kx2
f −
1
2
kx2
0,
con k la constante de muelle. Podemos denir en el punto de equilibrio el cero de energía
potencial elástica, por lo que la energía potencial elástica en un punto queda denida
como
Ue =
1
2
kx2
.
Evidentemente, hay ejemplos de fuerzas no conservativas. Si el trabajo depende de la
trayectoria, la fuerza que realiza tal trabajo no es conservativa. Un buen ejemplo sería la
fuerza de rozamiento, puesto que hay que suministrar una fuerza extra para continuar el
movimiento de la partícula y si se vuelve al punto de origen el trabajo total no va a ser
cero.
4. Ley de conservación de la energía
Debido al teorema trabajo-energía se conoce que la energía cinética de una partícula
variaría dependiendo del trabajo total ejercido sobre esa misma partícula:
WT = ∆Ec.
De igual manera, las fuerzas que actúan sobre una partícula pueden ser conservativas o
no conservativas. En el primer caso, todo el trabajo originado por una fuerza conservativa
se encarga de cambiar la conguración del sistema, es decir, altera la energía potencial
del sistema:
Wcons = −∆U
En el supuesto de que solo existan fuerzas conservativas el trabajo conservativo será el
trabajo total, luego podemos igualar las dos anteriores expresiones:
∆Ec = −∆U ⇒ ∆Ec + ∆U ⇒ Ef
c + Uf = E0
c + U0.
Denimos la energía mecánica de un sistema como Em = Ec + U, luego en lo anterior
se llega a que
Ef
m = E0
m ⇒ ∆Em = 0.
Este es el conocido principio de conservación de la energía mecánica. Cuando el trabajo
realizado por fuerzas conservativas es cero la energía mecánica se conserva. En el caso de
que la única fuerza conservativa sea el peso la energía mecánica tiene la siguiente forma:
Em =
1
2
mv2
+ mgy.
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8. Esto quiere decir que cuando cae una partícula cambia su posición vertical y su velocidad,
de tal manera que hace conservar la energía mecánica. Este postulado se verica experi-
mentalmente. De igual modo, aumentar la energía potencial requiere de una disminución
de la velocidad de la partícula (o sea, de la energía cinética). De ahí que en un tiro vertical
hacia arriba la posición de máxima altura es cuando la velocidad es cero, es decir, toda
la energía cinética se ha transformado en potencial gravitatoria.
Si existen más fuerzas conservativas, se añaden variaciones de energía potencial a la
expresión de la energía mecánica. De manera particular, las fuerzas constantes (F = F0i)
son conservativas y generan energías potenciales (U = −F0x). O sea, si solo actúa una
única fuerza conservativa, la energía cinética cambiará siempre que haya un desplazamien-
to. Es necesario mencionar que existen fuerzas que no son constantes, pero varían con la
posición. Dichas fuerzas también son conservativas.
En el caso de que las fuerzas no conservativas, tales como las fuerzas no constantes,
hagan aparición, el teorema trabajo-energía se modicará en cierto modo, de tal manera
que el trabajo realizado por fuerzas externas a una partícula provocará la variación de la
energía mecánica del sistema, así como de la energía térmica, de la química y del resto de
energías no conservativas que se puedan dar en un sistema. Por ejemplo, si en el campo
gravitatorio aplicamos una fuerza de igual módulo que el peso en la misma dirección pero
en sentido opuesto, se puede elevar la partícula hacia arriba con velocidad constante, es
decir, sin cambiar la energía cinética. El trabajo total es cero, puesto que el trabajo de
la fuerza peso es negativo y el de la fuerza externa es positivo y de igual módulo, por lo
que la fuerza externa dará energía al sistema para ir aumentando la energía potencial.
Así, la fuerza constante alterará la conservación de la energía mecánica. Este resultado
no depende de la velocidad de la partícula.
Figura 4: La fuerza externa suministra un trabajo que iguala al cambio de la energía
potencial gravitatoria.
En el caso de que exista la fuerza de rozamiento, la energía se transformará en calor,
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9. en energía térmica, por tanto
∆Et´erm = FR∆s.
5. Potencia
Hasta ahora no hemos considerado el tiempo en el estudio de energías y trabajo.
Sin embargo, sí podemos considerar su estudio bajo el concepto de potencia, es decir, la
variación temporal del trabajo originado por una fuerza:
P =
W
t
.
Las unidades de la potencia dependerán entonces de las unidades del trabajo (J) y del
tiempo (s). Al J/s se le denomina vatio o watt (W).
Sabiendo que la potencia es el trabajo realizado por unidad de tiempo podemos obtener
otra expresión a partir de la denición del trabajo para una fuerza constante:
P =
∆W
∆t
=
F∆x
∆t
= F · v.
Por tanto, la potencia es un escalar que se obtiene mediante el producto escalar de la
fuerza constante que actúa sobre la partícula y la velocidad que alcanza dicha partícula.
De nuevo, si la fuerza aplicada es perpendicular al desplazamiento (y a la velocidad en un
movimiento rectilíneo) su trabajo es cero y su potencia también es cero.
La denición de potencia ayuda a tomar en cuenta el tiempo, ya que si dos procesos
consumen la misma energía, el que tarde menos tiempo en desplazar la partícula será el
proceso más potente.
6. Termodinámica (Principio 0, 1.er Principio)
La Termodinámica describe físicamente los estados de equilibrio a nivel macroscópico.
Es una rama que se basa en la experimentación y la recolección de fenómenos, siguiendo
un razonamiento deductivo para predecir la evolución de sistemas reales no modelizados.
La Termodinámica se basa en una serie de principios y postulados por los que se
desarrolla el estudio de los sistemas y su evolución al cambio de propiedades. Una de las
propiedades más conocidas de la termodinámica es el calor, es decir, la transferencia de
energía de un cuerpo a otro. Se conocen tres métodos de transmisión de calor:
Inducción: hay contacto físico entre los cuerpos y la actividad energética se pasa
de uno a otro. Este proceso está regido por la Ley de Fourier.
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10. Convección: la transferencia de calor se da a partir de un medio viscoso, de tal
manera que este se calentará y ascenderá hasta transmitirle el calor al otro cuerpo,
por lo que el medio se enfriará y descenderá, reiniciando el proceso. Este proceso
está regido por la Ley de Newton.
Radiación: los cuerpos están separados entre sí y no es necesario un medio para
comunicarlos. El calor se transferirá mediante ondas electromagnéticas. Este proceso
está regido por la Ley de Stefan-Boltzmann.
Por tanto, cuando los objetos están en contacto o pueden comunicarse empezará la
transferencia de calor. La energía interna que se transmite como calor la podemos denir
como temperatura, una propiedad de cada objeto, por lo que se puede medir de manera
aislada. De manera microscópica se puede vincular la temperatura, gracias a la teoría
cinética, a la energía interna de los sistemas, más exactamente a la distribución de energías
cinéticas que poseen las partículas integrantes del objeto. Así, la presión puede entenderse
como los impactos de las partículas del gas sobre las paredes del recinto.
En cambio, para el calor son necesarios dos objetos (1 y 2, por ejemplo) por lo menos,
para alterar las temperaturas de los dos objetos. Cuando no se transmite más calor el
sistema está en equilibrio, y se dene que la temperatura en cada objeto es la misma.
Ahora bien, si a uno de los cuerpos (al 2, por ejemplo) se le adjunta otro cuerpo
(denominado 3) a otra temperatura con el transcurso del tiempo llegarán a un equilibrio,
estarán a la misma temperatura. Si 1 y 2 siguen en contacto deberán también estar
en equilibrio. Así, si cuando los tres sistemas están en equilibrio podemos eliminar el
sistema 2 y dejar en contacto los sistemas 1 y 3, los cuales estarán en equilibrio y a igual
temperatura. Este es el Principio 0 de la Termodinámica.
Este principio nos permite elaborar una escala de temperatura. Normalmente se usa
la escala Celsius que mide la temperatura en grados. Esta denición se hace a partir de
dos puntos: el punto de fusión del agua pura, que se identica como 0 ◦
C, y el punto de
ebullición del agua pura, que queda marcado como 100 ◦
C. Hay otra escala de temperatura
denida a partir del punto triple del agua (condición de presión y temperatura que permite
al agua cohabitar en sus tres estados) e identica la mínima temperatura que pueden
alcanzar los sistemas. Esta escala es denida como absoluta y se mide en kelvin (K). La
división entre la escala absoluta y la Celsius es la misma, luego se vincularán mediante la
siguiente relación:
T(K) = T(oC) + 273, 15.
Es decir, la menor temperatura posible es 0 K= −273,15 ◦
C. Para nes cientícos la
escala absoluta es mejor que las demás, de tal manera que incluso el kelvin constituye una
unidad de medida fundamental.
Así pues, para que un sistema aumente su temperatura T se le debe entregar calor Q,
de tal manera que se verica que
Q = C∆T,
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11. con C la capacidad caloríca, es decir, la energía necesaria a entregar para aumentar la
temperatura 1 K. Esta capacidad caloríca depende del calor especíco c de la sustancia
y la masa m del sistema: C = cm. Por consiguiente:
Q = mc∆T.
El calor, como energía, se puede medir en J o en calorías, donde 1 cal= 4, 184 J. Por
otro lado, el calor especíco depende de qué material componga el objeto, por lo que es
necesario tener calibrados todos y cada uno de los materiales. Por ejemplo, para el agua
cagua = 4, 184 kJ/(kg K). El calor especíco del agua es uno de los más grandes de la
naturaleza, luego se necesita más energía para aumentar en 1 K un kilogramo de agua
que para aumentar 1 K un kilogramo de otra sustancia como, por ejemplo, un metal.
Para medir el calor transferido en un proceso con varios sistemas recurrimos a una
técnica conocida como calorimetría, en la que los sistemas se aíslan térmicamente del
exterior, por lo que solo intercambiarán calor entre ellos. Bajo estas condiciones, el calor
Q que entreguen unos sistemas será el mismo calor Q que reciban los demás sistemas. Es
decir, se conserva.
Pero cuando se enfrían o calientan sistemas puede que no sigan con el mismo estado
de agregación, es decir, cambian de fase. Experimentalmente se comprueba que cuando
un sistema está cambiando de fase, el calor que se suministra solo se invertirá en cambiar
la fase de toda la masa m, luego la temperatura no cambia hasta que todo haya sido
transformado. El calor necesario dependerá de la masa a transformar y una magnitud
conocida como calor latente, que puede ser de fusión (Lf ) o de vaporización (Lv):
Qf = mLf
Qv = mLv.
Estos calores latentes dependerán de la sustancia analizada. A una atmósfera de presión
el agua posee Lf = 333, 5 kJ/kg y Lv = 2257 kJ/kg.
Si tenemos un sistema no aislado, interaccionará con los sistemas cercanos, de tal
manera que pueden transferirse calor entre ellos y, como hemos visto previamente, generar
fuerzas que pueden generar trabajo. Tanto el calor (Q) como el trabajo (W) pueden afectar
las propiedades internas de nuestro objeto, es decir, alterarán su energía interna (∆U). Es
más, la energía interna (pudiéndose entender como la energía cinética de los componentes
del objeto) del sistema indicaba la temperatura de este. Por lo que esta energía aumentará
si se le añade calor al sistema y se le realiza un trabajo sobre él. De manera análoga, la
energía interna disminuiría si se le quita calor al sistema y este realiza un trabajo sobre
otro. Siguiendo un criterio de signos particular (lo que entra al sistema positivo, lo que
sale del sistema negativo) se puede denir el Primer Principio de la Termodinámica:
∆U = Q + W,
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12. es decir, que la variación de energía interna de un sistema es igual al calor transferido
al sistema más el trabajo realizado sobre el sistema. En otras palabras, la energía del
universo es constante, no se puede crear más ni destruirla y cuando parece que lo hacen
es que se transformó en otro tipo de energía. Si atendemos a una denición basada en
máquinas podemos denir este principio como que es imposible transformar todo el calor
de un sistema en trabajo, ya que algo de calor residual siempre existirá y se le transferirá
al entorno.
Existen otros criterios de signos, basados en las máquinas reales. Si atendemos a casos
de productividad el signo positivo irá para el trabajo que sale del sistema y el calor que
entra al sistema, mientras que el signo negativo será para el trabajo que entra en el sistema
y el calor que sale del sistema.
Como punto nal, es necesario mencionar que existen dos principios más de la termo-
dinámica: el segundo habla sobre el desorden del sistema, propiedad denominada entropía
(y la incapacidad de transferir calor de un foco frío a uno caliente si no hay interacción de
un trabajo externo) y el tercero se reere a la imposibilidad práctica de que los sistemas
alcancen una temperatura de 0 K (y el valor de entropía en sistemas cristalinos perfectos).
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