1.
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian
Trang 1
TĐKG 01: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định vectơ pháp tuyến
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(–1;1;3) và mặt phẳng
(P): x y z–3 2 –5 0+ = . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông
góc với mặt phẳng (P).
· (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) Þ (Q) có VTPT Pn n AB, (0; 8; 12) 0é ù= = - - ¹ë û
uuur rr r
Þ Q y z( ): 2 3 11 0+ - = .
Câu hỏi tương tự:
a) Với A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), 2 3 3 0P x y z( ): + + + = . ĐS: Q x y z( ): 2 2 0- + - =
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm
A B(2;1;3), (1; 2;1)- và song song với đường thẳng
x t
d y t
z t
1
: 2
3 2
ì = - +
ï
=í
ï = - -î
.
· Ta có BA (1;3;2)=
uur
, d có VTCP u (1;2; 2)= -
r
.
Gọi n
r
là VTPT của (P) Þ n BA
n u
ì ^
í
^î
uurr
r r Þ chọn n BA u, ( 10;4; 1)é ù= = - -ë û
uurr r
Þ Phương trình của (P): x y z10 4 19 0- + - = .
Câu 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng d1( ) và d2( )có phương trình:
x y z
d1
1 1 2
( );
2 3 1
- + -
= = ,
x y z
d2
4 1 3
( ):
6 9 3
- - -
= = . Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa
(d1 ) và d2( ) .
· Chứng tỏ (d1) // (d2). (P): x + y – 5z +10 = 0
Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình:
x y z x y z2 2 2
2 6 4 2 0+ + - + - - = . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của
véc tơ v (1;6;2)=
r
, vuông góc với mặt phẳng x y z( ): 4 11 0a + + - = và tiếp xúc với (S).
· (S) có tâm I(1; –3; 2) và bán kính R = 4. VTPT của ( )a là n (1;4;1)=
r
.
Þ VTPT của (P) là: [ ]Pn n v, (2; 1;2)= = -
r r r
Þ PT của (P) có dạng: x y z m2 2 0- + + = .
Vì (P) tiếp xúc với (S) nên d I P( ,( )) 4=
m
m
21
3
é = -
Û ê =ë
.
Vậy: (P): x y z2 2 3 0- + + = hoặc (P): x y z2 2 21 0- + - = .
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; –1; 1) và hai đường thẳng
x y z
d1
1
( ):
1 2 3
+
= =
- -
và
x y z
d2
1 4
( ):
1 2 5
- -
= = . Chứng minh rằng điểm M d d1 2, , cùng
nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng đó.
· d1 qua M1(0; 1;0)- và có u1 (1; 2; 3)= - -
r
, d2 qua M2(0;1;4) và có u2 (1;2;5)=
r
.
u u1 2; ( 4; 8;4) 0é ù = - - ¹ë û
rr r
, M M1 2 (0;2;4)=
uuuuuur
Þ u u M M1 2 1 2; . 0é ù =ë û
uuuuuurr r
Þ d d1 2, đồng phẳng.
Gọi (P) là mặt phẳng chứa d d1 2, Þ (P) có VTPT n (1;2; 1)= -
r
và đi qua M1 nên có
phương trình x y z2 2 0+ - + = . Kiểm tra thấy điểm M P(1;–1;1) ( )Î .
www.VNMATH.com

2.
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 2
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu
Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:
x y z3 3
2 2 1
- -
= = và mặt cầu
(S): x y z x y z2 2 2
2 2 4 2 0+ + - - - + = . Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d và
trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S).
· (S) có tâm I(1; 1; 2), bán kính R = 2. d có VTCP u (2;2;1)=
r
.
(P) // d, Ox Þ (P) có VTPT [ ]n u i, (0;1; 2)= = -
rr r
Þ PT của (P) có dạng: y z D2 0- + = .
(P) tiếp xúc với (S) Û d I P R( ,( )) = Û
D
2 2
1 4
2
1 2
- +
=
+
Û D 3 2 5- = Û
D
D
3 2 5
3 2 5
é = +
ê
= -ë
Þ (P): y z2 3 2 5 0- + + = hoặc (P): y z2 3 2 5 0- + - = .
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x y z x y2 2 2
2 4 4 0+ + + - - = và
mặt phẳng (P): x z 3 0+ - = . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(3;1; 1)-
vuông góc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
· (S) có tâm I(–1; 2; 0) và bán kính R = 3; (P) có VTPT Pn (1;0;1)=
r
.
PT (Q) đi qua M có dạng: A x B y C z A B C2 2 2
( 3) ( 1) ( 1) 0, 0- + - + + = + + ¹
(Q) tiếp xúc với (S) Û d I Q R A B C A B C2 2 2
( ,( )) 4 3= Û - + + = + + (*)
Q PQ P n n A C C A( ) ( ) . 0 0^ Û = Û + = Û = -
r r
(**)
Từ (*), (**) Þ B A A B B A AB2 2 2 2
5 3 2 8 7 10 0- = + Û - + = Û A B A B2 7 4= Ú = -
· Với A B2= . Chọn B = 1, A = 2, C = –2 Þ PT (Q): x y z2 2 9 0+ - - =
· Với A B7 4= - . Chọn B = –7, A = 4, C = –4 Þ PT (Q): x y z4 7 4 9 0- - - =
Câu hỏi tương tự:
a) Với S x y z x y z2 2 2
( ): 2 4 4 5 0+ + - + - + = , P x y z M( ): 2 6 5 0, (1;1;2)+ - + = .
ĐS: Q x y z( ): 2 2 6 0+ + - = hoặc Q x y z( ):11 10 2 5 0- + - = .
Câu 8. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x y z x y z2 2 2
–2 4 2 –3 0+ + + + = .
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có
bán kính r 3= .
· (S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = 3. (P) chứa Ox Þ (P): ay + bz = 0.
Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính bằng 3 cho nên (P) đi qua tâm I.
Suy ra: –2a – b = 0 Û b = –2a (a ¹ 0) Þ (P): y – 2z = 0.
Câu 9. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x y z x y z2 2 2
2 2 2 –1 0+ + + - + =
và đường thẳng
x y
d
x z
2 0
:
2 6 0
ì - - =
í - - =î
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và cắt mặt cầu
(S) theo một đường tròn có bán kính r 1= .
· (S) có tâm I( 1;1; 1)- - , bán kính R = 2.
PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz d a b c2 2 2
0 ( 0)+ + + = + + ¹ .
Chọn M N d(2;0; 2), (3;1;0)- Î .
www.VNMATH.com

3.
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian
Trang 3
Ta có:
M P
N P
d I P R r2 2
( )
( )
( ,( ))
ì Î
ï Îí
ï = -î
Û
a b c a b d a b
a b c a b d a b
,2 ( ), 3 (1)
17 7 ,2 ( ), 3 (2)
é = = - + = - -
ê = - = - + = - -ë
+ Với (1) Þ (P): x y z 4 0+ - - = + Với (2) Þ (P): x y z7 17 5 4 0- + - =
Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng
x y z
1
1
:
2 1 1
D
-
= =
-
,
x y z
2
1
:
1 1 1
D
-
= =
- -
và mặt cầu (S): x y z x y z2 2 2
–2 2 4 –3 0+ + + + = . Viết phương trình
tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng D1 và D1.
· (P): y z 3 3 2 0+ + + = hoặc (P): y z 3 3 2 0+ + - =
Câu 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình
x y z x y z2 2 2
2 4 6 11 0+ + - + - - = và mặt phẳng (a) có phương trình 2x + 2y – z + 17 = 0.
Viết phương trình mặt phẳng (b) song song với (a) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn
có chu vi bằng p 6p= .
· Do (b) // (a) nên (b) có phương trình 2x + 2y – z + D = 0 (D ¹ 17)
(S) có tâm I(1; –2; 3), bán kính R = 5. Đường tròn có chu vi 6p nên có bán kính r = 3.
Khoảng cách từ I tới (b) là h = R r2 2 2 2
5 3 4- = - =
Do đó
D D
D
D (loaïi)2 2 2
2.1 2( 2) 3 7
4 5 12
17
2 2 ( 1)
+ - - + é = -
= Û - + = Û ê =ë+ + -
Vậy (b) có phương trình x y z2 2 – –7 0+ = .
Câu hỏi tương tự:
a) y z x y zS x 2 2 2 4 6 11 02( ): + + + + - - = , x y z( ):2 2 19 0+ - + =a , p 8p= .
ĐS: x y z( ): 2 2 1 0+ - + =b
www.VNMATH.com

4.
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 4
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách
Câu 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông
góc với mặt phẳng (Q): x y z 0+ + = và cách điểm M(1; 2; –1) một khoảng bằng 2 .
· PT mặt phẳng (P) qua O nên có dạng: Ax By Cz 0+ + = (với A B C2 2 2
0+ + ¹ ).
· Vì (P) ^ (Q) nên: A B C1. 1. 1. 0+ + = Û C A B= - - (1)
· d M P( ,( )) 2= Û
A B C
A B C2 2 2
2
2
+ -
=
+ +
Û A B C A B C2 2 2 2
( 2 ) 2( )+ - = + + (2)
Từ (1) và (2) ta được: AB B2
8 5 0+ = Û
B
A B
0 (3)
8 5 0 (4)
é =
ê + =ë
· Từ (3): B = 0 Þ C = –A. Chọn A = 1, C = –1 Þ (P): x z 0- =
· Từ (4): 8A + 5B = 0. Chọn A = 5, B = –8 Þ C = 3 Þ (P): x y z5 8 3 0- + = .
Câu 13. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D :
x y z1 3
1 1 4
- -
= = và
điểm M(0; –2; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M, song song với đường
thẳng D, đồng thời khoảng cách d giữa đường thẳng D và mặt phẳng (P) bằng 4.
· Phương trình mp (P) đi qua M(0; –2; 0) có dạng: ax by cz b2 0+ + + = (a b c2 2 2
0+ + ¹ )
D đi qua điểm A(1; 3; 0) và có một VTCP u (1;1;4)=
r
Ta có:
a b c
P a b
d A P d
a b c2 2 2
4 0
( ) 5
4( ;( ))
ì + + =
ïìD +Ûí í ==î ï
+ +î
P
Û
a c
a c
4
2
ì =
í = -î
.
· Với a c4= . Chọn a c b4, 1 8= = Þ = - Þ Phương trình (P): x y z4 8 16 0- + - = .
· Với a c2= - . Chọn a c b2, 1 2= = - Þ = Þ Phương trình (P): x y z2 2 4 0+ - + = .
Câu hỏi tương tự:
a) Với
x y z
M d
1
: ; (0;3; 2), 3
1 1 4
D
-
= = - = .
ĐS: P x y z( ): 2 2 8 0+ - - = hoặc P x y z( ): 4 8 26 0- + + = .
Câu 14. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
x t
d y t
z
( ): 1 2
1
ì =
ï
= - +í
ï =î
và điểm
A( 1;2;3)- . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ
điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 3.
· (d) đi qua điểm M(0; 1;1)- và có VTCT u (1;2;0)=
r
. Gọi n a b c( ; ; )=
r
với a b c2 2 2
0+ + ¹
là VTPT của (P) .
PT mặt phẳng (P): a x b y c z ax by cz b c( 0) ( 1) ( 1) 0 0- + + + - = Û + + + - = (1).
Do (P) chứa (d) nên: u n a b a b. 0 2 0 2= Û + = Û = -
r r
(2)
( )
a b c b c
d A P b c b c
a b c b c
2 2
2 2 2 2 2
3 2 5 2
,( ) 3 3 3 5 2 3 5
5
- + + +
= Û = Û = Û + = +
+ + +
( )b bc c b c c b
22 2
4 4 0 2 0 2Û - + = Û - = Û = (3)
Từ (2) và (3), chọn b 1= - Þ a c2, 2= = - Þ PT mặt phẳng (P): x y z2 2 1 0- - + = .
www.VNMATH.com

5.
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian
Trang 5
Câu 15. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm M N I( 1;1;0), (0;0; 2), (1;1;1)- - . Viết
phương trình mặt phẳng (P) qua A và B, đồng thời khoảng cách từ I đến (P) bằng 3 .
· PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz d a b c2 2 2
0 ( 0)+ + + = + + ¹ .
Ta có:
M P
N P
d I P
( )
( )
( ,( )) 3
ì Î
ï
Îí
ï =î
Û
a b c a b d a b
a b c a b d a b
,2 , (1)
5 7 ,2 , (2)
é = - = - = -
ê = = - = -ë
.
+ Với (1) Þ PT mặt phẳng (P): x y z 2 0- + + =
+ Với (2) Þ PT mặt phẳng (P): x y z7 5 2 0+ + + = .
Câu 16. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; 1;2)- , B(1;3;0),
C( 3;4;1)- , D(1;2;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C
đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).
· PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz d a b c2 2 2
0 ( 0)+ + + = + + ¹ .
Ta có:
A P
B P
d C P d D P
( )
( )
( ,( )) ( ,( ))
ì Î
ï
Îí
ï =î
Û
a b c d
a b d
b c d a b c d
a b c a b c2 2 2 2 2 2
2 0
3 0
3a 4 2
ì - + + =
ï + + =ï
í - + + + + + +
=ï
ï + + + +î
Û
b a c a d a
c a b a d a
2 , 4 , 7
2 , , 4
é = = = -
ê = = = -ë
+ Với b a c a d a2 , 4 , 7= = = - Þ (P): x y z2 4 7 0+ + - = .
+ Với c a b a d a2 , , 4= = = - Þ (P): x y z2 4 0+ + - = .
Câu hỏi tương tự:
a) Với A B C D(1;2;1), ( 2;1;3), (2; 1;1), (0;3;1)- - .
ĐS: P x y z( ): 4 2 7 15 0+ + - = hoặc P x z( ): 2 3 5 0+ - = .
Câu 17. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;2;3) , B(0; 1;2)- ,
C(1;1;1) . Viết phương trình mặt phẳng P( ) đi qua A và gốc tọa độ O sao cho khoảng cách
từ B đến P( ) bằng khoảng cách từ C đến P( ) .
· Vì O Î (P) nên P ax by cz( ): 0+ + = , với a b c2 2 2
0+ + ¹ .
Do A Î (P) Þ a b c2 3 0+ + = (1) và d B P d C P b c a b c( ,( )) ( ,( )) 2= Û - + = + + (2)
Từ (1) và (2) Þ b 0= hoặc c 0= .
· Với b 0= thì a c3= - Þ P x z( ):3 0- = · Với c 0= thì a b2= - Þ P x y( ): 2 0- =
Câu hỏi tương tự:
a) Với A B C(1;2;0), (0;4;0), (0;0;3). ĐS: x y z6 3 4 0- + + = hoặc x y z6 3 4 0- + = .
Câu 18. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;1; 1)- , B(1;1;2),
C( 1;2; 2)- - và mặt phẳng (P): x y z2 2 1 0- + + = . Viết phương trình mặt phẳng ( )a đi qua
A, vuông góc với mặt phẳng (P), cắt đường thẳng BC tại I sao cho IB IC2= .
· PT ( )a có dạng: ax by cz d 0+ + + = , với a b c2 2 2
0+ + ¹
Do A(1;1; 1) ( )a- Î nên: a b c d 0+ - + = (1); P( ) ( )a ^ nên a b c2 2 0- + = (2)
IB IC2= Þ d B d C( ,( )) 2 ( ;( ))a a= Þ
a b c d a b c d
a b c a b c2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
+ + + - + - +
=
+ + + +
www.VNMATH.com

6.
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 6
a b c d
a b c d
3 3 6 0
(3)
5 2 3 0
é - + - =
Û ê- + - + =ë
Từ (1), (2), (3) ta có 2 trường hợp sau :
TH1 :
a b c d
a b c b a c a d a
a b c d
0
1 3
2 2 0 ; ;
2 23 3 6 0
ì + - + =
- -ï
- + = Û = = - =í
ï - + - =î
.
Chọn a b c d2 1; 2; 3= Þ = - = - = - Þ ( )a : x y z2 2 3 0- - - =
TH2 :
a b c d
a b c b a c a d a
a b c d
0
3 3
2 2 0 ; ;
2 25 2 3 0
ì + - + =
-ï
- + = Û = = =í
ï- + - + =î
.
Chọn a b c d2 3; 2; 3= Þ = = = - Þ ( )a : x y z2 3 2 3 0+ + - =
Vậy: ( )a : x y z2 2 3 0- - - = hoặc ( )a : x y z2 3 2 3 0+ + - =
Câu 19. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d d1 2, lần lượt có phương
trình
x y z
d1
2 2 3
:
2 1 3
- - -
= = ,
x y z
d2
1 2 1
:
2 1 4
- - -
= =
-
. Viết phương trình mặt phẳng cách
đều hai đường thẳng d d1 2, .
· Ta có d1 đi qua A(2;2;3) , có du 1 (2;1;3)=
r
, d2 đi qua B(1;2;1) và có du 2 (2; 1;4)= -
r
.
Do (P) cách đều d d1 2, nên (P) song song với d d1 2, Þ P d dn u u1 2, (7; 2; 4)é ù= = - -ë û
r r r
Þ PT mặt phẳng (P) có dạng: x y z d7 2 4 0- - + =
Do (P) cách đều d d1 2, suy ra d A P d B P( ,( )) ( ,( ))=
Û
d d7.2 2.2 4.3 7.1 2.2 4.1
69 69
- - + - - +
= d d d
3
2 1
2
Û - = - Û =
Þ Phương trình mặt phẳng (P): x y z14 4 8 3 0- - + =
Câu 20. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d d1 2, lần lượt có phương
trình
x t
d y t
z
1
1
: 2
1
ì = +
ï
= -í
ï =î
,
x y z
d2
2 1 1
:
1 2 2
- - +
= =
-
. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song
với d1 và d2 , sao cho khoảng cách từ d1 đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ d2 đến (P).
· Ta có : d1 đi qua A(1;2;1) và có VTCP u1 (1; 1;0)= -
r
d2 đi qua B(2;1; 1)- và có VTCP là u2 (1; 2;2)= -
r
Gọi n
r
là VTPT của (P), vì (P) song song với d1 và d2 nên n u u1 2, ( 2; 2; 1)é ù= = - - -ë û
r r r
Þ Phương trìnht (P): x y z m2 2 0+ + + = .
m
d d P d A P1
7
( ,( )) ( ;( ))
3
+
= = ;
m
d d P d B P2
5
( ,( )) ( ,( ))
3
+
= =
d d P d d P1 2( ,( )) 2 ( ,( ))= m m7 2. 5Û + = +
m m
m m
7 2(5 )
7 2(5 )
é + = +
Û ê + = - +ë
m m
17
3;
3
Û = - = -
+ Với m 3= - Þ P x y z( ): 2 2 –3 0+ + = + Với m
17
3
= - Þ P x y z
17
( ): 2 2 0
3
+ + - =
www.VNMATH.com

7.
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian
Trang 7
Câu 21. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm
A(0; 1;2)- , B(1;0;3) và tiếp xúc với mặt cầu (S): x y z2 2 2
( 1) ( 2) ( 1) 2- + - + + = .
· (S) có tâm I(1;2; 1)- , bán kính R 2= .
PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz d a b c2 2 2
0 ( 0)+ + + = + + ¹
Ta có:
A P
B P
d I P R
( )
( )
( ,( ))
ì Î
ï
Îí
ï =î
Û
a b c a b d a b
a b c a b d a b
, , 2 3 (1)
3 8 , , 2 3 (2)
é = - = - - = +
ê = - = - - = +ë
+ Với (1) Þ Phương trình của (P): x y 1 0- - =
+ Với (2) Þ Phương trình của (P): x y z8 3 5 7 0- - + =
Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 1;1)- . Viết phương trình mặt
phẳng (P) đi qua điểm A và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất.
· Ta có d O P OA( ,( )) £ . Do đó d O P OAmax( ,( )) = xảy ra OA P( )Û ^ nên mặt phẳng (P)
cần tìm là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với OA. Ta có OA (2; 1;1)= -
uuur
Vậy phương trình mặt phẳng (P): x y z2 6 0- + - = ..
Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(10; 2; –1) và đường thẳng d có
phương trình:
x y z1 1
2 1 3
- -
= = . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d
và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất.
· Gọi H là hình chiếu của A trên d Þ d(d, (P)) = d(H, (P)). Giả sử điểm I là hình chiếu của
H lên (P), ta có AH HI³ Þ HI lớn nhất khi A Iº . Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A
và nhận AH
uuur
làm VTPT Þ (P): x y z7 5 77 0+ - - = .
Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình tham số
{x t y t z t2 ; 2 ; 2 2= - + = - = + . Gọi D là đường thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song với (d)
và I(–2;0;2) là hình chiếu vuông góc của A trên (d). Viết phương trình của mặt phẳng chứa
D và có khoảng cách đến (d) là lớn nhất.
· Gọi (P) là mặt phẳng chứa D, thì P d( ) ( )P hoặc P d( ) ( )É . Gọi H là hình chiếu vuông
góc của I trên (P). Ta luôn có IH IA£ và IH AH^ .
Mặt khác
d d P d I P IH
H P
( ,( )) ( ,( ))
( )
ì = =
í Îî
Trong (P), IH IA£ ; do đó maxIH = IA H AÛ º . Lúc này (P) ở vị trí (P0) ^ IA tại A.
Vectơ pháp tuyến của (P0) là ( )n IA 6;0; 3= = -
r uur
, cùng phương với ( )v 2;0; 1= -
r
.
Phương trình của mặt phẳng (P0) là: x z x z2( 4) 1.( 1) 2 9 0- - + = - - = .
Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
x y z
d
1 2
:
2 1 2
- -
= = và điểm
A(2;5;3). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn
nhất.
· PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz d a b c2 2 2
0 ( 0)+ + + = + + ¹ .
(P) có VTPT n a b c( ; ; )=
r
, d đi qua điểm M(1;0;2) và có VTCP u (2;1;2)=
r
.
www.VNMATH.com

8.
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 8
Vì (P) É d nên
M P
n u
( )
. 0
ì Î
í =î
r r Þ
a c d
a b c
2 0
2 2 0
ì + + =
í + + =î
Þ
c a b
d a b
2 (2 )ì = - +
í = +î
. Xét 2 trường hợp:
TH1: Nếu b = 0 thì (P): x z 1 0- + = . Khi đó: d A P( ,( )) 0= .
TH2: Nếu b ¹ 0. Chọn b 1= ta được (P): ax y a z a2 2 (2 1) 2 2 0+ - + + + = .
Khi đó: d A P
a a
a
2 2
9 9
( ,( )) 3 2
8 4 5 1 3
2 2
2 2
= = £
+ + æ ö
+ +ç ÷
è ø
Vậy d A Pmax ( ,( )) 3 2= Û a a
1 1
2 0
2 4
+ = Û = - . Khi đó: (P): x y z4 3 0- + - = .
Câu hỏi tương tự:
a)
x y z
d A
1 1 2
: , (5;1;6)
2 1 5
- + -
= = . ĐS: P x y z( ): 2 1 0+ - + =
b)
x y z
d A
1 2
: , (1;4;2)
1 1 2
- +
= =
-
. ĐS: P x y z( ): 5 13 4 21 0+ - + =
Câu 26. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(0; 1;2)- và N( 1;1;3)- . Viết phương
trình mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ điểm K(0;0;2) đến mặt phẳng (P)
là lớn nhất.
· PT (P) có dạng: Ax B y C z Ax By Cz B C( 1) ( 2) 0 2 0+ + + - = Û + + + - =
A B C2 2 2
( 0)+ + ¹
N P A B C B C A B C( 1;1;3) ( ) 3 2 0 2- Î Û - + + + - = Û = +
P B C x By Cz B C( ):(2 ) 2 0Þ + + + + - = ; d K P
B C BC
B
( ,( ))
2 2
4 2 4
=
+ +
· Nếu B = 0 thì d(K, (P)) = 0 (loại)
· Nếu B 0¹ thì
B
d K P
B C BC C
B
2 2 2
1 1
( ,( ))
24 2 4
2 1 2
= = £
+ + æ ö
+ +ç ÷
è ø
Dấu “=” xảy ra khi B = –C. Chọn C = 1. Khi đó PT (P): x y z– 3 0+ + = .
www.VNMATH.com

9.
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian
Trang 9
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc
Câu 27. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (a) chứa đường thẳng ():
x y z1
1 1 2
-
= =
- -
và tạo với mặt phẳng (P) : x y z2 2 1 0- - + = một góc 600
. Tìm tọa độ giao
điểm M của mặt phẳng (a) với trục Oz.
· () qua điểm A(1;0;0) và có VTCP u (1; 1; 2)= - -
r
. (P) có VTPT n (2; 2; 1)¢ = - -
r
.
Giao điểm M m(0;0; ) cho AM m( 1;0; )= -
uuuur
. (a) có VTPT n AM u m m, ( ; 2;1)é ù= = -ë û
uuur urr
(a) và (P): x y z2 2 1 0- - + = tạo thành góc 600
nên :
( )n n m m
m m
2
2
1 1 1
cos , 2 4 1 0
2 22 4 5
¢ = Û = Û - + =
- +
r r
Û m 2 2= - hay m 2 2= +
Kết luận : M(0;0;2 2)- hay M(0;0;2 2)+
Câu 28. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao
tuyến d của hai mặt phẳng x y( ): 2 – –1 0=a , x z( ) : 2 – 0b = và tạo với mặt phẳng
Q x y z( ): –2 2 –1 0+ = một góc j mà
2 2
cos
9
j =
· Lấy A B d(0;1;0), (1;3;2)Î . (P) qua A Þ PT (P) có dạng: Ax By Cz B– 0+ + = .
(P) qua B nên: A B C B3 2 – 0+ + = Þ A B C(2 2 )= - +
Þ P B C x By Cz B( ): (2 2 ) – 0- + + + =
B C B C
B C B C2 2 2
2 2 2 2 2 2
cos
93 (2 2 )
j
- - - +
= =
+ + +
Û B BC C2 2
13 8 –5 0+ = .
Chọn C B B
5
1 1;
13
= Þ = = .
+ Với B C 1= = Þ P x y z( ): 4 –1 0- + + =
+ Với B C
5
, 1
13
= = Þ P x y z( ): 23 5 13 –5 0- + + = .
Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A B( 1;2; 3), (2; 1; 6)- - - - và mặt
phẳng P x y z( ): 2 3 0+ + - = . Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa AB và tạo với mặt
phẳng (P) một góc a thoả mãn
3
cos
6
a = .
· PT mặt phẳng (Q) có dạng: ax by cz d a b c2 2 2
0 ( 0)+ + + = + + ¹ .
Ta có:
A Q
B Q
( )
( )
3
cos
6
a
ì Î
ï Îï
í
ï =
ïî
Û
a b c d
b c d
a b c
a b c2 2 2
2 3 0
2a 6 0
2 3
61 4 1
ì- + - + =
ï - - + =ï
í + +
ï =
ï + + + +î
Û
a b c b d b
a b c d b
4 , 3 , 15
, 0,
é = - = - = -
ê = - = = -ë
Þ Phương trình mp(Q): x y z4 3 15 0- + + = hoặc (Q): x y 3 0- - = .
Câu hỏi tương tự:
a) A B(0;0;1), (1;1;0), P Oxy
1
( ) ( ),cos
6
aº = .
ĐS: (Q): x y z2 1 0- + - = hoặc (Q): x y z2 1 0- - + = .
www.VNMATH.com

10.
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 10
Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
x y z
d
x y z
3 0
:
2 4 0
ì + + - =
í + + - =î
. Viết
phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc
0
60a = .
· ĐS: P x y z( ): 2 2 2 0+ + - - = hoặc P x y z( ): 2 2 2 0- - - + =
Câu 31. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng P x y z( ): 5 2 5 1 0- + - = và
Q x y z( ): 4 8 12 0- - + = . Lập phương trình mặt phẳng R( ) đi qua điểm M trùng với gốc tọa
độ O, vuông góc với mặt phẳng (P) và tạo với mặt phẳng (Q) một góc 0
45=a .
· Giả sử PT mặt phẳng (R): ax by cz d a b c2 2 2
0 ( 0)+ + + = + + ¹ .
Ta có: R P a b c( ) ( ) 5 2 5 0^ Û - + = (1);
· a b c
R Q
a b c
0
2 2 2
4 8 2
cos(( ),( )) cos45
29
- -
= Û =
+ +
(2)
Từ (1) và (2) Þ
a c
a ac c
c a
2 2
7 6 0
7
é = -
+ - = Û ê =ë
· Với a c= - : chọn a b c1, 0, 1= = = - Þ PT mặt phẳng R x z( ): 0- =
· Với c a7= : chọn a b c1, 20, 7= = = Þ PT mặt phẳng R x y z( ): 20 7 0+ + =
Câu hỏi tương tự:
a) Với P x y z Q Oyz M 0
( ): 2 0,( ) ( ), (2; 3;1), 45- - = º - =a .
ĐS: R x y( ): 1 0+ + = hoặc R x y z( ): 5 3 4 23 0- + - =
Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình:
x y z
1
1 1 1
:
1 1 3
D
- + -
= =
-
và
x y z
2 :
1 2 1
D = =
-
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa 1D và
tạo với 2D một góc 0
30=a .
· Đáp số: (P): x y z5 11 2 4 0+ + + = hoặc (P): x y z2 2 0- - - = .
Câu hỏi tương tự:
a) Với
x y z
1
2
:
1 1 1
D
-
= =
-
,
x y z
2
2 3 5
:
2 1 1
D
- - +
= =
-
, 0
30=a .
ĐS: (P): x y z2 2 2 0- - + = hoặc (P): x y z2 4 0+ + - =
b)
x y z
1
1 1
:
2 1 1
D
- +
= =
-
,
x y z
2
2 1
:
1 1 1
D
- +
= =
-
, 0
30=a .
ĐS: (P): x y z(18 114) 21 (15 2 114) (3 114) 0+ + + + - - =
hoặc (P): x y z(18 114) 21 (15 2 114) (3 114) 0- + + - - + =
Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
M(1;2;3) và tạo với các trục Ox, Oy các góc tương ứng là 0 0
45 , 30 .
· Gọi n a b c( ; ; )=
r
là VTPT của (P). Các VTCP của trục Ox, Oy là i j(1;0;0), (0;1;0)= =
r r
.
Ta có:
Ox P
Oy P
2
sin( ,( ))
2
1
sin( ,( ))
2
ì
=ïï
í
ï =
ïî
Û a b
c b
2ì =
í
=î
www.VNMATH.com

11.
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian
Trang 11
PT mặt phẳng (P): x y z2( 1) ( 2) ( 3) 0- + - ± - = hoặc x y z2( 1) ( 2) ( 3) 0- - + - ± - =
Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x y z2 5 0+ - + = và đường
thẳng
x y z
d
1 1 3
:
2 1 1
+ + -
= = . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo
với mặt phẳng (Q) một góc nhỏ nhất.
· PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz d a b c2 2 2
0 ( 0)+ + + = + + ¹ . Gọi ·P Q(( ),( ))=a .
Chọn hai điểm M N d( 1; 1;3), (1;0;4)- - Î . Ta có:
M P c a b
N P d a b
( )
( ) 7 4
ì ìÎ = - -
Þí íÎ = +î î
Þ (P): ax by a b z a b( 2 ) 7 4 0+ + - - + + = Þ
a b
a ab b2 2
3
cos .
6 5 4 2
a
+
=
+ +
TH1: Nếu a = 0 thì
b
b2
3 3
cos .
26 2
a = = Þ 0
30=a .
TH2: Nếu a ¹ 0 thì
b
a
b b
a a
2
1
3
cos .
6
5 4 2
a
+
=
æ ö
+ + ç ÷
è ø
. Đặt
b
x
a
= và f x 2
( ) cos a=
Xét hàm số
x x
f x
x x
2
2
9 2 1
( ) .
6 5 4 2
+ +
=
+ +
.
Dựa vào BBT, ta thấy f x 0 0
min ( ) 0 cos 0 90 30a= Û = Û = >a
Do đó chỉ có trường hợp 1 thoả mãn, tức a = 0. Khi đó chọn b c d1, 1, 4= = = .
Vậy: (P): y z 4 0- + = .
Câu hỏi tương tự:
a) Với (Q): x y z2 2 –3 0+ + = ,
x y z
d
1 2
:
1 2 1
- +
= =
-
. ĐS: P x y z( ): 2 5 3 0+ + + = .
b) Với
x y z
Q Oxy d
1 2
( ) ( ), :
1 1 2
- +
º = =
-
. ĐS: P x y z( ): 3 0- + - = .
c) Với Q x y z( ): 2 2 0- - - = ,
x t
d y t
z t
: 1 2
2
ì = -
ï
= - +í
ï = +î
. ĐS: P x y z( ): 3 0+ + - = .
Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M N( 1; 1;3), (1;0;4)- - và mặt phẳng
(Q): x y z2 5 0+ - + = . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N và tạo với (Q) một góc
nhỏ nhất.
· ĐS: P y z( ): 4 0- + = .
Câu hỏi tương tự:
a) M N Q Oxy(1;2; 1), ( 1;1;2),( ) ( )- - º . ĐS: P x y z( ): 6 3 5 7 0+ + - = .
Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
x t
d y t
z t
1
: 2
2
ì = -
ï
= - +í
ï =î
. Viết phương
trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với trục Oy một góc lớn nhất.
· PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz d a b c2 2 2
0 ( 0)+ + + = + + ¹ . Gọi ·P Oy(( ), )=a .
www.VNMATH.com

12.
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 12
Chọn hai điểm M N d(1; 2;0), (0; 1;2)- - Î . Ta có:
M P c a b
N P d a b
( ) 2
( ) 2
ì ìÎ = -
Þí íÎ = - +î î
Þ (P):
a b
ax by z a b2 0
2
-
+ + - + = Þ
b
a b ab2 2
2
sin
5 5 2
a =
+ -
.
TH1: Nếu b = 0 thì 0
0=a .
TH2: Nếu b ¹ 0 thì
a a
b b
2
2
sin
5 5 2
a =
æ ö
+ -ç ÷
è ø
. Đặt
a
x
b
= và f x 2
( ) sin= a .
Xét hàm số f x
x x2
4
( )
5 2 5
=
- +
. Dựa vào BBT, ta được f x x
5 1
max ( )
6 5
= Û = Þ 0
0>a .
Vậy a lớn nhất khi
a
b
1
5
= . Chọn a b c d1, 5, 2, 9= = = - = Þ (P): x y z5 2 9 0+ - + = .
Câu 37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
x y z
d1
1 2
:
1 2 1
- +
= =
-
và
x y z
d2
2 1
:
2 1 2
+ -
= =
-
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 sao cho góc giữa mặt phẳng
(P) và đường thẳng d2 là lớn nhất.
· d1 đi qua M(1; 2;0)- và có VTCP u (1;2; 1)= -
r
.Vì d P1 ( )Ì nên M P( )Î .
PT mặt phẳng (P) có dạng: A x B y Cz( 1) ( 2) 0- + + + = A B C2 2 2
( 0)+ + ¹
Ta có: d P u n C A B( ) . 0 2Ì Û = Û = +
r r
.
Gọi ·P d2(( ), )=a Þ
A B A B
A AB BA AB B
2
2 22 2
4 3 1 (4 3 )
sin .
3 2 4 53. 2 4 5
+ +
= =
+ ++ +
a
TH1: Với B = 0 thì sin
2 2
3
=a
TH2: Với B ¹ 0. Đặt
A
t
B
= , ta được:
t
sin
t t
2
2
1 (4 3)
.
3 2 4 5
+
=
+ +
a
Xét hàm số
t
f t
t t
2
2
(4 3)
( )
2 4 5
+
=
+ +
. Dựa vào BBT ta có: f t
25
max ( )
7
= khi t 7= - Û
A
B
7= -
Khi đó f
5 3
sin ( 7)
9
= - =a .
So sánh TH1 và TH2 Þ a lớn nhất với
5 3
sin
9
=a khi
A
B
7= - .
Þ Phương trình mặt phẳng (P) : x y z7 5 9 0- + - = .
Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
x y z
d
1 2 1
:
1 1 1
+ - +
= =
-
và điểm
A(2; 1;0)- . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d và tạo với mặt phẳng
(Oxy) một góc nhỏ nhất.
· ĐS: P x y z( ): 2 1 0+ + - = .
www.VNMATH.com

13.
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian
Trang 13
Câu 39. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x y z2 2 0- + + = và điểm
A(1;1; 1)- . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A, vuông góc với mặt phẳng (Q) và
tạo với trục Oy một góc lớn nhất.
· ĐS: P y z( ): 0+ = hoặc P x y z( ): 2 5 6 0+ + - = .
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến tam giác
Câu 40. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; 5; 6). Viết phương trình mặt
phẳng (P) qua A, cắt các trục tọa độ lần lượt tại I, J, K mà A là trực tâm của tam giác IJK.
· Gọi I(a;0;0), J(0;b;0), K(0;0;c) Þ
x y z
P
a b c
( ): 1+ + =
IA a JA b
JK b c IK a c
(4 ;5;6), (4;5 ;6)
(0; ; ), ( ;0; )
= - = -
= - = -
uur uur
uur uur Þ
a b c
b c
a c
4 5 6
1
5 6 0
4 6 0
ì
+ + =ïï
í- + =ï
- + =ïî
Þ a b c
77 77 77
; ;
4 5 6
= = =
Vậy phương trình mặt phẳng (P): x y z4 5 6 77 0+ + - = .
Câu hỏi tương tự:
a) Với A(–1; 1; 1). ĐS: (P): x y z 3 0- - + =
Câu 41. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2; 0; 0) M(1; 1; 1). Mặt phẳng (P) thay đổi
qua AM cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B(0; b; 0), C(0; 0; c) (b > 0, c > 0). Chứng minh
rằng:
bc
b c
2
+ = . Từ đó, tìm b, c để diện tích tam giác ABC nhỏ nhất.
· PT mp (P) có dạng:
x y z
b c
1.
2
+ + = Vì M P( )Î nên
b c
1 1 1
1
2
+ + = Û
bc
b c
2
+ = .
Ta có AB b( 2; ;0)-
uuur
, AC c( 2;0; ).-
uuur
Khi đó S b c b c2 2 2
( )= + + + .
Vì b c bc b c bc2 2 2
2 ; ( ) 4+ ³ + ³ nên S bc6³ .
Mà bc b c bc bc2( ) 4 16= + ³ Þ ³ . Do đó S 96³ . Dấu "=" xảy ra Û b c 4= = .
Vậy: Smin 96= khi b c 4= = .
Câu 42. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;2;4) và mặt phẳng P( ): x y z 4 0+ + + = .
Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và (Q) cắt hai tia Ox, Oy tại 2 điểm B,
C sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 6.
· Vì (Q) // (P) nên (Q): x y z d d0 ( 4)+ + + = ¹ . Giả sử B Q Ox C Q Oy( ) , ( )= Ç = Ç
Þ B d C d d( ;0;0), (0; ;0) ( 0)- - < . ABCS AB AC
1
, 6
2
é ù= =ë û
uuur uuur
Û d 2= -
Þ Q x y z( ): 2 0+ + - = .
Câu 43. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm A B(3;0;0), (1;2;1). Viết phương trình mặt
phẳng (P) qua A, B và cắt trục Oz tại M sao cho tam giác ABC có diện tích bằng
9
2
.
· ĐS: P x y( ): 2 2z 3 0+ - - = .
www.VNMATH.com

14.
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 14
Dạng 6: Các dạng khác về viết phương trình mặt phẳng
Câu 44. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
M(9;1;1) , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ
nhất.
· Giá sử A a Ox B b Oy C c Oz( ;0;0) , (0; ;0) , (0;0; )Î Î Î a b c( , , 0)> .
Khi đó PT mặt phẳng (P) có dạng:
x y z
a b c
1+ + = .
Ta có: M P(9;1;1) ( )Î Þ
a b c
9 1 1
1+ + = (1); OABCV abc
1
6
= (2)
(1) Û abc bc ac ab9= + + ≥ abc 23
3 9( ) Û abc abc abc3 2
( ) 27.9( ) 243³ Û ³
Dấu "=" xảy ra Û
abc ac ab
b
ca b c
279
39 1 1
1
3
ì =ì = = ïï
Û =íí
+ + = ïï =îî
Þ (P):
x y z
1
27 3 3
+ + = .
Câu hỏi tương tự:
a) Với M(1;2;4) . ĐS:
x y z
P( ): 1
3 6 12
+ + =
Câu 45. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
M(1;2;3) , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức
OA OB OC2 2 2
1 1 1
+ + có giá trị
nhỏ nhất.
· ĐS: P x y z( ): 2 3 14 0+ + - = .
Câu 46. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
M(2;5;3), cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức OA OB OC+ + có giá trị nhỏ
nhất.
· ĐS:
x y z
P( ): 1
2 6 10 5 10 15 3 6 15
+ + =
+ + + + + +
.
www.VNMATH.com

15.
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian
Trang 15
TĐKG 02: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng bằng cách xác định vectơ chỉ phương
Câu 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
x y z
d
1 1 2
:
2 1 3
+ - -
= = và mặt
phẳng P : x y z 1 0- - - = . Viết phương trình đường thẳng D đi qua A(1;1; 2)- , song song
với mặt phẳng P( ) và vuông góc với đường thẳng d .
· d Pu u n; (2;5; 3)é ù= = -ë û
uur uurr
. D nhận u
r
làm VTCP Þ
x y z1 1 2
:
2 5 3
D
- - +
= =
-
Câu 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình:
{ x t= - ; y t1 2= - + ; z t2= + (t RÎ ) và mặt phẳng (P): x y z2 2 3 0- - - = .Viết phương
trình tham số của đường thẳng D nằm trên (P), cắt và vuông góc với (d).
· Gọi A = d Ç (P) Þ A(1; 3;1)- .
Phương trình mp(Q) qua A và vuông góc với d: x y z2 6 0- + + + =
D là giao tuyến của (P) và (Q) Þ D: {x t y z t1 ; 3; 1= + = - = +
Câu 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) và đường thẳng D:
x y z1 1
2 1 1
- +
= =
-
. Lập phương trình của đường thẳng d đi qua điểm M, cắt và vuông góc
với D.
· u (2;1; 1)D = -
r
. Gọi H = d Ç D. Giả sử H t t t(1 2 ; 1 ; )+ - + - Þ MH t t t(2 1; 2; )= - - -
uuuur
.
MH uD^
uuuur r
Û t t t2(2 1) ( 2) ( ) 0- + - - - = Û t
2
3
= Þ du MH3 (1; 4; 2)= = - -
uuuurr
Þ d:
x t
y t
z t
2
1 4
2
ì = +
ï
= -í
ï =î
.
Câu 4. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 1 = 0 và hai
điểm A(1;7; –1), B(4;2;0). Lập phương trình đường thẳng (D) là hình chiếu vuông góc của
đường thẳng AB trên (P).
· Gọi (Q) là mặt phẳng qua A, B và vuông góc với (P) Þ (Q): 8x + 7x + 11z – 46 = 0.
(D) = (P)Ç (Q) suy ra phương trình (D).
Câu 5. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình hình chiếu vuông góc của
đường thẳng
x z
d
x y z
2 0
:
3 2 3 0
ì - =
í - + - =î
trên mặt phẳng P x y z: 2 5 0- + + = .
· PTTS của d:
x t
y t
z t
4
3
7
2
2
ì =
ï
= - +í
ï
=î
. Mặt phẳng (P) có VTPT n (1; 2;1)= -
r
.
Gọi A d P( )= Ç Þ A
11
4; ;2
2
æ ö
ç ÷
è ø
. Ta có B d B P
3 3
0; ;0 , 0; ;0 ( )
2 2
æ ö æ ö
- Î - Ïç ÷ ç ÷
è ø è ø
.
Gọi H x y z( ; ; ) là hình chiếu vuông góc của B trên (P). Ta tìm được H
4 7 4
; ;
3 6 3
æ ö
- -ç ÷
è ø
.
www.VNMATH.com

16.
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 16
Gọi D là hình chiếu vuông góc của d trên (P) Þ D đi qua A và H
Þ D có VTCP u HA3 (16;13;10)= =
uuurr
Þ Phương trình của D:
x t
y t
z t
4 16
11
13
2
2 10
ì = +
ï
= +í
ï
= +î
.
Câu hỏi tương tự:
a) Với
x y z
d
1 1 2
:
2 1 3
+ - -
= = , P x y z( ): 3 2 5 0- + - = . ĐS:
x m
y m
z m
1 23
: 2 29
5 32
D
ì = +
ï
= +í
ï = +î
Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi A, B, C lần lượt giao điểm của mặt phẳng
( ): 6 2 3 6 0P x y z+ + - = với Ox, Oy, Oz. Lập phương trình đường thẳng d đi qua tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đồng thời vuông góc với mặt phẳng (P).
· Ta có: P Ox A P Oy B P Oz C( ) (1;0;0); ( ) (0;3;0); ( ) (0;0;2)Ç = Ç = Ç =
Gọi D là đường thẳng vuông góc (OAB) tại trung điểm M của AB; (a) là mặt phẳng trung
trực cạnh OC; I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. Ta có: I ( )D= Ç a Þ I
1 3
; ;1
2 2
æ ö
ç ÷
è ø
.
Gọi J tâm đường tròn ngoại tiếp DABC thì IJ ^ (ABC) , nên d chính là đường thẳng IJ .
Þ Phương trình đường thẳng d:
x t
y t
z t
1
6
2
3
2
2
1 3
ì
= +ï
ï
í
= +ï
ï = +î
.
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A B C(1;2; 1), (2;1;1); (0;1;2)- và
đường thẳng
x y z
d
1 1 2
:
2 1 2
- + +
= =
-
. Lập phương trình đường thẳng D đi qua trực tâm của
tam giác ABC, nằm trong mặt phẳng (ABC) và vuông góc với đường thẳng d.
· Ta có AB AC AB AC(1; 1;2), ( 1; 1;3) , ( 1; 5; 2)é ù= - = - - Þ = - - -ë û
uuur uuur uuur uuur
Þ phương trình mặt phẳng (ABC): x y z5 2 9 0+ + - =
Gọi trực tâm của tam giác ABC là H a b c( ; ; ) , khi đó ta có hệ:
( )
BH AC a b c a
CH AB a b c b H
a b c cH ABC
. 0 2 3 2
. 0 3 0 1 (2;1;1)
5 2 9 1
ì = ì ì- + = =
ï ï ï
= Û + - = Û = Þí í í
ï ï ï+ + = =Î î îî
uuur uuur
uuur uuur
Do đường thẳng D nằm trong (ABC) và vuông góc với (d) nên:
ABC
ABC d
d
u n
u n u
u u
, (12;2; 11)D
D
D
ì ^
é ùÞ = = -í ë û^î
r r
r r r
r r .
Vậy phương trình đường thẳng
x y z2 1 1
:
12 2 11
D
- - -
= =
-
www.VNMATH.com

17.
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian
Trang 17
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến một đường thẳng khác
Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) và đường thẳng d có phương
trình
x y z
d
1 1
:
2 1 1
- +
= =
-
. Viết phương trình của đường thẳng D đi qua điểm M, cắt và
vuông góc với đường thẳng d và tìm toạ độ điểm M¢ đối xứng với M qua d.
· PTTS của d:
x t
y t
z t
1 2
1
ì = +
ï
= - +í
ï = -î
. d có VTCP u (2;1; 1)= -
r
.
Gọi H là hình chiếu của M trên d Þ H t t t(1 2 ; 1 ; )+ - + - Þ MH t t t(2 1; 2 ; )= - - + -
uuuur
Ta có MH ^ d Û MH u. 0=
uuuur r
Û t
2
3
= Þ H
7 1 2
; ;
3 3 3
æ ö
- -ç ÷
è ø
, MH
1 4 2
; ;
3 3 3
æ ö
= - -ç ÷
è ø
uuuur
Phương trình đường thẳng D:
x y z2 1
1 4 2
- -
= =
- -
.
Gọi M¢ là điểm đối xứng của M qua d Þ H là trung điểm của MM¢ Þ M
8 5 4
; ;
3 3 3
æ ö
¢ - -ç ÷
è ø
.
Câu hỏi tương tự:
a)
x y z
M d
3 1 1
( 4; 2;4); :
2 1 4
+ - +
- - = =
-
. ĐS:
1 3
:
3 2 1
+ -
D = =
-
x y z
Trong không gian cho điểm A(-4;-2;4) và đường thẳng (d) có phương trình: x = -3 + 2t; y = 1
- t; z = -1 + 4t; t Î R. Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua A; cắt và vuông góc với (d).
Câu 9. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
x y z
d
1 1
:
1 2 1
- +
= =
-
và hai điểm A(1;1; 2)- ,
B( 1;0;2)- . Viết phương trình đường thẳng D qua A, vuông góc với d sao cho khoảng cách
từ B tới D là nhỏ nhất.
· d có VTCP du (1;2; 1)= -
r
. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d. Gọi H là
hình chiếu vuông góc của B lên (P) khi đó đường thẳng D đi qua A và H thỏa YCBT.
Ta có: (P): x y z2 5 0+ - - = . Giả sử H x y z( ; ; ) .
Ta có:
d
H P
BH u cuøng phöông
( )
,
ì Î
í
î
uuur r Þ H
1 8 2
; ;
3 3 3
æ ö
ç ÷
è ø
Þ u AH3 ( 2;5;8)D = = -
uuurr
Þ Phương trình D:
x y z1 1 2
2 5 8
- - +
= =
-
.
Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
x y z1 1
:
2 3 1
+ +
D = =
-
và hai điểm
A(1;2; 1),- B(3; 1; 5)- - . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và cắt đường thẳng
D sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d là lớn nhất.
· Giả sử d cắt D tại M M t t t( 1 2 ;3 ; 1 )Þ - + - - , AM t t t AB( 2 2 ;3 2; ), (2; 3; 4)= - + - - = - -
uuur uuur
Gọi H là hình chiếu của B trên d. Khi đó d B d BH BA( , ) = £ . Vậy d B d( , ) lớn nhất bằng BA
H AÛ º AM AB AM AB. 0Û ^ Û =
uuur uuur
t t t t2( 2 2 ) 3(3 2) 4 0 2Û - + - - + = Û =
M(3;6; 3)Þ - Þ PT đường thẳng
x y z
d
1 2 1
:
1 2 1
- - +
= =
-
.
www.VNMATH.com

18.
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 18
Câu 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và đường
thẳng D:
x y z1 1
2 1 2
+ -
= =
-
. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm B và cắt đường
thẳng D tại điểm C sao cho diện tích tam giác ABC có giá trị nhỏ nhất.
· Phương trình tham số của D:
x t
y t
z t
1 2
1
2
ì = - +
ï
= -í
ï =î
. Điểm C Î D nên C t t t( 1 2 ;1 ;2 )- + - .
AC t t t AB( 2 2 ; 4 ;2 ); (2; 2;6)= - + - - = -
uuur uuur
; AC AB t t t, ( 24 2 ;12 8 ;12 2 )é ù = - - - -ë û
uuur uuur
AC AB t t2
, 2 18 36 216é ùÞ = - +ë û
uuur uuur
Þ S AC AB
1
,
2
é ù= ë û
uuur uuur
= t 2
18( 1) 198- + ≥ 198
Vậy Min S = 198 khi t 1= hay C(1; 0; 2) Þ Phương trình BC:
x y z3 3 6
2 3 4
- - -
= =
- - -
.
Câu 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
x y z
d
1 2 2
:
3 2 2
+ - -
= =
-
và mặt
phẳng (P): x + 3y + 2z + 2 = 0. Lập phương trình đường thẳng D song song với mặt phẳng
(P), đi qua M(2; 2; 4) và cắt đường thẳng (d).
· Đường thẳng (d) có PTTS:
x t
y t
z t
1 3
2 2
2 2
ì = - +
ï
= -í
ï = +î
. Mặt phẳng (P) có VTPT n (1; 3; 2)=
r
Giả sử N(-1 + 3t ; 2 - 2t ; 2 + 2t) Î d Þ MN t t t(3 3; 2 ;2 2)= - - -
uuuur
Để MN // (P) thì MN n t. 0 7= Û =
uuuur r
Þ N(20; -12; 16)
Phương trình đường thẳng D:
x y z2 2 4
9 7 6
- - -
= =
-
Câu hỏi tương tự:
a)
x y z
d
1 2
:
1 2 1
- -
= = , P x y z( ): 3 2 2 0+ + + = , M(2;2;4). ĐS:
x y z1 3 3
:
1 1 1
D
- - -
= =
-
b)
x y z
d
2 2
:
1 3 2
- +
= = , P x y z( ):2 1 0+ - + = , M(1;2;–1) . ĐS:
1 2 1
:
2 9 5
- - +
D = =
- -
x y z
c)
x y z2 4 1
3 2 2
- + -
= =
-
, P x y z( ):3 2 3 2 0- - - = , M(3; 2; 4)- - . ĐS:
x y z3 2 4
:
5 6 9
- + +
D = =
-
Câu 13. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng x y z( ):3 2 29 0a - + - = và hai
điểm A(4;4;6) B, (2;9;3). Gọi E F, là hình chiếu của A và B trên ( )a . Tính độ dài đoạn
EF . Tìm phương trình đường thẳng D nằm trong mặt phẳng ( )a đồng thời D đi qua giao
điểm của AB với ( )a và D vuông góc với AB.
· AB n( 2;5; 3), (3; 2;1)= - - = -
uuur r
a , AB AB n
19
sin( ,( )) cos( , )
532
a = =
uuur r
a
EF AB AB AB AB2 361 171
.cos( ,( )) 1 sin ( ,( )) 38 1
532 14
a a= = - = - =
AB cắt ( )a tại K(6; 1;9)- ; u AB n, (1;7;11)D a
é ù= =
ë û
uur uuur uur
. Vậy
x t
y t
z t
6
: 1 7
9 11
D
ì = +
ï
= - +í
ï = +î
www.VNMATH.com

19.
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian
Trang 19
Câu 14. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 mặt phẳng (P), (Q) và đường thẳng (d) lần
lượt có phương trình:
x y z
P x y z Q x y z d
1 1
( ): 2 0, ( ): 3 3 1 0, ( ):
2 1 1
- -
- + = - + + = = = . Lập
phương trình đường thẳng D nằm trong (P) song song với mặt phẳng (Q) và cắt đường thẳng
(d).
· (P), (Q) lần lượt có VTPT là P Q P Qn n n n(1; 2;1), (1; 3;3) , ( 3; 2; 1)é ù= - = - Þ = - - -ë û
r r r r
PTTS của (d): x t y t z t1 2 , , 1= + = = + . Gọi A = (d) Ç (D) Þ A t t t(1 2 ; ;1 )+ + .
. Do A Ì (P) nên: t t t t1 2 2 1 0 2+ - + + = Û = - Þ A( 3; 2; 1)- - -
Theo giả thiết ta có: P
P Q
Q
u n
u n n
u n
, ( 3; 2; 1)D
D
D
ì ^
é ùÞ = = - - -í ë û^î
r r
r r r
r r
Vậy phương trình đường thẳng
x y z3 2 1
( ):
3 2 1
D
+ + +
= = .
Câu 15. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A B C(1;2; 1), (2;1;1), (0;1;2)- và
đường thẳng
x y z
d
1 1 2
( ):
2 1 2
- + +
= =
-
. Lập phương trình đường thẳng D đi qua trực tâm của
tam giác ABC, nằm trong mặt phẳng (ABC) và vuông góc với đường thẳng (d).
· Ta có AB AC AB AC(1; 1;2), ( 1; 1;3) , ( 1; 5; 2)é ù= - = - - Þ = - - -ë û
uuur uuur uuur uuur
Þ phương trình (ABC): x y z5 2 9 0+ + - =
Gọi trực tâm của DABC là H a b c( ; ; )
BH AC a b c a
CH AB a b c b H
H ABC a b c c
. 0 2 3 2
. 0 3 0 1 (2;1;1)
( ) 5 2 9 1
ì = ì ì- + = =
ï ï ï
= Û + - = Û = Þí í í
ï ï ïÎ + + = =î îî
uuur uuur
uuur uuur
Do (D) Ì (ABC) và vuông góc với (d) nên: ABC
ABC d
d
u n
u n n
u u
, (12;2; 11)D
D
D
ì ^
é ùÞ = = -í ë û^î
r r
r r r
r r
Þ PT đường thẳng
x y z2 1 1
:
12 2 11
D
- - -
= =
-
.
Câu 16. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x y z2 5 0+ - + = , đường
thẳng
x y z
d
3 1 3
:
2 1 1
+ + -
= = và điểm A( 2;3;4)- . Viết phương trình đường thẳng D nằm
trên (P), đi qua giao điểm của d và (P), đồng thời vuông góc với d. Tìm điểm M trên D sao
cho khoảng cách AM ngắn nhất.
· Gọi B = d Ç (P) Þ B( 1;0;4)- . Vì
P
d
( )D
D
ì Ì
í ^î
nên P
d
u n
u u
D
D
ì ^
í ^î
r r
r r .
Do đó ta có thể chọn P du n u
1
, (1; 1; 1)
3D é ù= = - -ë û
r r r
Þ PT của D:
x t
y t
z t
1
4
ì = - +
ï
= -í
ï = -î
.
Giả sử M t t t( 1 ; ;4 ) D- + - - Î Þ AM t t t
2
2 1 26 26
3 2 9 3
3 3 3
æ ö
= - + = - + ³ç ÷
è ø
Dấu "=" xảy ra Û t
1
3
= Û M
2 1 11
; ;
3 3 3
æ ö
- -ç ÷
è ø
. Vậy AM đạt GTLN khi M
2 1 11
; ;
3 3 3
æ ö
- -ç ÷
è ø
.
Câu hỏi tương tự:
www.VNMATH.com

20.
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 20
a) P x y z( ): 2 2 9 0+ - + = ,
x t
d y t
z t
1
: 3 2
3
ì = -
ï
= - +í
ï = +î
. ĐS: : 1
4
=ì
ï
D = -í
ï = +î
x t
y
z t
Câu 17. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; 1;1)- , đường thẳng
x y z2
:
1 2 2
D
-
= = , mặt phẳng P x y z( ): – 5 0+ - = . Viết phương trình của đường thẳng d đi
qua điểm A , nằm trong ( P) và hợp với đường thẳng D một góc 0
45 .
· Gọi du u, D
r r
lần lươt là các VTCP của d và D ; Pn
r
là VTPT của ( P).
Đặt du a b c a b c2 2 2
( ; ; ), ( 0)= + + ¹
r
. Vì d nằm trong ( P) nên ta có : P dn u^
r r
Þ a b c– 0+ = Û b a c= + ( 1 ).
Theo gt: d 0
( , ) 45D = Û
a b c
a b c a b c
a b c
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2( 2 ) 9( )
2.3
+ +
= Û + + = + +
+ +
(2)
Thay (1) vào ( 2) ta có :
a
c ac c c2 15
14 30 0 0;
7
+ = Û = = -
+ Với c 0= : chọn a b 1= = Þ PTTS của d là :
x t
y t
z
3
1–
1
ì = +
ï
= -í
ï =î
+ Với
a
c
15
7
= - : chọn a c b7, 15, 8= = - = - Þ.PTTS của d là:
x t
y t
z t
3 7
1–8
1–15
ì = +
ï
= -í
ï =î
.
Câu 18. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:
x y z3 2 1
2 1 1
- + +
= =
-
và mặt phẳng
(P): x y z 2 0+ + + = . Gọi M là giao điểm của d và (P). Viết phương trình đường thẳng D
nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với d đồng thời khoảng cách từ M tới D bằng 42 .
· PTTS d:
x t
y t
z t
3 2
2
1
ì = +
ï
= - +í
ï = - -î
M(1; 3;0)Þ - . (P) có VTPT Pn (1;1;1)=
r
, d có VTCP du (2;1; 1)= -
r
Vì D nằm trong (P) và vuông góc với d nên VTCP d Pu u n, (2; 3;1)D é ù= = -ë û
r r r
Gọi N(x; y; z) là hình chiếu vuông góc của M trên D , khi đó MN x y z( 1; 3; )= - +
uuuur
.
Ta có
MN u
N P
MN
( )
42
D
ì ^
ï
Îí
ï =î
uuuur r
Û
x y z
x y z
x y z2 2 2
2 0
2 3 11 0
( 1) ( 3) 42
ì + + + =
ï
- + - =í
ï - + + + =î
Þ N(5; –2; –5) hoặc N(–3; – 4; 5)
· Với N(5; –2; –5) Þ Phương trình của
x y z5 2 5
:
2 3 1
- + +
D = =
-
· Với N(–3; – 4; 5) Þ Phương trình của
x y z3 4 5
:
2 3 1
+ + -
D = =
-
.
Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (a ): x y z 1 0+ - - = , hai đường
thẳng (D):
x y z1
1 1 1
-
= =
- -
, (D¢):
x y z 1
1 1 3
+
= = . Viết phương trình đường thẳng (d) nằm
www.VNMATH.com

21.
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian
Trang 21
trong mặt phẳng (a ) và cắt (D¢); (d) và (D) chéo nhau mà khoảng cách giữa chúng bằng
6
2
.
· (a) có VTPT n (1;1; 1)= -
r
, (D) có VTCP u ( 1; 1;1)D = - -
r
Þ (D) ^ (a).
Gọi A ( ) ( )D¢= Ç a Þ A(0;0; 1)- ; B ( ) ( )D= Ç a Þ B(1;0;0) Þ AB (1;0;1)=
uuur
Vì (d) Ì (a) và (d) cắt (D¢) nên (d) đi qua A và (D) ^ (a) nên mọi đường thẳng nằm trong
(a) và không đi qua B đều chéo với (D).
Gọi du a b c( ; ; )=
r
là VTCP của (d) Þ du n a b c. 0= + - =
r r
(1)
và du
r
không cùng phương với AB
uuur
(2)
Ta có: d d d B d( , ) ( , )D = Þ
d
d
AB u
u
, 6
2
é ù
ë û
=
uuur r
r Û
b a c
a b c
2 2
2 2 2
2 ( ) 6
2
+ -
=
+ +
(3)
Từ (1) và (3) Þ ac 0= Û
a
c
0
0
é =
ê =ë
.
· Với a 0= . Chọn b c 1= = Þ du (0;1;1)=
r
Þ
x
d y t
z t
0
:
1
ì =
ï
=í
ï = - +î
· Với c 0= . Chọn a b 1= - = Þ du (1; 1;0)= -
r
Þ
x t
d y t
z
:
1
ì =
ï
= -í
ï = -î
.
www.VNMATH.com

22.
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 22
Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến hai đường thẳng khác
Câu 20. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường vuông góc chung của hai
đường thẳng:
x y z
1
7 3 9
:
1 2 1
D
- - -
= =
-
và 2D :
x t
y t
z t
3 7
1 2
1 3
ì = +
ï
= -í
ï = -î
.
· Phương trình tham số của 1D :
x t
y t
z t
7 '
3 2 '
9 '
ì = +
ï
= +í
ï = -î
Gọi M và N lần lượt là giao điểm của đường vuông góc chung với D1 và D2
Þ M(7 + t¢;3 + 2t¢;9 – t¢) và N(3 –7t;1 + 2t;1 + 3t)
VTCP lần lượt của D1 và D2 là a
r
= (1; 2; –1) và b
r
= (–7;2;3)
Ta có:
MN a MN a
MN b MN b
. 0
. 0
ì ìï ï^ =
Ûí í
^ =ï ïî î
uuuur r uuuur r
uuuur r uuuur r . Từ đây tìm được t và t¢ Þ Toạ độ của M, N.
Đường vuông góc chung D chính là đường thẳng MN.
Câu hỏi tương tự:
a) Với
x t
y t
z
1
3
( ): 1 2
4
D
ì = +
ï
= - +í
ï =î
,
x t
y t
z t
2
2 2 '
( ): 2 '
2 4 '
D
ì = - +
ï
=í
ï = +î
. ĐS:
x y z
x y z
2 – 10 –47 0
:
3 –2 6 0
D
ì + =
í + + =î
Câu 21. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm
( )M 4; 5;3- - và cắt cả hai đường thẳng:
x y
d
y z1
2 3 11 0
:
2 7 0
ì + + =
í - + =î
và
x y z
d2
2 1 1
:
2 3 5
- + -
= =
-
.
· Viết lại phương trình các đường thẳng:
x t
d y t
z t
1
1 1
1
5 3
: 7 2
ì = -
ï
= - +í
ï =î
,
x t
d y t
z t
2
2 2
2
2 2
: 1 3
1 5
ì = +
ï
= - +í
ï = -î
.
Gọi A d d B d d1 2,= Ç = Ç Þ A t t t1 1 1(5 3 ; 7 2 ; )- - + , B t t t2 2 2(2 2 ; 1 3 ;1 5 )+ - + - .
MA t t t1 1 1( 3 9;2 2; 3)= - + - -
uuur
, MB t t t2 2 2(2 6;3 4; 5 2)= + + - -
uuur
MA MB t t t t t t t t t t t1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2, ( 13 8 13 16; 13 39 ; 13 24 31 48)é ù = - - + + - + - - + +ë û
uuur uuur
M, A, B thẳng hàng Û MA MB,
uuur uuur
cùng phương Û MA MB, 0é ù =ë û
uuur uuur r
Û
t
t
1
2
2
0
ì =
í
=î
Þ A B( 1; 3;2), (2; 1;1)- - - Þ AB (3;2; 1)= -
uuur
Đường thẳng d qua M(–4; –5; 3) và có VTCP AB (3;2; 1)= -
uuur
Þ
x t
d y t
z t
4 3
: 5 2
3
ì = - +
ï
= - +í
ï = -î
Câu hỏi tương tự:
a) M(1;5;0),
x y z
d1
2
:
1 3 3
-
= =
- -
,
x t
d y t
z t
2 : 4
1 2
ì =
ï
= -í
ï = - +î
. ĐS:
b) M(3; 10; 1) ,
x y z
d1
2 1 3
:
3 1 2
- + +
= = ,
x y z
d2
3 7 1
:
1 2 1
- - -
= =
- -
ĐS:
x t
d y t
z t
3 2
: 10 10
1 2
ì = +
ï
= -í
ï = -î
www.VNMATH.com

23.
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian
Trang 23
Câu 22. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1 2,D D và mặt phẳng (a ) có
phương trình là
x t
x y z
y t x y z
z t
1 2
2
1 1 2
: 5 3 , : , ( ) : 2 0
1 1 2
D D a
ì = +
- + +ï
= + = = - + + =í
ï =î
. Viết phương
trình đường thẳng d đi qua giao điểm của 1D với (a ) đồng thời cắt 2D và vuông góc với trục
Oy.
· Toạ độ giao điểm A của (a ) và 1D thoả mãn hệ
x t t
y t x
A
z t y
x y z z
2 1
5 3 1
(1;2; 1)
2
2 0 1
ì ì= + = -
ï ïï ï= + =
Û Þ -í í= =ï ï
- + + = = -ï ïî î
Trục Oy có VTCP là j (0;1;0)=
r
. Gọi d là đường thẳng qua A cắt 2D tại
B t t t(1 ; 1 ; 2 2 )+ - + - + . AB t t t d Oy AB j t AB( ; 3;2 1); 0 3 (3;0;5)= - - ^ Û = Û = Þ =
uuur uuurr uuur
Đường thẳng d đi qua A nhận AB (3;0;5)=
uuur
làm VTCP có phương trình là
x u
y
z u
1 3
2
1 5
ì = +
ï
=í
ï = - +î
.
Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
x t
d y t
z t
1
1
: 1 2
1 2
ì = +
ï
= +í
ï = +î
, đường thẳng 2d
là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): x y2 – –1 0= và (Q): x y z2 2 –5 0+ + = . Gọi I là giao
điểm của d d1 2, . Viết phương trình đường thẳng d3 qua điểm A(2; 3; 1), đồng thời cắt hai
đường thẳng d d1 2, lần lượt tại B và C sao cho tam giác BIC cân đỉnh I.
· PTTS của {d x t y t z t2 : '; 1 2 '; 3 2 '= = - + = - . I d d1 2= Ç Þ I(1;1;1) .
Giả sử: B t t t d C t t t d t t1 2(1 ;1 2 ;1 2 ) , ( '; 1 2 ';3 2 ') ( 0, ' 1)+ + + Î - + - Î ¹ ¹
DBIC cân đỉnh I Û
IB IC
AB AC[ , ] 0
ì =
í
=î
uuur uuur ur Û
t
t
1
' 2
ì =
í =î
Þ Phương trình {d x y z t3 : 2; 3; 1 2= = = +
Câu 24. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x y z4 –3 11 0+ = và hai
đường thẳng d1:
x
1-
=
y 3
2
-
=
z 1
3
+
,
x 4
1
-
=
y
1
=
z 3
2
-
. Chứng minh rằng d1 và d2 chéo
nhau. Viết phương trình đường thẳng D nằm trên (P), đồng thời D cắt cả d1 và d2.
· Toạ độ giao điểm của d1 và (P): A(–2;7;5). Toạ độ giao điểm của d2 và (P): B(3;–1;1)
Phương trình đường thẳng D:
x y z2 7 5
5 8 4
+ - -
= =
- -
.
Câu 25. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng và hai đường thẳng có phương
trình (P): x y z3 12 3 5 0+ - - = và (Q): x y z3 4 9 7 0- + + = , (d1):
x y z5 3 1
2 4 3
+ - +
= =
-
, (d2):
x y z3 1 2
2 3 4
- + -
= =
-
. Viết phương trình đường thẳng (D) song song với hai mặt phẳng (P),
(Q) và cắt (d1), (d2).
· (P) có VTPT Pn (1; 4; 1)= -
r
, (Q) có pháp vectơ Qn (3; 4; 9)= -
r
www.VNMATH.com

24.
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 24
(d1) có VTCP u1 (2; 4; 3)= -
r
, (d2) có VTCP u2 ( 2; 3; 4)= -
r
Gọi:
P Q
P d P P
Q d Q Q
u u
1
1
1 1 1
1 2 1
( ) ( ) ( )
( ) ( ),( ) ( )
( ) ( ),( ) ( )
D
Dì = Ç
ï Éï
í É
ï
=ïî
P
P
r r
Þ (D) = (P1) Ç (Q1) và (D) // (D1)
(D) có vectơ chỉ phương P Qu n n
1
[ ; ] (8; 3; 4)
4
= = - -
r r r
(P1) có cặp VTCP u1
r
và u
r
nên có VTPT: Pn u u1 1[ ; ] (25; 32; 26)= =
r r r
Phương trình mp (P1): 25(x + 5) + 32(y – 3) + 26(z + 1) = 0 x y z25 32 26 55 0Û + + + =
(Q1) có cặp VTCP u2
r
và u
r
nên có VTPT: Qn u u1 2[ ; ] (0; 24; 18)= = -
r r r
Phương trình mp (Q1): x y z0( 3) 24( 1) 18( 2) 0- + + - - = y x4 3 10 0Û - + =
Ta có: P Q1 1( ) ( ) ( )D = Ç Þ phương trình đường thẳng (D) :
x y z
y z
25 32 26 55 0
4 3 10 0
ì + + + =
í - + =î
Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x y z2 – 2 –3 0+ = và hai
đường thẳng (d1), (d2) lần lượt có phương trình
x y z4 1
2 2 1
- -
= =
-
và
x y z3 5 7
2 3 2
+ + -
= =
-
.
Viết phương trình đường thẳng ( D ) song song với mặt phẳng (P), cắt d1( ) và d2( ) tại A và
B sao cho AB = 3.
· A d1( )Î Þ A t t t(4 2 ;1 2 ; )+ + - ; B d B t t t2( ) ( 3 2 ; 5 3 ;7 2 )¢ ¢ ¢Î Þ - + - + -
AB t t t t t t( 7 2 2 ; 6 3 2 ;7 2 )¢ ¢ ¢= - + - - + - - +
uuur
, Pn (2; 1;2)= -
r
.
Từ giả thiết ta có: PAB n
AB
. 0
3
ì =
í
=î
uuur r
Û
t
t
2
1
¢ì =
í = -î
Þ A AB(2; 1;1), ( 1;2;2)- = -
uuur
.
Þ Phương trình đường thẳng (D):
x y z2 1 1
1 2 2
- + -
= =
-
.
Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x y z2 1 0- + + = và hai
đường thẳng
x y z
d1
1 2 3
:
2 1 3
- + -
= = ,
x y z
d2
1 1 2
:
2 3 2
+ - -
= = . Viết phương trình đường
thẳng D song song với (P), vuông góc với d1 và cắt d2 tại điểm E có hoành độ bằng 3.
· d1 có VTCP u1 (2;1;3)=
r
, d2 có VTCP u2 (2;3;2)=
r
, (P) có VTPT n (2; 1;1)= -
r
.
Giả sử D có VTCP u a b c( ; ; )=
r
, E d2Î có Ex 3= Þ E(3; 1;6)- .
Ta có:
P u n
u ud 11
( ) . 0
. 0
D
D
ì ì =
Ûí í =^ îî
r r
r r
P
Û
a b c
a b c
2 0
2 3 0
ì - + =
í + + =î
Û
a c
b c
ì = -
í = -î
Þ Chọn u (1;1; 1)= -
r
Þ PT đường thẳng D: {x t y t z t3 ; 1 ; 6= + = - + = - .
Câu 28. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d d1 2( ),( ) và mặt phẳng (P) có phương
trình:
x y z
d1
1 2
( ):
1 2 1
+ +
= = ,
x y z
d2
2 1 1
( ):
2 1 1
- - -
= = ; P x y z( ): 2 5 0+ - + = . Lập phương
trình đường thẳng (d) song song với mặt phẳng (P) và cắt d d1 2( ),( ) lần lượt tại A, B sao cho
độ dài đoạn AB nhỏ nhất.
www.VNMATH.com

25.
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian
Trang 25
· Đặt A a a a B b b b( 1 ; 2 2 ; ), (2 2 ;1 ;1 )- + - + + + + Þ AB a b a b a b( 2 3; 2 3; 1)= - + + - + + - + +
uuur
Do AB // (P) nên: PAB n b a(1;1; 2) 4^ = - Û = -
uuur r
. Suy ra: AB a a( 5; 1; 3)= - - - -
uuur
AB a a a a a2 2 2 2 2
( 5) ( 1) ( 3) 2 8 35 2( 2) 27 3 3= - + - - + - = - + = - + ³
Suy ra:
a
AB
b
2
min 3 3
2
ì =
= Û í = -î
, A(1;2;2), AB ( 3; 3; 3)= - - -
uuur
.
Vậy
x y z
d
1 2 2
:
1 1 1
- - -
= = .
Câu 29. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng
x y z
d1
8 6 10
( ):
2 1 1
+ - -
= =
-
và
x t
d y t
z t
2( ): 2
4 2
ì =
ï
= -í
ï = - +î
. Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục Ox và cắt (d1)
tại A, cắt (d2) tại B. Tính AB.
· Giả sử: A t t t1 1 1( 8 2 ;6 ;10 )- + + - Î d1, B t t t2 2 2( ;2 ; 4 2 )- - + Î d2.
Þ AB t t t t t t2 1 2 1 2 1( 2 8; 4);2 14)= - + - - - + -
uuur
.
AB i, (1;0;0)=
uuur r
cùng phương Û
t t
t t
2 1
2 1
4 0
2 14 0
ì- - - =
í
+ - =î
Û
t
t
1
2
22
18
ì = -
í
=î
Þ A B( 52; 16;32), (18; 16;32)- - - .
Þ Phương trình đường thẳng d: {x t y z52 ; 16; 32= - + = - = .
Câu 30. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: (d1):
x t
y t
z t
23 8
10 4
ì = - +
ï
= - +í
ï =î
và (d2):
x y z3 2
2 2 1
- +
= =
-
. Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục Oz và cắt cả hai
đường thẳng (d1), (d2).
· Giả sử A t t t1 1 1( 23 8 ; 10 4 ; )- + - + Î d1, B t t t2 2 2(3 2 ; 2 2 ; )+ - - Î d2.
Þ AB t t t t t t2 1 2 1 2 1(2 8 26; 2 4 8; )= - + - - + -
uuur
AB // Oz Û AB k cuøng phöông,
uuur r
Û
t t
t t
2 1
2 1
2 8 26 0
2 4 8 0
ì - + =
í
- - + =î
Û
t
t
1
2
17
6
5
3
ì
=ï
í
ï = -
î
Þ A
1 4 17
; ;
3 3 6
æ ö
-ç ÷
è ø
Þ Phương trình đường thẳng AB: x y z t
1 4 17
; ;
3 3 6
ì
= - = = +í
î
Câu 31. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2,0,0); B(0,4,0); C(2,4,6) và
đường thẳng (d):
x y z
x y z
6 3 2 0
6 3 2 24 0
ì - + =
í + + - =î
. Viết phương trình đường thẳng D // (d) và cắt các
đường thẳng AB, OC.
· Phương trình mặt phẳng (a) chứa AB và song song d: (a): 6x + 3y + 2z – 12 = 0
Phương trình mặt phẳng (b) chứa OC và song song d: (b): 3x – 3y + z = 0
www.VNMATH.com

26.
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 26
D là giao tuyến của (a) và (b) Þ D:
x y z
x y z
6 3 2 12 0
3 3 0
ì + + - =
í - + =î
Câu 32. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(4;5;6); B(0;0;1); C(0;2;0);
D(3;0;0). Chứng minh các đường thẳng AB và CD chéo nhau. Viết phương trình đường
thẳng (D) vuông góc với mặt phẳng Oxy và cắt các đường thẳng AB, CD.
· Gọi (P) là mặt phẳng qua AB và (P) ^ (Oxy) Þ (P): 5x – 4y = 0
(Q) là mặt phẳng qua CD và (Q) ^ (Oxy) Þ (Q): 2x + 3y – 6 = 0
Ta có (D) = (P)Ç(Q) Þ Phương trình của (D)
Câu 33. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình:
x t
d y t
z t
1
1 2
:
1
ì = - -
ï
=í
ï = +î
và
x y z
d2 :
1 1 2
= = . Xét vị trí tương đối của d1 và d2. Viết phương trình
đường thẳng d qua M trùng với gốc toạ độ O, cắt d1 và vuông góc với d2.
· Đường thẳng D cần tìm cắt d1 tại A(–1–2t; t; 1+t) OAÞ
uuur
= (–1–2t; t; 1+t)
d d OA u t A2 2. 0 1 (1; 1;0)^ Û = Û = - Þ -
uuur r
Þ PTTS của {d x t y t z: ; ; 0= = - =
Câu hỏi tương tự:
a) Với M(1;1;1) ,
x y z
d1
2 1
( ):
3 1 2
+ -
= =
-
,
x t
d y t
z t
2
2 2
( ): 5
2
ì = - +
ï
= -í
ï = +î
. ĐS:
x y z
d
1 1 1
:
3 1 1
- - -
= =
-
Câu 34. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng có phương trình:
(d1) :
x t
y t
z t
4
6 2
ì =
ï
= +í
ï = +î
và (d2) :
x t
y t
z t
'
3 ' 6
' 1
ì =
ï
= -í
ï = -î
Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm I(1; –1; 1) trên (d2). Tìm phương trình tham số của
đường thẳng đi qua K vuông góc với (d1) và cắt (d1).
· (d1) có VTCP u1 (1; 1; 2)=
r
; (d2) có VTCP u2 (1; 3; 1)=
r
K d K t t t IK t t t2( ) ( ; 3 6; 1) ( 1; 3 5; 2)¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢Î Þ - - Þ = - - -
uur
IK u t t t t K2
18 18 12 7
1 9 15 2 0 ; ;
11 11 11 11
æ ö¢ ¢ ¢ ¢^ Û - + - + - = Û = Þ -ç ÷
è ø
uur r
Giả sử (d ) cắt (d1) tại H t t t H d1( ; 4 ; 6 2 ), ( ( ))+ + Î . HK t t t
18 56 59
; ; 2
11 11 11
æ ö
= - - - - -ç ÷
è ø
uuur
HK u t t t t1
18 56 118 26
4 0
11 11 11 11
^ Û - - - - - = Û = -
uuur r
HK
1
(44; 30; 7).
11
Þ = - -
uuur
Vậy, PTTS của đường thẳng (d ): x y z
18 12 7
44 ; 30 ; 7
11 11 11
l l l
ì
= + = - - = -í
î
Câu 35. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(0;1;1) và 2 đường thẳng (d1), (d2)
với: (d1):
x y z1 2
3 2 1
- +
= = ; (d2) là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P): x 1 0+ = và (Q):
x y z 2 0+ - + = . Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vuông góc (d1) và cắt (d2).
· Phương trình mặt phẳng (a) đi qua M(0;1;1) vuông góc với (d1): x y z3 2 3 0+ + - = .
www.VNMATH.com

27.
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian
Trang 27
A = (d2) Ç (a) Û
x y z
x A
x y z
3 2 3 0
5 8
1 0 1; ;
3 32 0
ì + + - =
æ öï
+ = Û -ç ÷í
è øï + - + =î
Þ Phương trình AM:
x y z1 1
3 2 5
- -
= =
-
.
Câu 36. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng P x y z( ): 2 2 0- + = và 2 đường
thẳng
x y z
d
1 1 1
( ):
1 3 2
- - -
= = , ( )
1 2
' :
2 1 1
x y z
d
- -
= =
-
. Viết phương trình đường thẳng ( )D
nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với đường thẳng (d) và cắt đường thẳng (d').
· Ta có P dn u(2; 1;2), (1;3;2)= - =
r r
và PTTS của (d'):
x t
y t
z t
1 2
2
ì = -
ï
= +í
ï =î
Gọi A = (d') Ç (P) Þ A t t t(1 2 ;2 ; )- + .
Do A Î (P) nên: t t t t A2(1 2 ) 2 2 0 0 (1;2;0)- - - + = Û = Þ
Mặt khác (D) nằm trong (P), vuông góc với (d) nên uD
r
vuông góc với P dn u,
r r
Þ ta có thể
chọn P du n u, ( 8; 2;7)D é ù= = - -ë û
r r r
Þ Phương trình
x y z1 2
:
8 2 7
D
- -
= =
- -
Câu 37. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x y z2 1 0- + - = và hai
đường thẳng (d1):
x y z1 2 3
2 1 3
- + -
= = , (d2):
x y z1 1 2
2 3 2
+ - -
= = . Viết phương trình đường
thẳng (D) song song với mặt phẳng (P), vuông góc với đường thẳng (d1) và cắt đường thẳng
(d2) tại điểm E có hoành độ bằng 3.
· E Î (d2) Þ E(3; 7; 6). P
P d
d
a n
a n a
a a 1
1
, 4(1;1; 1)
ì ^
é ùÞ = = - -í ë û^î
V
V
V
r r
r r r
r r Þ (D):
x t
y t
z t
3
7
6
ì = +
ï
= +í
ï = -î
.
Câu 38. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 0;–3), B(2; 0;–1) và mặt
phẳng (P) có phương trình: x y z3 8 7 1 0- + + = . Viết phương trình chính tắc đường thẳng d
nằm trên mặt phẳng (P) và d vuông góc với AB tại giao điểm của đường thẳng AB với (P).
· Giao điểm của đường thẳng AB và (P) là: C(2;0;–1)
Đường thẳng d đi qua C và có VTCP là PAB n,é ù
ë û
uuur r
Þ d:
x y z2 1
2 1 2
- -
= =
- -
Câu 39. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:
x y z1 1 1
2 1 1
+ - -
= =
-
;
d2:
x y z1 2 1
1 1 2
- - +
= = và mặt phẳng (P): x y z2 3 0- - + = . Viết phương trình đường thẳng
D nằm trên mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng d1 , d2 .
· Gọi A = d1 Ç D, B = d2 Ç D. Vì D Ì (P) nên A = d1 Ç (P), B = d2 Ç (P)
Þ A(1; 0; 2), B(2; 3; 1)
Þ D chính là đường thẳng AB Þ Phương trình D:
x y z1 2
1 3 1
- -
= =
-
.
Câu 40. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với
www.VNMATH.com

28.
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 28
mặt phẳng (P): x y z 1 0+ + - = đồng thời cắt cả hai đường thẳng
x y z
d1
1 1
( ):
2 1 1
- +
= =
-
và
x t
d y
z t
2
1
( ): 1
ì = - +
ï
= -í
ï = -î
, với t RÎ .
· Lấy ( )M d1Î Þ ( )M t t t1 1 11 2 ; 1 ;+ - - ; ( )N d2Î Þ ( )N t t1 ; 1;- + - -
Suy ra ( )MN t t t t t1 1 12 2; ;= - - - -
uuuur
d P MN k n k R t t t t t*
1 1 1( ) ( ) . ; 2 2^ Û = Î Û - - = = - -
uuuur r
Û
t
t1
4
5
2
5
ì
=ïï
í
-ï =
ïî
Þ M
1 3 2
; ;
5 5 5
æ ö
= - -ç ÷
è ø
Þ d: x y z
1 3 2
5 5 5
- = + = +
Câu hỏi tương tự:
a) Với (P): x y z2 5 3 0+ + + = ,
x y z
d1
1 1
( ):
2 1 2
- +
= = ,
x y z
d2
2 1
( ):
1 1 2
- -
= =
-
ĐS:
x y z
d
1 2 2
:
2 1 5
+ + +
= =
b) Với P x y z( ): 2 – –5 1 0+ = ,
x y z
d1
1 1 2
:
2 3 1
+ - -
= = ,
x y z
d2
2 2
:
1 5 2
- +
= =
-
ĐS:
x y z1 4 3
2 1 5
- - -
= =
- -
Câu 41. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng: (P): x y z2 – 1 0+ + = , (Q):
x y z– 2 3 0+ + = , (R): x y z2 –3 1 0+ + = và đường thẳng 1D :
x y z2 1
2 1 3
- +
= =
-
. Gọi 2D là
giao tuyến của (P) và (Q). Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với (R) và cắt cả
hai đường thẳng 1D , 2D .
· 1D có PTTS: {x t y t z t2 2 ; 1 ; 3= - = - + = ; 2D có PTTS: {x s y s z s2 ; 5 3 ;= + = + = .
Giả sử d A d B1 2;D DÇ = Ç = A t t t B s s s(2 2 ; 1 ;3 ), (2 ;5 3 ; )Þ - - + + +
AB s t s t s t( 2 ;3 6; 3 )= + - + -
uuur
, (R) có VTPT n (1;2; 3)= -
r
.
d R AB n( ) ,^ Û
uuur r
cùng phương
s t s t s t2 3 6 3
1 2 3
+ - + -
Û = =
-
t
23
24
Þ = Þ A
1 1 23
; ;
12 12 8
æ ö
ç ÷
è ø
Vậy phương trình của d:
zx y
231 1
812 12
1 2 3
-- -
= =
-
.
Câu 42. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng có phương trình
x t
d y t
z t
1 : 4
1 2
ì =
ï
= -í
ï = - +î
,
x y z
d2
2
:
1 3 3
-
= =
- -
,
x y z
d3
1 1 1
:
5 2 1
+ - +
= = . Viết phương trình đường
thẳng D, biết D cắt ba đường thẳng d d d1 2 3, , lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho
AB BC= .
· Xét ba điểm A, B, C lần lượt nằm trên ba đường thẳng d d d1 2 3, , .
www.VNMATH.com

29.
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian
Trang 29
Giả sử A t t t B u u u C v v v( ;4 – ; 1 2 ), ( ;2 –3 ; 3 ), ( 1 5 ;1 2 ; 1 )- + - - + + - + .
Ta có: A, B, C thẳng hàng và AB = BC Û B là trung điểm của AC
t v u
t v u
t v u
( 1 5 ) 2
4 (1 2 ) 2.(2 3 )
1 2 ( 1 ) 2( 3 )
ì + - + =
ï
Û - + + = -í
ï- + + - + = -î
Û
t
u
v
1
0
0
ì =
ï
=í
ï =î
Þ A B C(1;3;1), (0;2;0), ( 1;1; 1)- - .
Đường thẳng D đi qua A, B, C có phương trình:
x y z2
1 1 1
-
= =
Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách
Câu 43. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d):
x t
y t
z t
2 4
3 2
3
ì = +
ï
= +í
ï = - +î
và mặt phẳng
(P): x y z2 5 0- + + + = . Viết phương trình đường thẳng (D) nằm trong (P), song song với
(d) và cách (d) một khoảng là 14 .
· Chọn A(2;3; -3), B(6;5; -2)Î(d), mà A, B Î (P) nên (d) Ì (P) .
Gọi u
r
là VTCP của (d1) Ì (P), qua A và vuông góc với (d) thì d
P
u u
u u
ì ^
í
^î
r r
r r
nên ta chọn d Pu u u[ , ] (3; 9;6)= = -
r r r
.
Phương trình của đường thẳng (d1) :
x t
y t t R
z t
2 3
3 9 ( )
3 6
ì = +
ï
= - Îí
ï = - +î
Lấy M(2+3t; 3 -9t; -3+6t) Î(d1) . (D) là đường thẳng qua M và song song với (d).
Theo đề : AM t t t t t2 2 2 2 1 1
14 9 81 36 14
9 3
= Û + + = Û = Û = ±
· t =
1
3
- ÞM(1;6; -5)
x y z
1
1 6 5
( ) :
4 2 1
D
- - +
Þ = =
· t =
1
3
ÞM(3;0; -1)
x y z
2
3 1
( ):
4 2 1
D
- +
Þ = =
www.VNMATH.com

30.
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 30
Câu 44. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x y z 1 0+ - + = và đường
thẳng: d:
x y z2 1 1
1 1 3
- - -
= =
- -
. Gọi I là giao điểm của d và (P). Viết phương trình của đường
thẳng D nằm trong (P), vuông góc với d sao cho khoảng cách từ I đến D bằng h 3 2= .
· (P) có VTPT Pn (1;1; 1)= -
r
và d có VTCP u (1; 1; 3)= - -
r
. I d P I( ) (1;2;4)= Ç Þ
Vì P d( );D D DÌ ^ Þ có véc tơ chỉ phương Pu n u, ( 4;2; 2)D é ù= = - -ë û
r r r
Gọi H là hình chiếu của I trên D H mp Q( )Þ Î qua I và vuông góc D
Þ Phương trình (Q): x y z x y z2( 1) ( 2) ( 4) 0 2 4 0- - + - - - = Û - + - + =
Gọi d P Q d1 1( ) ( )= Ç Þ có VTCP P Qn n; (0;3;3) 3(0;1;1)é ù = =ë û
r r
và d1 qua I
x
d y t
z t
1
1
: 2
4
ì =
ï
Þ = +í
ï = +î
Giả sử H d H t t IH t t1 (1;2 ;4 ) (0; ; )Î Þ + + Þ =
uur
. Ta có:
t
IH t
t
2 3
3 2 2 3 2
3
é =
= Û = Û ê = -ë
· Với t H3 (1;5;7)= Þ Þ Phương trình
x y z1 5 7
:
2 1 1
D
- - -
= =
- -
· Với t H3 (1; 1;1)= - Þ - Þ Phương trình
x y z1 1 1
:
2 1 1
D
- + -
= =
- -
.
Câu hỏi tương tự:
a) P x y z( ): 2 0+ + + = ,
x y z
d
3 2 1
:
2 1 1
- + +
= =
-
, h 42= .
ĐS:
x y z5 2 5
:
2 3 1
- + +
D = =
-
;
x y z3 4 5
:
2 3 1
+ + -
D = =
-
Câu 45. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x y z2 2 9 0+ - + = và đường
thẳng
x y z
d
1 1 3
:
1 7 1
+ - -
= =
-
. Viết phương trình đường thẳng D vuông góc với (P) và cắt d
tại một điểm M cách (P) một khoảng bằng 2.
· Vì D ^ (P) nên D nhận Pn (2;1; 2)= -
r
làm VTCP.
Giả sử M t t t d( 1;7 1;3 )- + - Î . Ta có: d M P( ,( )) 2= Û t11 2 6+ = Û
t
t
8
11
4
11
é
= -ê
ê
ê =
ë
+ Với t
8
11
= - Þ M
19 45 41
; ;
11 11 11
æ ö
- -ç ÷
è ø
Þ D: x t y t z t
19 45 41
2 ; ; 2
11 11 11
ì
= - + = - + = -í
î
+ Với t
4
11
= Þ M
7 39 29
; ;
11 11 11
æ ö
-ç ÷
è ø
Þ D: x t y t z t
7 39 29
2 ; ; 2
11 11 11
ì
= - + = + = -í
î
Câu 46. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng P x y z( ): 3 1 0+ - - = và các
điểm A(1;0;0); B(0; 2;3)- . Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) đi qua A và cách
B một khoảng lớn nhất (nhỏ nhất).
· Ta có: A P(1;0;0) ( )Î . Gọi VTCP của đường thẳng d là: u a b c a b c2 2 2
( ; ; ), 0= + + ¹
r
Ta có: Pd P u n c a b( ) . 0 2Ì Û = Û = +
r r
www.VNMATH.com

31.
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian
Trang 31
AB ( 1;2; 3)= - -
uuur
; du AB a b a b a b, ( 2 7 ;2 2 ;2 )é ù = - - - +ë û
uur uuur
Þ
u AB a ab b
d B d
u a ab b
2 2
2 2
, 12 24 54
( , )
2 4 5
é ù + +ë û
= =
+ +
uuurr
r
+ TH1: Nếu b = 0 thì d B d( , ) 6=
+ TH2: Nếu b 0¹ . Đặt
a
t
b
= Þ
t t
d B d f t
t t
2
2
12 24 54
( , ) ( )
2 4 5
+ +
= =
+ +
Xét hàm số
t t
f t
t t
2
2
12 24 54
( )
2 4 5
+ +
=
+ +
ta suy ra được d B d f t6 ( , ) ( ) 14£ = £
So sánh TH1 và TH2 Þ d B d6 ( , ) 14£ £
Do đó:
a) d B d bmin( ( , )) 6 0= Û = . Chọn a =1 Þ c= 1
Þ Phương trình đường thẳng d:
x t
y
z t
1
0
ì = +
ï
=í
ï =î
b) d B d a bmax( ( , )) 14= Û = - . Chọn b = –1 Þ a =1 , c = –1
Þ Phương trình đường thẳng d:
x t
y t
z t
1ì = +
ï
= -í
ï = -î
Câu 47. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng P x y z( ): 2 2 5 0- + - = và các
điểm A( 3;0;1)- ; B(1; 1;3)- . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, song song với (P) và
cách B một khoảng nhỏ nhất.
· ĐS:
x y z
d
3 1
:
26 11 2
+ -
= =
-
.
Câu 48. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
x y z1 2
:
2 1 1
D
+ -
= =
-
, hai điểm
A(0; 1;2)- , B(2;1;1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và cắt đường thẳng D sao
cho khoảng cách từ B đến d là lớn nhất (nhỏ nhất).
· Gọi M d D= Ç . Giả sử M t t t( 1 2 ; ;2 )- + - . VTCP của d: du AM t t t(2 1; 1; )= = - + -
uuurr
AB(2;2; 1)-
uuur
; dAB u t t; (1 ;1;4 2 )é ù = - -ë û
uuur r
Þ
d
d
AB u t t
d B d f t
u t t
2
2
, 12 18 18
( , ) ( )
6 2 2
é ù - +ë û
= = =
- +
uuur r
r
Xét hàm số
t t
f t
t t
2
2
12 24 54
( )
2 4 5
+ +
=
+ +
. Ta có f t f f t f
1
max ( ) (0) 18; min ( ) (2)
11
= = = =
Þ d B d
1
( , ) 18
11
£ £
a) d B d t
1
min( ( , )) 2
11
= Û = Þ Phương trình đường thẳng d:
x t
y t
z t
3
1 3
2 2
ì =
ï
= - +í
ï = -î
www.VNMATH.com

32.
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 32
b) d B d tmax( ( , )) 18 0= Û = Þ Phương trình đường thẳng d:
x t
y t
z t
1
2
ì = -
ï
= - +í
ï = -î
Câu hỏi tương tự:
a)
x y z
A B
x y z
1 0
: , (2;1; 1), ( 1;2;0)
1 0
D
ì + + - =
- -í - + - =î
.
ĐS: max
x x y
d d
y z y zmin
1 0 2 3 0
: ; :
2 0 2 0
ì ì+ = + - =
í í+ - = - - =î î
b)
x y z
A B
1 2 1
: , (3; 2;1), (2;1; 1)
1 2 1
D
- + -
= = - -
-
.
ĐS: max
x y z
d
3 2 1
:
19 3 5
- + -
= =
-
;
x y z
dmin
3 20 1
:
5 20 7
- + -
= =
- -
.
c)
x y z
A B
1 2
: , (1;4;2), ( 1;2;4)
1 1 2
D
- +
= = -
-
.
ĐS: max
x y z
d
1 4 2
:
1 4 3
- - -
= =
- -
;
x y z
dmin
1 4 2
:
15 18 19
- - -
= =
Câu 49. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
x y z
d
1 2
:
2 1 1
- -
= = , hai điểm
A B(1;1;0), (2;1;1). Viết phương trình đường thẳng D đi qua A và vuông góc với d, sao cho
khoảng cách từ B đến D là lớn nhất.
· Ta có VTCP của d là: du (2;1;1)=
r
và AB (1;0;1)=
uuur
.
Gọi H là hình chiếu của B lên D ta có:d B BH AB( , )D = £ . Do đó khoảng cách từ B đến D
lớn nhất khi H Aº . Khi đó D là đường thẳng đi qua A và vuông góc với AB.
Ta có
d
AB
D
D
ì ^
í ^î
Þ Có thể chọn VTCP của D là du u AB, (1; 1; 1)D
é ù= = - -ë û
uuurr r
Þ PT của D là:
x t
y t
z t
1
1
ì = +
ï
= -í
ï = -î
Câu 50. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua
A(0; 1;2)- , cắt đường thẳng
x y z
1
1 2
:
2 1 1
D
+ -
= =
-
sao cho khoảng cách giữa d và đường
thẳng
x y z
2
5
:
2 2 1
D
-
= =
-
là lớn nhất.
· Gọi M d 1D= Ç . Giả sử M t t t( 1 2 ; ;2 )- + - .VTCP của d : du AM t t t(2 1; 1; )= = - + -
uuurr
2D đi qua N(5;0;0) và có VTCP v (2; 2;1)D = -
r
; AN (5;1; 2)= -
uuur
; dv u t t t; ( 1;4 1;6 )Dé ù = - -ë û
r r
Þ
d
d
v u AN t
d d f t
v u t t
2
2 2
, . (2 )
( , ) 3. 3. ( )
, 53 10 2
D
D
D
é ùë û +
= = =
é ù - +ë û
uuurr r
r r
Xét hàm số
t
f t
t t
2
2
(2 )
( )
53 10 2
+
=
- +
. Ta suy ra được f t f
4 26
max ( ) ( )
37 9
= =
Þ d dmax( ( , )) 26D = Þ Phương trình đường thẳng d: {x t y t z t29 ; 1 41 ; 2 4= = - - = +
Câu hỏi tương tự:
www.VNMATH.com

33.
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian
Trang 33
a)
x y z x y z
A
x y z1 2
1 1 1 2 1 0
(2; 1;2), : , :
1 02 1 1
D D
- + - ì + - + =
- = = í - + + =î
. ĐS:
x y z
d
2 1 2
:
41 68 27
- + -
= =
-
.
Câu 51. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua
A(1; 1;2)- , song song với mặt phẳng P x y z( ): 1 0+ - + = sao cho khoảng cách giữa d và
đường thẳng
x y z
x y z
3 0
:
2 2 0
D
ì + + - =
í - + - =î
là lớn nhất.
· ĐS:
x
y t
z t
1
1
2
ì =
ï
= - +í
ï = +î
.
Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc
Câu 52. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; –1; 1), đường thẳng D:
x y z2
1 2 2
-
= = và mặt phẳng (P): x y z 5 0- + - = . Viết phương trình tham số của đường
thẳng d đi qua A, nằm trong (P) và hợp với đường thẳng D một góc 0
45 .
· Gọi d Pu u n, ,D
r r r
lần lượt là các VTCP của d, D và VTPT của (P).
Giả sử du a b c a b c2 2 2
( ; ; ) ( 0)= + + ¹
r
.
+ Vì d Ì (P) nên d Pu n^
r r
Þ a b c 0- + = Û b a c= + (1)
+ ·( )d 0
, 45D = Û
a b c
a b c2 2 2
2 2 2
23
+ +
=
+ +
Û a b c a b c2 2 2 2
2( 2 ) 9( )+ + = + + (2)
Từ (1) và (2) ta được: c ac2
14 30 0+ = Û
c
a c
0
15 7 0
é =
ê + =ë
+ Với c = 0: chọn a = b = 1 Þ PTTS của d: {x t y t z3 ; 1 ; 1= + = - - =
+ Với 15a + 7c = 0: chọn a = 7, c = –15, b = –8
Þ PTTS của d: {x t y t z t3 7 ; 1 8 ; 1 15= + = - - = - .
Câu 53. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng D nằm trong mặt
phẳng P x y z( ): – 1 0+ + = , cắt các đường thẳng
x t x t
d y t d y t
z t z t
1 2
1 3
: ; : 1
2 2 1 2
ì ì= + = -
ï ï
= = +í í
ï ï= + = -î î
và tạo với
d1 một góc 300
.
· Ta có d P1 ( )Ì . Gọi A d P2 ( )= Ç Þ A(5; 1;5)- . d1 có VTCP u1 (1;1;2)=
r
.
Lấy B t t t d1(1 ; ;2 2 )+ + Î Þ AB t t t( 4; 1;2 3)= - + -
uuur
là VTCP của D
Ta có d 0
1cos( , ) cos30D = Û
t
t t t2 2 2
6 9 3
26 ( 4) ( 1) (2 3)
-
=
- + + + -
t
t
1
4
é = -
Û ê =ë
www.VNMATH.com

34.
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 34
+ Với t 1= - thì AB ( 5;0; 5)= - -
uuur
Þ d:
x t
y
z t
5
1
5
ì = +
ï
= -í
ï = +î
+ Với t 4= thì AB (0;5;5)=
uuur
Þ d:
x
y t
z t
5
1
5
ì =
ï
= - +í
ï = +î
Câu 54. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp A.OBC, trong đó A(1; 2; 4), B
thuộc trục Ox và có hoành độ dương, C thuộc Oy và có tung độ dương. Mặt phẳng (ABC)
vuông góc với mặt phẳng (OBC), ·tan 2=OBC . Viết phương trình tham số của đường thẳng
BC.
· BC: {x t y t z2 ; 2 ; 0= + = - = .
Câu 55. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A B(2; 1;1), (0;1; 2)- - và đường
thẳng
x y z
d
3 1
:
1 1 2
- +
= =
-
. Viết phương trình đường thẳng D đi qua giao điểm của đường
thẳng d với mặt phẳng (OAB), nằm trong mặt phẳng (OAB) và hợp với đường thẳng d một
góc a sao cho
5
cos
6
a = .
· PT mặt phẳng (OAB): x y z4 2 0+ + = . Gọi M = d Ç (OAB) Þ M( 10;13; 21)- - .
Giả sử D có VTCP u a b c( ; ; )=
r
+ Vì D Ì (OAB) nên a b c4 2 0+ + = (1)
+
5
cos
6
a = Û
a b c
a b c2 2 2
2 5
66
- +
=
+ +
(2)
Từ (1) và (2) Þ b c a c
b c a c
5 2
,
11 11
, 6
é
= = -ê
ê = = -ë
+ Với b c a c
5 2
,
11 11
= = - Þ u (2; 5; 11)= - -
r
Þ PT của D:
x y z10 13 21
2 5 11
+ - +
= =
- -
+ Với b c a c, 6= = - Þ u (6; 1; 1)= - -
r
Þ PT của D:
x y z10 13 21
6 1 1
+ - +
= =
- -
Câu 56. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm
A(0;1; 2)- , vuông góc với đường thẳng
x y z
d
3 2
:
1 1 1
+ -
= =
-
và tạo với mặt phẳng (P):
x y z2 5 0+ - + = một góc 0
30=a .
· Giả sử D có VTCP u a b c( ; ; )=
r
.
Ta có:
a d
3
cos
2
a
ì ^
ï
í
=ïî
r
Û
a b c
a b c
a b c2 2 2
0
2 3
26
ì - + =
ï
+ -í =
ï
+ +î
Û
c a b
c a b a
0,
2 ,
é = =
ê = - = -ë
+ Với c a b0,= = Þ u (1;1;0)=
r
Þ D: {x t y t z; 1 ; 2= = + = -
+ Với c a b a2 ,= - = - Þ u (1; 1; 2)= - -
r
Þ D: {x t y t z t; 1 ; 2 2= = - = - - .
www.VNMATH.com

35.
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian
Trang 35
Câu 57. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua
A(1; 1;2)- , song song với mặt phẳng P x y z( ): 2 3 0- - + = , đồng thời tạo với đường thẳng
x y z1 1
:
1 2 2
D
+ -
= =
-
một góc lớn nhất (nhỏ nhất).
· D có VTCP u (1; 2;2)D = -
r
. Gọi VTCP của đường thẳng d là u a b c( ; ; )=
r
.
Pd P u n c a b( ) . 0 2Û = Û = -
r r
P . Gọi góc giữa hai mặt phẳng là a.
Þ
a b a b
a ab ba ab b
2
2 22 2
5 4 1 (5 4 )
cos .
3 5 4 23 5 4 2
a
- -
= =
- +- +
+ TH1: Nếu b = 0 thì
1
cos . 5
3
a =
+ TH2: Nếu b 0¹ . Đặt
a
t
b
= Þ
t
f t
t t
2
2
1 (5 4) 1
cos . . ( )
3 35 4 2
a
-
= =
- +
Xét hàm số
t
f t
t t
2
2
(5 4)
( )
5 4 2
-
=
- +
. Ta suy ra được: f t
5 3
0 cos ( )
9
a£ = £
So sánh TH1 và TH2, ta suy ra:
5 3
0 cos
9
a£ £
Do đó:
a) min(cos ) 0a = Û
a
b
4
5
= Þ Phương trình đường thẳng d :
x y z1 1 2
4 5 3
- + -
= =
b)
5 3
max(cos )
9
a = Û
a
b
1
5
= - Þ Phương trình đường thẳng d:
x y z1 1 2
1 5 7
- + -
= =
-
Câu 58. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua
A( 1;0; 1)- - , cắt đường thẳng
x y z
1
1 2 2
:
2 1 1
D
- - +
= =
-
sao cho góc giữa d và đường thẳng
x y z
2
3 2 3
:
1 2 2
D
- - +
= =
-
là lớn nhất (nhỏ nhất).
· Gọi M d 1D= Ç . Giả sử M t t t(1 2 ;2 ; 2 )+ + - - .
VTCP của d : du AM t t t(2 2; 2; 1 )= = + + - -
uuurr
. Gọi ·d 2( , )D=a .
Þ
t
f t
t t
2
2
2 2
cos . . ( )
3 36 14 9
a =
+ +
Xét hàm số
t
f t
t t
2
2
( )
6 14 9
=
+ +
. Ta suy ra được f t f
9 9
max ( ) ( )
7 5
= - = ; f t fmin ( ) (0) 0= =
a) min(cos ) 0a = t 0Û = Þ Phương trình đường thẳng d :
x y z1 1
2 2 1
+ +
= =
-
b)
2 5
max(cos )
5
a = t
9
7
Û = - Þ Phương trình đường thẳng d :
x y z1 1
4 5 2
+ +
= =
www.VNMATH.com

36.
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 36
Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến tam giác
Câu 59. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho DABC với tọa độ đỉnh C(3; 2; 3) và phương
trình đường cao AH, phương trình đường phân giác trong BD lần lượt là:
x y z
d1
2 3 3
:
1 1 2
- - -
= =
-
,
x y z
d2
1 4 3
:
1 2 1
- - -
= =
-
. Lập phương trình đường thẳng chứa
cạnh BC của ABCD và tính diện tích của ABCD .
· Gọi mp(P) qua C và vuông góc với AH P d P x y z1( ) ( ): 2 1 0Þ ^ Þ + - + =
B P d B2( ) (1;4;3)= Ç Þ Þ phương trình {BC x t y t z: 1 2 ; 4 2 ; 3= + = - =
Gọi mp(Q) qua C, vuông góc với d2, (Q) cắt d2 và AB tại K và M. Ta có:
Q x y z K M( ): 2 2 0 (2;2;4) (1;2;5)- + - = Þ Þ (K là trung điểm của CM).
x
AB y t
z t
1
: 4 2
3 2
ì =
ï
Þ = +í
ï = -î
, do ABCA AB d A S AB AC1
1
(1;2;5) , 2 3
2D
é ù= Ç Þ Þ = =ë û
uuur uuur
.
Câu 60. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho DABC với A(1; 1;1)- và hai đường trung
tuyến lần lượt có phương trình là
x y z
d1
1 2
:
2 3 2
- -
= =
- -
,
x t
d y
z t
2
1
: 0
1
ì = -
ï
=í
ï = +î
. Viết phương trình
đường phân giác trong của góc A.
· Ta có A d A d1 2,Ï Ï . Gọi M d N d1 2,Î Î lần lượt là trung điểm AC, AB.
N t t(1– ;0;1 )+ Þ B t t(1–2 ;1;1 2 )+ . B d t1
1
2
Î Þ = Þ B(0;1;2)
M t t t(2 ;1 3 ;2 2 )- - Þ C t t t(4 –1;3 –6 ;3 –4 ) . C d t C2
1
(1;0;1)
2
Î Þ = Þ
Ta có: AB AC6, 1= = . Gọi AD là đường phân giác trong của góc A thì DB DC6= -
uuur uuur
Þ D
6 1 2 6
; ;
1 6; 1 6 1 6
æ ö+
ç ÷ç ÷+ + +è ø
Þ AD
1 2 6 1
; ;
1 6 1 6 1 6
æ ö- +
= ç ÷ç ÷
+ + +è ø
uuur
Vậy phương trình đường thẳng AD là:
x y z1 1 1
1 12 6
- + -
= =
- +
.
www.VNMATH.com

37.
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian
Trang 37
TĐKG 03: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu bằng cách xác định tâm và bán kính
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1; 2;3)- . Viết phương trình mặt cầu
tâm I và tiếp xúc với trục Oy.
· Gọi M là hình chiếu của I(1; 2;3)- lên Oy, ta có: M(0; 2;0)- .
IM R IM( 1;0; 3) 10= - - Þ = =
uuur
là bán kính mặt cầu cần tìm.
Kết luận: PT mặt cầu cần tìm là x y z2 2 2
( 1) ( 2) ( 3) 10- + + + - = .
Câu 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: (d1) : {x t y t z2 ; ; 4= = = và
(d2) : { 3 ; ; 0= - = =x t y t z . Chứng minh (d1) và (d2) chéo nhau. Viết phương trình mặt cầu
(S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của (d1) và (d2).
· Gọi MN là đường vuông góc chung của (d1) và (d2) Þ M N(2; 1; 4); (2; 1; 0)
Þ Phương trình mặt cầu (S): x y z2 2 2
( 2) ( 1) ( 2) 4.- + - + - =
Câu hỏi tương tự:
a)
x y z
d1
2 1
:
1 1 2
- -
= =
-
,
x t
d y
z t
2
2 2
: 3
ì ¢= -
ï
=í
ï ¢=î
. ĐS: S x y z
2 2 2
11 13 1 5
( ):
6 6 3 6
æ ö æ ö æ ö
- + - + + =ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
b)
x y z x y z
d d1 2
2 1 2 4 2
( ): ,( ):
1 2 2 1 6 2
- - - + -
= = = =
-
ĐS: S x y z
2
2 25 9
( ):( 2) ( 3)
2 4
æ ö
- + - + - =ç ÷
è ø
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:
x y z
d1
4 1 5
:
3 1 2
- - +
= =
- -
và
2
2
: 3 3
= +ì
ï
= - +í
ï =î
x t
d y t
z t
. Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường
thẳng d1 và d2 .
· Mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng là đường kính.
Câu hỏi tương tự:
a)
x t
d y t
z
1
2
:
4
ì =
ï
=í
ï =î
,
x t
d y t
z
2
3
:
0
ì = -
ï
=í
ï =î
. ĐS: S x y z2 2 2
( ):( 2) ( 1) ( 2) 4- + - + - =
Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng 1( )D có phương trình
{x t y t z2 ; ; 4= = = ; 2( )D là giao tuyến của 2 mặt phẳng x y( ): 3 0a + - = và
x y z( ) : 4 4 3 12 0b + + - = . Chứng tỏ hai đường thẳng 1 2,D D chéo nhau và viết phương trình
mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung của 1 2,D D làm đường kính.
· Gọi AB là đường vuông góc chung của 1D , 2D : A t t 1(2 ; ;4) DÎ , B s s 2(3 ; ;0) D+ - Î
AB ^ D1, AB ^ D2 Þ A B(2;1;4), (2;1;0)
www.VNMATH.com

38.
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 38
Þ Phương trình mặt cầu là: x y z2 2 2
( 2) ( 1) ( 2) 4- + - + - =
Câu 5. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có
Aº O, B(3;0;0), D(0;2;0), A’(0;0;1). Viết phương trình mặt cầu tâm C tiếp xúc với AB’.
· Kẻ CH^ AB’, CK ^ DC’ Þ CK ^ (ADC’B’) nên DCKH vuông tại K.
CH CK HK2 2 2 49
10
Þ = + = . Vậy phương trình mặt cầu: x y z2 2 2 49
( 3) ( 2)
10
- + - + =
Câu 6. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A( 1; –1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3;
2), D( 4; –1; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình: x y z 2 0+ + - = . Gọi A’ là hình chiếu của
A lên mặt phẳng Oxy. Gọi (S) là mặt cầu đi qua 4 điểm A¢, B, C, D. Xác định toạ độ tâm và
bán kính của đường tròn (C) là giao của (P) và (S).
· Dễ thấy A¢( 1; –1; 0). Phương trình mặt cầu ( S): 01225222
=+---++ zyxzyx
Þ (S) có tâm I
5
;1;1
2
æ ö
ç ÷
è ø
, bán kính R
29
2
=
+) Gọi H là hình chiếu của I lên (P). H là tâm của đường tròn ( C)
+) PT đường thẳng (d) đi qua I và vuông góc với (P): d:
x t
y t
z t
5/ 2
1
1
ì = +
ï
= +í
ï = +î
H
5 1 1
; ;
3 6 6
æ ö
Þ ç ÷
è ø
IH
75 5 3
36 6
= = , (C) có bán kính r R IH2 2 29 75 31 186
4 36 6 6
= - = - = =
Câu 7. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; –2; 3) và đường thẳng d có
phương trình
x y z1 2 3
2 1 1
+ - +
= =
-
. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d. Viết
phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d.
· d(A, (d)) =
BA a
a
, 4 196 100
5 2
4 1 1
é ù + +ë û
= =
+ +
uur r
r
PT mặt cầu tâm A (1; –2; 3), bán kính R = 5 2 : x y z2 2 2
( –1) ( 2) ( –3) 50+ + + =
Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
x y z
d
5 7
:
2 2 1
+ -
= =
-
và điểm
M(4;1;6) . Đường thẳng d cắt mặt cầu (S), có tâm M, tại hai điểm A, B sao cho AB 6= .
Viết phương trình của mặt cầu (S).
· d đi qua N( 5;7;0)- và có VTCP u (2; 1;1)= -
r
; MN ( 9;6; 6)= - -
uuuur
.
Gọi H là chân đường vuông góc vẽ từ M đên đường thẳng d Þ MH = d M d( , ) 3= .
Bán kính mặt cầu (S):
AB
R MH
2
2 2
18
2
æ ö
= + =ç ÷
è ø
.
Þ PT mặt cầu (S): x y z2 2 2
( 4) ( 1) ( 6) 18- + - + - = .
Câu 9. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) x y z: 2 2 3 0a - + - = và mặt
cầu ( )S x y z x y z2 2 2
: 2 4 8 4 0+ + - + - - = . Xét vị trí tương đối của mặt cầu (S) và mặt
phẳng ( )a . Viết phương trình mặt cầu (S¢) đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng ( )a .
www.VNMATH.com

39.
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian
Trang 39
· ( ) ( ) ( )S x y z
222
( ): 1 2 4 25- + + + - = có tâm ( )I 1; 2;4- và R = 5.
Khoảng cách từ I đến (a) là: ( )d I R,( ) 3a = < Þ (a) và mặt cầu (S) cắt nhau.
Gọi J là điểm đối xứng của I qua (a). Phương trình đường thẳng IJ :
x t
y t
z t
1 2
2
4 2
ì = +
ï
= - -í
ï = +î
Toạ độ giao điểm H của IJ và (a) thoả ( )
x t t
y t x
H
z t y
x y z z
1 2 1
2 1
1; 1;2
4 2 1
2 2 3 0 2
ì ì= + = -
ï ïï ï= - - = -
Û Þ - -í í= + = -ï ï
- + - = =ï ïî î
Vì H là trung điểm của IJ nên ( )J 3;0;0- . Mặt cầu (S¢) có tâm J bán kính R¢ = R = 5 nên có
phương trình: ( )S x y z
2 2 2
( ): 3 25¢ + + + = .
Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, lập phương trình mặt cầu (S) biết rằng mặt phẳng
Oxy và mặt phẳng (P): 2z = lần lượt cắt (S) theo hai đường tròn có bán kính bằng 2 và 8.
· Từ giả thiết ta có vô số mặt cầu (S) thoả YCBT. Gọi (S0) là mặt cầu có tâm I m0(0;0; )
thuộc trục Oz. Khi đó mp(Oxy) và mp(P) cắt (S0) theo 2 đường tròn tâm O O1 (0;0;0)º , bán
kính R1 2= và tâm O2(0;0;2) , bán kính R2 8= .
Gọi R là bán kính mặt cầu thì
R m
m m m
R m
22 2
2 2
22 2
2
4 64 ( 2) 16
8 2
ìï = +
Þ + = + - Þ =í
= + -ïî
Þ R 2 65= và I0(0;0;16). Suy ra mặt cầu (S) có tâm I a b( ; ;16) (a, b Î R), bán kính
R 2 65= .
Vậy phương trình mặt cầu (S): x a y b z2 2 2
( ) ( ) ( 16) 260- + - + - = (a, b Î R).
Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x y z2 2 2 0- - - = và đường
thẳng d:
x y z1 2
1 2 1
+ -
= =
-
. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d, I cách (P) một
khoảng bằng 2 và (P) cắt (S) theo một đường tròn (C) có bán kính bằng 3.
· Giả sử I t t t d( ;2 1; 2)- - + Î , R là bán kính của (S), r là bán kính của (C).
Ta có: d I P t( ,( )) 2 6 5 6= Û - - = Û
t
t
1
6
11
6
é
=ê
ê
ê = -
ë
. ( )R d I P r
22 2
( ,( ) 13= + =
+ Với t
1
6
= Þ I
1 2 13
; ;
6 3 6
æ ö
- -ç ÷
è ø
Þ (S): x y z
2 2 2
1 2 13
13
6 3 6
æ ö æ ö æ ö
+ + + + - =ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
+ Với t
11
6
= - Þ I
11 14 1
; ;
6 3 6
æ ö
-ç ÷
è ø
Þ (S): x y z
2 2 2
11 14 1
13
6 3 6
æ ö æ ö æ ö
- + + + - =ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
Câu 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 điểm A(0; 0; 4), B(2; 0; 0) và mặt phẳng
(P): x y z2 5 0+ - + = . Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua O, A, B và có khoảng cách từ
tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng (P) bằng
5
6
.
www.VNMATH.com

40.
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 40
· Giả sử (S): x y z ax by cz d2 2 2
2 2 2 0+ + - - - + = .
+ Từ O, A, B Î (S) suy ra:
a
c
d
1
2
0
ì =
ï
=í
ï =î
Þ I b(1; ;2) .
+ d I P
5
( ,( ))
6
= Û
b 5 5
6 6
+
= Û
b
b
0
10
é =
ê = -ë
Vậy (S): x y z x z2 2 2
2 4 0+ + - - = hoặc (S): x y z x y z2 2 2
2 20 4 0+ + - + - =
Câu 13. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A B C(1;3;4), (1;2; 3), (6; 1;1)- - và
mặt phẳng x y z( ): 2 2 1 0a + + - = . Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên mặt
phẳng ( )a và đi qua ba điểm A B C, , . Tính diện tích hình chiếu của tam giác ABC trên mặt
phẳng ( )a .
· Goi I a b c( ; ; ) là tâm mật cầu ta có :
a b c a b cIA IB
IA IC a b c a b c
I a b c
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
(1 ) (3 ) (4 ) (1 ) (2 ) ( 3 )
(1 ) (3 ) (4 ) (6 ) ( 1 ) (1 )
( 2 2 1 0
ì - + - + - = - + - + - -ì = ïï í= Û - + - + - = - + - - + -í
ïï Î + + - =îî a)
b c a
a b c b I
a b c c
7 6 1
5 4 3 6 1 (1; 1;1)
2 2 1 0 1
ì ì+ = =
ï ï
Û - - = Û = - Þ -í í
ï ï+ + - = =î î
Þ R IA2 2
25= =
Þ Phương trình S x y z2 2 2
( ):( 1) ( 1) ( 1) 25- + + + - =
Tam giác ABC đều cạnh bằng 5 2 nên ABCS
25 3
2
=
AB AC p AB AC(0; 1; 7), (5; 4; 3) , ( 25; 35;5)é ù= - - = - - Þ = = - -ë û
uuur uuur uuur uuurr
( )ABC n p
17
cos(( ),( )) cos ,
15 3
a = =
r r
a
Gọi S' là diện tích hình chiếu của tam giác ABC lên mặt phẳng ( )a
Ta có ABCS S ABC
50 3 17 85
' .cos(( ),( ))
4 615 3
a= = = (đvdt)
Câu 14. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:
x y z1 1
3 1 1
- +
= = và mặt
phẳng (P): x y z2 2 2 0+ - + = . Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng
d có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với (P) và đi qua điểm A(1; –1; 1).
· Gọi I là tâm của (S). I Î d Þ I t t t(1 3 ; 1 ; )+ - + . Bán kính R = IA = t t2
11 2 1- + .
Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên:
t
d I P R
5 3
( ,( ))
3
+
= =
Û t t2
37 24 0- = Û
t R
t R
0 1
24 77
37 37
é = Þ =
ê
= Þ =ê
ë
.
Vì (S) có bán kính nhỏ nhất nên chọn t = 0, R = 1. Suy ra I(1; –1; 0).
Vậy phương trình mặt cầu (S): x y z2 2 2
( 1) ( 1) 1- + + + = .
www.VNMATH.com

41.
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian
Trang 41
Câu 15. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:
x y z1 2
1 1 1
- +
= = và mặt phẳng (P):
x y z2 –2 2 0+ + = . Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên d, tiếp xúc với mặt phẳng
(P) và đi qua điểm A(2; –1; 0).
· Gọi I là tâm của (S) Þ ( )I t t t1 ; –2;+ . Ta có d(I, (P)) = AI Û t t
7
1;
13
= = .
Vậy: S x y z2 2 2
( ): ( –2) ( 1) ( –1) 1+ + + =
hoặc S x y z
2 2 2
20 19 7 121
( ): – –
13 13 13 169
æ ö æ ö æ ö
+ + + =ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
.
Câu 16. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm I(1;2; 2)- , đường thẳng D:
x y z2 2 3- = + = và mặt phẳng (P): x y z2 2 5 0+ + + = . Viết phương trình mặt cầu (S) có
tâm I sao cho mặt phẳng (P) cắt khối cầu theo thiết diện là hình tròn có chu vi bằng 8p . Từ
đó lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa D và tiếp xúc với (S).
· Ta có: d d I P( ,( )) 3= = . Gọi r là bán kính hình tròn thiết diện. Ta có: r r2 8 4p p= Þ =
Suy ra bán kính mặt cầu: R r d2 2 2
25= + = Þ S x y z2 2 2
( ):( 1) ( 2) ( 2) 25- + - + + =
Nhận thấy mặt cầu (S) tiếp xúc với ( )D tại điểm M
5 5 4
; ;
3 3 3
æ ö
-ç ÷
è ø
.
Do đó: (Q) chứa ( )D và tiếp xúc với (S) đi qua M
5 5 4
; ;
3 3 3
æ ö
-ç ÷
è ø
và có VTPT MI
2 11 10
; ;
3 3 3
æ ö
-ç ÷
è ø
uuur
Þ PT mặt phẳng (Q): x y z6 33 30 105 0- + - = .
Câu 17. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng {d x t y z t: ; 1;= = - = - và 2
mặt phẳng (P): x y z2 2 3 0+ + + = và (Q): x y z2 2 7 0+ + + = . Viết phương trình mặt cầu
(S) có tâm I thuộc đường thẳng (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q).
· Giả sử: I t t d( ; 1; )- - Î . Vì (S) tiếp xúc với (P) và (Q) nên d I P d I Q R( ,( )) ( ,( ))= =
Û
t t1 5
3 3
- -
= Û t 3= . Suy ra: R I
2
, (3; 1; 3)
3
= - - .
Vậy phương trình mặt cầu (S): ( ) ( ) ( )x y z
2 2 2 4
3 1 3
9
- + + + + = .
Câu hỏi tương tự:
a) {d x t y t z t: 2 ; 1 2 ; 1= + = + = - , P x y z( ): 2 2 5 0+ - + = , Q x y z( ): 2 2 13 0+ - - = .
ĐS: S x y z
2 2 2
16 11 5
( ): 9
7 7 7
æ ö æ ö æ ö
- + - + - =ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x y z2 2 10 0- - + = , hai
đường thẳng (D1):
x y z2 1
1 1 1
- -
= =
-
, (D2):
x y z2 3
1 1 4
- +
= = . Viết phương trình mặt cầu (S)
có tâm thuộc (D1), tiếp xúc với (D2) và mặt phẳng (P).
·
x t
y t
z t
1
2
:
1
D
ì = +
ï
=í
ï = -î
; 2D đi qua điểm A(2;0; 3)- và có VTCP u2 (1;1;4)=
r
.
Giả sử I t t t 1(2 ; ;1 ) D+ - Î là tâm và R là bán kính của mặt cẩu (S).
www.VNMATH.com

42.
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 42
Ta có: AI t t t( ; ;4 )= -
uur
Þ AI u t t2, (5 4;4 5 ;0)é ù = - -ë û
uur r
Þ
AI u t
d I
u
2
2
2
, 5 4
( , )
3
D
é ù -ë û
= =
uur r
r
t t t t
d I P
2 2 2(1 ) 10 10
( ,( ))
31 4 4
+ - - - + +
= =
+ +
(S) tiếp xúc với 2D và (P) Û d I d I P2( , ) ( ,( ))D = Û t t5 4 10- = + Û t
t
7
2
1
é
=ê
ê = -ë
.
· Với t
7
2
= Þ I
11 7 5
; ;
2 2 2
æ ö
-ç ÷
è ø
, R
9
2
= Þ
PT mặt cầu (S): x y z
2 2 2
11 7 5 81
2 2 2 4
æ ö æ ö æ ö
- + - + + =ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
.
· Với t 1= - Þ I R(1; 1;2), 3- = Þ PT mặt cầu (S): x y z2 2 2
( 1) ( 1) ( 2) 9- + + + - = .
Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu bằng cách xác định các hệ số của phương trình
Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(3;1;1), B(0;1;4), C(–1;–3;1). Lập
phương trình của mặt cầu (S) đi qua A, B, C và có tâm nằm trên mặt phẳng (P): x + y – 2z +
4 = 0.
· PT mặt cầu (S) có dạng: x2
+ y2
+ z2
– 2ax – 2by – 2cz + d = 0
(S) qua A: 6a + 2b + 2c – d – 11 = 0
(S) qua B: 2b + 8c – d – 17 = 0
(S) qua C: 2a + 6b – 2c + d + 11 = 0
Tâm I Î (P): a + b – 2c + 4 = 0
Giải ra ta được: a = 1, b = –1, c = 2, d = –3. Vậy (S): x2
+ y2
+ z2
– 2x + 2y – 4z – 3 = 0
Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tam giác
ABC vuông tại A, đỉnh A trùng với gốc tọa độ O, B(1; 2; 0) và tam giác ABC có diện tích
bằng 5. Gọi M là trung điểm của CC’. Biết rằng điểm A¢(0; 0; 2) và điểm C có tung độ
dương. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB¢C¢M.
· Ta có: AB 5= và ABCS 5D = nên AC 2 5= .
Vì AA’ ^ (ABC) và A, B Î (Oxy) nên C Î (Oxy).
Gọi C x y( ; ;0). AB AC x y(1;2;0), ( ; ;0)= =
uuur uuur
.
Ta có:
x yAB AC x x
y yAC x y2 2
2 0 4 4
2 22 5 20
ìì + =^ ì ì= - =
Û Û Úí í í í
= = -= + = î îî î
. Vì Cy 0> nên C(–4; 2; 0) .
Do CC AA' '=
uuur uuur
Þ C¢(–4; 2; 2), BB AA' '=
uuur uuur
Þ B¢(1; 2; 2) và M là trung điểm CC¢
nên M(–4; 2; 1).
www.VNMATH.com