Este documento presenta varios ejemplos de aplicaciones de la trigonometría. Calcula el área de un octógono regular inscrito en una circunferencia usando senos y cosenos. Determina la altura de un monumento mediante observaciones directas con un teodolito. Calcula la altura de un árbol usando el método de doble observación con un teodolito.

1. Aplicaciones de la Trigonometr´a
ı
Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez
e a
Departamento de Matem´ticas
a
IES Bajo Guadalquivir
Lebrija - Sevilla
dpto mates bg@terra.es
23 de marzo de 2007
Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez ()
e a Aplicaciones de la Trigonometr´
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2. Aplicaciones de la Trigonometr´
ıa
1 Ejemplos
Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez ()
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3. Pol´
ıgono regular inscrito en circunferencia
Ejemplo
Hallar el ´rea de un oct´gono regular inscrito en una circunferencia de 8 m
a o
de radio.
Soluci´n.- Uniendo el centro con los v´rtices, el oct´gono queda dividido
o e o
en ocho tri´ngulos is´sceles iguales.
a o
Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez ()
e a Aplicaciones de la Trigonometr´
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4. Pol´
ıgono regular inscrito en circunferencia
Ejemplo
Hallar el ´rea de un oct´gono regular inscrito en una circunferencia de 8 m
a o
de radio.
Soluci´n.- Uniendo el centro con los v´rtices, el oct´gono queda dividido
o e o
en ocho tri´ngulos is´sceles iguales.
a o
Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez ()
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ıa 23 de marzo de 2007 3 / 12

5. Pol´
ıgono regular inscrito en circunferencia
El ´ngulo en el v´rtice C ser´ la octava parte de una circunferencia, es
a e a
decir:
360o
C= = 45o
8
Obviamente, el ´rea del oct´gono ser´ ocho veces
a o a
el ´rea del tri´ngulo ABC . Por ello, necesitaremos
a a
calcular la base y altura de este tri´ngulo.
a
Al ser is´sceles, la altura relativa al v´rtice C
o e
coincidir´ con la mediana y la bisectriz.
a
Al trazar h, tanto C como AB quedan divididos
en dos mitades.
Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez ()
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6. Pol´
ıgono regular inscrito en circunferencia
El ´ngulo en el v´rtice C ser´ la octava parte de una circunferencia, es
a e a
decir:
360o
C= = 45o
8
Obviamente, el ´rea del oct´gono ser´ ocho veces
a o a
el ´rea del tri´ngulo ABC . Por ello, necesitaremos
a a
calcular la base y altura de este tri´ngulo.
a
Al ser is´sceles, la altura relativa al v´rtice C
o e
coincidir´ con la mediana y la bisectriz.
a
Al trazar h, tanto C como AB quedan divididos
en dos mitades.
Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez ()
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7. Pol´
ıgono regular inscrito en circunferencia
El ´ngulo en el v´rtice C ser´ la octava parte de una circunferencia, es
a e a
decir:
360o
C= = 45o
8
Obviamente, el ´rea del oct´gono ser´ ocho veces
a o a
el ´rea del tri´ngulo ABC . Por ello, necesitaremos
a a
calcular la base y altura de este tri´ngulo.
a
Al ser is´sceles, la altura relativa al v´rtice C
o e
coincidir´ con la mediana y la bisectriz.
a
Al trazar h, tanto C como AB quedan divididos
en dos mitades.
Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez ()
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8. Pol´
ıgono regular inscrito en circunferencia
El ´ngulo en el v´rtice C ser´ la octava parte de una circunferencia, es
a e a
decir:
360o
C= = 45o
8
Obviamente, el ´rea del oct´gono ser´ ocho veces
a o a
el ´rea del tri´ngulo ABC . Por ello, necesitaremos
a a
calcular la base y altura de este tri´ngulo.
a
Al ser is´sceles, la altura relativa al v´rtice C
o e
coincidir´ con la mediana y la bisectriz.
a
Al trazar h, tanto C como AB quedan divididos
en dos mitades.
Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez ()
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9. Pol´
ıgono regular inscrito en circunferencia
El tri´ngulo BMC es rect´ngulo en M.
a a
¿Por qu´?e
45o
b= = 22,5o = 22o 30
2
AB
MB =
2
MB
sen b = sen 22o 30 = ⇒
8
⇒ MB = 8 · sen 22o 30 = 3,061
h
cos b = cos 22o 30 = ⇒
8
⇒ h = 8 · cos 22o 30 = 7,391
Con estos valores, debes obtener que la superficie del oct´gono es
o
S = 181,02 m2
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10. Pol´
ıgono regular inscrito en circunferencia
El tri´ngulo BMC es rect´ngulo en M.
a a
¿Por qu´?e
45o
b= = 22,5o = 22o 30
2
AB
MB =
2
MB
sen b = sen 22o 30 = ⇒
8
⇒ MB = 8 · sen 22o 30 = 3,061
h
cos b = cos 22o 30 = ⇒
8
⇒ h = 8 · cos 22o 30 = 7,391
Con estos valores, debes obtener que la superficie del oct´gono es
o
S = 181,02 m2
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11. Pol´
ıgono regular inscrito en circunferencia
El tri´ngulo BMC es rect´ngulo en M.
a a
¿Por qu´?e
45o
b= = 22,5o = 22o 30
2
AB
MB =
2
MB
sen b = sen 22o 30 = ⇒
8
⇒ MB = 8 · sen 22o 30 = 3,061
h
cos b = cos 22o 30 = ⇒
8
⇒ h = 8 · cos 22o 30 = 7,391
Con estos valores, debes obtener que la superficie del oct´gono es
o
S = 181,02 m2
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12. ´ ´
Metodo de la observacion directa
Ejemplo
Para determinar la altura de un monumento, a 50 m de distancia de su
base se dispone un teodolito, y desde el mismo se lanza una visual al
punto m´s alto del monumento, observ´ndose que forma un ´ngulo de
a a a
38 o 32 con la horizontal. Considerando que el anteojo del teodolito se
encuentra a 1,70 m de altura sobre el suelo,calcular la altura del
monumento.
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13. ´ ´
Metodo de la observacion directa
Soluci´n.- La altura del monumento viene dada por el segmento
o
BP = BA + AP = BA + h = BA + 1 70. Por otra parte, en el tri´ngulo
a
rect´ngulo BAC se tiene:
a
BA BA
tg 38o 32 = = ⇒ BA = 50 · tg 38o 32 = 39,819
AC 50
Con este resultado, debes obtener que la altura del monumento es
h = 41,52 m
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14. ´ ´
Metodo de la observacion directa
Soluci´n.- La altura del monumento viene dada por el segmento
o
BP = BA + AP = BA + h = BA + 1 70. Por otra parte, en el tri´ngulo
a
rect´ngulo BAC se tiene:
a
BA BA
tg 38o 32 = = ⇒ BA = 50 · tg 38o 32 = 39,819
AC 50
Con este resultado, debes obtener que la altura del monumento es
h = 41,52 m
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15. ´ ´
Metodo de la observacion directa
Soluci´n.- La altura del monumento viene dada por el segmento
o
BP = BA + AP = BA + h = BA + 1 70. Por otra parte, en el tri´ngulo
a
rect´ngulo BAC se tiene:
a
BA BA
tg 38o 32 = = ⇒ BA = 50 · tg 38o 32 = 39,819
AC 50
Con este resultado, debes obtener que la altura del monumento es
h = 41,52 m
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16. ´ ´
Metodo de la doble observacion
Ejemplo
Con objeto de determinar la altura de un
´rbol situado en un lugar inaccesible, se
a
dispone un teodolito en un punto accesible y
desde el mismo se lanza una visual al punto
m´s alto del ´rbol, obteni´ndose un ´ngulo
a a e a
de inclinaci´n de 22
o o 47 . A continuaci´n, se
o
adelanta el teodolito una distancia de 10
metros en direcci´n al ´rbol y se vuelve a
o a
lanzar otra visual al mismo punto,
obteni´ndose, en este caso, un ´ngulo de
e a
31 o 19 . Calcular la altura del ´rbol,
a
considerando que el anteojo del teodolito
mide 1 50 m.
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17. ´ ´
Metodo de la doble observacion
Soluci´n.- La altura del ´rbol ser´ BA + t, siendo t la altura del teodolito,
o a a
es decir, BA + 1 50. Ahora bien, en el tri´ngulo BAD:
a
BA BA
tg β = tg 31o 19 = =
AD d
Por otra parte, en el tri´ngulo BAC :
a
BA
tg α = tg 22o 47 =
d + 10
Llamando BA = x, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
x 
tg 31o 19 = 
d


x
tg 22o 47

=


d + 10
Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez ()
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18. ´ ´
Metodo de la doble observacion
Soluci´n.- La altura del ´rbol ser´ BA + t, siendo t la altura del teodolito,
o a a
es decir, BA + 1 50. Ahora bien, en el tri´ngulo BAD:
a
BA BA
tg β = tg 31o 19 = =
AD d
Por otra parte, en el tri´ngulo BAC :
a
BA
tg α = tg 22o 47 =
d + 10
Llamando BA = x, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
x 
tg 31o 19 = 
d


x
tg 22o 47

=


d + 10
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19. ´ ´
Metodo de la doble observacion
Soluci´n.- La altura del ´rbol ser´ BA + t, siendo t la altura del teodolito,
o a a
es decir, BA + 1 50. Ahora bien, en el tri´ngulo BAD:
a
BA BA
tg β = tg 31o 19 = =
AD d
Por otra parte, en el tri´ngulo BAC :
a
BA
tg α = tg 22o 47 =
d + 10
Llamando BA = x, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
x 
tg 31o 19 = 
d


x
tg 22o 47

=


d + 10
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20. ´ ´
Metodo de la doble observacion
Soluci´n.- La altura del ´rbol ser´ BA + t, siendo t la altura del teodolito,
o a a
es decir, BA + 1 50. Ahora bien, en el tri´ngulo BAD:
a
BA BA
tg β = tg 31o 19 = =
AD d
Por otra parte, en el tri´ngulo BAC :
a
BA
tg α = tg 22o 47 =
d + 10
Llamando BA = x, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
x 
tg 31o 19 = 
d


x
tg 22o 47

=


d + 10
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21. ´ ´
Metodo de la doble observacion
Equivalente a
x 
0, 61 = 
d


x 
0, 42 =


d + 10
Que podemos resolver por el m´todo de igualaci´n despejando x en ambas
e o
ecuaciones:
0, 61d = 0, 42(d + 10) ⇔ 0, 19d = 4, 2 ⇔ d = 22, 11
Por tanto, la altura del ´rbol es
a
BA + 1, 50 = x + 1 50 = 13, 484 + 1 50 = 14, 98 m
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22. ´ ´
Metodo de la doble observacion
Equivalente a
x 
0, 61 = 
d


x 
0, 42 =


d + 10
Que podemos resolver por el m´todo de igualaci´n despejando x en ambas
e o
ecuaciones:
0, 61d = 0, 42(d + 10) ⇔ 0, 19d = 4, 2 ⇔ d = 22, 11
Por tanto, la altura del ´rbol es
a
BA + 1, 50 = x + 1 50 = 13, 484 + 1 50 = 14, 98 m
Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez ()
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23. ´ ´
Metodo de la doble observacion
Equivalente a
x 
0, 61 = 
d


x 
0, 42 =


d + 10
Que podemos resolver por el m´todo de igualaci´n despejando x en ambas
e o
ecuaciones:
0, 61d = 0, 42(d + 10) ⇔ 0, 19d = 4, 2 ⇔ d = 22, 11
Por tanto, la altura del ´rbol es
a
BA + 1, 50 = x + 1 50 = 13, 484 + 1 50 = 14, 98 m
Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez ()
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24. Estrategia de la altura
Ejemplo
Una monta˜a de 650 m de altura separa dos pueblos A y B. Desde A se ve
n
la cima C de la monta˜a con un ´ngulo de elevaci´n de 24o , y desde B
n a o
con 36o . ¿Cu´l es la distancia entre los dos pueblos?
a
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25. Estrategia de la altura
Como el ´ngulo C = 180o − (24o + 36o ) = 120o , el tri´ngulo ABC no es
a a
rect´ngulo y, por tanto, no podemos usar las razones trigonom´tricas. En
a e
estos casos suele emplearse la estrategia de la altura, que consiste en
trazar una de las alturas y dividir el tri´ngulo en otros dos que ya ser´n
a a
rect´ngulos. En el tri´ngulo AHC :
a a
h 650 650
tg 24o = = ⇒a= = 1459, 92
a a tg 24o
Por otra parte, en el tri´ngulo CHB:
a
h 650 650
tg 36o = = ⇒b= = 894, 65
b b tg 36o
Se deduce, que la distancia entre los pueblos es
a + b = 2354, 57 m
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26. Estrategia de la altura
Como el ´ngulo C = 180o − (24o + 36o ) = 120o , el tri´ngulo ABC no es
a a
rect´ngulo y, por tanto, no podemos usar las razones trigonom´tricas. En
a e
estos casos suele emplearse la estrategia de la altura, que consiste en
trazar una de las alturas y dividir el tri´ngulo en otros dos que ya ser´n
a a
rect´ngulos. En el tri´ngulo AHC :
a a
h 650 650
tg 24o = = ⇒a= = 1459, 92
a a tg 24o
Por otra parte, en el tri´ngulo CHB:
a
h 650 650
tg 36o = = ⇒b= = 894, 65
b b tg 36o
Se deduce, que la distancia entre los pueblos es
a + b = 2354, 57 m
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27. Estrategia de la altura
Como el ´ngulo C = 180o − (24o + 36o ) = 120o , el tri´ngulo ABC no es
a a
rect´ngulo y, por tanto, no podemos usar las razones trigonom´tricas. En
a e
estos casos suele emplearse la estrategia de la altura, que consiste en
trazar una de las alturas y dividir el tri´ngulo en otros dos que ya ser´n
a a
rect´ngulos. En el tri´ngulo AHC :
a a
h 650 650
tg 24o = = ⇒a= = 1459, 92
a a tg 24o
Por otra parte, en el tri´ngulo CHB:
a
h 650 650
tg 36o = = ⇒b= = 894, 65
b b tg 36o
Se deduce, que la distancia entre los pueblos es
a + b = 2354, 57 m
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28. Estrategia de la altura
Como el ´ngulo C = 180o − (24o + 36o ) = 120o , el tri´ngulo ABC no es
a a
rect´ngulo y, por tanto, no podemos usar las razones trigonom´tricas. En
a e
estos casos suele emplearse la estrategia de la altura, que consiste en
trazar una de las alturas y dividir el tri´ngulo en otros dos que ya ser´n
a a
rect´ngulos. En el tri´ngulo AHC :
a a
h 650 650
tg 24o = = ⇒a= = 1459, 92
a a tg 24o
Por otra parte, en el tri´ngulo CHB:
a
h 650 650
tg 36o = = ⇒b= = 894, 65
b b tg 36o
Se deduce, que la distancia entre los pueblos es
a + b = 2354, 57 m
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