1. Bài 3: Phương trình ñư ng th ng và m t c u. – Khóa LTðH ñ m b o – Th y Tr n Phương
Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t 1
BTVN BÀI PHƯƠNG TRÌNH ðƯ NG TH NG VÀ M T C U.
Bài 1: Xác ñ nh giao ñi m c a ñư ng th ng
2 0
:
2 1 0
x y z
x y z
∆
+ + − =

+ − − =
v i m t ph ng ( ): 2 1 0x y zα + + − =
Gi i:
G i ( )0 0 0( ; ; )M x y z α∆= ∩ .
Do 0 0 0
0 0 0
2
:
2 1
x y z
M
x y z
∆ ∆
+ + =
∪ ⇒ 
+ − =
và ( ) 0 0 02 1M x y zα∈ ⇒ + + =
V y ta có:
0 0 0
0 0 0
0 0 0
2
2 1 (6; 3; 1)
2 1
x y z
x y z M
x y z
+ + =

+ − = ⇒ − −
 + + =
Bài 2: Tìm hình chi u vuông góc c a M(1;2;3) lên( ): 3 5 0x y zα + − + =
Gi i:
G i d là ñư ng th ng qua M và vuông góc v i( )α ta có:
( )
1
(1;1; 3) : 2
3 3
d
x t
u n d y t
z t
α
= +

= = − ⇒ = +
 = −
G i ( )'M d α= ∩ thì M’ là hình chi u c a M và:
1 1
2 11
12 23 303 3
' ; ;
11 11 113 5 0
x t
t
y t
z t
M
x y z
= + 
= = + 
⇒ 
 = −      + − + = 
Bài 3: Xác ñ nh hình chi u vuông góc c a M(-1;-1;1) lên ñư ng th ng
1
: 2
3 3
x t
y t
z t
∆
= +

= +
 = − −
Gi i:
G i ( ) ( )' 1 ;2 ; 3 3M t t t ∆+ + − − ∈ là hình chi u c a M’ lên( )∆

2. Bài 3: Phương trình ñư ng th ng và m t c u. – Khóa LTðH ñ m b o – Th y Tr n Phương
Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t Page 2 of 4
Vì ' . ' 0MM u MM∆∆⊥ ⇒ = , mà
( ) ( ) ( )
(1;1; 3)
' ( 2; 3; 3 4)
17 6 5 18
2 3 3 3 4 0 ' ; ;
11 11 11 11
u
MM t t t
t t t t M
∆ = −

= + + − −
 
⇒ + + + + + = ⇔ = − ⇔ − 
 
Bài 4: Xác ñ nh ñi m M’ ñ i x ng v i M(13;2;3) qua m t ph ng ( ): 3 5 0x y zα + − + =
Gi i:
G i d là ñư ng th ng qua M vuông góc v i( )α ta có:
( )
13
(1;1; 3) : 2
3 3
d
x t
u n d y t
z t
α
= +

= = − ⇒ = +
 = −
. Do ' '(13 ;2 ;3 3 )M d M t t t∈ ⇒ + + −
Vì trung ñi m c a MM’ là:
( )
3 3
13 ;2 ;3 13 2 3 3 5 0
2 2 2 2 2 2
2 (11;0;9)
t t t t t t
I
t M
α
       
+ + − ∈ ⇒ + + + − − + =       
       
⇒ = − ⇒
Bài 5: Xác ñ nh ñi m ñ i x ng v i M(0;2;-1) qua ñư ng th ng
1
: 2
3 3
x t
y t
z t
∆
= +

= +
 = −
Gi i:
G i ( )
( )
( )
1 ; ;4 3
1 ;2 ;3 3
1;1; 3
MI t t t
I t t t
u∆
∆
 = + −
+ + − ∈ ⇒ 
= −
Do . 0 (1 ) 3(3 4) 0 1 (2;3;0)MI u t t t t I∆ = ⇔ + + + − = ⇔ = ⇔
V y ( )4;4;1M
Bài 6: Xác ñ nh hình chi u c a ( )
5 4 2 5 0
:
2 2 0
x y z
x z
∆
− − − =

+ − =
lên m t ph ng( ): 2 1 0x y zα − + − =
Gi i:
G i( )β là m t ph ng qua ∆vuông góc v i ( )α ta có:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
.
(2; 1;1) (1; 2; 4)
( 8; 12;4) (2;3; 1)
n n u
n n
u
β α
α β
∆
∆
  =  

= − ⇒ = − −

= − − ↑↑ −


3. Bài 3: Phương trình ñư ng th ng và m t c u. – Khóa LTðH ñ m b o – Th y Tr n Phương
Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t Page 3 of 4
và ( ) ( )
5 5
2; ;0 : 2 2 4 0
4 4
M x y zβ β∆
   
∈ ⊂ ⇒ − − − − =   
   
Hay ( ): 2 4 8 1 0x y zβ − − + = ⇒Hình chi u ( )
2 4 8 1 0
' :
2 1 0
x y z
x y z
∆
− − + =

− + − =
Bài 7: Vi t PT ñư ng th ng qua M(1;3;0) và c t c ( ) ( )1 2
1 2
2 0
: ; : 3
2 5 0
4
x t
y
y t
x z
z t
∆ ∆
= +
− = 
= − 
− − =  = +
Gi i:
Ta có:
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
1
1 1,1 1
1 1
1;0; 2
1;1;5 . (2;3; 1
0;2;5
M
u
M M n M M u
M
∆
∆ ∆
∆
 = − −  ⇒ = ⇒ = = −  ∈
( ) ( )1 1, : 2( 1) 3( 3) 0 , : 2 3 11 0M x y z hay M x y z∆ ∆⇒ − + − − = + − − =
Tương t ta có:
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
2
2 2,2 2
2 2
2; 1;1
0;0;4 . (4;8;0) (1;2;0)
1;3;4
M
u
M M n M M u
M
∆
∆ ∆
∆
 = −  ⇒ = ⇒ = = ↑↑  ∈
( ) ( )2 2, :( 1) 2( 3) 0 , : 2 7 0M x y hay M x y∆ ∆⇒ − + − = + − =
V y
2 3 11 0
:
2 7 0
x y z
x y
∆
+ − − =

+ − =
là ñư ng th ng c n tìm
Bài 8: Trong h tr c t a ñ Oxyz cho mp( ) :2 2 15 0x y zα + − + = và ñi m J(-1;-2;1). G i I là ñi m
ñ i x ng c a J qua ( )α . Vi t phương trình m t c u tâm I, bi t nó c t ( )α theo m t ñư ng tròn
có chu vi là 8π.
Gi i:
G i I(a;b;c) ta có:
( )
2 31 2 1
IJ ( 1; 2; 1). IJ n
2 32 1 2
a ba b c
a b c Do
c b
α
= ++ + −
= + + − ↑↑ ⇒ = = ⇒ 
= − −− 
Nhưng trung ñi m M c a IJ l i n m trên ( )α nên ta có : b= -4 và I (-5;-4;5)
Ta tính ñư c kho ng cách t I ñ n ( )α là IO’=3.
Vì C=2πR0=8π nên R0=4 . => 2 2 2 2
' ' 4 3 5R IA IO AO= + = + =
V y: 2 2 2
( ) :( 5) ( 4) ( 5) 25C x y z+ + + + − =
Bài 9: Tìm t p h p tâm các m t c u ñi qua g c t a ñ và ti p xúc v i 2 m t ph ng có phương
trình l n lư t là: (P): x+2y-4=0 và (Q): x+2y+6=0
Gi i:
Ta nh n th y (P) song song v i (Q) nên 2R= d( (P), (Q)).

4. Bài 3: Phương trình ñư ng th ng và m t c u. – Khóa LTðH ñ m b o – Th y Tr n Phương
Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t Page 4 of 4
L y M(0;2;0) thu c (P) ta có: d( (P), (Q))= d( M, (Q)) = 2 5 5R⇒ = .
Lúc này PT m t c u có d ng: (x-a)2
+(y-b)2
+(z-c)2
=5
Vì C ñi qua O(0;0;0) nên:
2 2 2 2 2 2
5 ( ): 5a b c I S x y z+ + = ⇒ ∈ + + =
M t khác: M t ph ng song song và cách ñ u (P) và (Q) có PT:
(α):
( 2 4) ( 2 6)
2 1 0
2
x y x y
x y
+ − + + +
= + + =
Do 2 2 2
2 1 0( )
( ) ( ):
( ) 5
x yI
I S
I S x y z
α
α
+ + =∈ 
⇒ ∈ ∩ 
∈ + + = 
( C ñ nh )
Bài 10 Trong KG cho m t c u (S) ñi qua 4 ñi m: A(0;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1), D(0;1;0)
Và m t c u (S’) ñi qua 4 ñi m:
1 1 1
'( ;0;0), '(0; ; ), '(1;1;0), '(0;1;1)
2 2 2
A B C D .
Tìm ñ dài bán kính ñư ng tròn giao tuy n c a 2 m t c u ñó.
Gi i:
L n lư t ta l p các PT m t c u v i d ng t ng quát chung là:
2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d+ + + + + + =
• V i (S) ta có:
2 2 2
1 2 0
1 2 0 1
; 0 0(1)
1 2 0 2
3 2 2 2 0
c d
a d
a b c d x y z x y z
b d
a b c d
+ + =
 + + =
⇒ = = = − = ⇒ + + − − − =
+ + =
 + + + + =
• V i (S’)
2 2 2
1
0
4
1 7 1 7 1 7
0 ; ; 2 2 0(2)
2 4 4 2 2 2
2 2 2 0
2 2 2 0
a d
b c d a c b d x y z x y z
a b d
b c d

+ + =

 + + + = ⇒ = = = = − ⇒ + + + − + − =

+ + + =
 + + + =
T (1) và (2) ta th y m t ph ng ch a ñư ng tròn giao tuy n có PT:
( ) : 9 9 4 0α x y z+ + − =
V y PT ñư ng tròn giao tuy n c n tìm là: 2 2 2
9 9 4 0
( ): 1 1 1 3
( ) ( ) ( )
2 2 2 4
x y z
C
x y z
+ + − =


− + − + − =
…………….…………H t…………………
Ngu n: Hocmai.vn