1) O documento discute matrizes, determinantes e sistemas lineares, apresentando conceitos e exemplos destes tópicos da álgebra linear.
2) É apresentada uma citação de Paulo Freire sobre a importância da educação para a transformação da sociedade.
3) São mostrados exemplos de cálculo de determinantes utilizando a regra de Sarrus e propriedades dos determinantes.
2. "Não é possível refazer este país, democratizá-lo, humanizá-lo,torná-lo sério, com adolescentes brincando de matar gente, ofendendo a vida, destruindo o sonho, inviabilizando o amor. Sea educação sozinha não transformar a sociedade, sem elatampouco a sociedade muda." Paulo Freire
4. Matrizes Qual o seu significado imediato? Uma tabela de dupla entrada contendo dados numéricos( na grande maioria das vezes) Matrizes são freqüentemente utilizadas para organizar dados.
5. Ex: As notas finais dos alunos de uma série, podem formar uma matriz cujas colunas correspondem às matérias lecionadas naquela série e cujas linhas representam os alunos. Na interseção de uma linha com uma coluna figura a nota daquele aluno naquela matéria.
7. Operações entre duas matrizes O polígono EFGH é uma translação do polígono ABCD em quantas unidades na horizontal e na vertical?
8. Represente em uma matriz A(4x2) as coordenadas dos vértices do polígono ABCD, de maneira que cada linha da matriz contenha coordenadas de um ponto, com abscissa na primeira coluna e a ordenada na segunda coluna .
9. Represente em uma matriz B(4x2) as coordenadas dos vértices do polígono EFGH, de maneira que cada linha da matriz contenha coordenadas de um ponto, com abscissa na primeira coluna e a ordenada na segunda coluna .
12. a)Se forem ao ar simultaneamente A1 e B3, qual a porcentagem de audiência prevista para cada programa? b) Se forem ao ar simultaneamente A2 e B2, qual rede terá maior audiência? Quantos por cento a mais? c) Qual das combinações de dois programas, um de A e outro de B, permite a maior diferença entre as audiências das duas redes no horário? E qual combinação permite a menor diferença entre as audiências?
14. Um tipo de matriz é aquela em que seus elementos respeitam determinada relação matemática entre os índices que definem sua posição na matriz. Obter a matriz A assim definida: A= (aij)3x3, tal que aij = i + 2j
15. Se o elemento cij= 0, não devemos unir i com j Se o elemento cij= 1, devemos unir i com j
16.
17. Em uma prova com 20 questões, cada questão respondida corretamente ganha-se 2 pontos, cada questão não respondida perde-se 1 ponto, e cada questão respondida erradamente perde-se 2 ponto, Camila acertou 12, errou 6 e as outras deixou em branco. Pedro acertou 13, errou 7 e as outras em branco.
20. Uma empresa, que possui duas confeitarias, chamadas A e B fabrica 3 tipos de bolos: 1, 2 e 3, os quais são feitos de farinha, açúcar, leite e manteiga e ovos. Em cada semana, as vendas dessas duas confeitarias são estimadas conforme a matriz de venda semanal abaixo:
21. Para a fabricação desses bolos, o material é usado de acordo com a matriz n seguinte:
22. A direção da empresa, a fim de atender à demanda, quer saber a quantidade de cada uma das cinco matérias primas que deve alocar às suas duas confeitarias. A resposta deve ser uma matriz P, do tipo 2x5, onde as linhas representam as duas confeitarias e as colunas correspondem aos cinco materiais usados.
23. Matriz Transposta: Dada uma matriz A=(aij)mxn, chama-se transposta de A a matriz At=(aij)nxm tal que a’ji=aij, para todo i e todo j. Matriz Simétrica: Chama-se matriz simétrica toda matriz quadrada A, de ordem n, tal que At = A
24. Matrizes Inversíveis: Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A é matriz inversível se existir uma matriz B tal que AB= BA= In. Se A não é inversível, temos que A é uma matriz singular
25. Qual é a inversa da matriz A = ? Qual é a inversa da matriz A = ?
26. DETERMINANTES A teoria dos determinantes teve origem em meados do século XVII, quando eram estudados processos para resolução de sistemas lineares de equações.
27. Determinante de uma matriz ordem 1 O determinante da matriz de ordem , é o próprio número que origina a matriz. Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem temos que o determinante é o número real
28. O determinante de uma matriz de segunda ordem é a diferença entre o produto dos termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundária. Esses produtos se chamam, respectivamente, termo principal e termo secundário da matriz. Determinante de matriz de ordem 2
29. Determinante de matriz de terceira ordem O determinante de uma matriz 3x3 é calculado através de suas diagonais. Para calcular o determinante de matrizes de terceira ordem, utilizamos a chamada regra de Sarrus, que resulta no seguinte cálculo:
31. Menor Complementar: Consideremos uma matriz M de ordem n≥2; Seja aij um elemento de M. Definimos menor complementar do elemento aij, e indicamos por Dij, como sendo o determinante da matriz que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j de M.
32. Seja M= calculemos D11 e D32 , então D11= , então D32=
33. Complemento algébrico do elemento aij - Cofator Consideremos uma matriz de ordem n≥2; seja aij um elemento de M. Definimos cofator de aij, e indicamos por Aij, como sendo o número (-1)i+j. Dij
34. Seja M = calculemos A11, A12, A13 A11= (-1) 1+1 = A12= (-1)1+2 = A13= (-1)1+3 =
35. Teorema Fundamental (de Laplace) O determinante de uma matriz M, de ordem n≥ 2, é a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.
38. Matriz de Vandermonde (ou das potências) São as matrizes de ordem n ≥2, . . . . . . . . . . . .
39. As colunas das matrizes são formadas por potências de mesma base, com expoente inteiro, variando desde 0 até n -1 ( os elementos de cada coluna formam uma progressão geométrica cujo primeiro elemento é 1.
40. O determinante V(a1,a2,a3,...,an) é igual ao produto de todas as diferenças possíveis entre os elementos característicos, com a condição de que, nas diferenças, o minuendo tenha índice maior que o subtraendo.
44. Processo de Cálculo da Inversa de uma Matriz Quadrada M Teorema: Se M é uma matriz quadrada de ordem n e determinante M ≠0, então a inversa de M é: M’ = matriz dos cofatores =
45. Qual a condição sobre a para que a matriz M= Seja inversível?
47. Vamos resolver: 2x - 3y = 11 x + 2y = 2 Para um sistema linear qualquer, podemos associar uma matriz denominada completa, que é formada pelos coeficientes das incógnitas e também pelos termos independentes.
48. Dizemos que o sistema linear está escalonado quando realizarmos combinações lineares entre as linhas da matriz completa de modo a zerar todos os elementos aij da matriz em que i > j. 2 -3 11 1 2 2 Essa é a matriz completa
49. 2 -3 11 L1 1 2 2 L2 2 -3 11 L1-2L2 0 -7 7 Aqui está a combinação linear entre as linhas 1 e 2 da matriz,m gerando uma nova linha 2
50. A matriz do sistema foi escalonada,. Na nova equação da linha2 da matriz temos: 0x – 7y = 7 ou y = - 1 Substituindo esse valor em uma das equações iniciais, obtém-se x = 4
51. Vamos escalonar? x + y + z = 3 2x – y – 2z = 2 x + 2z = 4 S= {(2, 0, 1)}
52. No método de Cramer, o aluno segue uma rotina determinada- montagem e cálculo dos determinantes, e divisão entre eles. No método do escalonamento o aluno vê envolvido em avaliar possibilidades e escolher estratégias, adotando, dessa forma, uma postura que remete à mobilização de habilidades mais elaboradas e valorizadas na aprendizagem matemática.
53. Resolver o sistema abaixo: x – 3y = -6 2x + y + z = 1 -x + 2y – 2z = 6 S={(0, 2, -1)}
54. Por Cramer o sistema será apenas identificado como possível e indeterminado, mas não ajudaria na resolução. x + y + z = 3 2x – y + 3z = 4 -x -4y = -5 S={(5 – 4k, k, -2 + 3k), kϵ R}
55. O método de Sarrus para a obtenção de um determinante é bastante prático de ser utilizado em outra situações , que não envolvam resolução de sistemas lineares , por ex. em cálculo de áreas de polígonos representados no plano cartesiano.
56. Conhecendo as coordenadas dos vértices de um triângulo representado no plano cartesiano, é possível calcularmos sua área por intermédio da composição e/ou de composição de polígonos auxiliares.
64. De outra maneira, em uma extensão de regra de Sarrus, o cálculo da área de um polígono de n lados, representado no plano cartesiano, pode ser feito como segue, sendo xi e yi as coordenadas de cada vértice do polígono com n vértices. A=
66. Nos produtos indicados pelas setas, vale, seguindo o mesmo raciocínio do cálculo pelo método de Sarrus. Metade do resultado final da soma, em módulo, é igual à área do polígono de n lados. O ponto inicial pode ser qualquer um dos vértices do polígono e o sentido, horário ou anti-horário, não importa, dado que o valor final é tomado em módulo.
