729.география миграционных процессов республики башкортостан содержание, эвол...
748.электродинамика и распространение радиоволн учебное пособие
1. Л.А. Потапов
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА И РАСПРОСТРАНЕНИЕ
РАДИОВОЛН
Утверждено редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Брянск
ИЗДАТЕЛЬСТВО БГТУ
2009
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Брянский государственный технический университет
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. ПРЕДИСЛОВИЕ
Учебное пособие предназначено для изучения теоретической
части дисциплины «Электродинамика и распространение радиоволн»
и соответствует требованиям Государственного образовательного
стандарта специальности 210304 «Радиоэлектронные системы».
В учебном пособии рассмотрены основные уравнения электро-
динамики, особенности возбуждения и распространения радиоволн,
модели и методы расчета радиотрасс.
Для лучшего усвоения понятий и терминов, характеризующих
электромагнитное поле, общие сведения о макроскопической элек-
тродинамике, электростатическом, магнитном и электрическом поле
постоянных токов вынесены в отдельные главы, приведены примеры,
в конце каждой главы даны вопросы для самопроверки.
Для переменного электромагнитного поля получены уравнения
Максвелла и Гельмгольца в комплексной форме, рассмотрены осо-
бенности распространения, отражения и преломления плоских волн,
образования Е-, Н-, Т-волн в направляющих системах, возбуждения и
распространения радиоволн. При этом более подробно рассмотрено
распространение радиоволн в свободном пространстве, вблизи по-
верхности Земли, тропосфере и ионосфере.
В учебном пособии больше внимания уделено физической ин-
терпретации явлений электромагнетизма. С целью уменьшения объе-
ма учебного пособия исключены подробные выводы отдельных урав-
нений. Эти выводы студент при необходимости может найти в лите-
ратуре, перечень которой приведен в конце пособия.
В приложении приведены уравнения векторного анализа в сфе-
рической и цилиндрической системе координат и рассмотрены осо-
бенности электромагнитных волн в анизотропных средах. Эта тема
рекомендуется студентам для самостоятельного изучения.
Учебное пособие предназначено для студентов очной формы
обучения специальности 210304 «Радиоэлектронные системы», а
также может быть использовано студентами других электротехниче-
ских специальностей.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. 4
ГЛАВА1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О МАКРОСКОПИЧЕСКОЙ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
Электродинамика расширяет физические представления о мно-
гих явлениях, известных из курса физики, способствует более глубо-
кому пониманию процессов, происходящих в электротехнических
установках. В отличие от теории электрических цепей, где использу-
ются интегральные величины (ток, напряжение, поток и др.), в ней
используются величины, характеризующие поле в каждой точке про-
странства (плотность тока, напряженность и индукция поля и др.).
1.1. Векторы электромагнитного поля
Под электромагнитным полем понимается особая форма суще-
ствования материи, характеризующаяся способностью распростра-
няться в вакууме со скоростью 3∙108
м/с и оказывающая силовое воз-
действие на заряженные частицы.
Электромагнитное поле представляет собой совокупность полей
– электрического (векторы DE, ) и магнитного (векторы BH, ),
находящихся во взаимной зависимости.
Для обнаружения электромагнитного поля используются много-
численные электромагнитные явления, в основе которых лежат раз-
личные превращения энергии поля. Лишь в некоторых специальных
случаях (например, видимый свет) электромагнитное поле непосред-
ственно воздействует на органы чувств человека.
Напряженность электрического поля E измеряется силой, дей-
ствующей в статическом поле на неподвижный единичный точечный
заряд, т.е. на достаточно малое тело, заряд которого в используемой
системе единиц равен +1.
.lim
0 м
В
q
F
E
q
Под действием электрического поля происходит поляризация
вещества, т.е. ориентация диполей относительно векторов поля. По-
ляризация – это сумма всех дипольных моментов вещества, отнесен-
ная к единице объема:
.; iii
i
i lqppP
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5. 5
Поляризация показывает, насколько вектор электрического
смещения индукции в данной среде отличается от вектора электриче-
ского смещения в вакууме.
Если среда состоит из заряженных частиц
(диполей), выстраивающихся по направлению
приложенного электрического поля, то поляриза-
ция называется ориентационной (рис.1.1). Если
среда состоит из нейтральных (в электрическом
отношении) частиц, то происходит электронная
поляризация, т.е. вытягивается электронная оболочка атомов. В лю-
бом случае
,0 EP э
где ε0 = 1/36π∙10-9
Ф/м = 8,85 пФ/м – электрическая постоянная;
χэ – электрическая восприимчивость;
D – вектор электрического смещения,
,10000 EEEPED ээ
где(1+ χэ) = εr
εr – относительная электрическая проницаемость;
ε = ε0 εr – абсолютная электрическая проницаемость;
ED – материальное уравнение для векторов электрического поля.
Вектор магнитной индукции В можно определить, исходя из
силы Лоренца:
,,BvqF если ,Bv то численно
qv
F
B ,
где F – сила Лоренца;
v – скорость движения заряда.
Таким образом, магнитная индукция – это сила, действующая на
единичный электрический заряд, движущийся с единичной скоро-
стью перпендикулярно силовым линиям магнитного поля, Тл:
qv
F
B .
С вектором магнитной индукции напряженность магнитного по-
ля Н связана соотношением
HHMHB M 100 ,
где μ = μ0 μr – абсолютная магнитная проницаемость,
μ0 = 4π∙10-7
Гн/м – магнитная постоянная,
μr = (1 + χM) -– относительная магнитная проницаемость,
E
+ + +
++
– – –
– –
Рис.1.1.Поляри-
зация вещества
+ +
+ + +
– –
– – –
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6. 6
M – намагниченность, равная сумме магнитных моментов атомов в
единице объема вещества:
i
iМ .
Намагниченность пропорциональна напряженности приложен-
ного поля:
,0 HM M
где χМ – магнитная восприимчивость,.
Плотность тока J и ток I определяются уравнениями
S
S
SdJI
S
I
iJ ,,lim
0
0
где S –сечение (площадь), через которое проходит ток.
Введем понятие плотности полного тока:
стперсмпрполн JJJJJ ,
где стперсмпр JJJJ ,,, – соответственно плотности токов проводимо-
сти, смещения, переноса и стороннего.
Ток проводимости – это направленное движение электрических
зарядов, происходящее в условиях проводящей среды, например в
металле. Плотность тока проводимости пропорциональна напряжен-
ности электрического поля:
EJпр ,
где σ – удельная проводимость среды.
Плотность тока смещения определяется по формуле
.
t
D
Jсм
Ток смещения представляет собой изменяющееся во времени
электрическое поле, не сопровождающееся перемещением заряжен-
ных частиц.
Понятие о токе смещения впервые было введено Максвеллом.
Это, например, ток в конденсаторе, заполненным идеальным диэлек-
триком.
Плотность тока переноса дается соотношением
,перJ
где ρ – объемная плотность заряда;
– скорость движения частиц.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7. 7
В отличие от тока проводимости ток переноса возникает под
действием электрического поля в условиях пространственного заря-
да, например, ток между катодом и анодом в электронной лампе.
Сторонний ток (его плотность стJ ) имеет не электрическое
происхождение и является первичным источником поля. Он может
иметь механическое (генератор), тепловое (термопара), химическое
(батарея) происхождение.
Величины ε, μ, σ называются макроскопическими параметрами
среды.
Классификация сред проводится в зависимости от поведения
макроскопических параметров.
По зависимости ε, μ, σ от координаты среды делятся на одно-
родные и неоднородные.
Если макроскопические параметры среды не зависят от коорди-
наты, то среда однородная.
Макроскопические параметры ε, μ, σ в большинстве случаев
можно считать не зависящими от значений векторов поля. Матери-
альные уравнения оказываются при этом линейными. Соответствен-
но этому употребляется выражение «линейные среды». Однако име-
ются среды, отличающиеся существенной зависимостью макроско-
пических параметров от векторов поля. Их называют «нелинейны-
ми». В электротехнике, как известно, распространены ферромагнети-
ки – вещества, магнитная проницаемость которых значительно и
сложным образом зависит от магнитного поля. Им аналогичны сегне-
тоэлектрики, обладающие сходной зависимостью диэлектрической
проницаемости от электрического поля. Нелинейность ряда сред про-
является в сильных полях.
До сих пор говорилось лишь о так называемых изотропных сре-
дах, свойства которых одинаковы для полей любых направлений. Од-
нако имеются среды, проявляющие разные свойства в зависимости от
направления поля, они называются анизотропными.
Некоторые анизотропные среды в последние годы применяют в
радиотехнике сверхвысоких частот.
Среды, в которых проявляется зависимость диэлектрической
проницаемости от частоты, называются дисперсионными.
Кроме вакуума, с увеличением частоты электромагнитного поля
временную дисперсию в той или иной степени проявляют все среды.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8. 8
Разделим также среды на проводники и диэлектрики. Для такого
разделения сред необходимо ввести определенный критерий.
Идеальным проводником назовем среду, в которой существует
только ток проводимости, а в идеальном диэлектрике существует
только ток смещения. Для реальных сред эти условия отображаются
следующими неравенствами:
если ,1
см
пр
J
J
то среда – проводник, если 1
см
пр
J
J
– диэлектрик.
Пусть в среде действует переменное поле Е. При Е = Е0cosωt
плотности тока проводимости
Jпр = σЕ0cosωt;
а тока смещения
Jсм = –ωεЕ0sinωt.
Отношение максимальных значений токов tg
.
.
maxсм
maxпр
J
J
определяет тангенс угла диэлектрических потерь. Значит, если
tg ∆>>1, то среда – проводник, если tg ∆<<1 – диэлектрик.
Таким образом, если в среде преобладает ток проводимости
(значит tg ∆>>1), эта среда реальный проводник. Если же преоблада-
ет ток смещения, это реальный диэлектрик. Разумеется, огромное ко-
личество сред нельзя отнести ни к тем, ни к другим.
1.2. Уравнения Максвелла
В курсе физики рассмотрены основные уравнения, характери-
зующие электромагнитное поле. Обычно они даются в интегральной
форме:
;ildH (1.1)
;
t
ldE
(1.2)
;
a
q
SdE (1.3)
,0SdB (1.4)
где EH, – напряженности магнитного и электрического полей;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9. 9
SdBΦB, – индукция и поток магнитного поля;
q – заряд внутри объема, охваченного поверхностью интегриро-
вания S;
i – ток через сечение, охватываемое контуром интегрирования l;
a – абсолютная диэлектрическая проницаемость.
Эти уравнения имеют специальные названия: закон полного
тока, закон электромагнитной индукции, закон Гаусса, принцип
непрерывности магнитного поля.
Если разделить обе части уравнений (1.1) и (1.2) на площадь S,
охваченную контуром интегрирования, и устремить ее к нулю, то по-
лучим уравнения Максвелла
)6.1(.
)5.1(;
t
B
Erot
JHrot
Если разделить обе части уравнений (1.3) и (1.4) на объем V,
охватывающий поверхность интегрирования, и устремить его к нулю,
то получим уравнение Гаусса и принцип непрерывности магнит-
ного поля в дифференциальной форме
)8.1(.0
)7.1(,
Bdiv
Ediv
a
В этих уравнениях
V
q
V
0
lim – объемная плотность заряда,
S
i
J
S
0
lim – плотность тока.
Максвелл считал, что уравнение (1.7) следует писать в более
общем виде: Ddiv . Это так называемый постулат Максвелла.
Позже он был подтвержден экспериментально.
Рассмотрим уравнения Максвелла (1.5) и (1.6). Из первого урав-
нения (1.5) следует, что всюду, где имеется электрический ток, созда-
ется вихревое магнитное поле, так как rot (ротор) – это функция, ха-
рактеризующая поле в рассматриваемой точке в отношении способ-
ности к образованию вихрей. Плотность тока может иметь в общем
случае четыре составляющие:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10. 10
сторсторсмперпр J
t
D
vEJJJJJ
. (1.9)
Плотность тока смещения
t
D
– одно из значимых понятий тео-
рии электромагнитного поля. Во-первых, существенно, что по отно-
шению к магнитному полю ток смещения как бы копирует роль
обычного тока проводимости. Это видно из первого уравнения Макс-
велла, в котором ток проводимости и ток смещения (или их плотно-
сти) выступают равноправно. Во-вторых, следует учитывать, что фи-
зическая сущность тока смещения в вакууме никак не связана с дви-
жением зарядов.
Правая часть первого уравнения Максвелла в интегральной
форме (1.1) представляет собой полный ток IСМ + I, а величина
JtD / в (1.5) – плотность полного тока. В отсутствии магнитного
поля ( 0H ) равен нулю и полный ток. Если полный ток существует,
то обязательно присутствует магнитное поле.
Если определить дивергенцию от правой и левой частей урав-
нения (1.5), то получим 0Jdiv , так как по определению
0Hdivrot . Отсюда следует, что плотность полного тока не имеет
источников или стоков. Его векторные линии замкнуты, не имеют ни
начала, ни конца.
Если правую часть уравнения (1.9) записать в виде
t
D
J
, то
0)(
t
D
Jdiv ,
tt
D
divJdiv
, так как Ddiv .
Это, так называемый, закон сохранения заряда.
Второе уравнение Максвелла (1.6) показывает, что всюду, где
есть изменение магнитного поля, создается вихревое электрическое
поле.
При анализе третьего уравнения (1.7) следует иметь в виду, что
дивергенция (расхождение) вектора характеризует возникновение и
исчезновение его в соответствующей точке пространства (см.прил.).
Если дивергенция положительна, там исток, если отрицательна – там
сток. Таким образом, напряженность электрического поля возникает
на положительных зарядах и исчезает на отрицательных, т.е. имеет
начало и конец. В области, где нет зарядов divE = 0, поле соленои-
дально.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11. 11
Четвертое уравнение (1.8) показывает, что магнитное поле
непрерывно, т.е. не имеет ни истоков, ни стоков.
1.3. Энергия электромагнитного поля
Известно, что при наличии тока в реальной среде выделяется
тепло. Зная плотность J и напряженность поля E нетрудно опреде-
лить энергию, теряемую электромагнитным процессом за единицу
времени, т.е. мощность тепловых потерь Р. Оказывается, в объеме V
расходуется мощность
V
dVEJP . (1.10)
Чтобы убедиться в справедливости записан-
ного выражения, обратимся к простому варианту,
который показан на рис. 1.2. Пусть в пределах
выделенного цилиндра поле однородно.
В этом случае применение формулы (1.10)
дает
.IUlESJSlEJVEJP
Полученное равенство эквивалентно закону
Джоуля-Ленца, известному из курса общей физи-
ки. По смыслу равенства(1.10) подынтегральное выражение
EJp (1.11)
есть не что иное, как плотность мощности, т.е. мощность, отнесенная
к единице объема:
.lim
0 V
P
p
V
(1.12)
В зависимости от направления движения зарядов величина p
может быть как положительной, так и отрицательной. Заряды могут
ускоряться полем. При этом J и E параллельны, p > 0 и энергия у
поля отбирается. Очевидно, что p < 0, если J и E антипараллельны.
Это будет, например, когда движение зарядов против поля создается
каким-то неэлектромагнитным, «сторонним» процессом, который от-
дает свою энергию полю, тормозящему заряды.
Описание неэлектромагнитных факторов сторонних сил в боль-
шинстве случаев сводится к изменению вида материального уравне-
ния. Используется одна из следующих формализаций:
V
l
Jv0
Рис. 1.2. Опреде-
ление мощности
тепловых потерь
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12. 12
., СТСТ JEJEEJ (1.13)
Введенные здесь функции CT
E и CT
J при решении электродина-
мических задач являются заранее заданными. Величина CT
E называ-
ется напряженностью сторонних сил (или просто сторонней напря-
женностью), а CT
J – плотностью стороннего тока.
Теперь можно детализировать выражение плотности мощности
(1.11). Используя уравнение (1.13), имеем
.. 221
EJEpEJJp СТСТ
Следовательно, можно написать
,СТП ppp (1.14)
где .,221
EJEJpEJp СТСТСТП
(1.15)
Первый член П
p характеризует поглощение, потери электромаг-
нитного процесса, а второй – CT
p – действие сторонних сил. Сторон-
ние силы обычно локализованы. Если, например, они сосредоточены
в некоторой области
V , то согласно первому равенству (1.13)
СТEJ в V и EJ вне V .
Для составления баланса энергии электромагнитного поля ис-
пользуем уравнения Максвелла (1.5), (1.6). Все члены второго из них
умножим на H , а все члены первого – на E :
dt
Bd
HErotH ,
Ej
dt
Dd
EErotE .
Вычтем левую и правую части второй строчки из соответству-
ющих частей первой, тогда слева получим выражение
HrotEErotH , которое мы свернем, так как оно равно HEdiv , . В
результате будем иметь
Ej
dt
Dd
E
dt
Bd
HHEdiv , . (1.16)
Равенству нетрудно придать интегральную форму. С этой целью
проинтегрируем все его члены по некоторому объему V, ограничен-
ному поверхностью S, а затем левую часть преобразуем на основании
теоремы Остроградского-Гауса:
SV
SdHEdVHEdiv ,, .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
13. 13
Следовательно,
VS V
dVEJdV
dt
Dd
E
dt
Bd
HSdHE, . (1.17)
Это равенство (1.17 ) есть уравнение баланса энергии поля в
объеме V.
Последний член справа в равенстве (1.17) – это мощность P, ха-
рактеризующая преобразование энергии электромагнитного поля в
тепло.
Другое слагаемое в этом уравнении представляет собой времен-
ную производную запаса энергии в изолированной системе:
dt
dw
dV
dt
dB
H
dt
dD
E
.
Поверхностный интеграл
SS
dsПdSHEP ,
характеризует мощность поступающую извне в объем, ограниченный
поверхностью S.
Величина P есть поток вектора Пойнтинга
HE,
через границу S области V.
Поток P вектора Пойнтинга показывает, насколько внутрен-
ние процессы неуравновешенны. Если, например, 0P , то это озна-
чает потери энергии в области V из-за ее перехода во внешнее про-
странство. Если же 0P , то энергия поступает в объем извне. В
обоих случаях абсолютная величина P есть энергия, проходящая че-
рез граничную поверхность S за единицу времени. Поэтому P назы-
вают потоком энергии через S. Положительный поток энергии равен,
таким образом, мощности излучения во внешнее пространство, а от-
рицательный – мощности поглощаемого внешнего излучения.
Если допустить, что поток вектора Пойнтинга P через любую, а
не только замкнутую поверхность (как в 1.17) представляет собой по-
ток энергии через эту поверхность, то следует истолковывать как
плотность потока энергии:
.lim 0
0 S
P
П
S
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
14. 14
В этой формуле 0 – единичный вектор, указывающий направ-
ление движения энергии, ∆S – ортогонально ориентированная пло-
щадка, P – количество энергии, проходящей за единицу времени
через ∆S.
Вернемся к равенству (1.17), переписав его в виде
P
t
w
Пdiv
. (1.18)
Равенство (1.18 )есть уравнение баланса энергии в дифференци-
альной форме. Оно характеризует локальный баланс энергии. Если в
исчезающе малой окрестности некоторой точки баланс активен, то
dw/dt+P < 0 и 0Пdiv . При пассивном балансе dw/dt+P > 0 и
0Пdiv , а при нейтральном dw/dt+P = 0 и 0Пdiv . Вспоминая
смысл оператора дивергенции, мы видим, что при активном балансе
рассматриваемая точка является источником вектора Пойнтинга, при
пассивном балансе – стоком, а при нейтральном – лежит на некото-
рой линии вектора Пойнтинга.
Вопросы для самопроверки
1. Правильно ли понимать под электрическим током только
движение заряженных частиц или тел?
2. Каково значение величины rot Н в однородном магнитном по-
ле?
3. Во всех точках некоторой области выполнено уравнение
rotН=0. Может ли в этой области существовать магнитное поле?
4. Является ли функция div D векторной?
5. Может ли соленоидальное поле быть вихревым?
6. При каких условиях справедливо выражение divH= 0?
7. Имеют ли смысл выражения div div A , rot grad φ, grad rot A ,
rot rot A , grad div A , grad grad φ , div rot A , rot div A ? Какие из них
тождественно равны нулю?
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
15. 15
ГЛАВА 2. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
Электростатическое поле представляет собой частный вид элек-
тромагнитного поля. Оно создается совокупностью электрических за-
рядов неподвижных в пространстве по отношению к наблюдателю и
неизменных во времени.
Электростатическому полю присуща способность воздейство-
вать на помещенный в него электрический заряд с механической си-
лой, прямо пропорциональной величине этого заряда.
2.1.Основные определения
Два точечных заряда q1 и q2 в вакууме взаимодействуют друг с
другом с силой ,F прямо пропорциональной произведению зарядов
q1 и q2 и обратно пропорциональной квадрату расстояния R между
ними. Эта сила направлена по линии, соединяющей центры точечных
зарядов. Если заряды имеют одинаковые знаки, то они стремятся от-
толкнуться друг от друга; заряды противоположных знаков стремят-
ся сблизиться: ,
4
02
0
21 R
R
qq
F
(2.1)
где R0 – единичный вектор, направленный по линии центров.
Всякое поле характеризуется некоторыми основными величина-
ми. В электростатике основными величинами, характеризующими
электрическое поле, являются напряженность E и потенциал .
Напряженность электрического поля есть величина векторная,
определяемая в каждой точке значением и направлением, потенциал
является величиной скалярной. Значение потенциала определяется в
каждой точке поля некоторым числом.
Электрическое поле можно считать определенным, если изве-
стен закон изменения E или во всех точках этого поля.
Если в электрическое поле поместить настолько малый (непо-
движный) положительный заряд, что он своим присутствием не вы-
зовет сколько-нибудь заметного перераспределения зарядов на телах,
создающих поле, то отношение силы, действующей на заряд, к значе-
нию заряда q и определяет напряженность поля в данной точке:
.
q
F
Е
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
16. 16
Напряженность электрического поля численно равна силе,
действующей на единичный заряд.
Под разностью потенциалов 1 – 2 принято понимать работу,
затрачиваемую силами поля при переносе единичного заряда из
начальной точки 1 в конечную точку 2:
2
1
21 ldE . (2.2)
Потенциал произвольной точки поля 1 может быть опреде-
лен как работа, совершенная силами поля по переносу единично-
го заряда из данной точки поля в точку поля, потенциал которой
равен нулю. За точку, имеющую нулевой потенциал, может быть
принята любая точка поля. Если такая точка выбрана, то потенциалы
всех точек поля определяются совершенно однозначно.
Часто принимают, что точка с нулевым потенциалом находится
в бесконечности. Поэтому, особенно в курсе физики, распространено
определение потенциала как работы, совершаемой силами поля при
переносе единичного заряда из данной точки поля в бесконечность:
.
1
1 dlE
(2.2, а)
Электрическое поле можно наглядно характеризовать совокуп-
ностью силовых и эквипотенциальных линий. Силовая линия – это
мысленно проведенная в поле линия, начинающаяся на отрицательно
заряженном теле. Проводится она таким образом, что касательная к
ней в любой точке ее дает направление напряженности поля E в этой
точке. Вдоль силовой линии передвигался бы очень малый положи-
тельный заряд, если бы он имел возможность свободно перемещаться
в поле и не обладал инерцией.
В электрическом поле могут быть проведены эквипотенциаль-
ные (равнопотенциальные) поверхности. Под эквипотенциальной по-
верхностью понимают совокупность точек поля, имеющих один и тот
же потенциал. Если мысленно рассечь электростатическое поле ка-
кой-либо секущей плоскостью, то в полученном сечении будут видны
следы пересечения плоскости с эквипотенциальными поверхностями.
Их называют эквипотенциальными линиями (или эквипотенциалями).
Эквипотенциальные и силовые линии в любой точке поля пересека-
ются под прямым углом. На рис. 2.1 для примера изображены два за-
ряженных тела и проведено несколько силовых и эквипотенциальных
линий.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
17. 17
В противоположность силовым линиям эквипотенциальные ли-
нии электростатического поля являются замкнутыми сами на себя
линиями. Как отмечалось,
напряженность электриче-
ского поля E и потенциал
связаны друг с другом свя-
зью интегрального вида
(2.2,а). Кроме нее между E
и существует и связь
дифференциального вида.
В курсе математики
пользуются понятием гра-
диента скалярной функ-
ции. Под градиентом ска-
лярной функции понимают скорость изменения скалярной функции,
взятой в направлении ее наибольшего возрастания. Тогда
.gradE (2.3)
Соотношение (2.3) может быть истолковано следующим обра-
зом: напряженность в какой-либо точке поля равна скорости измене-
ния потенциала в этой точке поля, взятой с обратным знаком. При
этом в декартовой системе координат
.
z
k
y
j
x
igrad
(2.4)
Для сокращения записей различных операций над скалярными и
векторными величинами употребляется дифференциальный оператор
Гамильтона (оператор набла) .
z
k
y
j
x
i
Таким образом, запись эквивалентна записи grad, а «при-
писывание» слева к какой-либо скалярной функции (в нашем случае к
) оператора означает взятие градиента от этой скалярной функ-
ции.
Установим связь потенциала с плотностью зарядов , исполь-
зуя уравнение (2.3) и теорему Гаусса:
.
свб
Ediv (2.5)
Эквипотенциаль
Силовая линия
Рис. 2.1. Силовые и эквипотенциальные
линии
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
18. 18
Подставим в уравнение (2.5) E из уравнения (2.3). По-
лучим .)(
свб
graddivEdiv
Вынесем минус за знак дивергенции: .
свб
divgrad
Вместо того чтобы писать grad, запишем его эквивалент .
Вместо div напишем . Тогда
свб
)( , или .2
свб
(2.6)
Уравнение (2.6) называется уравнением Пуассона. Частный вид
уравнения Пуассона, когда свб = 0, называется уравнением Лапласа.
Уравнение Лапласа запишется так: 2
= 0, (2.7)
Оператор 2
= div grad называют оператором Лапласа или
лапласианом и иногда обозначают еще символом ∆. Поэтому можно
встретить иногда и такую форму записи уравнения Пуассона:
∆φ = – ρ/ε.
Раскроем 2
в декартовой системе координат. Произведем
почленное умножение и получим .2
2
2
2
2
2
2
zyx
Таким об-
разом, уравнение Пуассона в декартовой системе координат запишет-
ся так:
.2
2
2
2
2
2
свб
zyx
(2.8)
Для решения дифференциальных уравнений с частными произ-
водными необходимо знать граничные условия.
2.2. Граничные условия
Под граничными условиями понимают условия, которым
подчиняется поле на границах раздела сред с различными элек-
трическими свойствами.
А. Поле внутри проводящего тела в условиях электростатики.
Если тело не заряжено, то, естественно, суммарный заряд тела
равен нулю. Так как тело помещено в поле, то вследствие явления
электростатической индукции в нем произойдет разделение зарядов.
В результате этого разделения на поверхности тела, обращенной в
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
19. 19
сторону более высокого потенциала (рис. 2.2), выступят отрицатель-
ные заряды и на противоположной стороне – положительные заряды.
Хотя сумма зарядов тела и будет равна нулю, но заряды, выступив-
шие на поверхности тела, окажут существен-
ное влияние на поле вне проводящего тела и на
поле внутри проводящего тела. В области вне
тела, особенно вблизи него, поле может суще-
ственно исказиться по сравнению с тем полем,
которое было, если бы проводящее тело в поле
отсутствовало.
Все точки проводящего тела в условиях
электростатики имеют один и тот же потенци-
ал. В этом можно убедиться исходя из против-
ного. Если допустить, что в условиях электростатики между двумя
точками проводящего тела может быть разность потенциалов, то то-
гда под действием этой разности потенциалов электроны в теле нача-
ли бы перемещаться. Упорядоченное движение зарядов в теле проти-
воречило бы самому определению электростатического поля как по-
ля, созданного неподвижными зарядами (в макроскопическом смысле
слова).
Так как все точки проводящего тела имеют один и тот же потен-
циал, то между двумя любыми бесконечно близко расположенными
друг к другу точками приращение потенциала равно нулю, следова-
тельно, и
n
n
E
тоже равно нулю. Физически напряженность
поля внутри проводящего тела равна нулю (в макроскопическом
смысле слова) потому, что напряженность от внешнего поля компен-
сируется равной ей по значению и противоположной по знаку напря-
женностью от зарядов, расположившихся на поверхности тела.
Если тело будет заряжено, то все принесенные извне на тело за-
ряды и заряды, разделившиеся в теле вследствие явления электроста-
тической индукции, также расположатся на поверхности тела таким
образом, что потенциал всех точек будет один и тот же, а напряжен-
ность внутри тела будет равна нулю.
Б. Условия на границе раздела проводящего тела и диэлектри-
ка. На границе проводящее тело – диэлектрик всегда выполняются
два условия:
+
-
Проводящее
тело
- - -
+ + + + +
Е
Е
Рис. 2.2. Проводник в
электростатическом
поле
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
20. 20
1) отсутствует тангенциальная (касательная к поверхности)
составляющая напряженности поля: Et = 0; (2.9)
2) вектор электрического смещения D в любой точке диэлек-
трика, непосредственно примыкающей к поверхности проводящего
тела, численно равен плотности заряда на поверхности проводяще-
го тела в этой точке, т.е. D = . (2.10)
Рассмотрим первое условие. Все точки поверхности проводяще-
го тела имеют один и тот же потенциал. Следовательно, между двумя
любыми очень близко расположенны-
ми друг к другу точками поверхности
приращение потенциала d = 0, но
d = Et dl, следовательно, Et dl = 0.
Так как элемент пути dl между
точками на поверхности не равен нулю,
то равны нулю Et.
Для доказательства второго условия мысленно выделим беско-
нечно малый параллелепипед (рис. 2.3). Верхняя грань его парал-
лельна поверхности проводящего тела и расположена в диэлектрике.
Нижняя грань находится в проводящем теле. Высоту параллелепипе-
да возьмем очень малой (сплющим его). Применим к параллелепипе-
ду теорему Гаусса. Из-за малости линейных размеров можно принять,
что плотность заряда на поверхности ds проводящего тела, попав-
шей внутрь параллелепипеда, одна и та же. Полный заряд внутри рас-
сматриваемого объема равен ds.
Поток вектора D через верхнюю грань объема равен .DdssdD
Поток вектора D через боковые грани объема из-за малости послед-
него и из-за того, что вектор D скользит по ним, нет. Через «дно»
объема поток также отсутствует, так как внутри проводящего тела
E = 0 и D = 0 ( проводящего тела есть величина конечная). Таким
образом, поток вектора D из объема
D ds = ds или D = .
В. Условия на грани раздела двух диэлектриков с различными
электрическими проницаемостями. На грани раздела двух диэлек-
триков выполняются два следующих условия:
1) равны тангенциальные составляющие напряженности поля
E1t = E2t; (2.11)
2) равны нормальные составляющие электрической индукции
D1n = D2n. (2.12)
D
ds
Рис. 2.3. Граничные условия
Диэлектрик
Проводящее тело,
в нем Е=0
sd
sd
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
21. 21
Индекс 1 относится к первому диэлектрику, индекс 2 – ко вто-
рому.
Первое условие вытекает из того,
что в потенциальном поле 0ldE по
любому замкнутому контуру. Второе
условие представляет собой следствие
теоремы Гаусса. Покажем справедли-
вость первого условия. С этой целью
выделим плоский замкнутый контур
mnpqm (рис. 2.4) и составим вдоль него
циркуляцию вектора напряженности электрического поля. Верхняя
сторона контура расположена в диэлектрике с электрической прони-
цаемостью 2, нижняя – в диэлектрике с 1. Длину стороны mn, рав-
ную длине стороны pq, обозначим dl. Контур возьмем так, что разме-
ры np и qm бесконечно малы по сравнению с dl. Поэтому составляю-
щими интеграла ldE вдоль вертикальных сторон из-за их малости
пренебрежем.
Составляющая ldE на пути mn равна ,222 dlEldE t на пути pq
.111 dlEldE t
Знак минус появляется как следствие того, что элемент длины
на пути pq и касательная составляющая век-
тора 1E направлены в противоположные сто-
роны (cos 180
= – 1).
Таким образом, 012 dlEdlEldE tt
или E1t = E2t.
Убедимся в справедливости второго
условия. С этой целью на границе раздела
двух сред выделим параллелепипед очень ма-
лых размеров (рис. 2.5.). Внутри выделенного объема есть связанные
заряды и нет свободных (случай наличия свободных зарядов на гра-
нице раздела рассмотрим отдельно), поэтому
0 sdD .
Поток вектора D через верхнюю грань площадью ds равен
;222 dsDsdD n Поток вектора через нижнюю грань
;111 dsDsdD n .21 dssdsd
Е2
Е1
Е1t=E2t
m
q
2
1
2ld
1ld
Рис. 2.4. Плоский замкнутый
контур mnpqm
nn
p
D1n=D2n
2D 1D
2Sd
1Sd
2
1
dS
Рис. 2.5. Малый
параллелепипед на
границе двух сред
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
22. 22
Следовательно, 021 dsDdsDsdD nn или D1n = D2n.
При наличии на грани раздела двух сред свободных зарядов с плот-
ностью (это встречается очень редко) ,12 dsdsDdsDsdD nn
т.е. при этом D2n – D1n = . (2.13)
Таким образом, при наличии на границе раздела двух сред сво-
бодных зарядов нормальная составляющая вектора D скачком изме-
няется на величину плотности этих зарядов.
Потенциал есть функция непрерывная, поэтому на границе раз-
дела двух сред потенциал не претерпевает скачков.
2.3. Теорема единственности решения
Электростатическое поле описывается уравнением Лапласа (или
Пуассона) в частных производных. Уравнения в частных производ-
ных, в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, до-
пускают в общем случае бесчисленное множество линейно независи-
мых друг от друга решений. Естественно, что в любой конкретной
практической задаче есть одна единственная картина поля, т.е. одно
единственное решение. Из множества линейно независимых реше-
ний, допускаемых уравнением Пуассона, выбор одного единственно-
го, удовлетворяющего конкретной задаче, производится с помощью
граничных условий.
Если есть некоторая функция, удовлетворяющая уравнению
Лапласа или Пуассона и граничным условиям в данном поле, то эта
функция и представляет собой единственное решение. В этом состоит
смысл важного положения, которое принято называть теоремой
единственности решения.
2.4. Графический метод построения картины
плоскопараллельного поля
Во многих практических случаях форма сечений заряженных
проводников и их взаимное расположение настолько сложны, что
точный аналитический расчет поля оказывается невозможным. В свя-
зи с этим большое практическое значение имеет графический метод
построения картины поля, который разработан для плоскопараллель-
ных полей и полей, окружающих заряженные тела вращения.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
23. 23
Наиболее просто построение осуществляется при плоскопарал-
лельном поле. При этом необходимо выполнение следующих усло-
вий:
1) линии напряженности поля и линии равного потенциала
должны пересекаться всюду под прямым углом;
2) линии напряженности поля должны быть перпендикулярны к
контурам, ограничивающим сечения проводников;
3) ячейки сетки, образованной линиями напряженности поля и
линиями равного потенциал, при достаточной густоте сетки должны
быть приблизительно подобны друг другу.
Третье условие соответствует требованию: приращение потен-
циала φ при переходе от любой линии равного потенциала к сосед-
ней должен быть постоянным и поле должно быть подразделено на
трубки равного потока, т. е. чтобы
V = const. Откуда следует, что при
достаточно густой сетке ее ячейки
должны представлять собой прибли-
зительно подобные прямоугольники,
если форма ячейки не слишком иска-
жена кривизной линий. Но даже при
значительном искажении ячеек, когда
трудно говорить об их подобии, по-
следнее соотношение очень помогает
правильно построить картину поля.
Обычно картину поля рисуют на глаз,
стремясь удовлетворить первому и второму условиям, а затем уже
постепенно вносят исправления так, чтобы удовлетворилось и третье
условие. Рекомендуется для облегчения построения выбирать b=a.
На рис.2.6 в виде примера построено поле между двумя прямолиней-
ными проводами прямоугольного сечения, имеющими одинаковые
заряды разных знаков.
Если φ1 = +60 В, а φ2 = – 60 В, то на линии, проходящей посере-
дине между электродами φ = 0, а эквипотенциали справа от нее име-
ют значения –20В и–40 В соответственно. Аналогично эквипотенци-
али слева от нее имеют значение +20 В и +40 В.
По картине поля можно в любой точке определить потенциал и
напряженность электрического поля. Так, если исследуемая точка х
находится посередине между эквипотенциалями φ1 = +20 В и
а
V=const
+
1
=const
–
2
Рис 2.6. Графический метод
построения картины поля
b
Е
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
24. 24
φ2 = +40 В, то ее потенциал равен φх = +30 В. Для определения напря-
женности используем уравнение (2.3)
.gradE = –φ/l,
где l – расстояние между эквипотенциалями вблизи точки х. При
этом направление вектора Е задаем примерно посередине между си-
ловыми линиями (см. рис. 2.6 ).
По картине поля можно также определять емкость между заря-
женными телами. Обозначим число криволинейных квадратов в си-
ловой трубке n, а число трубок m ( на рис.2.6 n=18, m=6). Разность
потенциалов
φ1 – φ2=U=∫Edl=E1 a1 +E2 a2 +…=∑Ek ak.
Поток вектора Е в одной трубке V =E1 b1 l = E2 b2 l =…,
где l – размер тел в направлении, перпендикулярном чертежу.
По теореме Гаусса заряд определяется по формуле
q = ε∫Eds=εmV,
где ε – диэлектрическая проницаемость среды между телами.
Тогда емкость определяют по формуле
C=q/U=εml/(a1/ b1+ a2 /b2+…)=εmlb/na.
При равенстве a=b формула упрощается C=εml/n
2.5. Метод зеркальных изображений
Для расчета электростатических полей, ограниченных какой-
либо проводящей поверхностью правильной формы применяют ис-
кусственный прием, в котором кроме заданных зарядов вводят ещё
дополнительные, располагая их так, чтобы выполнялись граничные
условия (обычно в местах, где находятся зеркальные отображения за-
данных зарядов).
Расчет поля заряженных проводников, расположенных вблизи
плоских поверхностей, ограничивающих проводящую среду, сводит-
ся с помощью метода зеркальных изображений [2] к расчету поля не-
скольких проводников при отсутствии проводящей среды.
Рассмотрим поле прямолинейного провода, расположенного на
расстоянии h над поверхностью земли. Все линии напряженности по-
ля, начинающиеся на положительно заряженном проводе, заканчива-
ются у поверхности проводящей среды, где появляется индуктиро-
ванный отрицательный заряд. Поле определяется как зарядом прово-
да, так и всем зарядом, распределенным по поверхности проводящей
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
25. 25
среды. Распределение индуктированного заряда не известно и также
подлежит определению.
Расчет поля в такой системе производится с помощью метода
зеркальных изображений. Устраним мысленно проводящую среду и
заменим ее проводом, являющимся зеркальным изображением реаль-
ного провода в поверхности раздела и имеющим заряд той же вели-
чины, что и заряд реального провода, но противоположного знака
(см. рис. 2.7). Действительный провод и его
зеркальное изображение составляют двух-
проводную линию, поле которой изобра-
жено на рис. 2.7, из которого видно, что
плоскость, расположенная посередине
между действительным проводом и его
зеркальным изображением, является по-
верхностью равного потенциала. В дей-
ствительных условиях поверхность прово-
дящей среды как раз совпадает с этой
плоскостью, а также является поверхностью равного потенциала.
Можно показать, что напряженность поля от двух зарядов в любой
точке границы раздела имеет только нормальную к границе состав-
ляющую и не имеет тангенсальной составляющей. Отсюда следует,
что если заменить проводящую среду зеркальным изображением
провода с изменением знака заряда, то в области над проводящей
средой поле останется таким же, как и в действительных услови-
ях. В этом и заключается метод зеркальных изображений.
2.6. Определение потенциала по заданному
распределению заряда. Принцип суперпозиции
Определим потенциал системы точечных зарядов, используя
принцип суперпозиции. Для этого вначале определим потенциал то-
чечного заряда q. Воспользуемся уравнением (2.2,а)
qsdD
S
.
Исследуемое поле имеет точечную симметрию, поэтому целесо-
образно в качестве поверхности интегрирования выбрать поверхность
сферы. На одинаковом расстоянии от заряда поле не изменяется.
h
h
x
m
i
-i
Рис.2.7. Метод зеркальных
изображений
U=const
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
26. 26
Кроме того, учтем, что направление вектора D совпадает с направле-
нием радиуса:
.
4
020 r
r
q
r
S
q
D
Воспользуемся материальным уравнением
.
4
;
;
4 2
0
r
q
ldE
r
rq
E
Легко определить потенциал в произвольной точке М, создавае-
мый двумя положительными зарядами (рис.2.9):
.
4
1
2
2
1
1
r
q
r
q
M
Обобщим полученный результат для системы
точечных зарядов:
i i
i
r
q
4
1
– потенциал системы точечных за-
рядов.
Для объемного распределения суммирование
заменяется интегрированием:
.;
4
1
dVdqdV
rv
(2.14)
Аналогичным образом можно записать потенциал:
для поверхностного распределения заряда σ
dSdqdS
rS
;
4
1
; (2.15)
линейного распределение зарядов
.;
4
1
dldqdl
rl
(2.16)
Рис.2.8. Опреде-
ление потенциала
точечного заряда
r
q S
М
q1
r1
r2
q2
Рис.2.9. Опреде-
ление потенциа-
ла двух зарядов
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
27. 27
2.7. Потенциал и напряженность электрического поля диполя
Рассмотрим систему из двух разноименных, но равных по абсо-
лютной значению точечных зарядов, находящихся на расстоянии l. Ее
электрическим момен-
том является вектор
,lqp (2.17)
где q – абсолютное
значение каждого заря-
да,
l – вектор с абсолют-
ным значением l,
направленный от по-
ложительного заряда к
отрицательному.
Поле этой системы будем исследовать на расстояниях r, значи-
тельно превышающих ее размер:
r >> l. (2.18)
При соблюдении условия (2.18) система называется диполем.
Если неограниченно уменьшать l, сохраняя момент p , то в пределе
получится «дипольная точка», характеризуемая вектором p – идеаль-
ный диполь; условие (2.18) выполнено при любых r.
Потенциал диполя в произвольной точке М
.
4
lim
1221
r
l
r
lq
constp
rr
Предположим, что в соответствии с рис. 2.10,
r1r2→r2
и r2 – r1 → l∙cos(θ),
и определим
.
44
cos
2
0
2
r
rp
r
ql
(2.19)
Теперь по формуле gradE можно определить поле диполя
E . Это проще всего сделать, пользуясь сферической системой коор-
динат:
,
sin
000
r
l
r
l
r
rgradE
–q1
М
r1
r2
+q
Рис.2.10. Определение потенциала (а) и напря-
женности (б) электрического поля диполя
р=ql
б)
Е0
Еr
E
p
а)
θ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
28. 28
получаем
sincos2
4
003
r
r
q
E . (2.20)
Как и следовало ожидать, поле диполя симметрично относительно
его оси. Силовые линии поля в меридиональной плоскости изображе-
ны на рис. 2.10,б.
2.8. Энергия электростатического поля
Выразим энергию электростатического поля через потенциал и
заряд:
VV
э
VV
э
dVDdivdVDdivW
gradDDdivDdiv
dVgradDdVDEW
.
2
1
2
1
;
;
2
1
2
1
Рассмотрим второй интеграл в последнем выражении. Приме-
ним к нему теорему Остроградского- Гаусса:
.
V S
SdDdVDdiv
Для учета всей энергии, создаваемой системой электрических
зарядов, распространим интегрирование на все пространство, т. е.
окружим область, в которой имеются заряды, условной сферической
поверхностью и устремим ее радиус в бесконечность. Так как произ-
ведение D убывает быстрее, чем r-2
, а площадь сферы увеличивает-
ся как r2
, исследуемый интеграл обращается в ноль. Следовательно,
формула для энергии электростатического поля имеет вид
.
2
1
V
э dVW
П р и м е р 2.1. Определить потенциал точки М, расположенной
между двумя заряженными осями, и положение эквипотенциалей.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
29. 29
Р е ш е н и е. Пусть одна ось на единицу длины имеет заряд +τ,
другая – заряд – τ.
Возьмем в поле неко-
торую произвольную
точку М (рис.2.11). Ре-
зультирующая напря-
женность поля в ней
МЕ равна
геометрической сумме
напряженностей от
обоих зарядов. Рассто-
яние точки М до поло-
жительно заряженной оси обозначим через а, до отрицательно заря-
женной оси – через b. Потенциал есть функция скалярная. Потенциал
точки М равен сумме потенциалов от каждой оси:
C
ba аа
М
1
ln
2
1
ln
2
.
Потенциал определяется с точностью до постоянной С. Зададим φ = 0
при a = b. Для этого проведем ось х декартовой системы координат
через заряженные оси, а ось y посредине между заряженными осями.
Тогда при расположении точки М на оси у (при х = 0) всегда а = b и
φМ = С = 0. В остальных случаях .ln
2 a
b
а
М
Эквипотенциаль представляет собой совокупность точек, отно-
шение расстояний которых до двух заданных точек есть величина по-
стоянная, т.е. b/a = const = k . Поскольку
22
0 yxxb и ,22
0 yxxa то
22
0
22
02
yxx
yxx
k
,
или
2
2
02
2
02
2
1
2
1
1
k
kx
yx
k
k
x .
Последнее уравнение определяет окружность радиуса 2
0
1
2
k
kx
R
,
у которой центр смещен относительно начала координат на расстоя-
ние 02
2
1
1
1
x
k
k
x
. Между величинами x1, R, x0 выполняется равен-
ство x1
2
= x0
2
+R2
.
R
τ -τ
а в
xx0 x0
x1
Рис.2.11. К примеру 2.1
y
М(x,y)
ME
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
30. 30
Таким образом, уравнение эквипотенциали для двух заряженных
осей есть окружность, смещенная относительно начала координат.
Для построения картины поля необходимо, чтобы приращение по-
тенциала при переходе от любой линии равного потенциала к сосед-
ней оставалось постоянным, т.е.
const
k
k
kk
v
v
a
vv
a
vv
1
11 ln
2
lnln
2
.
или при увеличении порядкового номера эквипотенциали числа k
должны изменяться по геометрической прогрессии c
k
k
v
v
1 .
П р и м е р 2.2. Коаксиальный кабель
имеет радиусы внутренней жилы a = 2 мм и
внешней оболочки b = 5 мм. Определить ем-
кость кабеля на единицу длины.
Р е ш е н и е. Проведем вокруг внутрен-
ней жилы коаксиального кабеля цилиндриче-
скую поверхность радиусом r и длиной l.
По теореме Гаусса
a
q
SdE
.
Из условий симметрии определяем, что напряженность электри-
ческого поля Е направлена по радиусу и на торцевых поверхностях
0SdE .
Тогда уравнение Гаусса можно записать в виде Е·2πrl = q/εa.
Откуда E = q/2πεarl =
ra
2
,
где τ – линейная плотность заряда.
По определению потенциал в любой точке
const
r
nEdr
a
1
l
2
.
Принимая потенциал равным нулю на поверхности коаксиаль-
ного кабеля при r = b, определяем произвольную постоянную
const = b
a
ln
2
.
Тогда потенциал в любой точке равен
r
bn
a
l
2
.
Рис. 2.12. К примеру 2.2
l
b
r
a
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
31. 31
Потенциал внутренней жилы коаксиального кабеля (при r = a)
определим по уравнению
a
bU
a
a
ln
2
.
Это позволяет выразить линейную плотность заряда через
напряжение
a
b
Ua
ln
2
и определить емкость кабеля на единицу дли-
ны
a
bUUl
q
C a
ln
2
0
.
Напряженность электрического поля в любой точке
a
b
r
U
r
E
a ln2
.
Из этого уравнения можно определить допустимую величину напря-
жения U, если известно значение напряженности электрического поля
Eдоп, при котором происходит пробой диэлектрика.
Вопросы для самопроверки
1. Является ли электростатическое поле непрерывным?
2. Напишите уравнение, показывающее, что электрическое поле
возникает в области, где расположен заряд.
3. Как изменяется напряженность электростатического поля при
переходе из одной среды в другую?
4. Как по картине поля определить напряженность электрического
поля?
5. Какие поля называют потенциальными?
6. Могут ли быть замкнутыми силовые линии в электростатиче-
ском поле?
7. Каким свойством обладает силовая трубка?
8. Изложите основные принципы графического построения карти-
ны поля.
9. Дайте физическое толкование понятий «градиент» и «диверген-
ция».
10. Какой физический смысл придается E
и φ? Какая интегральная
и дифференциальная связь существует между ними?
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
32. 32
ГЛАВА 3. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ И МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ
Постоянный ток может протекать только в замкнутой проводя-
щей цепи. Если электрическое сопротивление цепи отлично от нуля,
то прохождение тока в ней вызывает падение напряжения. При этом в
проводнике и в окружающем его диэлектрике создаются стационар-
ные магнитное и электрическое поля, не зависящие от времени. По-
этому из второго уравнения Максвелла rot E = B / t следует, что
rotE = 0.
3.1. Электрическое поле постоянных токов
Уравнение электромагнитного поля для постоянных токов в не-
подвижной проводящей среде вне источников ЭДС (т.е вне области,
где сторонние источники неэлектрического характера создают элек-
тродвижущую силу) приобретают вид rotE = 0; J = E.
Условие rotE = 0 свидетельствует, что вне источника ЭДС элек-
трическое поле постоянных токов является так же, как и электроста-
тическое поле, безвихревым. Такое поле является потенциальным,
т.е. для характеристики может быть введена функция координат φ (x,
y, z), называемая электрическим потенциалом, причем E = – grad .
Электрическое поле в диэлектрике, окружающем проводники с
постоянными токами имеет вид rotE = 0, т.е. E = – grad; D = E;
divD = 0. Если среда однородна( = const), то divE = 0 или div grad
=0, т.е. потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа. Следователь-
но, в самом диэлектрике такое поле ничем не отличается от электро-
статического. Однако граничные условия на поверхности проводни-
ков не соответствуют тем, которые были в электростатическом поле.
В электростатическом поле поверхность каждого проводника являет-
ся поверхностью равного потенциала. При прохождении по провод-
нику электрического тока в проводнике возникает падение потенциа-
ла, и, следовательно, поверхность проводника уже не будет равнопо-
тенциальной. Линии напряженности электрического поля в диэлек-
трике подходят к поверхности проводника не под прямым углом, так
как на поверхности проводника появляется касательная составляю-
щая напряженности поля в направлении линии тока. На рис. 3.1 по-
казано распределение линий напряженности электрического поля
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
33. 33
около проводов линии передачи. С принципиальной точки зрения,
указанное обстоятельство существенно осложняет расчет поля, одна-
ко практически во многих случаях его можно не учитывать, так как
обычно падение напряжения вдоль проводни-
ков на длине, сравнимой с расстоянием между
проводниками, ничтожно мало по сравнению с
разностью потенциалов проводников. Поэтому
при рассмотрении электрического поля в ди-
электрике, окружающем проводники с постоян-
ными токами, можно использовать решения,
полученные при рассмотрении соответствую-
щих электростатических задач.
Внутри проводников, по которым проходит электрический ток,
также существует электрическое поле. Напряженность этого поля в
изотропной по отношению к проводимости среде связана с плот-
ностью тока соотношением J = E, которое представляет собой вы-
ражение закона Ома в дифференциальной форме. В изотропной среде
направление линий электрического тока всюду совпадает с направле-
нием линий напряженности электрического поля.
Таким образом, электрическое поле и поле вектора плотности
тока в проводящей среде вне источников ЭДС характеризуются си-
стемой уравнений rotE = 0; J = E; divJ = 0. Причем уравне-
ние divJ = 0 является следствием уравнения rotH = J, так как
div rotH =0.
3.2. Аналогия электрического поля в проводящей среде
с электростатическим полем
Между соотношениями, характеризующими стационарное элек-
трическое поле постоянных токов в проводящей среде, и соотноше-
ниями, характеризующими электрическое поле в диэлектрике, можно
провести формальную аналогию.
Для электрического поля токов в проводящей среде
rotE = 0; ;BA
B
A
UUEdI J =E;
divJ = 0;
s
iJds .
EnEt
E
Et
i
En
+
–
i
E
Рис.3.1.Электрическое
поле в диэлектрике
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
34. 34
Они формально совпадают с соотношениями для электростати-
ческого поля в диэлектрике rotE = 0; ,BA
B
A
UUEdI D = E,
divD = 0,
s
qDds .
Аналогами являются следующие величины:
-электрическое смещение D – плотность тока J;
-электрический заряд q – ток i ;
-диэлектрическая проницаемость – удельная проводимость .
При этом будут аналогичными и граничные условия на поверх-
ности раздела двух проводящих сред, т.е.
E1 sin1 = E2 sin2 и J1cos1 = J2cos2.
Таким образом, если условия для вектора J = E на границе дан-
ной проводящей среды с удельной проводимостью совпадают с
условиями для вектора ED на границе диэлектрика такой же
формы с абсолютной диэлектрической проницаемостью , то элек-
трические поля в проводящей среде и в диэлектрике должны быть
аналогичны друг другу.
На этом основан так называемый метод электростатической
аналогии, позволяющий в ряде случаев при расчете токов в прово-
дящей среде воспользоваться готовыми решениями соответствующих
задач электростатики. Метод электростатической аналогии дает воз-
можность также заменить исследование электростатического поля
экспериментальным исследованием поля тока в проводящей среде.
В частности, формулы для электрической проводимости G = i/U
для сред, в которых протекает ток, могут быть получены из соответ-
ствующих формул для емкости тел C = q/U . В аналогичных задачах
ток i заменяется зарядом q. Электрическая емкость тела или емкость
между телами определяется геометрическими параметрами тел и аб-
солютными диэлектрическими проницаемостями сред, окружающих
тела. Чтобы получить формулу для G, достаточно заменить в соответ-
ствующей формуле для C абсолютные диэлектрические проницаемо-
сти диэлектриков удельными проводимостями проводящих
сред. Если проводящая среда и диэлектрик однородны, то в формулу
для проводимости G удельная проводимость входит множителем
и, следовательно, в формулу для емкости C абсолютная диэлектри-
ческая проницаемость также входит множителем. В таком случае
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
