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6. ed capítulo vi centro de gravedad y centroide
1. ESTÁTICA
CAPÍTULO VI
CENTRO DE GRAVEDAD Y
CENTROIDE
Ing. Andrés Velástegui Montoya, M.Sc.
Facultad de Ingeniería en Ciencias de la Tierra (FICT)
andvelastegui@gmail.com
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2. Objetivos
Analizar el concepto de centro de gravedad, centro de
masa, y centroide.
Mostrar cómo determinar la ubicación del centro de
gravedad y centroide para un sistema de partículas
discretas y un cuerpo de forma arbitraria.
Presentar un método para encontrar la resultante de una
carga general distribuida, y mostrar cómo se aplica cuando
es necesario determinar la resultante de un fluido.
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3. Centro de gravedad y centro de
masa para un sistema de partículas
Centro de gravedad. El centro de gravedad G es un
punto que ubica el peso resultante de un sistema de
partículas.
La ubicación del centro de gravedad coincide con la del
centro de masa.
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4. Centro de masa, y centroide para
un cuerpo
Centro de masa. La densidad ρ, o masa por volumen
unitario, está relacionada mediante la ecuación ϒ = ρg,
donde g es la aceleración debida a la gravedad.
Centroide. El centroide es un punto que define el centro
geométrico j de un objeto. Si el material que compone un
cuerpo es uniforme u homogéneo, la densidad o peso
específico será constante en todo el cuerpo.
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5. Centro de masa, y centroide para
un cuerpo
Centroide - Volumen
Si un objeto es subdividido en elementos de volumen dV, la
ubicación del centroide C(x,y,z) para el volumen del objeto
puede ser determinada calculando los “momentos” de los
elementos con respecto a cada uno de los ejes coordenados.
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6. Centro de masa, y centroide para
un cuerpo
Centroide - Área
De manera similar, el centroide del área superficial de un
objeto, como una placa o un cascarón, se puede encontrar
subdividiendo el área en elementos dA y calculando los
“momentos” de esos elementos de área con respecto a cada uno
de los ejes coordenados.
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7. Centro de masa, y centroide para
un cuerpo
Centroide - Línea
Si la simetría del objeto, tal como la de una barra delgada o la
de un alambre, toma la forma de una línea, el equilibrio de los
momentos de los elementos diferenciales dL con respecto a
cada uno de los ejes coordenados resulta en:
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8. Centro de masa, y centroide para
un cuerpo
Centroide
En los casos donde la forma tenga un eje de simetría, el
centroide de la forma se encontrará a lo largo de ese eje.
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9. Centro de masa, y centroide para
un cuerpo
Centroide
En los casos donde una forma tenga dos o tres ejes de
simetría, se infiere que el centroide se encuentra en la
intersección de esos ejes.
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10. Centro de gravedad, centro de masa, y
centroide para un cuerpo
Puntos importantes
El centroide representa el centro geométrico de un cuerpo.
Este punto coincide con el centro de masa o con el centro
de gravedad sólo si el material que compone al cuerpo es
uniforme u homogéneo.
En algunos casos, el centoide se ubica en un punto fuera
del objeto, como en el caso de un anillo, donde el
centroide está en el centro del anillo. Además, este punto
se encontrará sobre cualquier eje de simetría del cuerpo.
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11. Cuerpos compuestos
Un cuerpo compuesto consiste en una serie de cuerpos "más simples"
conectados, los cuales pueden ser rectangulares, triangulares,
semicirculares, etc.
Un cuerpo de esta índole a menudo puede ser seccionado o dividido en sus
partes componentes y, si se conocen el peso y la ubicación de cada una de
esas partes, es posible eliminar la necesidad de la integración para
determinar el centro de gravedad del cuerpo entero.
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12. Cuerpos compuestos
Cuando el cuerpo tiene densidad o peso específico
constantes, el centro de gravedad coincide con el centroide
del cuerpo.
Los centroides para formas comunes de líneas, áreas,
cascarones y volúmenes, que a menudo constituyen un
cuerpo compuesto, están dados en la tabla siguiente:
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17. Cuerpos compuestos
Procedimiento de análisis
Partes componentes.
Mediante un croquis, divida el cuerpo u objeto en un número finito de partes
componentes que tengan formas más simples (parecidas al de las tablas).
Si una parte componente tiene un agujero, o una región geométrica que no
contenga material, entonces considérela sin el agujero y a éste como una parte
componente adicional con peso o tamaño negativos.
Brazos de momento.
Establezca los ejes coordenados sobre el croquis y determine las coordenadas x,
y, z del centro de gravedad o centroide de cada parte.
Sumatorias.
Determine x, y, z aplicando las ecuaciones del centro de gravedad.
Si un objeto es simétrico con respecto a un eje, su centroide se encuentra sobre
este eje.
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20. Ejercicio
Localice el centro de masa del conjunto compuesto mostrado
en la figura. La densidad del cono truncado es ρc = 8 mg/m3, y
la de la semiesfera es ρh = 4 mg/m3. En el centro se tiene un
agujero cilíndrico de radio igual a 25mm.
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21. Tarea
(41) Localice el centroide (x, y) del alambre uniforme doblado en la forma
que se muestra.
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22. Tarea
(42) Cada uno de los tres miembros del bastidor tiene una masa por longitud
unitaria de 6 kg/m. Localice la posición (x, y) del centro de gravedad.
Ignore el tamaño de los pasadores situados en los nudos y el espesor de los
miembros. Calcule también las reacciones en el pasador A y en el rodillo E.
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23. Tarea
(43) El muro de gravedad está hecho de concreto. Determine la ubicación
(x, y) del centro de gravedad G del muro.
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24. Tarea
(44) Localice el centroide y del área de la sección transversal de la viga
construida con una canaleta y una placa. Suponga que todas las esquinas
están a escuadra e ignore el tamaño de la soldadura ubicada en A.
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25. Tarea
(45) Localice el centroide y de la sección transversal de la viga construida a
partir de una canaleta y una viga de patín ancho.
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26. Tarea
(46) Determine la distancia z al centroide de la forma que consiste en un
cono con un agujero de altura h = 50 mm perforado en su base.
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27. Tarea
(47) Localice el centro de masa z del cuerpo mostrado. El material tiene una
densidad de ρ = 3 mg/m3. El cuerpo tiene un agujero de 30 mm de diámetro
perforado a través del centro.
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28. Presión de un fluido
De acuerdo con la ley de Pascal, en un punto, un fluido en reposo genera
cierta presión p que es la misma en todas direcciones.
La magnitud de p, medida como una fuerza por área unitaria, depende del
peso específico ϒ o de la densidad de masa ρ del fluido y de la profundidad
z del punto desde la superficie del fluido. La relación puede ser expresada
matemáticamente como:
La ecuación es válida sólo para fluidos que se suponen incompresibles, lo
cual es caso de la mayoría de los líquidos.
Los gases son fluidos compresibles, y puesto que sus densidades cambian
considerablemente con la presión y la temperatura, (la ecuación anterior no
puede ser usada).
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34. Ejercicio
Determine la magnitud y la ubicación de la fuerza hidrostática
resultante que actúa sobre la placa rectangular AB sumergida
como se muestra en la figura. La placa tiene un ancho de 1.5 m;
ρagua = 1000 kg/m3.
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35. Ejercicio
Determine la magnitud de la fuerza hidrostática resultante que
actúa sobre la superficie del muro marino con forma de
parábola como se muestra en la figura. El muro tiene 5 m de
largo; ρagua = 1020 kg/m3.
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36. Ejercicio
La compuerta AB tiene 8 m de ancho. Determine las
componentes horizontal y vertical de la fuerza que actúa sobre
el pasador en B y la reacción vertical en el soporte liso A. ρagua
= 1 Mg/m3.
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37. Tarea
(48) Determine la magnitud de la fuerza hidrostática resultante que actúa
sobre la presa y su ubicación, medi-da desde la superficie superior del agua.
El ancho de la presa es de 8 m; ρagua = 1.0 Mg/m3.
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38. Tarea
(49) Cuando el agua de la marea A desciende, la compuerta de marea gira
automáticamente abriéndose para drenar el agua de la ciénaga B. Para la
condición de marea alta mostrada, determine las reacciones horizon-tales
desarrolladas en la articulación C y en el tope D. La longitud de la
compuerta es de 6 m y su altura de 4 m. ρagua = 1.0 Mg/m3
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39. Tarea
(50) La presa de "gravedad" de concreto es manteni-da en su lugar por su
propio peso. Si la densidad del con-creto es ρc = 2.5 Mg/m3, y el agua tiene
una densidad de ρagua = 1.0 Mg/m3, determine la dimensión d más pequeña
que impedirá que la presa se voltee alrededor de su extremo A.
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40. Tarea
(51) La superficie AB en arco tiene la forma de un cuarto de círculo. Si
mide 8m de longitud, determine las componentes horizontal y vertical de la
fuerza resultante causada por el agua actuando sobre la superficie. ρagua =
1.0 Mg/m3.
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