ACERTIJO DE LA BANDERA OLÍMPICA CON ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA. Por JAVI...
Algebra lineal
1. INSTITUTO TECNOLOGICO
DE CIUDAD VICTORIA.
ALUMNO:EDGAR IVAN LOPEZ GARCIA.
PROFESOR: LIC. ESTEBAN REQUENA.
MATERIA: ALGEBRA LINEAL.
SAN FERNANDO
15-10-2013
3. ESPACIO VECTORIAL.
Un espacio vectorial es una terna (V,+,·), donde V es un conjunto no vacío
(llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y +,· son dos
operaciones del tipo + : V
V → R, · : R
V → V a las que llamaremos
’suma de vectores’ y ’producto por escalares respectivamente y con las
siguientes propiedades: denotando +(u, v) = u+v y ·(λ, v) = λv,
4. Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la
matemática, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan en métodos como
las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresión
de imágenes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones en
derivadas parciales. Además, los espacios vectoriales proporcionan una
forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y
físicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades
locales de variedades mediante técnicas de línealización.
5. En el estudio de las matemáticas o de la física, el término vector se aplica
a una amplia variedad de objetos, principalmente a cantidades que
representan magnitudes y dirección , ya sea un fuerza, una velocidad o una
distancia. El término vector también se usa para describir entidades como
matrices, polinomios o funciones.
Supongamos que tenemos un conjunto ”V” donde para X, Y, €,V y a ,
b escalares cumplen con las siguientes propiedades:
6.
7. Entonces ”V” se denomina un espacio vectorial. Podemos decir por lo anterior
que en un espacio vectorial intervienen dos conjuntos, vectores y escalares,
los segundos como coeficientes de los primeros. Los vectores forman un grupo
abeliano con respecto a la adición (la suma es cerrada, asociativa,
conmutativa, existe el elemento 0 y los negativos) y los escalares forman un
campo con la inclusión del 0 y del 1.
Dicho de manera informal, en un espacio vectorial tenemos elementos los
cuales podemos sumar entre ellos, alargarlos o contraerlos; un paso a seguir
es encontrar todas las características estructurales de estos espacios.
Para esto recurriremos a ideas provenientes del Álgebra Universal, tales como
relaciones de orden, relaciones de equivalencia, mapeos de un conjunto a otro
y la generación de espacios más complejos por medio de productos
cartesianos.
13. Teorema.
La intersección de cualquier número de sub espacios de un espacio vectorial
V es un sub espacio de V.
Recuérdese que toda solución de un sistema de ecuaciones lineales con n
incógnitas AX=B puede verse como un punto en K n y por tanto el conjunto
solución de tal sistema es un subconjunto de K n. Supongamos que el sistema
homogéneo, es decir, supongamos que el sistema tiene la forma AX=0.
Denotemos por W su conjunto solución. Como A0=0, el vector cero 0ÎW
además, si u y v pertenecen a W, esto es, si u y v son soluciones de AX=0,
necesariamente Au=0 y A v=0. Por esta razón, para todo par de escalares a y
b en K, tendremos A(a u + b v)=a A u + b A v = a 0 + b 0 = 0 + 0 = 0. De esta
manera, a u + b v es también una solución de AX=0 o, dicho de otro modo, a u
+ b v Î W. En consecuencia, según el corolario, hemos demostrado:
Teorema: el conjunto solución W de un sistema homogéneo con n incógnitas
AX=0 es un sub espacio de k n.
Hacemos énfasis en que el conjunto solución de un sistema in homogéneo
AX=B no es sub espacio de K n. De hecho, el vector cero, 0, no pertenece a
dicho conjunto solución.
15. COMBINACIÓN LINEAL.
Sea (V,K,+,*), Espacio Vectorial, S={1, 2,..., n} Se dice que un
vector es combinación lineal de un conjunto de vectores
S = { 1, 2,..., n} si es que existe alguna forma de expresarlo
como suma de parte de todos los vectores de S, multiplicados a
cada uno de ellos por un escalar cualquiera .
El vector es combinación lineal de los vectores S si tal que:
17. Para saber que un vector es combinación lineal de otro,
procedemos de la siguiente manera:
=0
Se nos formara un sistema de ecuaciones, el cual tendrá dos
opciones por el hecho de ser un sistema de ecuaciones
homogéneo:
Que tenga única solución, lo que significa que ninguno de los
vectores es combinación lineal de otros.
Que tenga infinitas soluciones, es decir algún vector es
combinación lineal de los otros.
18. Por Ejemplo:
Determine si es combinación lineal.
S = {(1,0) , (0,1)}
ą ( 1, 0 ) + ß( 0 , 1 ) = ( 0 , 0 )
(ą , ß) = ( 0 , 0 ) Realizamos la matriz ampliada
Al desarrollar el determinante de la matriz ampliada, podemos ver
que tiene única solución, debido a que su determinante es
diferente de cero, por lo tanto, ninguno de sus vectores es
combinación lineal de otro.
19. 2. S = { ( 1,2,3 ), ( 2, -1,0), (3,1,3) }
Entonces, como primer paso:
a ( 1, 2, 3 ) + b ( 2 , -1, 0 ) + t (3, 1, 3 ) = ( 0 , 0 )
Al desarrollarlo tenemos:
(a , 2b ,3 t) + (a 2, - b , t) + (3a ,3 t) = ( 0, 0, 0 )
Al Hacer la matriz ampliada, tenemos:
Al obtener el determinante , nos da como resultado igual a cero, por lo que
podemos concluir dos cosas, que el sistema no tiene solución o tiene
infinitas soluciones, pero como es un sistema de ecuaciones
homogéneas, concluimos que tiene infinitas soluciones.
20. INDEPENDENCIA LINEAL
En el estudio del algebra lineal, una de las ideas centrales es la de
dependencia o independencia lineal de los vectores. En esta sección se define
el significado de independencia lineal y se muestra su relación con la teoría de
sistemas homogéneos de ecuaciones y determinantes.
Existe una relación espacial entre los vectores
, se puede apreciar que v2=2v1; o si se escribe esta ecuación de otra manera.
2v1-v2=0.
21. En otras palabras, el vector cero se puede escribir como una combinación no
trivial de v1 y v2 (es decir, donde los coeficientes en la combinación lineal no
son ambos cero).
¿Qué tienen de especial los vectores
?
La respuesta a esta pregunta es más difícil a simple vista. Sin embargo, es
sencillo verificar que v3=3v1+2v2; rescribiendo esto se obtiene
Se ha escrito el vector cero como una combinación lineal de v1, v2, y v3.
Parece que los dos vectores de la ecuación y los tres vectores de la otra
ecuación tienen una relación más cercana que un par arbitrario de 2-vectores a
una terna arbitraria de 3-vectores. En cada caso, se dice que los vectores son
linealmente dependientes. En términos generales, se tiene la importante
definición a continuación presentada.
22. Definición: sean v1, v2, …, vn vectores en un espacio vectorial V. entonces se
dice que los vectores son linealmente dependientes si existen n escalares c1,
c2, …, cn no todos ceros tales que
Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente
independientes.
Para decirlo de otra forma, v1, v2, .., vn son linealmente independientes si la
ecuación c1v1+c2v2+…+cnvn=0 se cumple únicamente para c1=c2=…=cn=0.
Son linealmente dependientes si el vector cero en V se puede expresar como
una combinación lineal de v1, v2,…,vn con coeficientes no todos iguales a
cero.
Nota. Se dice que los vectores v1, v2, …, vn son linealmente independientes (o
dependientes), o que el conjunto de vectores {v1, v2, …, vn} es linealmente
independiente (o pendiente). Esto es, se usan las dos frases indistintamente.
23. TEOREMA.
Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si y solo si
uno de ellos es un múltiplo escalar del otro.
Demostración: primero suponga que v2=cv1 para algún escalar c≠0. Entonces
cv1-v2=0 y v1 y v2 son linealmente dependientes. Por otro parte, suponga que
v1 y v2 son linealmente dependientes. Entonces existen constantes c1 y c2 al
menos uno distinto a cero, tales que c1v1+c2v2=0. Si c1≠0, entonces
dividiendo entre c1 se obtiene v1+(c2/c1)v2=0, o sea,
Es decir, v1 es un múltiplo escalar de v2. Si c1=0, entonces c2≠0 y, por lo
tanto, v2=0=0v1.
25. Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio
de base.
Se ha visto en R2 conviene escribir vectores como una combinación lineal de
los vectores
. En R3 se escribieron los vectores en términos
De
Ahora se generalizara esta idea.
BASE
Un conjunto finito de vectores
vectorial V si
es una base para un espacio
26. Todo conjunto de n vectores linealmente independiente en Rn es
una base en Rn.
En Rn se define
Puesto que los vectores e, son las columnas d una matriz
identidad (que tiene determinante 1),
es un conjunto linealmente independiente y, por lo tanto, constituye
una base en Rn. Esta base especial se denomina base canónica
en Rn. Ahora se encontraran bases para otros espacios.
27. EJEMPLO: base canónica para M22
Se vio que
generan a
,
entonces es evidentemente
que
. Así, estas cuatro matrices son
linealmente independientes y forman una base para M22, lo que se denomina
base canónica para M22.
DIMENSIÓN
Si el espacio vectorial V tiene una base con un numero finito de elementos,
entonces la dimensión de V es el numero de vectores en todas las bases y V
se denomina espacio vectorial de dimensión finita. De otra manera, V se
denomina espacio vectorial de dimensión infinita. Si V={0}, entonces se dice
que V tiene dimensión cero.
Notación. La dimensión V se denota por dimV.
28. EJEMPLO: la dimensión de Mmn
En Mmn sea A la matriz de mxn con un uno en la posición ij y cero en otra parte.
Es sencillo demostrar que las matrices a para i=1,2,…,m y j=1,2,…,n forman
una base para Mmn. Así, dimMmn=mn.
TEOREMA: suponga que dimV=n.si
es un conjunto de m
vectores linealmente independientes en V, entonces m≤n.
Sea
entonces, igual que la prueba del teorema, se pueden
encontrar constantes
no todas cero, tales que la
ecuación (2) se satisface. Esto contradice la independencia lineal de los
vectores u. así, m≤n.
29. EJEMPLO: una base para el espacio de solución de un sistema
homogéneo
Encuentre una base (y la dimensión) para el espacio de solución S del sistema
homogéneo
SOLUCIÓN: aquí
. Como A es una matriz de 2x3, S es un
Sub espacio de R3. Reduciendo por renglones, se encuentra, sucesivamente,
31. Definición. El espacio vectorial complejo V se conoce como un espacio con
producto interior si para cualquier par de vectores u y v en V, existe un único
número complejo (u, v), llamado el producto interior de u y v, tal que si u, v y w
están en V y si α ∈ C, entonces
Propiedades
i. (v, v) ≥ 0
ii. (v, v) = 0 si y sólo si v = 0.
iii, (u, v +w) = (u, v)+ (u, w)
iv. (u + v, w) = (u, w)+(v, w)
v. (u, v) = (v, u)
vi. (αu, v) = α(u, v)
vii. (u, αv) = α(u, v)
La barra en las condiciones (v) y (vii) denota el conjugado complejo.
32. EJEMPLO:
producto interno de dos vectores en C3
En C3 sean x=(1+i, -3, 4-3i) y y=(2-i, -i, 2+i). entonces
Sea V un espacio con producto interno y suponga que u y v están en V.
entonces
33. PROPIEDADES
CONJUNTO ORTONORMAL.
El conjunto de vectores
Si
es ortonormal.
es un conjunto ortonormal en V
y Si solo el primero se cumple, se dice que el conjunto
TEOREMA: cualquier conjunto finito de vectores ortonormales diferentes de
cero en un espacio con producto interno es linealmente independiente.
TEOREMA: cualquier conjunto finito linealmente independiente en un espacio
con producto interno se puede convertir en un conjunto ortonormal mediante el
proceso de Gram-Schmidt. En particular, cualquier espacio con producto
interno tiene una base ortonormal.
34. Proyección ortogonal.
Sea H un subespacio del espacio con producto interno V con base ortonormal
Si vϵV, entonces la proyección ortonormal de v sobre H denotada por proyHv
esta dada por (6)
Las demostraciones de los siguientes teoremas son idénticas a sus
contrapartes en Rn.
TEOREMA: sea H un subespacio de dimensión finita con producto interno V.
suponga que H tiene dos bases ortonormales
Sea vϵV. entonces
35. COMPLEMENTO ORTOGONAL.
Sea H un sub espacio del espacio con producto interno V. entonces el
complemento ortogonal de H, denotado por H, esta dado por (7)
TEOREMA: si H es un sub espacio del espacio con producto interno V,
entonces
36. TEOREMA DE PROYECCIÓN.
sea H un sub espacio de dimensión finita del espacio con producto interno V y
suponga que vϵV. entonces existe un par único de vectores h y p tales que
hϵH, pϵH, y (8) v=h+p donde h=proyHv.
Si V tiene dimensión finita, entonces p=proyHv.
TEOREMA: sea A una matriz de nxn; entonces A tiene vectores propios
linealmente independientes si y solo si multiplicidad geométrica de cada valor
propio es igual a su multiplicidades algebraica. En particular, A tiene n vectores
propios linealmente independientes si todos los valores propios son distintos
(ya que entonces la multiplicidad algebraica de cada valor propio es 1).
38. CAMBIO DE BASE.
El cambio de base consiste en conocidas las coordenadas de un vector
respecto a una base B, encontrar las coordenadas de dicho vector con
respecto a otra base B’.
TEOREMA 4.10 (La inversa de la matriz de transición).
Si P es la matriz de transición de una base B a una base B’ en , entonces P es invertible
y la matriz de transición de B’a B es .
TEOREMA 4.11 (Matriz de transición de una base B a una base B’).
Sean
y
dos bases de Rn, entonces la matriz de
transición P-1 de B a B’ puede determinarse mediante eliminación de Gauss – Jordán en
la matriz como se muestra a continuación
39. En la matriz
B’ representa la matriz que tiene por columnas las
componentes de los vectores de la base B’ respectivamente, de forma
similar B representa la matriz que tiene por columnas las componentes de los
vectores de la base B respectivamente.
Base ortonormal.
En algebra lineal, una base ortonormal de un espacio prehilbertiano V (es
decir, un espacio vectorial con producto interno) o, en particular, de un espacio de
HilbertH, es un conjunto de elementos cuyo span es denso en el espacio, en el que los
elementos son mutuamente ortogonales y normales, es decir, de magnitud unitaria. Una
base ortogonal satisface las mismas condiciones, salvo la de magnitud unitaria; es muy
sencillo transformar una base ortogonal en una base ortonormal mediante el producto
por un escalar apropiado y de hecho, esta es la forma habitual en la que se obtiene una
base ortonormal: por medio de una base ortogonal.
40. Así, una base ortonormal es una base ortogonal, en la cual la norma de cada
elemento que la compone es unitaria.
Estos conceptos son importantes tanto para espacios de dimensión finita como
de dimensión infinita. Para espacios de dimensión finita, la condición de span
denso es la misma que la de 'span', como se usa en álgebra lineal.
Una base ortonormal por lo general no es una "base", es decir, en general no
es posible escribir a cada elemento del espacio como una combinación lineal
de un número finito de elementos de la base ortonormal. En el caso de
dimensión infinita, esta distinción cobra importancia: la definición dada requiere
solo que el span de una base ortonormal sea densa en el espacio vectorial, y
no que iguale al espacio entero.
Una base ortonormal de un espacio vectorial V no tiene sentido si el espacio no
posee un producto interno. Un Espacio de Banach no tendrá una base
ortonormal a no ser que sea unespacio de Hilbert.
41. Proceso de orto normalización Gram – Schmidt
El proceso de ortogonalización de Gram–Schmidt de álgebra lineal es un
proceso utilizado en matemática y análisis numérico, para ortogonalizar un
conjunto de vectores en un espacio prehilbertiano, más comúnmente el
espacio euclídeo Rn. Ortogonalización en este contexto significa lo siguiente:
comenzamos con vectores v1,…, vk los cuales son linealmente independientes
y queremos encontrar mutuamente vectores ortogonales u1, …, uk los cuales
generan el mismo subespacio que los vectores v1, …, vk.
Este proceso lleva el nombre en honor a Jørgen Pedersen Gram y Erhard
Schmidt. Proceso de Gram–Schmidt Definimos el operador proyección
condonde los corchetes angulares representan el producto interior, proyecta el
vector v ortogonalmente en el vector u. Antes de ver el proceso, debemos
comprender el porqué de la definición de proyección. Si recordamos la
definición de producto escalar, tenemos para el caso del numerador, módulo
de u por módulo de v por el coseno del ángulo que forman.
42. En el denominador tenemos módulo de u por módulo de u, ya que el coseno
sería 1. Si separamos los dos módulos de u en el denominador, vemos que a
la izquierda tenemos únicamente “módulo de v * cos (ángulo que forman)”, lo
que nos da claramente el módulo del vector proyección. Teniendo el módulo
del vector proyección lo único que debemos hacer es asignarle una
dirección, cosa que hacemos multiplicándolo por u/módulo(u), lo que es el
vector de módulo 1 con dirección u (el vector unitario).
