TRAZADO DE POLÍGONOS REGULARES

Educación Plástica y Visual. 3º ESO
TRAZADO DE POLÍGONOS
POLÍGONOS REGULARES
D
A
O
P 1
B
L5
C
L5
E
L5
M

EPV 3º ESO. POLÍGONOS REGULARES
POLÍGONO:
Polígono es la porción del plano limitada por
rectas que se cortan dos a dos.
Elementos de un polígono:
LADOS: Son los segmentos que lo limitan (a, b, c, d).
VÉRTICES: Son los extremos de los lados (A, B, C, D).
ÁNGULOS: Son el espacio que forman cada dos
lados consecutivos ( a, b, g, e )
CONTORNO: Es la línea quebrada que forman sus
lados.
PERÍMETRO: Es la suma de sus lados (a + b + c + d).
DIAGONAL: Es el segmento que une dos vértices no
consecutivos.
POLÍGONO
A
C
D
a
a
e
g
b
b
c
d
B
lanogaid

CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS
Según el número de lados, los polígonos pueden ser:
TRIÁNGULO
Tres lados
HEPTÁGONO
Siete lados
CUADRILÁTERO
Cuatro lados
OCTÓGONO
Ocho lados
PENTÁGONO
Cinco lados
ENEÁGONO
Nueve lados
HEXÁGONO
Seis lados
DECÁGONO
Diez lados
Si seguimos aumentando el número de lados conseguiremos el UNDECÁGONO (11 lados),
DODECÁGONO ( 12 lados) POLÍGONO DE TRECE LADOS, POLÍGONO DE 14 LADOS, PENTADECÁGONO...

P. EQUILÁTEROS P. EQUIÁNGULOS P. REGULARES
a
g
e g g
b a b a
b
a = b = g = e a = b = g = e
a = b = c = d
e
Los que tienen todos
sus lados iguales
Los que tienen todos
sus ángulos iguales
Son equiláteros y equiángulos
a la vez. Todos los que no
son regulares son IRREGULARES
a
c
d
d
a
b
c a c
b
b
a = b = c = d
Según la forma y relación entre sus lados y ángulos llaman:

POLÍGONO INSCRITO Y POLÍGONO CIRCUNSCRITO A UNA CIRCUNFERENCIA
POLÍGONO INSCRITO
en una circunferencia es aquel
que tiene sus vértices
apoyados en la circunferencia.
A su vez, la circunferencia
es circunscrita al triángulo.
POLÍGONO CIRCUNSCRITO
a una circunferencia es aquel
cuyos lados son
tangentes a la circunferencia.
A su vez, la circunferencia
está inscrita en el triángulo.
IA C C
IR
N
C
E
U
R
N
E
S
F
C
N
R
U
I
C
T A
R
I
C
CIRCUNFERENCIA INSCRITA

Los triángulos son figuras planas formadas por tres puntos no alineados y por tres segmentos
que los unen dos a dos (los tres puntos son los vértices y los tres segmentos los lados).
Los VÉRTICES se designan con letras mayúsculas.
El orden de los vértices es el contrario de
las agujas del reloj
Los ÁNGULOS se designan con letras
mayúsculas o letras griegas ( A, B, C)
Los LADOS se designan por las letras
de sus extremos o por una letra
minúscula
igual a la del vértice opuesto
( lado AB o lado c)
A
a
g
b
c
C
B
b
g
a
TRIÁNGULOS

CUADRILÁTEROS
Un CUADRILÁTERO es una figura plana poligonal cerrada, compuesta por cuatro lados
CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS
PARALELOGRAMOS
Tienen paralelos dos a dos los lados opuestos Tienen paralelos dos lados llamados BASES Son cuadriláteros genéricos que no cumplen
CUADRADO las propiedades de trapecios ni paralelogramos.
Cuatro lados iguales
Cuatro ángulos interiores de 90º
Las diagonales son iguales, se
bisecan ( se cortan en el punto
medio) y son perpendiculares.
TRAPECIO RECTÁNGULO
Uno de los lados no
paralelos es perpendicular
a la base
TRAPECIO ISÓSCELES
Tiene los lados no
paralelos iguales
Diagonales iguales y
oblicuas, no se bisecan
TRAPEZOIDE
Tanto los lados como los
ángulos son diferentes
en general.
Las diagonales son desiguales,
oblícuas y no se bisecan.
TRAPECIO ESCALENO
Ángulos desiguales.
Diagonales desiguales,
oblícuas y no se
bisecan
RECTÁNGULOS
Lados iguales 2 a 2
Cuatro ángulos interiores
de 90º.
Las diagonales son
iguales, se bisecan
ROMBOS
Lados iguales 2 a 2.
Oblícuos los consecutivos
Ángulos interiores opuestos
iguales.
Diagonales desiguales,
perpendiculares y se bisecan
ROMBOIDES
Lados opuestos iguales
y paralelos.
Ángulos interiores opuestos
iguales.
Diagonales desiguales y
se bisecan
TRAPECIOS TRAPEZOIDES
a
a
a
a
a a
b
b b
b
b
b
CUADRILÁTEROS

Un POLÍGONO REGULAR es aquel que tiene todos sus lados y ángulos iguales
Para costruir un polígono regular, normalmente nos dan como datos:
EL RADIO DE LA CIRCUNFERENCIA
CIRCUNSCRITA EL LADO DEL POLÍGONO
En este caso el problema se
resuelve dividiendo
la circunferencia en tantas
partes como lados haya de
tener el polígono
Para construir polígonos
dado el lado existen
métodos particulares.
La mayoría de estos
métodos nos llevan a calcular
el radio de la circunferencia
circunscrita
POLÍGOCNUAODSR IRLÁETGERUOLSARES
IA C C
IR
N
C
E
U
R
N
E
S
F
C
N
R
U
I
C
T A
R
I
C
AA BB

Construcción de un TRIÁNGULO EQUILÁTERO CONOCIENDO EL RADIO de la circunferencia circunscrita
O

A
O
1
Trazamos el arco AB

A
O
B C
1
Trazamos el arco 1O

A
O
B C
1

Construcción de un TRIÁNGULO EQUILÁTERO CONOCIENDO EL LADO
A c B

A c B
Trazamos el arco AB

A
C
c B
Trazamos el arco BA, que corta al arco
anterior en el punto C

C
53 mm
A
b a
c
B
Uniendo los puntos A, B y C tenemos el
triángulo equilátero

Construcción de un CUADRADO CONOCIDO EL RADIO de la circunferencia circunscrita
O

A
O D
B
C
Trazamos dos diámetDros perpendiculares,
y obtenemos los puntos A, B, C y D

A
O D
B
C
Unimos los punDtos A, B, C y D
y conseguimos el cuadrado

Construcción de un CUADRADO CONOCIDO EL LADO
A B

A B
Trazamos una perpenDdicular en uno de los
extremos del segmento

A B
Trazamos otra peDrpendicular en el
otro extremo

C
A B
Trazamos el arco BDA, que corta a la
primera perpendicular en el punto C

D C
A B
Trazamos el arcoD AB, que corta a
la segunda perpendicular en el punto D

D C
A B
Uniendo los puntosD ABCD obtenemos
el cuadrado

Construcción de un PENTÁGONO CONOCIDO EL RADIO DE LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA
A
O
1
Para dividir la circunferencia en ciDnco partes iguales, comenzamos
por trazar dos diámetros perpendiculares.

A
O
M 1
En segundo lugar, trazamos la mDediatriz del radio O1, que nos
da el punto M

A
O
M 1
P
Trazamos el arco MA, que corta al Ddiámetro horizontal en el punto P

A
O
1
L5
M
P
La distancia que hay de A a P es laD distancia del lado del pentágono
que buscamos (L5)

A
O
P 1
B
L5
M
Haciendo centro en A, trazamos un Darco AP para trasladar el lado a la
circunferencia (AB)

A
L5
B E
O
M
P 1
Hacemos lo mismo hacia el otro ladDo de la circunferencia, un arco AP
que corta la circunferencia en el punto E

D
A
O
P 1
B
L5
C
L5
E
L5
M
Haciendo centro en B y E trazamos dos arcos con el radio
igual que el lado del pentágono. Así obtenemos los puntos C y D
D

D
A
O
P 1
B
L5
C
L5
E
L5
M
Uniendo ABCDE obteDnemos el pentágono

Construcción de un DECÁGONO CONOCIDO EL RADIO DE LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA
G
A
O
P 1
C
E
F
I
M
El decágono tiene 10 lados, el doble qDue el pentágono, por tanto lo primero
que hacemos es dividir la circunferencia en 5 partes iguales mediante
el método explicado anteriormente

G
A
O
P 1
C
E
F
I
H
M
Una vez dividida en 5 partes, podríamos hacer bisectrices de los ángulos AOI, IOG, GOE, y EOC,
pero es más fácil unir cada uno de los puntos A, D
C, E, G e I con el centro de la circunferencia.
En la prolongación de dichas rectas, cortaremos la circunferencia en los puntos B, D, F, H, J

G
A
O
P 1
C
D
E
F
I
J
H
M
Uniendo ABCDEFGHIJ obteDnemos el decágono regular

G
A
O
P 1
C
B
D
E
F
I
J
H
M

Construcción de un PENTÁGONO CONOCIDO EL LADO
AA BB

N
1
AA BB

N
1
AA M BB

N
AA M BB
P
2
1

N
AA M BB
P
D
2
1
3

N
AA M BB
E
P
D
2
L5
1
3
L5

N
AA M BB
C
P
D
2
1
3
E
L5
L5
L5
L5

Construcción de un HEXÁGONO REGULAR CONOCIENDO EL RADIO de la circunferencia circunscrita
O

A
O
D
Trazamos el diámetro AD

A
O
C E
D
Trazamos el arcDo de radio DO,
y obtenemos los puntos C y E

A
B F
O
D
E
C
Trazamos el arcDo de radio AO,
y obtenemos los puntos B y F

A
B F
O
D
E
C
Uniendo los puntosD A, B, C, D, E y F
obtenemos el hexágono regular

Construcción de un HEXÁGONO REGULAR CONOCIENDO EL LADO
AA BB

O
AA B
El hexágono es el único polígono regular que tiene
D
el lado igual al radio de su circunferencia circunscrita, por
tanto, lo primero que hacemos son dos arcos AB y BA para hallar
el centro de dicha circunferencia

O
AA B
Trazamos la circunfeDrencia circunscrita,
de radio OA u OB

F O C
A B
Prolongamos los arDcos AB y BA hasta
cortar la circunferencia en los puntos F y C

A B
F
E D
O C
Trazamos, con ceDntro en F y en C,
dos arcos de radio AB (que es el lado del
hexágono)

A B
F
E D
O C
Unimos ABCDEFD y obtenemos el
hexágono regular

Construcción de un HEPTÁGONO CONOCIDO EL RADIO DE LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA
A
O
1

A
O
1 M

A
O
1 M
L7

A
B G
O
1 M
L7
L7

A
L7
B G
O
1 M
L7
C F

A
B G
O
C
D E
1 M
F
L7
L7

Construcción de un HEPTÁGONO CONOCIDO EL LADO
AA BB

N
AA BB

N
30º
AA BB

N
M
30º
AA BB

O
N
M
30º
AA BB

O
N
G C
M
30º
AA B

O
AA B
G
F
E
D
C
N
M
30º

Construcción de un OCTÓGONO CONOCIDO EL RADIO DE LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA
A
O G
C
E
El octógono tiene el doble dDe lados que el cuadrado,
por tanto dividimos la circunferencia primero en 4 partes iguales

A
B H
O G
C
D F
E
En segundo lugar, trazamos laDs bisectrices de los ángulos
COA y AOG. De esta manera, estamos dividiendo en dos
dichos ángulos y sus ángulos opuestos, obteniendo los puntos B, H, D y F

A
O G
C
H
B
D F
E
Uniendo ABCDEFGH oDbtenemos el octógono

Construcción de un OCTÓGONO CONOCIDO EL LADO
AA BB

2 1
A B

2 1
3
A B

A
3
1
O
2
B

H C
A
3
1
O
2
B

A
G
H
D
C
3
1
O
2
B

A
G
H
F
D
C
E
3
1
O
2
B

MÉTODO GENERAL PARA LA CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS CONOCIDO EL RADIO
División de una circunferencia en 11 partes y trazado del polígono regular resultante
A
O
N

A
O
P
N

A
1
2
3
4
5
O
P
6
7
8
9
10
11
N

A
1
2
3
4
5
O
B
C
D
E
F
P
6
7
8
9
10
11
N

A
O
B
C
D
E
F
P
N G
H
K
J
I
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

MÉTODO GENERAL PARA LA CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS CONOCIDO EL LADO
Trazado de un polígono regular de 11 lados conociendo el lado
Lado :
A´
O
B´
B A
P
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1ª SOLUCIÓN

Lado :
A´
O
B´
B A
P
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
B A
1ª SOLUCIÓN

Lado :
A´
O
B´
B A
P
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
B
B
A
A
1ª SOLUCIÓN

Lado :
A´
O
B´
B A
P
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
B
B
C
D
E
F
A
A
1ª SOLUCIÓN

Lado :
A´
O
B´
B A
P
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
B
B
C
D
E
F
A
A
G
H
I
J
K
1ª SOLUCIÓN

2ª SOLUCIÓN
Lado :
A´
O
B A
P
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
B´

Lado :
A´
O
B A
P
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
B´
2ª SOLUCIÓN

Lado :
A´
O
B´
B
B
A
A
P
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2ª SOLUCIÓN

Lado :
A´
O
B´
B
B
B
A
A
A
P
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2ª SOLUCIÓN

B
C
D
A 2ª SOLUCIÓN
A´
F G
H
I
J
K
Lado :
O
B´
B
B
A
A
P
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
E

SOLUCIÓN si la circunferencia auxiliar
es más grande que la resultante
Lado :B A
A´
O
B´ B A
P
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

B
C
D
A´
F G
H
I
J
K
A
E
SOLUCIÓN si la circunferencia auxiliar
es más grande que la resultante
Lado :B A
O
B´ B A
P
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

POLÍGONOS ESTRELLADOS
Para hacer un
POLÍGONO
ESTRELLADO
,
dividimos la circunferencia
en tantas partes iguales
como puntas queremos
que tenga la estrella
En el ejemplo de la izquierda
se ha dividido en 7 partes,
para hacer una
estrella de 7 puntas
1
2
3
5 4
6
7

Una vez dividida la circunferencia,
para hacer un polígono regular
iríamos uniendo cada punto
con el siguiente correlativamente,
pero para hacer un
polígono estrellado
iremos saltándonos 1 punto,
dos, o los que queramos.
Ejemplo: Unimos el 1 con el 3, el 5,
el 7, el 2, el 4, el 6 y
finalizamos en el 1
1
2
3
5 4
6
7

Cuando el número de puntas es par,
en lugar de empezar por un punto
e ir trazando líneas hasta
acabar en el primero,
como en el caso anterior,
tendremos que construir
dos o tres polígonos que
al entrecruzarse formarán
la estrella, como en este
ejemplo de 8.
. Para formar esta estrella de 8
puntas unimos
el 1, 3, 5 y 7 por un lado y formamos
un cuadrado, y el 2, 4, 6 y 8 por otro
y formamos otro cuadrado.
La superposición de ambos
forma la estrella
1
2
3
4
5
6
7
8

Mientras más puntas tenga la estrella,
más posibilidades gráficas ofrece,
ya que podemos hacer
sus puntas más largas o más cortas
dependiendo de la cantidad
de puntos que nos saltemos
a la hora de trazar sus lados.
En este ejemplo vemos
varias estrellas de 16 puntas,
pero cada una de ellas tiene
sus puntas diferentes, según
hallamos saltado 1, 2, 3, 4 o 5
divisiones.

En este caso el intervalo es 1 división

En este caso el intervalo son 2 divisiones

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