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平面グラフと交通ネットワークのアルゴリズム

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2013/09/12 PFI セミナー「平面グラフと交通ネットワークのアルゴリズム」

Veröffentlicht in: Technologie
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平面グラフと交通ネットワークのアルゴリズム

  1. 1. 平面グラフと 交通ネットワークの アルゴリズム 東京大学情報理工学系研究科 秋葉 拓哉 | @iwiwi 2013/09/12 PFI セミナー
  2. 2. 自己紹介 秋葉 拓哉 / @iwiwi • 所属:東大 CS D1 (今井研), DC1 • PFI:インターン (2009) → バイト • 趣味:プログラミングコンテスト – TopCoder レーティング:3306 (日本トップ) • 研究:大規模グラフのアルゴリズム – 最短経路クエリ,コミュニティ検出,…… 1
  3. 3. 今日のセミナーの位置づけ 1 2012/01/12: 全体的な紹介 2012/12/06: 複雑ネットワーク 2 本日: 平面グラフ・ 道路ネットワーク 3こういうグラフ(今日は忘れる) 今日はこっち
  4. 4. 今日の話 1. 平面グラフのアルゴリズム – 平面グラフ専用のグラフアルゴリズム – 平面性をアルゴリズムでどのように活用? – 基礎的なアプローチを紹介 (STOC, FOCS のような理論コミュニティの話題) 2. 交通ネットワークのアルゴリズム – 現実世界の交通ネットワークにおける課題 – 最近の研究を紹介 (DB系, GIS系, 実験系アルゴリズムのような応用コミュニティの話題) 3 理論 応用
  5. 5. 1. 平面グラフのアルゴリズム 理論的なアルゴリズムの話 4
  6. 6. 平面グラフとは 平面グラフ =辺を交差させず絵に描けるグラフのこと 平面グラフだ これも平面グラフ これは違う! (どう頑張っても交わっちゃう)
  7. 7. 平面グラフがどれほど特別なのか 理論コミュニティで重要視されるクラスの1つ よく研究されている.何故? 1. 実際の交通ネットワークのモデル – 道路網は平面グラフに近いように思える 2. 驚くほど性能が違うアルゴリズム – 一部の NP-Hard 問題が多項式時間で解ける (!?) – 一部の近似困難問題が近似できる – 多くの問題が 𝑂 𝑛 時間で解ける 3. グラフマイナー理論 (触れたかったけど略) 6
  8. 8. 平面グラフにおけるアルゴリズム 2. 驚くほど性能が違うアルゴリズム – 一部の NP-Hard 問題が多項式時間で解ける (!?) – 一部の近似困難問題が近似できる – 多くの問題が 𝑂 𝑛 時間で解ける 事実として聞いたことある人は多い? しかし,なんでそんなことになるのか? 平面性はどのようにアルゴリズムで活用されるか 主要なアイディアを紹介! 7
  9. 9. テクニック1:双対グラフの存在 平面グラフ 𝐺 の双対グラフ 𝑮∗ =𝐺 の面を頂点としたグラフ 8 平面グラフ 𝐺 やったか!? →惜しいけど間違い 正しい双対グラフ 𝐺∗ (一番外側も実は「面」)
  10. 10. 双対グラフの性質 𝐺 と 𝐺∗ の間には,色々な面白い性質がある 最も基礎的な性質 1. 𝐺 のサイクル = 𝐺∗ のカット 2. 𝐺 の全域木 𝑇 = 𝐺∗ のある全域木 𝑇∗ の残り 3. 𝐺 で辺削除 = 𝐺∗ で辺縮約 9
  11. 11. 双対グラフの性質 最も基礎的な性質 1. 𝐺 のサイクル = 𝐺∗ のカット 10 サイクル サイクルの場所に対応する辺(点線) を削除するとグラフが分断(緑と紫) つまりカットになってる ※本当は,シンプルなサイクルとシンプルなカット
  12. 12. 双対グラフの性質 最も基礎的な性質 2. 𝐺 の全域木 𝑇 = 𝐺∗ のある全域木 𝑇∗ の残り 11 全域木 全域木で使ったところだけ辺を削除 → 残りが全域木になってる
  13. 13. 双対グラフの性質 最も基礎的な性質 1. 𝐺 のサイクル = 𝐺∗ のカット 2. 𝐺 の全域木 𝑇 = 𝐺∗ のある全域木 𝑇∗ の残り 例:Fundamental Cycle Separator (概要) 半径の小さい全域木を持つグラフなら 線形時間でいいバランスでグラフを2つに分割できる • 面に重みをつけて,面たちを分割することにする • 双対の全域木で,いい感じに分割できる辺を 1 本選ぶ • その辺+元の全域木を使ったサイクル,でカットを作る 12
  14. 14. 双対グラフの応用,他の例 MSSP (多始点最短路木) • ある面の全頂点から,グラフ全体の全頂点への最短距離 • 始点がどんなに多くても 𝑂 𝑛 log 𝑛 時間(!?) トリック • 隣の頂点に移るとき,最短路木は余り変化しない • 永続データ構造で最短路木を表現,いじりながらグルっと一周 • 最短路木に入ってない辺も,双対で木を成すので効率的に管理(!) 13 [http://courses.csail.mit.edu/6.889/fall11/lectures/L11.pdf]
  15. 15. 双対グラフの応用,他の例 最大流 (無向の場合) 1. 始点・終点が同じ面にある場合 • 実はすごい簡単 • 最大流・最小カット定理より最小カット知りたい • カット = 双対のサイクル • 片方をぐるっと囲むサイクル = ぶった切って最短路 計算量:𝑂(𝑛) 時間 (※平面グラフでは最短路は RAM モデルじゃなくても 𝑂(𝑛) 時間) 2. そうとは限らない場合 • 似たような感じで,切り開いて最短路 (MSSP) 計算量:𝑂 𝑛 log log 𝑛 14 𝑠 𝑡 𝑠′ 𝑡′
  16. 16. テクニック2:小さいセパレータの存在 平面グラフには場所の局所性があるので, 簡単に分断できることが知られている 15 スパッと切れ味良さそう 辺がまたがってるのはその周りだけ 平面っぽいネットワーク ランダムなネットワーク 固そう 頂点を半分ずつにすると 辺も半分も切ることに!
  17. 17. Recursive Separation (𝑟-division) 定理:任意の 𝑛 頂点の平面グラフ,任意の 𝑟 に対し • 𝑂(𝑛/𝑟) 個の部分になって • 各部分は 𝑟 頂点以下で • 各部分,境界(外に辺が出てる頂点)は 𝑂 𝑟 個 となるような分割が 𝑂 𝑛 log 𝑛 時間で得られる BFS して真ん中の層あたりだけ取り出して(そうすると半径小さい全域木があるので) さっきの Fundamental Cycle Separator する,というのを再帰的にやるとできます 16 ざっくり言うと 小さいサイズのピースに いい感じに分割できる [Fre87, p. 1006, Fig. 1]
  18. 18. 𝒓-division の応用 最大独立集合問題 (NP-Hard) • できるだけ多く頂点を選びたい • ただし選んだ頂点間に辺があってはいけない 𝒓-division による近似アルゴリズム • 𝑟 = log log 𝑛 にして分割 • 各部分で最適解を求めてくっつける,境界は無視 これだけで 𝑂(1/ log log 𝑛) 近似のアルゴリズムになる ※最大独立集合問題は MaxSNP-Complete で,一般のグラフでは近似困難! 17
  19. 19. テクニック3:Graph Decomposition 各種 Graph Decomposition の活用 • Tree Decomposition • Branch Decomposition 小さいセパレータが存在すること(テクニック2)は, Graph Decomposition との相性の良さを示唆 使われ方の例 • Treewidth 𝑂 𝑛 • Baker’s Framework, Klein’s Framework • Deletion&Contraction Decomposition • Bidimensionality 18 8/15 PFI セミナー (岩田)
  20. 20. Deletion Decomposition 雰囲気 • あとは各部分を DP で解く.Treewidth が小さいので,各 層にどんなに頂点があっても高速に解ける. • あとは解をくっつける → 近似アルゴリズムになっている. 19 𝐿1 𝐿2 𝐿3 𝐿4 𝐿5 𝐿6 𝐿7 ⋯ 1 𝐿1 𝐿2 𝐿3 𝐿4 𝐿5 𝐿6 𝐿7 ⋯ 2 3 で割った余りが 0 の層を削除 適当な頂点 𝑣 からBFS 層に別れる 3 残った各部分の Treewidth 小さい ※𝑘-outerplanar なので 𝑂(𝑘) ※本当は割る数 𝑘 や削除する層は もっとちゃんと決める
  21. 21. Deletion Decomposition 雰囲気 類似のテクニック • Contraction Decomposition • Baker’s Framework 何ができるか • 様々な問題に対して近似アルゴリズムが作れる • しかも,好きな近似精度を設定可 – 𝑘 (何個ずつにするか) を調整する – 実現したい近似精度 𝜀 を定数だと思えば,𝑘 も定数なので, どんな精度にしようと思っても多項式時間 • こういう近似アルゴリズムは PTAS と呼ばれ,すごい – 一般のグラフでは PTAS が無い問題に,PTAS が大量にある 20
  22. 22. 2. 交通ネットワークのアルゴリズム 応用コミュニティの話 21
  23. 23. 交通ネットワークとは 道路ネットワーク • 頂点が交差点,辺が道路 交通ネットワーク • 道路ネットワークの別名 or • その他に電車とか飛行機とか足したもの(?)
  24. 24. ポピュラーに取り組まれている問題 1. 経路計画・検索:最短経路クエリ+α • 二点間の最短距離・最短経路を瞬時に答える • 地図サービス (Google Maps) やカーナビ • 経路検索の目的だけでなく,施設の検索の補助なども 2. GPS 軌道情報:Map Matching • GPS からの点列から,道路上の経路を復元 • GPS のノイズ,自然な運転になること等を考慮 3. その他:(𝑘-)Nearest Neighbor+α, … 23
  25. 25. 話は戻って • 平面グラフは道路のモデルでもある • 重要なグラフクラスで問題を解くのが重要…… ……ん?本当に道路は平面グラフなのか? 24 Erik Demaine • 20 歳で MIT 教授になった天才 • MIT で平面グラフの授業
  26. 26. 道路は平面グラフ? 25 NO 結構,立体交差がある→ [http://www.flickr.com/photos/31246066@N04/8177689699 (CC-BY)] 立体交差は結構困る • 双対グラフが取れなくなる • 双対グラフを使うアルゴリズムが動かない (かなり大部分のアルゴリズムや定理が双対グラフに依存)
  27. 27. 道路は平面グラフ? MIT の人たちの論文 平面グラフのアルゴリズムを実装して実験する際, 道路ネットワークから交差を除いて実験……! (アカン) 26 [Fox-Epstein+, ALENEX’13]
  28. 28. 個人的には 平面グラフのアルゴリズム研究の意義 性質やアプローチは活用可 • 例えば,小さいセパレータは多分ある ただし,アルゴリズム自体は使えない • そもそも,ちょっぴり計算量を落とす系は大抵 は定数倍のせいで実際には低速 • 理論的興味ということ よって現実向けのアルゴリズムが必要 27
  29. 29. 経路計画 (Route Planning) 色んなタイプの研究がある とにかく爆速で最短距離を求めたい! • 検索システムのバックエンド • 性能競争 現実的な経路を目指す • 左折・右折にペナルティ,などのコスト関数 • 車から降りて電車に乗って車に乗ったりしない • SQL にぶち込めるようにする もっと変なやつ (ほぼそのままサービス?) 28
  30. 30. 今日触れる手法 Contraction Hierarchy • シンプルでプラクティカル,拡張性 • OSRM のバックエンド Customizable Route Planning • 拡張性=命で作られた • Bing Map のバックエンド Hub-Labeling • MSR が超やりこんでる爆速系 Pruned Highway Labeling • !?!? 29
  31. 31. Contraction Hierarchy 最短路クエリ手法,最も有名なものの 1 つ 純粋なクエリからの拡張まで対応できる 特徴:性能重視というより実用的 • 手法がシンプル • 前処理データが小さい • クエリはそこそこ (数 ms) OSRM のアルゴリズムとして採用 オープンソースの地図サービス http://project-osrm.org/ 30
  32. 32. Contraction Hierarchy:前処理 6 1 4 3 52 22 22 13
  33. 33. Contraction Hierarchy:前処理 6 1 4 3 52 2 2 2 1 3 5 適当な順番で頂点が Contract される ※実際には順番かなり重要
  34. 34. Contraction Hierarchy:前処理 6 1 4 3 52 2 2 2 1 3 5 その頂点が無くても 距離が変わらないように 辺が追加される
  35. 35. Contraction Hierarchy:前処理 6 1 4 3 5 2 2 2 2 1 3 5 どんどん Contract!
  36. 36. Contraction Hierarchy:前処理 6 1 4 3 5 2 2 2 2 1 3 35
  37. 37. Contraction Hierarchy:前処理 6 1 4 3 5 2 2 2 2 1 3 35 8
  38. 38. Contraction Hierarchy:前処理 6 1 4 3 5 2 2 2 2 1 3 3 5 8
  39. 39. Contraction Hierarchy:前処理 6 1 4 3 5 2 2 2 2 1 3 3 5 8 全頂点 Contract おわり. 頂点は Contract 順に高さをつけておく.
  40. 40. Contraction Hierarchy:クエリ 6 1 4 3 5 2 2 2 2 1 3 3 5 8 頂点 2 から頂点 3 への 最短路を求めたいとする
  41. 41. Contraction Hierarchy:クエリ 6 1 4 3 5 2 2 2 2 1 3 3 5 8 2 からは登ることしかしない (上向きの辺のみを使う)
  42. 42. Contraction Hierarchy:クエリ 6 1 4 3 5 2 2 2 2 1 3 3 5 8 3 までは降りることしかしない (下向きの辺のみを使う)
  43. 43. Contraction Hierarchy:クエリ 6 1 4 3 5 2 2 2 2 1 3 3 5 8
  44. 44. Contraction Hierarchy Contraction Hierarchy は何故上手くいく? • ポピュラーな頂点が上の方に来るようにする – 高速道路の周りとか – 地域の出口とか • そうすると,追加される辺の数が少ない – どうせポピュラーな頂点を通過するから 43
  45. 45. Customizable Route Planning (CRP) 特徴:性能そこそこ,拡張性が全て • 手法やはりシンプル • クエリそこまでは速くない • 指標が簡単に入れ替えられる – 時間,距離,右折左折,…… Bing Map のアルゴリズムとして採用 MSR チームとの連携素晴らしい http://www.bing.com/blogs/site_blogs/b/maps/archive/2012/01/05/bing-maps-new-routing-engine.aspx 44 [Delling+, SEA’11]
  46. 46. Customizable Route Planning (CRP) アプローチ • いにしえのグラフ分割系 • 性能競争の中で一旦廃れていた アルゴリズム概要 • 前処理 1. グラフを分割 2. 境界頂点同士のみからなるグラフ構築 (Overlay Graph) • クエリ – 始点・終点のある部分 + Overlay Graph – その上で Dijkstra のアルゴリズム 45 [Fre87, p. 1006, Fig. 1]
  47. 47. Customizable Route Planning (CRP) 何故 Contraction Hierarchy ではダメ? Contraction Hierarchy が上手く動く =良い感じの Hierarchy が存在 • 普通の移動時間の指標なら,良い Hierarchy 存在 • しかし,違う指標を入れると,結構すぐダメになる – 例えば,純粋な距離にするだけで,10 倍低性能 – 高速道路とかがポピュラーでなくなるから 46
  48. 48. Hub-Labeling • 有名人 Andrew Goldberg 率いるチーム • やりこみっぷり:既に関連する論文が 5 本出版 特徴 • とにかくクエリが速い:数百 ns • インデックスは大きめ,前処理も遅め アプローチ • こうすればクエリは爆速になりそうだ • けどそんな前計算できる?データ大きくなりすぎない? • → できそうな気がしてやってみたら上手く行った (「できそう」の裏付けは Highway Dimension という彼らの新しい理論 [SODA’10]) 47 [Delling+, SEA’11]
  49. 49. 2-Hop Labeling: 前計算データ • データ形式とクエリ処理アルゴリズムのフレームワーク • 前計算データ: label 𝐿 𝑣 = 𝑙1, 𝛿1 , 𝑙2, 𝛿2 , … – 𝑙𝑖 ∈ 𝑉, 𝛿𝑖 = 𝑑 𝐺 𝑣, 𝑙𝑖 48 𝑙1 𝑙2 𝑙3 𝒗 𝛿1 𝛿2 𝛿3 𝐿(1): Vertex 1 4 5 7 10 Distance 0 3 2 4 5 𝐿(2): 𝐿 3 : Vertex 2 4 6 12 Distance 0 1 5 3 Vertex 2 3 4 6 7 Distance 5 0 4 7 2 𝑑 𝐺 1,10 = 5 例
  50. 50. 2-Hop Labeling: クエリ処理アルゴリズム • クエリ: 𝑑 𝐺(𝑠, 𝑡) = min 𝑙∈𝐿 𝑠 ∩𝐿(𝑡) 𝑑 𝐺 𝑠, 𝑙 + 𝑑 𝐺 𝑙, 𝑡 – 共通する頂点を通るパス 49 𝑡 𝑠 𝐿(1): Vertex 1 4 5 7 10 Distance 0 3 2 4 5 𝐿 3 : Vertex 2 3 4 6 7 Distance 5 0 4 7 2 例 1 と 3 の距離: • 1 –…– 4 –…– 3 : 3 + 4 = 7 • 1 –…– 7 –…– 3 : 4 + 2 = 6 答えは min{6, 7} = 6
  51. 51. 2-Hop Labeling: ラベル計算 課題: どのようにラベルを計算するか • 正しく (Exactness) • 小さいラベルを (Index Size & Query Time) • 効率的に計算したい (Scalability) 彼らのアプローチ 1. Contraction Hierarchy (最初に紹介したやつ) を作る 2. 自分より上流になったヤツへの距離を全部保存! 3. ……するとやばいので要らないのを判定して消す 50 ちなみに Pruned Landmark Labeling [Akiba-Iwata-Yoshida,SIGMOD’13] も 2-Hop Labeling の手法(複雑ネットワーク向け)
  52. 52. Hub-Labeling のラベルサイズ 驚くほど小さい • 西ヨーロッパの道路ネットワーク,2 × 108 頂点 • 各頂点は,平均たった 69 頂点への距離さえ覚えていれ ば良い! 51 ←これはアメリカだけど
  53. 53. Pruned Highway Labeling (PHL) 特徴 • Hub Labeling (HL) に迫るクエリ速度! • 前処理は HL より圧倒的に速い! • インデックスは HL より小さいか同程度 アプローチ • Pruned Landmark Labeling (PLL) をベース • 一般化:頂点への距離でなくパスへの距離を保存 • 高速なパス(=高速道路)の存在を活用! 52 [河田-秋葉-岩田, コンプ研’13]
  54. 54. 話したこと 1. 平面グラフのアルゴリズム – 双対グラフ,セパレータ,分解 2. 交通ネットワークのアルゴリズム – 経路計画:拡張性系と爆速系 ありがとうございました 53 理論 応用 @oxy さん @kawatea03謝辞:

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