1. Chƣơng I: PHÉP THỬ, BIẾN CỐ & XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
1. * Một lô hàng gồm n sp. Người ta lấy ra lần lượt từng sp để kiểm tra. Biết trong lô hàng
này có 3 phế phẩm & việc kiểm tra sẽ dừng khi phát hiện đủ 3 phế phẩm. Tính xác suất
để việc kiểm tra dừng ở lần thứ k? (k = 3, 4, …) (GT&CT nhân)
2. Hai người A,B hẹn nhau tại một quán cà phê từ 8 đến 9 giờ. Họ quy ước ai đến trước thì
chờ tối đa 20 phút nếu quá thời hạn quy ước thì sẽ về. Tìm xác suất để họ gặp được nhau,
biết mỗi người có thể đến nơi hẹn vào thời điểm bất kỳ trong thời gian trên? (*)
3. Từ 10 chữ số 0,1, … ,9 và 26 chữ cái A,B, … ,Z người ta đánh biển xe máy bằng hai chữ
cái đứng đầu và 4 chữ số đứng cuối. Hỏi có bao nhiêu cách đánh biển xe máy như trên?
4. Trong kỳ thi Anh Văn có 900 thí sinh tham gia thi trong đó có 500 thí sinh loại trung
bình, 250 thí sinh loại khá và 150 thí sinh loại giỏi. Khả năng thi đạt của thí sinh loại giỏi,
khá và trung bình lần lượt là 65%, 50% & 35%. Chọn ngẫu nhiên 1 thí sinh trong kỳ thi,
tính xác suất thí sinh này thi đạt? Nếu thí sinh này thi đạt theo bạn thí sinh này thuộc loại
nào. Hãy giải thích? (XSĐĐ & Bayes)
5. Chia ngẫu nhiên 30 sp trong đó có 3 phế phẩm vào 3 hộp mỗi hộp 10 sp. Tính xác suất để
mỗi hộp chứa một phế phẩm? (CT nhân)
6. Hàng trong kho có 7% là phế phẩm. Cần lấy ít nhất bao nhiêu sp để với xác suất nhỏ hơn
0,01 sẽ không có sp nào là phế phẩm? (CT Bernuclli or QL B)
7. Sản phẩm sản xuất ra ở một nhà máy Z phải trải qua 3 vòng kiểm tra chất lượng độc lập.
Xác suất phát hiện ra phế phẩm ở các vòng 1,2,3 lần lượt là 0,78; 0,85; 0,94. Tính tỷ lệ
phế phẩm được nhập kho của nhà máy? (CT nhân)
8. Để kiểm tra chất lượng sản phẩm người ta lấy ra một lô 50 sản phẩm, rồi từ lô đó lấy
ngẫu nhiên 10 sp. Biết trong lô này có 5 phế phẩm. Nếu trong 10 sp lấy ra có nhiều nhất 1
phế phẩm thì lô được xếp đạt chất lượng ngược lại thì phải xếp lô không đạt chất lượng.
Tìm xác suất để lô kiểm tra phải xếp không đạt chất lượng?
CHƢƠNG II LẬP BẢNG PPXS VÀ TÍNH E, VAR, …
1. Một người hằng ngày đi từ nhà đến cơ quan phải qua 3 ngã tư. Xác suất gặp đèn đỏ ở mỗi
ngã tư là 0,35.
a. Lập bảng ppxs số lần gặp đèn đỏ của người này?
b. Mỗi lần gặp đèn đỏ người này chờ 3 phút. Tính thời gian chờ đèn đỏ trung bình của
người này khi đi từ nhà đến cơ quan?
2. Để xét nghiệm bệnh A ở một vùng gồm 10 000 dân, người ta lấy máu của từng người rồi
thử bằng 2 cách sau:
a. Cách 1: Chia thành từng nhóm, một nhóm 20 người.
b. Cách 2: Chia thành từng nhóm, một nhóm 40 người.
Lấy máu trong mỗi nhóm trộn đều rồi tiến hành thử. Nếu nhóm nào cho kq âm tính thì cả
nhóm không mắc bệnh. Nếu nhóm nào dương tính thì thực hiện xét nghiệm từng người
trong nhóm. Hỏi cách nào ít tốn kém hơn? Cho tỷ lệ mắc bệnh A ở vùng này là 5%

2. 3. Tỷ lệ SV trường ĐHKTế làm lại phiếu đánh giá KQRLSV bổ sung đợt 2 là 0,0115. Chọn
một lớp gồm 50 SV. Tính xác suất để
a) Không ai bị làm lại?
b) Có 5 SV bị?
c) Có ít nhất 1 SV bị?
d) Số SV làm lại tin chắc nhất ?
4. Cho X và Y độc lập và có bảng phân phối xác suất như sau:
X 0 1 2
P 0.2 0.3 0.5
Y 1 2
P 0.6 0.4
a) Tìm phân phối xác suất của Z = X + Y. Vẽ hàm phân phối xác suất của Z?
b) Tìm phân phối xác suất của V = X.Y. Vẽ hàm phân phối xác suất của V?
5. Cuối học kỳ để đánh giá về tình hình học tập của sinh viên trong lớp, giáo viên chủ
nhiệm đã chọn ra 2 lớp và có kết quả điểm trung bình học kỳ cho ở bảng sau:
Điểm TB 5.8 6.0 6.2 6.4 6.6 7.3 7.5 8.0
Lớp 1 (Số sv) 5 6 8 7 5 6 10 3
Lớp 2 (Số sv) 8 3 6 8 11 6 4 5
Bạn hãy đánh giá kết quả học tập của mỗi lớp theo 2 tiêu chí: điểm trung bình của 1sv
trong lớp & độ đều điểm trung bình giữa những sv trong lớp?
6. Một người chơi xổ số lô tô hai số, mỗi lần chơi 50 000đ. Nếu số chọn mua trùng hai số
cuối giải nhất anh ta sẽ được 3 500 000đ và không được gì nếu không trúng. Bạn hãy tính
số tiền lời trung bình của mỗi lần chơi?
7. Trong một văn phòng có 4 máy tính. Xác suất để máy bị hỏng trong một ngày lần lượt là
0,6; 0,8; 0,85; 0,9.
a) Lập bảng ppxs số máy hỏng trong 1 ngày?
b) Tìm xác suất để 1 ngày có không quá 2 máy hỏng?
Tìm xác suất để 1 ngày có không quá 3 máy hỏng?
Chƣơng III CÁC QUY LUẬT PPXS THÔNG DỤNG
1. Cho đại lượng ngẫu nhiên X  N(1;0,52
). Tính các xác suất sau:
a) P(-5  X  1,213) 0,6664 c) P( 64,01 X ) 0,7995
b) P(X < 2,1) 0,9681 d) P(X > 2,3) 0,005

3. 2. Tỷ lệ cuộc gọi vào tổng đài hỗ trợ & giải đáp phải chờ là 0,95%. Tìm xác suất để trong
900 cuộc gọi vào tổng đài này: (QL P)
a) Có 2 cuộc gọi phải chờ?
b) Có ít nhất 3 cuộc gọi phải chờ?
3. Một khách hàng cần mua một loại sản phẩm có trọng lượng từ 0,998 đến 1,105 kg. Có
hai công ty cung cấp cùng bán sản phẩm này. Cho trọng lượng các sp này là các ĐLNN
phân phối theo qluật chuẩn với các tham số đặc trưng cho ở bảng sau: (QL N)
Trọng lượng trung bình Độ lệch chuẩn Giá bán
Công ty A 1,02 0,025 10,1 USD/lô 500 sp
Công ty B 1,015 0,03 10 USD/lô 500 sp
Hỏi khách hàng này nên mua sp của công ty nào. Hãy giải thích?
0.025usd; 0.028; cty A
4. Ba bạn sv học bóng rổ, mỗi người ném một quả bóng vào rổ. Xác suất ném trúng rổ của
sv thứ nhất, thứ hai, thứ ba tương ứng là 0,9; 085; 0,8. Gọi X là số lần ném trúng rổ của 3
sv trên. Bạn hãy cho biết X có  B không. Hãy giải thích? (QL B)
5. Một lô hàng có 100 sản phẩm. Trong lô hàng có 90 sản phẩm tốt, số sp còn lại không tốt.
Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra 15 sản phẩm. (QL H)
a) Tính số sp tốt trung bình? b) Tính độ lệch chuẩn số sp tốt?
6. Tỷ lệ sản phẩm loại I của máy thứ nhất là 88%, máy thứ hai 85% và máy thứ ba 80%.
Cho mỗi máy sản xuất 10 sp. Sau đó lấy số sp này đem bán với giá 10USD/1sp loại I và
5USD/1sp không phải loại I. Tìm số tiền trung bình thu được?
7. Có 3 lô hàng, mỗi lô có 1000 sản phẩm. Tỷ lệ sản phẩm loại B trong từng lô lần lượt là
15%; 20%; 25%. Một người mua lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô ra 10 sản phẩm để kiểm tra,
nếu trong 10 sản phẩm lấy ra từ lô hàng nào có không quá 2 sản phẩm loại B thì mua lô
hàng đó. Tìm xác suất để có ít nhất một lô hàng được mua?
8. *Phim và Kim không biết có nên vay vốn ngân hàng để mua đất xây nhà trong một năm
tới hay không, trong trường hợp giá trị đất tăng quá cao vượt quá số vốn họ có. Nếu hiện
nay giá đất trung bình là 3,6 trđ/m2
và giả sử họ sẽ có 450 trđ trong một năm tới, dự định
mua 100m2
thì theo bạn họ có phải vay ngân hàng ko? Hãy giải thích? Cho biết theo một
dự báo họ có thì độ tăng giá của đất trong một năm tới phân phối xấp xỉ chuẩn với giá trị
trung bình là 2,5 trđ/m2
và độ lệch chuẩn là 0,85 trđ/m2
.

4. PHẦN TRẮC NGHIỆM
1. Pthử:”Quan sát thời gian đến lớp của một sv”. Giả sử ta có ba biến cố sơ cấp là {A1, A2, A3}; A1 là
Sớm, A2 là Đúng giờ, A3 là Trễ. Vậy nếu xét 2 sv thì không gian các biến cố sơ cấp gồm có:
a) 6 biến cố b) 8 biến cố c) 9 biến cố d) 12 biến cố
2. Một lớp có 100 sinh viên. Trong đó có 40 người thích bóng đá, 30 người thích bóng chuyền 20
người thích bóng đá & bóng chuyền. Gặp ngẫu nhiên hai sinh viên ở lớp này. Xác suất gặp được một
sinh viên chỉ thích bóng đá & một sinh viên chỉ thích bóng chuyền là:
a) 0,08 b) 0,07 c) 0,06 d) 0,04
3. Xác suất của biến cố A là 0,6 điều đó có nghĩa là:
a) A là biến cố chắc chắn. b) A là biến cố sơ cấp. c) A là biến cố ngẫu nhiên. d) A là biến cố phức hợp.
4. Phòng máy tính của trường có 30 máy trong đó có 15 máy loại I, 9 máy loại II, 6 máy loại III. Xác
suất để máy loại I, II, III bị hỏng trong một ca thực hành lần lượt là 2%, 3% và 4%. Trong giờ thực
hành có một máy bị hỏng tính xác suất đó là máy loại I?
a) 0,3 b) 0,37 c) 0,33 d) 0,4
5. Có 3 kiện hàng mỗi kiện có 10sp. Kiện 1 có 8 sp I, kiện 2 có 6 sp I và kiện 3 có 5 sp I. Từ mỗi kiện
lấy ngẫu nhiên 2 sp, nếu cả 2 sp đều là loại I thì mua kiện đó. Tính xác suất để có ít nhất một kiện
được mua?
a)  0,378 b)  0988 c)  0,804 d)  0,104
6. Giaû thieát xaùc suaát sinh con trai vaø xaùc suaát sinh con gaùi laø nhö nhau vaø ñeàu baèng 0,5. Quan saùt
moät gia ñình coù 5 con. Tìm xaùc suaát ñeå gia ñình naøy coù 2 con gaùi.
a. 0,3125; b. 0,385; c. 0,375; d. Caû a. b. c. ñeàu sai;
7. Có 3 kiện hàng. Kiện 1 có 5 sp I, kiện 2 có 3 sp I và 2 sp II và kiện 3 có 5 sp II. Chọn ngẫu nhiên
một kiện rồi từ kiện đó lấy ngẫu nhiên 2 sp. Gọi X là số sp II có trong 2 sp lấy ra. Tính P(X = 1)?
a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/5
8. Coù 3 ngöôøi, moãi ngöôøi neùm moät quaû boùng vaøo roå. Xaùc suaát neùm truùng roå cuûa ngöôøi thöù nhaát, thöù
hai, thöù ba töông öùng laø: 0,6; 0,7; 0,9. Tính xaùc suaát ñeå coù ít nhaát moät ngöôøi neùm truùng roå?
a) 0,378 b) 0988 c) 0,834 d) 0,104
9. Có 2 kiện hàng. Kiện 1 có 5 sp I, kiện 2 có 3 sp I và 2 sp II. Từ mỗi kiện lấy ngẫu nhiên 2 sp. Gọi X
là số sp I có trong 4 sp lấy ra. Tính Mod(X)?
a) Mod(X) = 3 b) Mod(X) = 2 c) Mod(X) = 1 d) Các câu trên đều sai.
10.Moät hoäp coù 8 saûn phaåm, trong ñoù coù 3 saûn phaåm loaïi II. Laàn ñaàu laáy ngaãu nhieân khoâng hoaøn laïi
1 saûn phaåm töø hoäp naøy. Sau ñoù laáy ngaãu nhieân khoâng hoaøn laïi 3 saûn phaåm trong soá 7 saûn phaåm coøn
laïi. Tính xaùc suaát ñeå coù moät saûn phaåm loaïi II trong 3 saûn phaåm laáy ra ôû laàn sau.
a. 0,6184; b. 0,6238; c. 0,6528; d. caû a. b. c. ñeàu sai;

5. 11. Có 3 kiện hàng. Kiện 1 có 5 sp I, kiện 2 có 3 sp I và 2 sp II và kiện 3 có 5 sp II. Chọn ngẫu nhiên
một kiện rồi từ kiện đó lấy ngẫu nhiên 2 sp. Gọi X là số sp II có trong 2 sp lấy ra. Tính P(X = 1)?
a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/5
12. Moät lôùp coù 50 sinh vieân, trong ñoù coù 12 sinh vieân hoïc gioûi Anh vaên, 8 sinh vieân hoïc gioûi Toaùn
vaø 4 sinh vieân hoïc gioûi caû Anh vaên vaø Toaùn. Gaëp ngaãu nhieân 3 sinh vieân cuûa lôùp. Tính xaùc suaát ñeå
gaëp ñöôïc 2 sinh vieân hoïc gioûi toaùn vaø 1 sinh vieân khoâng hoïc gioûi moân naøo trong hai moân toaùn vaø
anh vaên.
a. 141/2450; b. 139/2450; c. 119/2450; d. 0,028571;
13. Coù 3 ngöôøi, moãi ngöôøi neùm moät quaû boùng vaøo roå. Xaùc suaát neùm truùng roå cuûa ngöôøi thöù nhaát,
thöù hai, thöù ba töông öùng laø: 0,6; 0,7; 0,9. Tính xaùc suaát ñeå coù ít nhaát 2 quaû truùng roå?
a) 0,378 b) 0988 c) 0,834 d) 0,104
14. Hai xạ thủ cùng bắn vào một bia. Gọi A, B tương ứng là bc xạ thủ thứ nhất, thứ hai bắn trúng bia.
A + B là biến cố:
a) Cả 2 xạ thủ bắn trúng bia
b) Có 1 xạ thủ bắn trúng bia.
c) Bia trúng đạn.
d) Bia không trúng đạn.
15. Tung đồng thời hai con xúc xắc. Xác suất để tổng số chấm của hai xúc xắc bằng 7 là:
a) 1/5 b) 1/6
c) 1/7 d) 1/8
16. Một cửa hàng giày dép thời trang thống kê được trong số các khách đến xem sản phẩm có 60%
khách mua giày, 40% mua dép và 20% mua cả giày và dép. Tính xác suất để một khách đến xem thì
có mua hàng của công ty này?
a) 0,25 b) 0,6
c) 0,2 d) 0,8
17. Rút 2 lá bài từ một bộ bài 52 lá. Gọi A là bc rút được hai lá át, E là rút được hai lá màu đen, O là
rút được hai lá màu đỏ. Cặp biến cố nào sau đây xung khắc nhau:
a) E & O b) A & E
c) A & O d) Tất cả đều đúng.
18. Sử dụng dữ liệu câu 4, P (E + O) sẽ là:
a)  0,29 b)  0,39
c)  0,49 d)  0,59
19. Một lô hàng có 20 sp trong đó có 4 phế phẩm. Một người mua kiểm tra bằng cách lấy ngẫu nhiên
5 sp từ lô hàng, nếu có không quá 1 phế phẩm trong 5 sp lấy ra thì mua lô hàng đó. Tính xác suất để
lô hàng được mua?

6. a) 11648/15504 b) 25/59
c) 0,7 d) 0,6
20. Một siêu thị phát hành 300 vé trong đó có 10 vé sẽ trúng thưởng cho các khách hàng. Một khách
hàng được tặng ngẫu nhiên 5 vé. Tính xác suất để khách hàng này trúng thưởng?
a)  25,5% b)  15,7%
c)  35,7% d)  20,7%
21. Kiểm tra 3 sản phẩm chọn ngẫu nhiên từ một kiện hàng. Gọi Ai (i = 1, 2, 3) là biến cố có i sản
phẩm loại A.
a) A1, A2, A3 là các biến cố xung khắc nhau.
b) A1, A2, A3 là hệ biến cố đầy đủ.
c) a và b đều đúng
d) a và b đều sai.
22. Xếp ngẫu nhiên 10 người thành một hàng ngang. Tính xác suất để hai người A & B đứng cạnh
nhau:
a) 0,25 b) 0,6
c) 0,2 d) 0,8
23- Kiểm tra 3 sản phẩm chọn ngẫu nhiên từ một kiện hàng. Gọi A, B, C tương ứng là sp thứ nhất, thứ
hai, thứ ba là sp tốt.
a) A, B, C là 3 biến cố xung khắc từng đôi b) A, B, C là 3 biến cố không xung khắc nhau
c) A, B, C là hệ đầy đủ d) Câu a và c đều đúng
24. Kiểm tra 3 sản phẩm chọn ngẫu nhiên từ một kiện hàng. Gọi Ai (i = 1, 2, 3) là biến cố sản phẩm
thứ i là sản phẩm loại A. 1 2 3A A A  là biến cố:
a) A1 + A2 + A3
b) 321 AAA 
c) 321 AAA 
d) A1 . A2 . A3
25. Kiểm tra 3 sản phẩm chọn ngẫu nhiên từ một kiện hàng. Gọi Ai (i = 1, 2, 3) là biến cố sản phẩm
thứ i là sản phẩm loại A. 321 AAA  là biến cố:
a) A1 + A2 + A3
b) 321 AAA 

7. c) 321 AAA 
d) A1 . A2 . A3
Troïng löôïng cuûa caùc saûn phaåm do moät nhaø maùy saûn xuaát laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân phaân phoái theo
qui luaät chuaån vôùi kyø voïng toaùn laø 40 kg vaø ñoä leäch chuaån laø 0,3 kg. Tính tyû leä caùc saûn phaåm coù
troïng löôïng töø 39,7 ñeán 40,6 kg.
a) 97,44%; b) 81,85%; c) 95,44%; d) 90,65%;
Moät trung taâm böu ñieän trung bình nhaän ñöôïc 90 cuoäc ñieän thoaïi trong moät giôø. Tìm xaùc suaát ñeå
trung taâm böu ñieän naøy nhaän ñöôïc khoâng döôùi 3 cuoäc goïi trong moät phuùt. Laáy 5 soá thaäp phaân khi
tính.
a) 0,70855; b) 0,80885; c) 0,78865; d) 0,90885;
Cho X  B(5; 0,7); Y  H(12, 8, 6). Tính P(T ≤ 3). Bieát T = X + Y.
a. 0,025226; b. 0,001522; c. 0,003522; d.caû a. b. c. ñeàu sai;
Moät kieän haøng coù 10 saûn phaåm. Trong ñoù coù 6 saûn phaåm loaïi I, 3 saûn phaåm loaïi II vaø 1 thöù phaåm.
Laáy ngaãu nhieân khoâng hoaøn laïi töø kieän ra 2 saûn phaåm ñeå kieåm tra. Goïi X1, X2 töông öùng laø soá saûn
phaåm loaïi I, loaïi II coù trong 2 saûn phaåm laáy ra kieåm tra. Tính cov(X1, X2)
a. -0,432; b. -0,255; c. 0,34255; d. caû a. b. c. ñeàu sai;
Coù 450 loãi trong moät cuoán saùch coù 300 trang. Tính xaùc suaát ñeå moät trang coù khoâng quaù 2 loãi.
a. 0,80885; b. 0,74562; c. 0,68456; d, caû a. b. c. ñeàu sai;
X, Z laø hai ñaïi löôïng ngaãu nhieân ñoäc laäp. X  B(2, 0,7), Z  H(10, 7, 1). Y = 2X - Z +1. Tính
Var(Y).
a. 1,726; b. 1,89; c. 1,982; d. caû a. b. c. ñeàu sai;
Tìm xaùc suaát ñeå gaëp ngaãu nhieân 3 ngöôøi coù ngaøy sinh nhaät khaùc nhau. (laáy 4 soá thaäp phaân khi tính)
a. 7/44; b. 73/396; c. 0,9918; d. 0,1791;