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Transformaciones lineales

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algebra lineal

Veröffentlicht in: Ingenieurwesen
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Transformaciones lineales

  1. 1. Republica bolivariana de Venezuela Ministerio del poder popular para la educación. Bna.edo-Anzoátegui I.U.P Santiago Mariño. Transformaciones lineales Profesora: alumno: Milagros maita Jesus abreu 25426638
  2. 2. Teoria de transformacionesTeoria de transformaciones linealeslineales • Las transformaciones lineales son las funciones con las que trabajaremos en Algebra Lineal. Se trata de funciones entre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es decir, con la operación y la acción) de estos espacios. • Sean (V, +V , ·V ) y (W, +W , ·W ) dos K- espacios vectoriales. Una función f : V → W se llama una transformación lineal (u homomorfismo, o simplemente morfismo) de V en W si cumple: i) f(v +V v 0 ) = f(v) +W f(v 0 ) ∀ v, v0 V. ii) f(λ ·V v) = λ ·W f(v) λ K, v V.∈ ∀ ∈ ∀ ∈
  3. 3. Ejemplos: • Sean V y W dos K-espacios vectoriales. Entonces 0 : V → W, definida por 0(x) = 0W A x pertenece V , es una transformación lineal. • Si V es un K-espacio vectorial, id : V → V definida por id(x) = x es una transformación lineal.
  4. 4. Como hemos mencionado al comienzo, las transformaciones lineales respetan la estructura de K-espacio vectorial. Esto hace que en algunos casos se respete la estructura de subespacio, por ejemplo en las imágenes y pre-imágenes de subespacios por transformaciones lineales Si S es un subespacio de V , entonces f(S) es un subespacio de W. 2. Si T es un subespacio de W, entonces f −1 (W) es un subespacio de V .
  5. 5. • 1. Sea S pertenecer V un subespacio y consideremos f(S) = {w pertenece W / pertenece s pertenece S, f(s) = w}. (a) 0W pertenece f(S), puesto que f(0V ) = 0W y 0V pertenece S. (b) Sean w, w0 pertenece f(S). Entonces existen s, s0 pertenece S tales que w = f(s) y w 0 = f(s 0 ). Luego w + w 0 = f(s) + f(s 0 ) = f(s + s 0 ) pertenece f(S), puesto que s + s 0 pertenece S. (c) Sean λ pertenece K y w pertenece f(S). Existe s pertenece S tal que w = f(s). Entonces λ·w = λ·f(s) = f(λ · s) pertenece f(S), puesto que λ · s pertenece S.
  6. 6. • 2. Sea T un subespacio de W y consideremos f −1 (T) = {v pertenece V / f(v) pertenece T}. (a) 0V pertenece f −1 (T), puesto que f(0V ) = 0W pertenece T. (b) Sean v, v0 pertenece f −1 (T). Entonces f(v), f(v 0 ) pertenece T y, por lo tanto, f(v + v 0 ) = f(v) + f(v 0 ) pertenece T. Luego v + v 0 pertenece f −1 (T). (c) Sean λ pertenece K, v pertenece f −1 (T). Entonces f(v) pertenece T y, en consecuencia, f(λ·v) = λ·f(v) pertenece T. Luego λ · v pertenece f −1 (T).
  7. 7. Teoremas básicos de las transformaciones. • Sea B = {vi: i pertenece J} base de V y C = {wi: i   pertenece  J} una colección de vectores de W no  necesariamente distintos, entonces existe una  única transformación lineal T: V → Wque  satisface: –   • Sea  una transformación lineal. – Entonces   • Como corolario básico de este teorema,  obtenemos que una transformación lineal de  unespacio vectorial de dimensión finita en sí  mismo es un isomorfismo si y sólo si es  unepimorfismo si y solo si es un monomorfismo.
  8. 8. • Clasificación de las transformaciones lineales • Funcional lineal: A las transformaciones lineales    (donde   es el cuerpo base de V) las llamamos  funcionales lineales. • Monomorfismo: Si   es inyectiva, si el único  elemento del núcleo es el vector nulo.   • Epimorfismo: Si   es sobreyectiva (suryectiva). • Isomorfismo: Si   es biyectiva (inyectiva y  sobreyectiva) • Endomorfismo: Se le llama a una transformación  lineal en el que dominio y codominio coinciden. • Automorfismo: Se le llama a un endomorfismo  biyectivo.
  9. 9. • Matriz asociada a una transformación lineal • Si V y W tienen dimensión finita y uno tiene  elegidas bases en cada uno de los espacios,  entonces todo mapa lineal de V en W puede  representarse por una matriz. Recíprocamente,  toda matriz representa una transformación lineal. • Sean T:V→W una transformación  lineal, B={v1, ..., vn} una base  de V, C={w1, ..., wm} base de W. Para calcular  la matriz asociada a T en las  bases B y C debemos calcular T(vi) para  cada i=1,...,n y escribirlo como combinación  lineal de la base C: • T(v1)=a11w1+ ...+am1 wm, ..., T(vn)=a1nw1+ ... +amn wm. •
  10. 10. Método de Gauss Jordan. Método de Gauss Jordan.  • En matemáticas, la eliminación de Gauss-Jordan, llamada así debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss- Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal.
  11. 11. Algoritmo de eliminación de Gauss-Algoritmo de eliminación de Gauss- JordanJordan • Ir a la columna no cero extrema izquierda • Si la primera fila tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otra que no lo tenga. • Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando múltiplos adecuados del renglón superior a los renglones debajo de él. • Cubrir el renglón superior y repetir el proceso anterior con la submatriz restante. Repetir con el resto de los renglones (en este punto la matriz se encuentra en forma escalonada). • Comenzando con el último renglón no cero, avanzar hacia arriba: para cada renglón obtener un 1 delantero e introducir ceros arriba de éste sumando múltiplos correspondientes a los renglones correspondientes.
  12. 12. Una variante interesante de la eliminación.  de Gauss es la que llamamos eliminación  de Gauss-Jordan, (debido al mencionado  Gauss y a Wilhelm Jordan), esta consiste  en ir obteniendo los 1 delanteros durante  los pasos uno al cuatro (llamados paso  directo) así para cuando estos finalicen  ya se obtendrá la matriz en forma  escalonada reducida. 
  13. 13. ejemploejemplo • Supongamos que es necesario encontrar los números "x", "y", "z", que satisfacen simultáneamente estas ecuaciones: • 2x+y-z=8 • -3x-y+2z=-11 • -2x+y+2z=-3
  14. 14. • Esto es llamado un sistema lineal de ecuaciones. El objetivo es reducir el sistema a otro equivalente, que tenga las mismas soluciones. Las operaciones (llamadas elementales) son estas: • Multiplicar una ecuación por un escalar no nulo. • Intercambiar de posición dos ecuaciones • Sumar a una ecuación un múltiplo de otra.
  15. 15. Núcleo de una transformaciónNúcleo de una transformación lineal.lineal. • Sea T : V → W una transformación lineal. El núcleo T es el subconjunto formado por todos los vectores en V que se mapean a cero en W. Ker(T) = {v pertenece V | T(v) = 0 pertenece W}
  16. 16. Nulidad.Nulidad. Sea T : V → W una transformación lineal. La nulidad de T es la dimensión de Ker(T)
  17. 17. Imagen.Imagen. • Sean w1 y w2 elementos de la imagen de T y c un escalar cualquiera. As´ı T(v1) = w1 y T(v2) = w2 para algunos v1 y v2 en V , y por tanto: T(c1 v1 + c2 v2) = c1 T(v1) + c2 T(v2) = c1 w1 + c2 w2 probando que c1 w1 + c2 w2 es imagen de c1 v1 + c2 v2 y por consiguiente c1 w1 + c2 w2 est´a tambi´en en la imagen de T. Lo cual a su vez prueba que la imagen de T es un subespacio de W
  18. 18. Rango.Rango. • Sea T : V → W una transformación lineal. • El rango de T es la dimensión de R(T).
  19. 19. Relacionar las matrices con lasRelacionar las matrices con las transformaciones lineales.transformaciones lineales. • Si V y W tienen dimensión finita y uno tiene elegidas bases en cada uno de los espacios, entonces todo mapa lineal de V en W puede representarse por una matriz. Recíprocamente, toda matriz representa una transformación lineal. • Sean T:V→W una transformación lineal, B={v1, ..., vn} una base de V, C={w1, ..., wm} base de W. Para calcular la matriz asociada a T en las bases B y C debemos calcular T(vi) para cada i=1,...,n y escribirlo como combinación lineal de la base C: • T(v1)=a11w1+ ...+am1 wm, ..., T(vn)=a1nw1+ ... +amn wm.
  20. 20. • La matriz asociada se nota C[T]B y es la siguiente: • C(T)B= • A11 … A1n • … … … • Am1 … Amn
  21. 21. • Como un vector de W se escribe de forma única como combinación lineal de elementos de C, la matriz es única. • Gracias al teorema mencionado en la sección Teoremas básicos de las transformaciones lineales en espacios con dimensión finita, sabemos que dada cualquier elección de u1, ..., un existe y es única la transformación lineal que envía vi en ui. Por lo tanto, dada A cualquier matriz m × n, existe y es única la transformación linealT:V→W tal que C [T] B=A. • Además, las matrices asociadas cumplen que C [aT+bS] B = a C [T] B + b C [S] B para cualquier a,b ,∈ℝ T,S∈ L(V,W). Por esto es que la aplicación que hace corresponder cada transformación lineal con su matriz asociada es un isomorfismo entre L(V,W) y Mn×mC (K). • Si nos restringimos al caso V=W, C=B, tenemos además que esta aplicación es un isomorfismo entre álgebras.
  22. 22. Bibliografía.Bibliografía. • www.google.com • www.wikipedia.com • www.ricondelvago.com • www.mate.dm.uba.ar
  23. 23. Conclusión.Conclusión. • Puedo decir que una transformación lineal son las funciones con la que se trabaja en algebra lineal, que las matrices es un arreglo bidimensional o tabla bidimensional de números consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse entre sí. • Y que tienen correlación entre si dichos temas en tal punto que se necesite.

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