Cap 1 cinemática de partículas

Movimiento mecánico,[object Object],Mecánica de los cuerpos macroscópicos,[object Object]

Cinemática: ,[object Object],Rama de laMecánica que se dedica a la descripción del movimiento mecánico sin interesarse por las causas que lo provocan. ,[object Object],Dinámica:,[object Object],Rama de laMecánica que se dedica a investigar las causas que provocan el movimiento mecánico. Justificar el movimiento.,[object Object]

Movimiento Mecánico:,[object Object],Cambio de posición de un cuerpoen función del tiempo, con respecto a otros, tomados como referencia.,[object Object],Definir Sistema de Referencia (SR),[object Object],El tiempo es el parámetro de control,[object Object]

Pasos para el estudio del movimiento mecánico,[object Object],[object Object]

Definición del Sistema de Referencia (SR)

Identificación de las magnitudes físicas apropiadas y sus relaciones.

Empleo de modelos para el sistema físico: Modelo de cuerpo rígido y Modelo de partícula.

Utilización del principio de independencia de los movimientos de Galileo así como del principio de superposición. Empleo de las leyes que controlan el movimiento.,[object Object]

Sistema de Coordenadasx(t),[object Object],x,[object Object],[object Object],z(t),[object Object],z,[object Object],Pasos para el estudio del movimiento mecánico,[object Object],Se le asocia ,[object Object]

Pasos para el estudio del movimiento mecánico,[object Object],SRI:Es aquel para el cual el sistema bajo estudio en ausencia de la acción de otros cuerpos, se mueve con MRU.,[object Object],Los SRI tienen entre ellos velocidad constante,[object Object],SRNI:Es aquel para el cual el sistema bajo estudio sin la acción de otros cuerpos, experimenta aceleraciones.,[object Object]

Dinámicas ,[object Object],Cinemáticas,[object Object],Posición, Velocidad, ,[object Object],Aceleración ,[object Object],Fuerza, Torque ,[object Object],Pasos para el estudio del movimiento mecánico,[object Object],Magnitudes Físicas ,[object Object]

Pasos para el estudio del movimiento mecánico,[object Object],Modelos,[object Object],de Cuerpo Rígido: Las distancias entre los diferentes puntos del cuerpo no varían.,[object Object],de Partícula: el cuerpo puede ser considerado como un objeto puntual.,[object Object]

Pasos para el estudio del movimiento mecánico,[object Object],Traslación pura,[object Object],Es aplicable el modelo de partícula,[object Object]

Pasos para el estudio del movimiento mecánico,[object Object],Rotación pura de cuerpo sólido,[object Object],Es aplicable el modelo de partícula,[object Object],Es aplicable el modelo del cuerpo rígido pero no el de partícula,[object Object]

[object Object],Mayor número de ecuaciones,[object Object],[object Object],Coordenadas curvilíneas,[object Object],Posición (t),[object Object],Problemas de la cinemática,[object Object],P. Inverso,[object Object],Cond. Iniciales,[object Object],Velocidad(t),[object Object],P. Directo,[object Object],Aceleración(t),[object Object],Métodos,[object Object],[object Object],[object Object]

13,[object Object],Derivada de funciones,[object Object],Derivada de una función en un punto,[object Object],Dada una función y=f(x) y un punto de abcisa x=a, se define la derivada de f(x) en x=a y se designa f '(a), como el límite siguiente, si es que existe, ,[object Object],Si expresamos el valor variable a+h = x, tenemos que h= x-a de tal manera que cuando h->0 se cumplirá que x->a.,[object Object],La derivada en x=a también puede ser expresada de la siguiente manera:,[object Object]

Derivada de funciones,[object Object],Sea la función y=f(x) = x2 -2x -1. Queremos calcular la derivada en el punto de abcisa x=2. ,[object Object],La ordenada correspondiente es f(2) = -1,[object Object],Veamos el procedimiento a seguir:,[object Object]

Derivada de funciones,[object Object],Sigamos con otro ejemplo y calculemos para la función anterior y=x2 -2x -1 la derivada en x = -1,[object Object],La ordenada para x = -1 es f(-1)= 2,[object Object],Esto lo podemos hacer en cualquier punto del dominio de la función. Por ejemplo en el punto cualquiera “a”,[object Object]

Derivada de funciones,[object Object],Como “a” es cualquier punto del dominio, entonces es variable que la representaremos con x también y diremos: ,[object Object],Comprueba estos resultados:,[object Object]

Derivada de funciones,[object Object],Propiedad lineal de la derivada,[object Object],Para funciones dentro del dominio de las derivadas,[object Object], donde c es una constante,[object Object],Derivada de un producto ,[object Object],Derivada de un cociente,[object Object],Regla de la cadena,[object Object]

Derivada de funciones,[object Object],Otras Propiedades,[object Object],Si f’(x) en x=a es positiva entonces f(x) en x=a es creciente,[object Object],Si f’(x) en x=a es negativa entonces f(x) en x=a es decreciente,[object Object],Si f’(x) en x=a es cero entonces f(x) en x=a tiene un punto critico extremo,[object Object],Si f’(x) en x=a es cero y f’’(x) es negativa entonces f(x) en x=a tiene un maximo,[object Object],Si f’(x) en x=a es cero y f’’(x) es positiva entonces f(x) en x=a tiene un minimo,[object Object],Curvatura,[object Object],Si f´´(x) en cierto intervalo es positiva entonces f(x) es concava hacia arriba,[object Object],Si f´´(x) en cierto intervalo es negativa entonces f(x) es concava hacia abajo,[object Object],Si f(x) en cierto punto esta cambiando la concavidad entonces en dicho punto f´´(x) es cero.,[object Object]

Derivada de funciones,[object Object],EJERCICIOS,[object Object],1.- Un cuerpo es movido levemente desde una posición de equilibrio inestable. Su velocidad aumenta según el fórmula v(x)=A√x , donde x es la distancia desde el punto de partida y A es una constante. ¿Cuánto vale la aceleración del cuerpo y que tipo de movimiento realiza?,[object Object],2.- La trayectoria de un móvil viene descrita por las ecuaciones x=3+t2 , y=6t . Determinar el módulo del vector velocidad y aceleración en el instante t=4 (t se expresa en segundos , x e y en metros).,[object Object],3.- Hallar las dimensiones del rectángulo de areamaxima inscrito en : ,[object Object],a) En un triángulo equilátero de lado a. ,[object Object],b) En un triángulo isósceles , que tiene por base 10 y por altura 16 cm, respectivamente. ,[object Object],4.- Dados tres segmentos de longitud a, hallar un cuarto segmento de longitud b que forma con los anteriores un trapecio isósceles de área máxima. Nota: Area=1/2(a+b)h,[object Object]

Cond. Iniciales,[object Object],Problema inverso,[object Object],EJERCICIO,[object Object],1.- Una partícula se mueve sobre un plano XY con una velocidad dada por v = (2t-2) i + 3 j , expresada en m/s. Cuando t = 2s su vector de posición es r = 2 i + 3 j, medido en m. Determinar la ecuación de la trayectoria de la partícula.,[object Object],Posición (t),[object Object],P. Inverso,[object Object],Velocidad(t),[object Object],Aceleración(t),[object Object]

Ejercicio,[object Object],Si el vector posición de una partícula esta dada por: ,[object Object],Hallar:,[object Object],1) el vector posición para t= 0 y 2 s ,[object Object],2)El vector desplazamiento en el intervalo [0,2]s,[object Object],3) su velocidad media en el intervalo [0,2]s,[object Object],su velocidad instantánea en t = 0 y t=2 s,[object Object],5) su aceleración media en el intervalo [0,2]s,[object Object],6) su aceleración instantánea en t = 0 y 2s,[object Object],7) Su aceleración tangencial en t=2s,[object Object],8) Su aceleración normal en t=2s,[object Object],9) Su radio de curvatura en t=2s,[object Object]

25,[object Object],Ejercicio ,[object Object],Un automóvil describe unacurvaplanatalquesuscoordenadasrectangulares, en función del tiempoestándadasporlasexpresiones: x=2t3-3t2, y=t2-2t+1, z=5t-2 m. Calcular: ,[object Object],Las componentes de la velocidad en cualquierinstante.,[object Object],Las componentes de la aceleración en cualquierinstante.,[object Object]

26,[object Object],Ejercicio,[object Object],Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo a la leyv=t3-4t2 +5 m/s. Si en el instantet0=2 s. está situado en x0=4 m del origen. Calcular la posición x del móvil en cualquierinstante.,[object Object],La aceleración de un cuerpo que se mueve a lo largo de una línea recta viene dada por la expresión. a=4-t2 m/s2. Sabiendo que en el instantet0=3 s, la velocidad del móvil valev0=2 m/s. Determinar la expresión de la velocidad del móvil en cualquier instante.,[object Object]

27,[object Object],Ejercicio,[object Object],Se lanzaunapelotaverticalmentehaciaarriba con una velocidad de 15 m/s desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelotaademásesempujadapor el viento, produciendo un movimiento horizontal con unaaceleración de 2 m/s2. (g=10 m/s2 ) Calcular:,[object Object],La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto,[object Object],La alturamáxima,[object Object],Los instantes y los valores de lascomponentes de la velocidad cuando la pelota se encuentra a 60 m de alturasobre el suelo.,[object Object],Identificar sistema físico: ,[object Object],La pelota,[object Object],2. Selección del SRI (Ubicación del Observador): ,[object Object],La azotea (ver gráfico). Tiempo t=0 al inicio del movimiento,[object Object]

28,[object Object],Ejercicio,[object Object],Se lanzaunapelotaverticalmentehaciaarriba con una velocidad de 15 m/s desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelotaademásesempujadapor el viento, produciendo un movimiento horizontal con unaaceleración de 2 m/s2. (g=10 m/s2 ) Calcular:,[object Object],La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto,[object Object],La alturamáxima,[object Object],Los instantes y los valores de lascomponentes de la velocidad cuando la pelota se encuentra a 60 m de alturasobre el suelo.,[object Object],3. Selección del método o métodos:,[object Object],de coordenadas,[object Object],4. Resolver el problema directo (derivando) o el indirecto (integrando) o ambos:,[object Object]

29,[object Object],Ejercicio,[object Object],Se lanzaunapelotaverticalmentehaciaarriba con una velocidad de 15 m/s desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelotaademásesempujadapor el viento, produciendo un movimiento horizontal con unaaceleración de 2 m/s2. (g=10 m/s2 ) Calcular:,[object Object],La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto,[object Object],La alturamáxima,[object Object],Los instantes y los valores de lascomponentes de la velocidad cuando la pelota se encuentra a 60 m de alturasobre el suelo.,[object Object],Problema indirecto,[object Object]

30,[object Object],Ejercicio,[object Object],Se lanzaunapelotaverticalmentehaciaarriba con una velocidad de 15 m/s desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelotaademásesempujadapor el viento, produciendo un movimiento horizontal con unaaceleración de 2 m/s2. (g=10 m/s2 ) Calcular:,[object Object],La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto,[object Object],La alturamáxima,[object Object],Los instantes y los valores de lascomponentes de la velocidad cuando la pelota se encuentra a 60 m de alturasobre el suelo.,[object Object],Distancia horizontal,[object Object],Altura máxima,[object Object]

31,[object Object],Ejercicio,[object Object],Se lanzaunapelotaverticalmentehaciaarriba con una velocidad de 15 m/s desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelotaademásesempujadapor el viento, produciendo un movimiento horizontal con unaaceleración de 2 m/s2. (g=10 m/s2 ) Calcular:,[object Object],La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto,[object Object],La alturamáxima,[object Object],Los instantes y los valores de lascomponentes de la velocidad cuando la pelota se encuentra a 60 m de alturasobre el suelo.,[object Object],Instantes para y=10m,[object Object],El móvil se encuentra en dos instantes a 60 m de alturasobre,[object Object],el suelo (10 sobre el origen), yaquesutrayectoriacorta en ,[object Object],dos puntos a la recta horizontal y=10 m. ,[object Object]

Ejercicio,[object Object],Una partícula de 2 kg es lanzada verticalmente hacia arriba con una rapidez de 100 m/s, determine:,[object Object],a) El tiempo que permanece en el aire.,[object Object],b) Su posición en el instante t = 5 s.,[object Object],c) La altura máxima alcanzada.,[object Object],d) Su desplazamiento entre 5 y 15 s,[object Object],e) El tiempo que demora en cambiar la velocidad de 60 m/s a -60m/s,[object Object]

33,[object Object],Movimiento circular,[object Object],Posición angular,q,[object Object],El ánguloq, es el cociente entre la longitud del arcos y el radio de la circunferenciar, q=s/r. La posición angular es el cociente entre dos longitudes y portanto, no tienedimensiones. ,[object Object],Velocidad angular, w,[object Object],Aceleración angular,a,[object Object]

34,[object Object],Movimiento circular,[object Object],Movimiento circular uniforme,[object Object],Movimiento circular uniformementeacelerado,[object Object]

35,[object Object],Movimiento circular,[object Object],Magnitudes lineales y angulares ,[object Object],Aceleración normal,[object Object],Aceleracióntangencial,[object Object]

Movimiento circular,[object Object],Ejemplo,[object Object],Unarueda de r=0.1 m de radio estágirando con una velocidad de ω0=4π rad/s, se le aplican los frenos y se detiene de manerauniformeen 4s. Calcular: ,[object Object],La aceleración angular,[object Object], ω=ω0+αt,[object Object], En el instantet=4 s la velocidad angular ω=0,[object Object], α=-π rad/s2,[object Object],El ángulogiradohastaesteinstantees,[object Object],La posición y la velocidad angular del móvil en el instantet=1 s,[object Object], θ=0+4π ·1-π/2=7π/2 rad,[object Object], ω=4π+(-π)·1=3π rad/s,[object Object], La velocidad lineal v=ω·r v=0.1·3π=0.3π m/s,[object Object],La componentetangencial de la aceleraciónes,[object Object], at=α·r at=-0.1π m/s2,[object Object],La componente normal de la aceleraciónes,[object Object]

37,[object Object],Movimiento circular,[object Object],Movimientode unabicicleta,[object Object]

38,[object Object],Z,[object Object],Z’,[object Object],P(x,y,z),[object Object], (x’,y’,z’),[object Object],O,[object Object],O’,[object Object],Y,[object Object],X’,[object Object],X,[object Object],Y’,[object Object],Relatividad del movimiento,[object Object],[object Object],La relación entre la posición de la partícula descrita por O y O’ es,[object Object]

40,[object Object],Z,[object Object],Z’,[object Object],P(x,y,z),[object Object], (x’,y’,z’),[object Object],O,[object Object],O’,[object Object],Y,[object Object],X’,[object Object],X,[object Object],Y’,[object Object],Relatividad del movimiento,[object Object],Derivando respecto a t la expresión anterior,[object Object],Y derivando nuevamente,[object Object],Si O’ se desplaza respecto de O con un movimiento rectilíneo uniforme se tiene que,[object Object],Transformaciones de Galileo,[object Object]

41,[object Object],[object Object], vector de posición de P respecto del origen común,[object Object],Z,[object Object],Z’,[object Object],P,[object Object], velocidad de P medida por O,[object Object],O,[object Object], velocidad de P medida por O’,[object Object],O’,[object Object],Y’,[object Object],X,[object Object],Y,[object Object],X’,[object Object],Relatividad del movimiento,[object Object],[object Object],pero como O’ gira con velocidad angular respecto a O, entonces P describirá un movimiento circular respecto a O, cumpliéndose que,[object Object]

42,[object Object],Relatividad del movimiento,[object Object],[object Object], y ambas velocidades se encuentran relacionadas a través de,[object Object],[object Object],[object Object]

44,[object Object],Eje terrestre,[object Object],Vertical,[object Object],Eje terrestre,[object Object],Vertical,[object Object],N,[object Object],Polo Norte,[object Object],A,[object Object],Plano horizontal,[object Object],N,[object Object],Trayectoria,[object Object],O,[object Object],A,[object Object],S,[object Object],A’,[object Object],Plano horizontal,[object Object],E,[object Object],C,[object Object],S,[object Object],Plano ecuatorial,[object Object],Relatividad del movimiento,[object Object],Aceleración de Coriolis,[object Object],[object Object],Desviación hacia el este de un cuerpo en caida libre en el Hemisferio Norte, debida a la aceleración de Coriolis,[object Object]

45,[object Object],Eje terrestre,[object Object],Vertical,[object Object],Eje terrestre,[object Object],Vertical,[object Object],N,[object Object],Polo Norte,[object Object],N,[object Object],O,[object Object],Plano horizontal,[object Object],S,[object Object],E,[object Object],Plano horizontal,[object Object],Trayectoria,[object Object],S,[object Object],C,[object Object],Plano ecuatorial,[object Object],Relatividad del movimiento,[object Object],Aceleración de Coriolis,[object Object],Desviación hacia la derecha de un cuerpo que se mueve horizontalmente en el hemisferio norte,[object Object]

46,[object Object],Baja,[object Object], Presión,[object Object],Baja,[object Object], Presión,[object Object],Relatividad del movimiento,[object Object],[object Object],Hemisferio,[object Object], Sur,[object Object],Hemisferio,[object Object], Norte,[object Object]

47,[object Object],N,[object Object],B’’’,[object Object],B’’,[object Object],B’,[object Object],E,[object Object],O,[object Object],A,[object Object],A’,[object Object],A’’,[object Object],A’’’,[object Object],S,[object Object],Relatividad del movimiento,[object Object],[object Object],B,[object Object],Hemisferio,[object Object], Norte,[object Object]

Rotación de O’ respecto O,[object Object],P,[object Object],Z’,[object Object],Z,[object Object],Y’,[object Object],O’,[object Object],SRM,[object Object],O,[object Object],Y,[object Object],SRF,[object Object],X’,[object Object],X,[object Object],Suma de velocidades,[object Object],[object Object],Traslación de O’ respecto O,[object Object],Trasformaciones de Galileo,[object Object]

Rotación de O’ respecto O,[object Object],P,[object Object],Z’,[object Object],Z,[object Object],Y’,[object Object],O’,[object Object],SRM,[object Object],O,[object Object],Y,[object Object],SRF,[object Object],X’,[object Object],X,[object Object],Suma de velocidades,[object Object],[object Object],Traslación de O’ respecto O,[object Object],Trasformaciones de Lorentz,[object Object]

50,[object Object],Suma de velocidades,[object Object],Un avión que viaja al Este, en una región sin viento a 40 m/s, se encuentra con un viento de 10 m/s en dirección 20 grados al Este del Norte. Considerando que la rapidez con respecto al aire se mantiene, como debe orientarse el avión para que su desplazamiento continúe al Este? Con qué rapidez se moverá ahora hacia el Este?,[object Object]

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