Đánh thức tài năng toán học-Quyển 7 (14-15 tuổi) nằm trong bộ sách toán song ngữ Singapore của tác giả Terry Chew sẽ giúp các em phát triển tư duy tốt nhất.
Đặt mua sách tại: http://book.ihoc.me
3. 4
Chapter 1 Simple Equation
5
Đánh thức tài năng toán học 7
Foreword
Wrote British philosopher and mathematician Bertrand Russell in his 1917 essay
Mysticism and Logic: “Mathematics, when rightly viewed, possesses not only
truth, but supreme beauty – a beauty cold and austere, like that of sculpture.”
Mathematics problems are not alike in the way they come to the students’
attention. As interesting as the diversified nature of Maths Olympiad questions
is the constant curious nature of our minds. As a writer and coach of MO for
many years, my curiosity intensifies each time I ask my students to present their
solutions to problems as part of the training, that is, to articulate their thinking
process and reasoning skills. In moments like these, I become the student – my
mind filled with childlike anticipation and my students, in turn, become the
master. The verbalisations of their thoughts are so full of imagination, fantasy
and creativity that this exchange becomes an enjoyment. Perhaps there is as
much for me to learn from them as they from me.
Two things are obvious how some students have arrived at this state of mastery.
Firstly, their tremendous acquisition of knowledge and the ability to make
connection through this knowledge is highly remarkable. Secondly, and quite
evidently, they have interest in what they persevere and are apparently gifted.
Which attribute precedes the other, though, I cannot be too sure.
Psychologists over the years have agreed on one thing, the like of which
Canadian journalist Malcolm Gladwell mentioned in his book Outliers: The
Story of Success: To be exceptionally good, or to reach the state of professional,
one must put in something like 10,000 hours of effort in the practice. Though
not immediately and readily comparable, the moral is nevertheless the same:
practice, practice, practice.
This book is written specially for my students and others alike who also enjoy
mathematics.
Terry Chew
Lời nói đầu
Năm 1917, nhà triết học và toán học người Anh Bertrand Russel đã viết trong tiểu
luận Mysticism and Logic (tạm dịch: Các bí ẩn và suy luận) của mình rằng: “Khi
nhìn nhận đúng đắn Toán học, ta không chỉ tìm được sự thật, mà còn thấy vẻ đẹp
tối cao, vẻ đẹp lạnh lùng và khắc khổ, tựa như vẻ đẹp của các tác phẩm điêu khắc.”
Đối với học trò, các bài toán không hề giống nhau. Những câu hỏi thú vị và
phong phú trong bộ đề thi Olympic Toán luôn khiến chúng ta phải hiếu kì, phải
bỏ công sức và tư duy để tìm hiểu. Là tác giả và thầy luyện thi Olympic Toán
trong nhiều năm, sự hiếu kì của tôi tăng lên mỗi khi tôi yêu cầu học sinh của
mình trình bày lời giải của các em về mỗi phần của bài tập, việc đó là tổng hoà
của quá trình tư duy và kỹ năng lập luận của các em. Trong những khoảnh khắc
như thế, tôi trở thành học sinh, tâm trí của tôi đầy những dự đoán ngây thơ, và
khi đó học sinh của tôi trở thành người thầy. Việc thể hiện những suy nghĩ của
các em rất giàu sức tưởng tượng, và sự sáng tạo chúng dung hòa với nhau tạo
nên sự hứng thú. Có lẽ tôi học được nhiều điều từ các em hơn là các em học
được từ tôi.
Có hai điều hiển nhiên về cách thức một số học sinh đạt đến mức độ thành thạo.
Thứ nhất, việc tiếp thu kiến thức của học sinh và khả năng kết hợp các kiến
thức với nhau vô cùng quan trọng. Thứ hai, rõ ràng học trò phải có hứng thú
với những gì các em kiên trì theo đuổi và các em cũng phải có năng khiếu nữa.
Tuy nhiên, tôi không dám chắc niềm yêu thích hay năng khiếu quan trọng hơn.
Trong những năm trở lại đây, các nhà tâm lý đã đồng ý về một điều, như nhà
báo người Canada, Malcolm Gladwell đề cập trong cuốn Outliers: The Story of
Success (Những kẻ xuất chúng) của ông: Để được đặc biệt xuất sắc hoặc để đạt
được những điều lớn lao, chúng ta phải dành hết sức lực vào việc đó như dành
10.000 giờ tập trung vào việc thực hành. Mặc dù kết quả không thể thấy ngay
lập tức và được kiểm chứng dễ dàng, nhưng cách thức vẫn như nhau: thực hành,
thực hành và thực hành.
Cuốn sách này được viết riêng cho học sinh của tôi và những người bạn yêu
thích toán học khác.
Terry Chew
4. 6
Chapter 1 Permutation and Combination
7Terry Chew Đánh thức tài năng toán học - 7
1 chỉnh hợp và tổ hợp
Permutation is a form of arrangement that chooses r items from a total of n
items and arranges them according to specified requirements.
In general, there are r number of ways to select from n number of items for the
first consideration of position. There will then be (r – 1) ways for the second
position. It follows that there are (r – 2) ways for the third position and so on.
We can write, for selecting r items from a total of n items for arrangement,
n
Pr
= r(r – 1)(r – 2) ... (n – r + 1)
where n
Pr
is the notation for permutation. For example,
10
P4
= 10 × (10 – 1)(10 – 2)(10 – 3)
= 10 × 9 × 8 × 7
= 5040
Combination, on the other hand, is an arrangement of items regardless of
position or order. Suppose we have n items and want to find out how many
ways there are to group these items, with each group consisting of r items,
the first step is to find n
Pr
. Next, to select r items for grouping, we write n
Cr
.
Among each group of items, we can further arrange them into r
Pr
ways.
We have
n
Pr
= n
Cr
• r
Pr
n
Cr
=
n
Pr
___
r
Pr
=
n • (n – 1) • (n – 2) ... (n – r + 1)
__________________________
r!
For illustration purpose, suppose we want to know how many triangles can
be drawn by connecting any 3 points out of 12 points on a circle, we have
12
C3
=
12 × 11 × 11
___________
3 × 2 × 1
= 220 triangles
To find out the number of quadrilaterals, we have
12
C4
=
12 × 11 × 10 × 9
______________
4 × 3 × 2 × 1
= 495 quadrilaterals
1 permutation
and combination
Chỉnh hợp là một cách sắp xếp r phần tử được chọn từ một tổng n phần tử
theo một thứ tự nhất định.
Nhìn chung, có r cách để chọn từ n phần tử trong lần sắp xếp đầu tiên. Sau
đó, có (r - 1) cách sắp xếp cho lần thứ 2. Tiếp đó là (r - 2) cách cho lần thứ
ba, và cứ thế. Với việc chọn r phần tử từ một tổng n phần tử để sắp xếp, ta
có thể viết,
n
Pr
= r(r – 1)(r – 2) ... (n – r + 1)
Với n
Pr
là kí hiệu của chỉnh hợp. Ví dụ,
10
P4
= 10 × (10 – 1)(10 – 2)(10 – 3)
= 10 × 9 × 8 × 7
= 5040
Trong khi đó, tổ hợp là việc sắp xếp các phần tử mà không phân biệt vị trí,
thứ tự của các phần tử đó. Giả sử, ta có n phần tử và muốn tìm xem có bao
nhiêu cách để tập hợp các phần tử đó, với mỗi tập hợp gồm r phần tử, bước
đầu tiên ta phải tính n
Pr
. Tiếp theo, để chọn r phần tử cho tập hợp, ta viết n
Cr
.
Trong mỗi tập hợp phần tử, ta có thể sắp xếp chúng theo r
Pr
cách. Ta có
n
Pr
= n
Cr
• r
Pr
n
Cr
=
n
Pr
___
r
Pr
=
n • (n – 1) • (n – 2) ... (n – r + 1)
__________________________
r!
Để minh hoạ, giả sử ta muốn biết có bao nhiêu tam giác có thể lập được
bằng cách nối 3 trong số 12 điểm nằm trên một đường tròn, ta có
12
C3
=
12 × 11 × 11
___________
3 × 2 × 1
= 220 tam giác
Để tìm số tứ giác, ta có
12
C4
=
12 × 11 × 10 × 9
______________
4 × 3 × 2 × 1
= 495 tứ giác
5. 8
Chapter 1 Permutation and Combination
9Terry Chew Đánh thức tài năng toán học - 7
Ví dụ 1
4 digits are selected from 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 and 8 each time to form a 4-digit
number.
(a) How many such numbers are there?
(b) How many of these numbers are odd?
Solution: (a) Let us use 4 boxes to represent each number. Since
the digits can be repeated, we have
8 choices
(excluding 0)
9 choices
9 choices
9 choices
8 × 9 × 9 × 9 = 5832 numbers
(b) We have 1, 3, 5, 7 to choose from in the ones digit.
8 choices
(excluding 0)
9 choices
9 choices
4 choices
8 × 9 × 9 × 4 = 2592 numbers
Example 1
Mỗi lần chọn 4 chữ số từ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 và 8 để tạo thành một số có 4
chữ số.
(a) Hỏi ta lập được bao nhiêu số như vậy?
(b) Trong đó có bao nhiêu số lẻ?
Lời giải: (a) Ta lấy 4 ô vuông để đại diện cho từng số.
Vì các chữ số có thể lặp lại, nên ta có
8 lựa chọn
(không tính 0)
9 lựa chọn
9 lựa chọn
9 lựa chọn
8 × 9 × 9 × 9 = 5832 số
(b) Ta chọn các số 1, 3, 5, 7 cho chữ số hàng đơn vị
8 lựa chọn
(không tính 0)
9 lựa chọn
9 lựa chọn
4 lựa chọn
8 × 9 × 9 × 4 = 2592 số
6. 10
Chapter 1 Permutation and Combination
11Terry Chew Đánh thức tài năng toán học - 7
Ví dụ 2
One digit is selected from 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 and 8 each time to form a
4-digit number. Each digit is used only once in each number.
(a) How many such numbers are there?
(b) How many of these numbers are even?
Solution: (a) Since no digit in a number is repeated, we have
8 choices
(excluding 0)
8 choices
(including 0)
left with
7 choices
left with
6 choices
8 × 8 × 7 × 6 = 2688 numbers
(b) We have 2, 4, 6 and 8 to choose from in the ones digit.
Beginning from the ones digit, we have
Case 1: 0 at tens or hundreds place.
7 choices (since
0 and one of the
even numbers are
selected)
7 choices
(including 0)
6 choices
left
4 choices
(either 2, 4, 6 or 8)
7 × 7 × 6 × 4 = 1176 ways
Case 2: 0 at ones place.
8 × 7 × 6 × 1 = 336 numbers
1176 + 336 = 1512 numbers
Example 2
Trong các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 và 8 chọn mỗi chữ số một lần để tạo thành một
số có 4 chữ số. Mỗi chữ số được sử dụng duy nhất một lần trong mỗi số lập được.
(a) Hỏi ta lập được bao nhiêu số như vậy?
(b) Trong đó có bao nhiêu số chẵn?
Lời giải: (a) Vì không có chữ số nào được lặp lại, ta có
8 lựa chọn
(không bao gồm 0)
8 lựa chọn
(bao gồm 0)
còn 7 lựa chọn
còn 6 lựa chọn
8 × 8 × 7 × 6 = 2688 số
(b) Ta có 2, 4, 6 và 8 để chọn cho chữ số hàng đơn vị.
Bắt đầu từ chữ số hàng đơn vị, ta có
Trường hợp 1: 0 ở vị trí hàng chục hoặc hàng trăm.
7 lựa chọn (vì 0
và một số chẵn đã
được chọn)
7 lựa chọn
(bao gồm 0)
còn 6 lựa chọn
4 lựa chọn
(là 2, 4, 6 hoặc 8)
7 × 7 × 6 × 4 = 1176 cách
Trường hợp 2: 0 ở vị trí hàng đơn vị.
8 × 7 × 6 × 1 = 336 số
1176 + 336 = 1512 số
7. 12
Chapter 1 Permutation and Combination
13Terry Chew Đánh thức tài năng toán học - 7
Example 3
How many numbers from 1 to 200 do not have the digit 2?
Analysis: We can solve this problem the conventional way by counting
numbers containing the digit 2, but that would be quite tedious.
Solution:
Case 1: 1-digit numbers:
1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. There are 8 such numbers.
Case 2: 2-digit numbers:
8 choices
(less 0 and 2)
9 choices
(less 2)
8 × 9 = 72 numbers
Case 3: 3-digit numbers,
1 choice
(i.e. 1)
9 choices
9 choices
9 × 9 = 81 numbers
8 + 72 + 81 = 161 numbers
Ví dụ 3
Có bao nhiêu số từ 0 đến 100 mà không có chữ số 2?
Phân tích: Ta có thể giải bài toán này theo cách thông thường bằng cách
đếm các số có chứa chữ số 2, nhưng như thế sẽ rất nhàm chán.
Lời giải:
Trường hợp 1: Số có 1 chữ số:
1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Có 8 số như vậy.
Trường hợp 2: Số có 2 chữ số:
8 lựa chọn
(trừ đi 0 và 2)
9 lựa chọn
(trừ đi 2)
8 × 9 = 72 số
Trường hợp 3: Số có 3 chữ số:
1 lựa chọn
(là 1)
9 lựa chọn
9 lựa chọn
9 × 9 = 81 số
8 + 72 + 81 = 161 số
8. 14
Chapter 1 Permutation and Combination
15Terry Chew Đánh thức tài năng toán học - 7
Example 4
There are 12 points on a circle.
(a) How many triangles can be formed using any 3 points as their
vertices?
(b) How many quadrilaterals can be formed using any 4 points as their
vertices?
Analysis: The problem belongs to one of combination, because we
are choosing a line segment ab to be one side, which has no
difference from the line segment ba.
Solution: (a) We choose 3 points from 12 points.
12
C2
=
12 × 11 × 10
___________
3 × 2 × 1
= 220 triangles
(b) 12
C4
=
12 × 11 × 10 × 9
______________
4 × 3 × 2 × 1
= 495 quadrilaterals
Example 5
Jane has 9 pieces of bite-size chocolate in the fridge. She is going to take
at least 1 piece every day. In how many ways can she finish the chocolate?
Analysis: Suppose we line up the chocolates as shown below.
Suppose again Jane decides to finish them in the scenario
described below.
That means she takes 2 on the first day, 3 on the second day,
and 1 each on the third, fourth and fifth day.
How do we generalise this scenario?
Solution: We can consider the line-up to have 8 intervals.
Each interval is a decision to be made, i.e. either a “yes” or a “no”.
2 × 2 × ... × 2 = 28
8 times = 256 ways
Ví dụ 4
Có 12 điểm nằm trên một đường tròn.
(a) Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác bằng cách lấy 3 điểm bất kì
trong số đó làm đỉnh?
(b) Hỏi có thể lập được bao nhiêu tứ giác bằng cách lấy 4 điểm bất kì
trong số đó làm đỉnh?
Phân tích: Đây là bài toán thuộc dạng tổ hợp, bởi vì ta chọn đoạn thẳng
ab làm một cạnh, không khác gì nếu ta chọn đoạn ba.
Lời giải: (a) Ta chọn 3 trong số 12 điểm.
12
C2
=
12 × 11 × 10
___________
3 × 2 × 1
= 220 tam giác
(b) 12
C4
=
12 × 11 × 10 × 9
______________
4 × 3 × 2 × 1
= 495 tứ giác
Ví dụ 5
Jane có 9 viên sô-cô-la trong tủ lạnh. Cô ấy dự định sẽ ăn ít nhất 1 viên mỗi
ngày. Hỏi có bao nhiêu cách mà cô ấy có thể ăn hết chỗ sô-cô-la đó?
Phân tích: Giả sử ta sắp xếp số sô-cô-la đó như hình dưới đây.
Giả sử tiếp rằng Jane quyết định sẽ ăn hết chúng theo cách
được mô tả dưới đây.
Có nghĩa là cô ấy ăn 2 viên trong ngày đầu tiên, 3 viên trong
ngày thứ hai và mỗi ngày một viên vào ngày thứ ba, thứ tư và
thứ 5.
Vậy ta sẽ khái quát hóa cách này như thế nào?
Lời giải: Ta có thể xem xét hàng sô-cô-la đó với 8 khoảng cách.
Mỗi khoảng cách chính là một quyết định được đưa ra, hoặc là “có”
hoặc là “không”.
2 × 2 × ... × 2 = 28
8 lần = 256 cách
