Este documento introduce conceptos clave del álgebra lineal como matrices, sistemas de ecuaciones lineales, y tipos de matrices como triangular, diagonal e identidad. Explica las operaciones básicas con matrices como suma, resta, multiplicación por escalar, y producto. Además, define términos como tamaño, fila, columna y elemento de una matriz.

1. Mtro. Javier Solis Noyola

2. Objetivos
 Conocer los antecedentes u orígenes del Álgebra
Lineal desde la perspectiva de su aplicación.
 Conocer y comprender el concepto de Matriz y sus
tipos.
 Desarrollar operaciones con matrices.

3. ¿Qué es un Modelo Matemático?
•Es una representación abstracta de la realidad. La
representación abstracta hace uso del simbolismo
matemático; ésta involucra datos conocidos y
variables por conocer.
•Los Modelos matemáticos, buscan describir la
realidad mediante el simbolismo: numérico o
gráfico. Esta realidad puede ser estática o
dinámica.
•La finalidad del uso de los modelos matemáticos
es, encontrar una descripción de un fenómeno
(sistema físico o un proceso), y orientar la
solución a un equilibrio matemático, y que
posteriormente sea aplicada en el campo real .

4. Modelo Matemático
V = IR
P = VI cosθ
R = ρL
A
a11I1 + a12 I2 + a13 I3 = b1
a21I1 + a22 I2 + a23 I3 = b2
a31I1 + a32 I2 + a33 I3 = b3
L d2q + R dq + 1 q = E (t)
dt2 dt C
SISTEMA FÍSICO
Álgebra Lineal

5. ¿Qué es el Álgebra Lineal?
El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que estudia conceptos tales
como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque más
formal, espacios vectoriales, y sus transformaciones lineales. Es un área activa
que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas
como: análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones,
gráficas por computadora, ingeniería, etc.

6. ¿Qué es una Matriz?
Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos
en forma rectangular, formando filas (renglones) y columnas.

7. x1
x2
x3
:
:
xn
Para encontrar las soluciones (x1,
x2,...xn) un sistema de ecuaciones
lineales, se utilizan conceptos y
procedimientos de matrices y
determinantes.
Matriz
Determinante
Sistema de ecuaciones
lineales

8. Las matrices se utilizan en cálculo numérico, solución de sistemas de
ecuaciones lineales, ecuaciones diferenciales y derivadas parciales.
Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones
lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría,
estadística, economía, informática, física, etc.

9. Las matrices son utilizadas por primera vez
hacia el año 1850 por James Joseph
Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría
matricial se debe al matemático británico
William Rowan Hamilton en 1853. En 1857 el
matemático Arthur Cayley introduce la
notación matricial como una forma abreviada
de escribir un sistema de m ecuaciones
lineales con n incógnitas.

10. Matrices: aumentada y de coeficientes
Matriz
de
coeficientes
Matriz aumentada
Las x1, x2,...xn de un sistema de ecuaciones
lineales son las incógnitas. Las a1, a2…an; y
los b1, b2.. bm, son valores conocidos.
Sistema de ecuaciones lineales

11. Ejemplo de Matrices: aumentada y de coeficientes
1 2 3 0
3 4 7 2
6 5 9 11
1 2 3
3 4 7
6 5 9
Sistema de ecuaciones lineales concreto
Matriz Aumentada
Matriz de
Coeficientes

12. Tamaño o dimensión de una Matriz
•aij es el elemento de la matriz que ocupa el renglón i y la columna j.
•Se llama tamaño o dimensión de la matriz al número de filas por el de columnas
y se representa como m × n. Si m = n se dice que la matriz es cuadrada y de
orden n.
•El número total de elementos que tiene la matriz A es m x n.
i = renglón o fila
j= Columna

13. Ejemplos de dimensión (tamaño)
1) Dada la siguiente siguiente
matriz A calcula su dimensión , su
elemento 3,2 , su columna 2 y su fila 3 :
2) Dada la siguiente siguiente
matriz B calcula su dimensión , su
elemento 1,3 , su columna 1 y su fila 2 :

14. Matriz cuadrada
Matriz cuadrada: Matriz que tiene el mismo número de filas (renglones) que de
columnas, es decir, m = n.
Se denomina diagonal principal de la matriz cuadrada A = ( aij ) a los elementos
aii, es decir: a11, a22, a33,..., ann.
Matriz cuadrada de
2x2
Elementos de la diagonal
principal:
a11= 1; a22= 1
Matriz cuadrada de
3x3
Elementos de la diagonal
principal:
a11= 1; a22= -3; a33=4

15. Matrices: triangular superior y triangular inferior
Matriz triangular superior: Es una matriz cuadrada en la que todos los
elementos por debajo de la diagonal principal son nulos (matriz A).
Matriz triangular inferior: Es una matriz cuadrada en la que todos los
elementos por encima de la diagonal principal son nulos (matriz B).

16. Ejemplos de matrices triangular superior e inferior
Las matrices triangulares superiores e inferiores tienen que ser cuadradas

17. Matriz Diagonal
Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos no
pertenecientes a la diagonal principal son nulos, es decir, para A = ( aij )

18. Matriz Identidad (unitaria o unidad)
Matriz unitaria, unidad o identidad: Es una matriz escalar (cantidad conocida y
no vectorial ) en la que todos la diagonal principal son iguales a 1.
Para cada n representaremos a la matriz identidad de orden n como In.
La matriz Identidad debe ser cuadrada.

19. Matriz Transpuesta At
•Dada una matriz A = ( aij ) de tamaño o dimensión m × n, la matriz traspuesta
será la obtenida al intercambiar sus filas (renglones) por sus columnas.
•A la matriz traspuesta la representaremos por At.
At=(aji )
•La matriz At tiene dimensión n × m.

20. Ejemplos de Matrices Transpuestas

21. Operaciones con Matrices: SUMA (A+B)
La suma de dos matrices A = ( aij ) y B = ( bij ) de la mismo tamaño o
dimensión m × n, es otra matriz que representamos como A + B, de la misma
dimensión que A y B, cuyos elementos son la suma de los elementos situados en
las mismas posiciones, es decir, A + B = (aij + bij).

22. Ejemplos de Suma de matrices (A+B)
Sumar las matrices A y B:
Ambas matrices
tienen el
Mismo tamaño
Las matrices NO
tienen el Mismo
tamaño

23. Resta o Diferencia de Matrices (A-B)
La diferencia de dos matrices A = ( aij ) y B = ( bij ) de la mismo tamño o
dimensión m × n, es otra matriz que representamos como A - B , de la misma
dimensión que A y B, y que se define como A - B = A + ( -B ), es decir:
A - B = (aij - bij ).
Siendo -B la matriz opuesta de B.
Ejemplo de Diferencia de Matrices (A-B)

24. Multiplicación de un escalar por una Matriz: kA
El producto de una matriz A = ( aij ) por un número real k es otra matriz, que
representaremos por kB, de la misma dimensión que A y cuyos elementos son
el producto de los mismos por k, es decir, kA = ( kaij ).
Ejemplo: Multiplicar kA, si k=3

25. Producto de una Matriz columna o Renglón por
una Matriz Columna
El producto de una matriz fila por una matriz columna es un número que se
obtiene multiplicando término a término los elementos y sumando los resultados.
Ejemplo:

26. Multiplicación o Producto de Matrices (A*B)
El producto de una matriz A = ( aij ) de orden m × n y otra matriz A B = ( bij )
de dimensiones n × p es una matriz C = ( cij ) de orden m × p, de manera que
cada elemento cij se obtiene multiplicando la fila i de A por la columna j de B,
es decir:

27. Consideración para multiplicar matrices
Para poder multiplicar dos matrices es obligatorio que el número de
columnas de la primera (A) coincida con el número de filas o renglones de
la segunda (B).
El Tamaño o dimensión de la nueva matriz C, será de mxp

28. Ejemplo de Multiplicación de matrices

30. REFERENCIAS INFORMÁTICAS (textos):
•Cárdenas, Humberto y Emilio Luis R., y Francisco Tomas. ÁLGEBRA
SUPERIOR. Editorial Trillas, 2002.
•Frank S Budnick. MATEMÁTICAS APLICADAS PARA ADMINISTTRACIÓN,
ECONOMÍA Y CIENCIAS SOCIALES. Editorial Mc Graw Hill.
•Haeussler, Ernest F.. MATEMÁTICAS PARA LA ADMINISTRACIÓN,
ECONOMÍA, CIENCIAS SOCIALES Y DE LA VIDA. Editorial Prentice Hall.
•Reyes Guerrero, Araceli. ÁLGEBRA LINEAL. Editorial Thomson, 2005.
•Richar Hill. ÁLGEBRA LINEAL CON APLICACIONES. Editorial Prentice Hall.
•Stanley I Grossman. ÁLGEBRA LINEAL CON APLICACIONES. Editorial Mc
Graw Hill

31. Sitio WEB:
http://calculo.cc/temas/temas_algebra/ind_matriz.html