1. 1
BÀI 2
b
= a
d - c
a
c d
b

2. Đại Số Tuyến Tính å §2: Định Thức
1. Với mỗi ma trận vuông A cấp n
a a ...
a
a a ...
a
é ê 11 12 1
n
ù
ú
= ê 21 22 2
n
ú ê ... ... ... ...
ú
ê ú
êë a a a
n 1 n 2
nn
úû
A
...
tồn tại một số thực được gọi là định thức của
ma trận A, được ký hiệu
a a a
a a a
11 12 1
21 22 2
a a a
1 2
...
...
det(A); |A|;
... ... ... ...
...
n
n
n n nn

3. Đại Số Tuyến Tính å
3
§2: Định Thức
 Định thức cấp 2:
11 12
11 22 12 21
21 22
= - .
a a
a a a a
a a
 Ví dụ:
2 3
2.6 5.3 3.
5 6
= - = -

4. Đại Số Tuyến Tính å
4
§2: Định Thức
 Định thức cấp 3:
a a a
a a a
a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
= + +
- + +
( )
11 22 33 31 12 23 13 32 21
( )
13 22 31 33 21 12 11 32 23

5. Đại Số Tuyến Tính å
5
§2: Định Thức
 Ví dụ: Tính
1 2 3
2 4 1
3 5 6
= (1.4.6+3.2.1+3.2.5)
-(3.4.3 +6.2.2 +1.1.5)
=(24+6+30)-(36+24+5)=60-65=-5

6. Đại Số Tuyến Tính å
6
§2: Định Thức
 Bài tập: Tính
3 1 4
5 -
2 0
6 -
1 7
=[ 3.(-2).7+6.1.0+4.5.(-1) ]
-[ 4.(-2).6+7.1.5+3.0.(-1) ]
= -62+13= - 49

7. Đại Số Tuyến Tính å
7
§2: Định Thức
 Ví dụ: Tính
2
1
5
1
4
0
2
-
-
2 1 5
1 4 0
3 6 2
-
-
3
6
= -108
=[2.4.(-2)+1.0.3+5.(-1).6]
-[5.4.3 +2.0.6+1.(-1).(-2)]
=[-16+0-30]-[60+0+2]=-108

8. Đại Số Tuyến Tính å
8
§2: Định Thức
 Bài tập: Tính
2 4 -
1
3 5 6
0 2 3
-
3 1 2
3 4 0
1 2 5
-
-
=
-
-36 +12 = -24
= -55

9. Đại Số Tuyến Tính å
9
§2: Định Thức

10. Đại Số Tuyến Tính å
10
§2: Định Thức
 Ví dụ: Cho ma trận
1 4 3
ù
ú ú ú
û
é
ê ê ê
ë
5 2 1
-
-
=
2 2 1
( 1)
3 6 0
A
A = (-1) 1 + 1
det(M ) =
11 11 6 -
= -6
A = (-1) 1 + 2
det( M ) = 5 1
3 12 12
( 1)
3 0
-
-
= -3
5 2
A = (-1) 1 + 3
det(M ) = ( 1)
4 13 13 3 6
-
-
= 36

11. Đại Số Tuyến Tính å
11
§2: Định Thức
 Bài tập: Với
1 4 3
ù
ú ú ú
û
é
ê ê ê
ë
5 2 1
-
-
=
3 6 0
A
 Tính
A
21
A
23
A
33
=
=
=

12. Đại Số Tuyến Tính å
12
§2: Định Thức

13. Đại Số Tuyến Tính å
13
§2: Định Thức

14. Đại Số Tuyến Tính å
14
§2: Định Thức
 Ví dụ: Tính định thức sau:
-
1 4 3
5 2 1
3 6 0
-
i
a A a A a A
11 12
1
11 12 13 13
==
+ +
= - + - + -
)
= -
1.( 6) 4.( 3) ( 3 .36
126
-
1 4 3
5 2 1
3 6 0
-
j
a A a A a A
13 23
3
13 23 33 33
==
+ +

15. Đại Số Tuyến Tính å
15
§2: Định Thức
 Ví dụ: Tính định thức sau:
2 2 1 0
3 1 2 1
0 4 3 0
5 0 4 2
-
-
-
j
4
a A a A a A a A
14 14 24 24 34 34 44 44
==
+ + +
2 2 1 2 2 1
6 8
= A + - - + A + -
- -
0. 1( 1) 0 4 3 0. ( 2)( 1) 3 1 2
14 34
-
5 0 4 0 4 3
= -18-2(-52) = 86

16. Đại Số Tuyến Tính å
16
§2: Định Thức
 Ví dụ: Tính định thức sau:
-
1 2 3 0
4 -
1 5 1
0 2 -
2 3
1 0 6 0
-
4
2 3 0 1 2 0
5 7
( 1) 1 5 1 ( 1) 4 1 1
2
( 1)
2 3
6
0 2 3
i=
-
-
= - - + - -
-
= (24 -5) - 6(-3- 26)
=19 +174 =193

17. Đại Số Tuyến Tính å
17
§2: Định Thức
 Bài tập: Tính định thức sau
-
1 2 3 1
0 2 4 -
2
1 3 0 -
4
2 0 -
1 5
= 102

18. Đại Số Tuyến Tính å
18
§2: Định Thức
 Tính chất của định thức

19. Đại Số Tuyến Tính å
19
§2: Định Thức
 Ví dụ:
1 2 1 3
= - = -
2. 2
3 4 2 4

20. Đại Số Tuyến Tính å
20
§2: Định Thức

21. Đại Số Tuyến Tính å
21
§2: Định Thức
1 2 3 4
= - =
2; 2.
3 4 1 2
 VD:

22. Đại Số Tuyến Tính å
22
§2: Định Thức

23. Đại Số Tuyến Tính å
23
§2: Định Thức

24. Đại Số Tuyến Tính å
24
§2: Định Thức
 VD:
+ = - + -
2 4 .1 2
.2 1 2
= - = = -
2; 2.
3 5 3 5
2
5
2
3
2 3
2c 2d 3a 3b
a b c d
= + - -
+ +
2 3 2 3
2c 3a 2d 3b
a c b d

25. Đại Số Tuyến Tính å
25
§2: Định Thức

26. Đại Số Tuyến Tính å
26
§2: Định Thức
 Ví dụ:
2 5
3 4 6 8
4 10
A é ù
; 2
A ê
é ù
= ú
= ê ú
ë û ë û
4 10 2.2 2.5 2 5
= = =
det(2 ) 2
6 8 6 8 2.3 2.4
2
2 5
3 4
2.2 2 det( ).
A
A
= =

27. Đại Số Tuyến Tính å
27
§2: Định Thức
(5) Nếu nhân mỗi phần tử của hàng thứ i
với cùng một số rồi cộng vào hàng k thì
định thức không đổi

28. Đại Số Tuyến Tính å
28
§2: Định Thức
 VD:
1 2 3 1 2 3
5 7 9 5 7 9
1 2 3 1 2 3
é ù é ù
= ê ú¾¾¾® = ê ú = ê ú ê ú
êë úû êë úû
det( ) det( ) det( )
det( ) det( )
det( ) 0.
A h 1 «h 3
B A
A = B = -
A
A A
A
Þ = -
Þ =

29. Đại Số Tuyến Tính å
29
§2: Định Thức

30. Đại Số Tuyến Tính å
30
§2: Định Thức
 Ví dụ:
2 0 0 0
0 -
3 0 0
0 0 5 0
0 0 0 1
1
1
1 11 2
3 0 0
0 5 0
0 0 1
i
=
a A
-
= =
1 5 0
i=
= - = -
2.( 3).5.1
0
.
1
2 ( 3)

31. Đại Số Tuyến Tính å
31
§2: Định Thức

32. Đại Số Tuyến Tính å
32
§2: Định Thức
 Ví dụ:
-
1 5 8 2
0 3 6 0
0 0 2 9
0 0 0 5
=1.3.2.5 = 30

33. Đại Số Tuyến Tính å
33
§2: Định Thức
Dùng các tính chất của định thức để
tính định thức:
Phương pháp: Dùng các phép biến đổi có
dạng sau
h h c c
= l = l l
¹
( ), 0
A ¾¾¾¾¾¾® i i i i
B Þ B =
l
A
A ¾¾¾¾¾® h i « h j ( c i «
c
j
)
B Þ B = -
A
A ¾¾¾¾¾¾¾® h = h + l h ( c = c +
l
c
)
B Þ B =
A
det( ) det( ),
det( ) det( ),
det( ) det( ),
i i j i i j
ta đưa định thức đã cho về dạng tam giác.

34. Đại Số Tuyến Tính å
34
§2: Định Thức
 Ví dụ: Tính định thức
1 2 1 3
2 3 1 5
1 6 5 2
3 4 2 7
D
-
=
- -
-
h h h
2 = 2 -2 1
=
-
1 2 1 3
0 - 1 3 -
1
1 6 5 2
3 4 2 7
- -
-
h h h
3= 3+ 1
=
4 4 1 h =h -3h
-
1 2 1 3
0 - 1 3 -
1
0 8 4 1
0 - 2 1 -
2
h h h
3= 3+8 2
=
4 4 2 h =h -2h
-
1 2 1 3
0 - 1 3 -
1
0 0 28 7
0 0 5 0
=
-
-

35. Đại Số Tuyến Tính å
35
§2: Định Thức
c c
3 4 «=
-
1 2 3 1
0 1 1 3
- = - - - - =
1.( 1).( 7).( 5) 35.
- -
-
0 0 7 28
0 0 0 -
5

36. Đại Số Tuyến Tính å
36
§2: Định Thức
 Hay
1 2 1 3
2 3 1 5
1 6 5 2
3 4 2 7
D
-
=
- -
-
h h h
2 = 2 -2 1
=
-
1 2 1 3
0 - 1 3 -
1
1 6 5 2
3 4 2 7
- -
-
h h h
3= 3+ 1
=
-
1 2 1 3
0 - 1 3 -
1
0 8 4 1
3 - 4 -
2 -
7
4 4 1 h =h -3h
0 2 1 2
- -
1 3 1
. 8 4 1 ...
2 1
= =
1
- -
2

37. Đại Số Tuyến Tính å
37
§2: Định Thức
 Bài tập: Tính định thức
0 2 3 5
1 0 2 2
2 3 0 6
4 1 7 0
D
-
=
-
-
1 0 2 2
0 2 3 5
2 3 0 6
4 1 7 0
-
-
h1«h2
=
h = h +
2
h
3 3 1
h h 4
h
=
= -
4 4 1
-
1 0 2 2
0 2 3 5
...
- =
0 3 4 2
0 1 -
1 8

38. Đại Số Tuyến Tính å
38
§2: Định Thức
 Bài tập: Tính định thức sau
1 1 2 0
3 1 0 4
2 0 5 2
0 3 6 1
D
-
-
=
- -
= ?

39. Đại Số Tuyến Tính å
39
§2: Định Thức
 Ví dụ: Tính định thức cấp n sau
1 1 1 ... 1
1 0 1 ... 1
1 1 0 ... 1
... ... ... ... ...
1 1 1 ... 0
n D =
2 1 h h -=
1 1 1 ... 1
0 -
1 ... 0
1 1 0 ... 1
... ... ... ... ...
1 1 1 ... 0
 Tiếp tục hàng 3 trừ hàng 1, hàng 4 trừ
hàng 1, …

40. Đại Số Tuyến Tính å
40
§2: Định Thức
 Ta được:
1 1 1 ... 1
0 1 0 ... 0
0 0 1 ... 0
... ... ... ... ...
0 0 0 ... 1
n D
-
= -
-
= (-1)n-1

41. Đại Số Tuyến Tính å
41
§2: Định Thức

42. Đại Số Tuyến Tính å
42
§2: Định Thức
 Ví dụ: Cho 2 ma trận
2 3 1 5
A B é ù é ù
= ê ;
= ë 1 4 ú ê ú
û ë 2 7
û
8 31
9 33
AB é ù
Þ = ê ú
ë û
det(A) = 5;det(B) = -3
det(AB) = -15 = 5.(-3) = det(A).det(B)