OÂN TAÄP VEÀ HAØM SOÁ BAÄC 3
Giaû söû : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d vôùi a ≠ 0 coù ñoà thò laø (C). y’ = 3ax
2
+ 2bx + c, y”
= 6ax + 2b
1) y” = 0 ⇔ x = a3
b−
(a ≠ 0 )
x = a3
b−
laø hoaønh ñoä ñieåm uoán. Ñoà thò haøm baäc 3 nhaän ñieåm uoán
laøm taâm ñoái xöùng.
2) Ñeå veõ ñoà thò 1 haøm soá baäc 3, ta caàn bieát caùc tröôøng hôïp sau :
i) a > 0 vaø y’ = 0 voâ nghieäm ⇒ haøm soá taêng treân R (luoân luoân taêng)
ii) a < 0 vaø y’ = 0 voâ nghieäm ⇒ haøm soá giaûm (nghòch bieán) treân R (luoân
luoân giaûm)
iii) a > 0 vaø y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 vôùi x1 < x2
⇒ haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi x1 vaø ñaït cöïc tieåu taïi x2.
Ngoaøi ra ta coøn coù :
+ x1 + x2 = 2x0 vôùi x0 laø hoaønh ñoä ñieåm uoán.
+ haøm soá taêng treân (−∞, x1)
+ haøm soá taêng treân (x2, +∞)
+ haøm soá giaûm treân (x1, x2)
iv) a < 0 vaø y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 vôùi x1 < x2
⇒ haøm ñaït cöïc tieåu taïi x1 vaø ñaït cöïc ñaïi taïi x2 thoûa ñieàu kieän x1 + x2 =
2x0 (x0 laø hoaønh ñoä ñieåm uoán). Ta cuõng coù :
+ haøm soá giaûm treân (−∞, x1)
+ haøm soá giaûm treân (x2, +∞)
+ haøm soá taêng treân (x1, x2)
3) Giaû söû y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät vaø y = k(Ax + B)y’ + r x + q vôùi k
laø haèng soá khaùc 0;
thì phöông trình ñöôøng thaúng qua 2 ñieåm cöïc trò laø y = r x + q
4) (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät

⇔




<
=
0)2x(y).1x(y
2x,1xbieätaânnghieäm ph2coù0'y
5) Giaû söû a > 0 ta coù :
i) (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät > α
⇔






<
<α
<<α=
0)2x(y).1x(y
0)(y
2x1xthoûabieätaânnghieäm ph2coù0'y
ii) (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät < α
⇔






<
>α
α<<=
0)2x(y).1x(y
0)(y
2x1xthoûabieätaânnghieäm ph2coù0'y
Töông töï khi a < 0 .
6) Tieáp tuyeán : Goïi I laø ñieåm uoán. Cho M ∈ (C).
Neáu M ≡ I thì ta coù ñuùng 1 tieáp tuyeán qua M.
Neáu M khaùc I thì ta coù ñuùng 2 tieáp tuyeán qua M.
Bieän luaän soá tieáp tuyeán qua 1 ñieåm N khoâng naèm treân (C) ta coù
nhieàu tröôøng hôïp hôn.
7) (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät caùch ñeàu nhau ⇔ y’ = 0 coù 2 nghieäm
phaân bieät vaø y(x0) = 0 (x0 laø hoaønh ñoä ñieåm uoán)
8) Bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình : ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 (1) (a ≠ 0)
khi x = α laø 1 nghieäm cuûa (1).
Neáu x = α laø 1 nghieäm cuûa (1), ta coù
ax
3
+ bx
2
+ cx + d = (x - α)(ax
2
+ b1x + c1)
nghieäm cuûa (1) laø x = α vôùi nghieäm cuûa phöông trình ax
2
+ b1x + c1 = 0
(2). Ta coù caùc tröôøng hôïp sau:
i) neáu (2) voâ nghieäm thì (1) coù duy nhaát nghieäm x = α
ii) neáu (2) coù nghieäm keùp x = α thì (1) coù duy nhaát nghieäm x = α
iii) neáu (2) coù 2 nghieäm phaân bieät ≠ α thì (1) coù 3 nghieäm phaân bieät

iv) neáu (2) coù 1 nghieäm x = α vaø 1 nghieäm khaùc α thì (1) coù 2 nghieäm.
v) neáu (2) coù nghieäm keùp ≠ α thì (1) coù 2 nghieäm
BAØI TAÄP OÂN VEÀ HAØM BAÄC 3
Cho hoï ñöôøng cong baäc ba (Cm) vaø hoï ñöôøng thaúng (Dk) laàn löôït coù
phöông trình laø
y = −x
3
+ mx
2
− m vaø y = kx + k + 1.
(I) PHAÀN I. Trong phaàn naøy cho m = 3. Khaûo saùt vaø veõ
ñoà thò (C) cuûa haøm soá.
1) Goïi A vaø B laø 2 ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu cuûa (C) vaø M laø ñieåm
baát kyø treân cung AB vôùi M khaùc A , Bø . Chöùng minh raèng treân (C) ta
tìm ñöôïc hai ñieåm taïi ñoù coù tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán taïi
M vôùi (C).
2) Goïi ∆ laø ñöôøng thaúng coù phöông trình y = 1. Bieän luaän soá tieáp tuyeán
vôùi (C) veõ töø E ∈ ∆ vôùi (C).
3) Tìm E ∈ ∆ ñeå qua E coù ba tieáp tuyeán vôùi (C) vaø coù hai tieáp tuyeán
vuoâng goùc vôùi nhau.
4) Ñònh p ñeå treân (C) coù 2 tieáp tuyeán coù heä soá goùc baèng p, trong
tröôøng hôïp naøy chöùng toû trung ñieåm cuûa hai tieáp ñieåm laø ñieåm coá
ñònh.
5) Tìm M ∈ (C) ñeå qua M chæ coù moät tieáp tuyeán vôùi (C).
(II) PHAÀN I I.Trong phaàn naøy cho tham soá m thay ñoåi.
6) Tìm ñieåm coá ñònh cuûa (Cm). Ñònh m ñeå hai tieáp tuyeán taïi hai ñieåm coá
ñònh naøy vuoâng goùc nhau.
7) Ñònh m ñeå (Cm) coù 2 ñieåm cöïc trò. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng qua 2
ñieåm cöïc trò.
8) Ñònh m ñeå (Cm) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät.
9) Ñònh m ñeå : a) haøm soá ñoàng bieán trong (1, 2). b) haøm soá nghòch
bieán trong (0, +∞).
10) Tìm m ñeå (Cm) caét Ox taïi 3 ñieåm coù hoaønh ñoä taïo thaønh caáp soá
coäng.
11) Tìm ñieàu kieän giöõa k vaø m ñeå (Dk) caét (Cm) taïi 3 ñieåm phaân bieät. Tìm
k ñeå (Dk) caét (Cm) thaønh hai ñoaïn baèng nhau.
12) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (Cm) vaø ñi qua ñieåm (-1, 1).
13) Chöùng minh raèng trong caùc tieáp tuyeán vôùi (Cm) thì tieáp tuyeán taïi
ñieåm uoán coù heä soá goùc lôùn nhaát.

BAØI GIAÛI
PHAÀN I : m = 3
Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (ñoäc giaû töï laøm)
1) Goïi n laø hoaønh ñoä cuûa M. Vì haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi x = 0 vaø ñaït
cöïc ñaïi taïi x = 2 neân 0 < n < 2; y' = – 3x
2
+ 6x ⇒ heä soá goùc cuûa tieáp
tuyeán taïi M laø k1 = – 3n
2
+ 6n ∈ (0, 3] (vì n ∈ (0, 2)). Ñöôøng thaúng vuoâng
goùc vôùi tieáp tuyeán taïi M coù heä soá goùc laø k2 =
1k
1
− (vôùi 0 < k1 ≤ 3).
Hoaønh ñoä cuûa tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán M laø nghieäm
cuûa – 3x
2
+ 6x =
1k
1
− (= k2) ⇔ 3x
2
– 6x
1k
1
− = 0. Phöông trình naøy coù a.c <
0, ∀ k1 ∈ (0, 3] neân coù 2 nghieäm phaân bieät, ∀ k1 ∈ (0, 3]. Vaäy treân (C)
luoân coù 2 ñieåm phaân bieät maø tieáp tuyeán ñoù vuoâng goùc vôùi tieáp
tuyeán taïi M.
2) E (e, 1) ∈ ∆. Phöông trình tieáp tuyeán qua E coù daïng y = h(x – e) + 1 (D). (D)
tieáp xuùc (C) ⇔ heä



=+−
+−=−+−
hx6x3
1)ex(h3n3x
2
23
coù nghieäm.
⇒ Phöông trình hoaønh ñoä tieáp ñieåm cuûa (D) vaø (C) laø :
– x
3
+ 3x
2
– 3 = (– 3x
2
+ 6x)(x – e)+ 1 (1)
⇔ – x
3
+ 3x
2
– 4 = x(– 3x + 6)(x – e)
⇔ (x – 2)(x
2
– x – 2) = 3x(x – 2)(x – e)
⇔ x = 2 hay x
2
– x – 2 = 3x
2
– 3ex
⇔ x = 2 hay 2x
2
– (3e – 1)x + 2 = 0 (2)
(2) coù ∆ = (3e – 1)
2
– 16 = (3e – 5)(3e + 3)
(2) coù nghieäm x = 2 ⇔ 8 – 2(3e – 1) + 2 = 0 ⇔ e = 2
Ta coù ∆ > 0 ⇔ e < – 1 hay e > 3
5
.
Bieän luaän :
i) Neáu e < – 1 hay 3
5
< e < 2 hay e > 2
⇒ (1) coù 3 nghieäm phaân bieät ⇒ coù 3 tieáp tuyeán.
ii) Neáu e = – 1 hay e = 3
5
hay e = 2
⇒ (1) coù 2 nghieäm ⇒ coù 2 tieáp tuyeán.

iii) Neáu – 1 < e < 3
5
⇒ (1) coù 1 nghieäm ⇒ coù 1 tieáp tuyeán.
Nhaän xeùt : Töø ñoà thò, ta coù y = 1 laø tieáp tuyeán taïi (2, 1) neân phöông trình
(1) chaéc chaén coù nghieäm x = 2, ∀ e.
3) Vì y = 1 laø tieáp tuyeán qua E (e, 1), ∀ e vaø ñöôøng x = α khoâng laø tieáp
tuyeán neân yeâu caàu baøi toaùn.
⇔ (2) coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 thoûa : y'(x1).y'(x2) = – 1
⇔







−=+−+−
>∨−<
1)x6x3)(x6x3(
)2(cuûanghieämlaøx,x
3
5
e1e
2
2
21
2
1
21
⇔








−=−−
=
−
=+
>−<
1)2x)(2x(x.x9
1x.x
2
1e3
xx
3
5
ehay1e
2121
21
21
⇔




−=+−−
>−<
1]4)1e3(1[9
3
5
ehay1e
⇔ e = 27
55
. Vaäy E 





1,
27
55
4) Tieáp ñieåm cuûa tieáp tuyeán (vôùi (C)) coù heä soá goùc baèng p laø nghieäm
cuûa :
y' = p ⇔ 3x
2
– 6x + p = 0 (3)
Ta coù ∆' = 9 – 3p > 0 ⇔ p < 3
Vaäy khi p < 3 thì coù 2 tieáp tuyeán song song vaø coù heä soá goùc baèng p.
Goïi x3, x4 laø nghieäm cuûa (3).
Goïi M3 (x3, y3); M4 (x4, y4) laø 2 tieáp ñieåm. Ta coù :
1
a2
b
2
xx 43
=
−
=
+
1
2
6)xx(3)xx(
2
yy 2
4
2
3
3
4
3
343
−=
−+++−
=
+
Vaäy ñieåm coá ñònh (1, –1) (ñieåm uoán) laø trung ñieåm cuûa M3M4.
5) Caùch 1 : Ñoái vôùi haøm baäc 3 (a ≠ 0) ta deã daøng chöùng minh ñöôïc
raèng :
∀ M ∈ (C), ta coù :
i) Neáu M khaùc ñieåm uoán, ta coù ñuùng 2 tieáp tuyeán qua M.
ii) Neáu M laø ñieåm uoán, ta coù ñuùng 1 tieáp tuyeán qua M.

Caùch 2 : Goïi M(x0, y0) ∈ (C). Phöông trình tieáp tuyeán qua M coù daïng :
y = k(x – x0) 3x3x 2
0
3
0 −+− (D)
Phöông trình hoaønh ñoä tieáp ñieåm cuûa (D) vaø (C) laø :
3 2 2 3 2
0 0 03 3 ( 3 6 )( ) 3 3x x x x x x x x− + − = − + − − + − ( 5 )
⇔ 0)x6x3)(xx()xx(3xx 2
0
2
0
23
0
3
=+−−+−−−
⇔ 0x6x3x3x3xxxx0xx 2
0
2
00
2
0 =+−−−++∨=−
⇔ 0x3xx)x3(x2hayxx 0
2
00
2
0 =+−+−=
⇔ 0)3xx2)(xx(hayxx 000 =−+−=
⇔
2
x3
xhayxx 0
0
−
==
Do ñoù, coù ñuùng 1 tieáp tuyeán qua M (x0, y0) ∈ (C)
⇔ 1x
2
x3
x 0
0
0 =⇔
−
=
Suy ra, y0 = 1. Vaäy M(1, –1) (ñieåm uoán).
Nhaän xeùt : vì x0 laø 1 hoaønh ñoä tieáp ñieåm neân pt (5) chaéc chaén coù
nghieäm keùp laø x0
Phaàn II : Tham soá m thay ñoåi. y' = – 3x
2
+ 2mx
6) (Cm) qua (x, y), ∀m
⇔ y + x
3
= m (x
2
– 1) , ∀m
⇔



=
−=



−=
=
⇔



=+
=−
1y
1x
hay
1y
1x
0xy
01x
3
2
Vaäy (Cm) qua 2 ñieåm coá ñònh laø H(1, –1) vaø K(–1, 1).
Vì y' = – 3x
2
+ 2mx neân tieáp tuyeán vôùi (Cm) taïi H vaø K coù heä soá goùc
laàn löôït laø :
a1 = y'(1) = – 3 + 2m vaø a2 = y'(–1) = –3 – 2m.
2 tieáp tuyeán taïi H vaø K vuoâng goùc nhau.
⇔ a1.a2 = – 1 ⇔ 9 – 4m
2
= – 1 ⇔ m = 2
10±
.
7) Haøm coù cöïc trò ⇔ y' = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät.
⇔ 3x
2
= 2mx coù 2 nghieäm phaân bieät.

⇔ x = 0 vaø x = 3
m2
laø 2 nghieäm phaân bieät.
⇔ m ≠ 0. Khi ñoù, ta coù :
'ym
9
1
x
3
1
mxm
9
2
y 2






−+





−=
vaø phöông trình ñöôøng thaúng qua 2 cöïc trò laø :
mxm
9
2
y 2
−= (vôùi m ≠ 0)
8) Khi m ≠ 0, goïi x1, x2 laø nghieäm cuûa y' = 0, ta coù :
x1.x2 = 0 vaø x1 + x2 = 3
m2
⇒ y(x1).y(x2) = 





−





− mxm
9
2
mxm
9
2
2
2
1
2
=
2
21
2
m)xx(m
9
2
++− =
24
mm
27
4
+−
Vôùi m ≠ 0, ta coù y(x1).y(x2) < 0
⇔
24
1 0
27
m− + <
⇔ 2
33
m
4
27
m2
>⇔>
Vaäy (Cm) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät.
⇔



<
=
0)x(y).x(y
x,xbieätphaânnghieäm2coù0'y
21
21
⇔ 2
33
m >
Nhaän xeùt :
i) Khi 2
33
m −< thì phöông trình y = 0 coù 2 nghieäm aâm vaø 1 nghieäm döông.
ii) Khi 2
33
m > thì phöông trình y = 0 coù 2 nghieäm döông vaø 1 nghieäm aâm.
9) a) Haøm ñoàng bieán treân (1,2) ⇔ – 3x
2
+ 2mx ≥ 0, ∀x ∈ (1,2). Neáu m ≠ 0 ta
coù hoaønh ñoä 2 ñieåm cöïc trò laø 0 vaø 3
m2
.
i) Neáu m < 0 thì haøm chæ ñoàng bieán treân 



0,
3
m2
. Vaäy loaïi tröôøng hôïp
m < 0
ii) Neáu m = 0 ⇒ haøm luoân nghòch bieán (loaïi).
iii) Neáu m > 0 thì haøm chæ ñoàng bieán treân 



3
m2
,0
Do ñoù, ycbt ⇔ m > 0 vaø 



⊂
3
m2
,0]2,1[
⇔ 3m2
3
m2
≥⇔≥

b) Töø caâu a, ta loaïi tröôøng hôïp m > 0.
Khi m ≤ 0 ta coù haøm soá nghòch bieán treân 




∞−
3
m2
, vaø haøm soá cuõng
nghòch bieán treân [0, +∞).
Vaäy ñeå haøm nghòch bieán treân [0, +∞) thì m ≤ 0.
Ghi chuù : neân laäp baûng bieán thieân ñeå thaáy roõ raøng hôn.
10) y" = – 6x + 2m , y" = 0 ⇔ x = 3
m
(Cm) caét Ox taïi 3 ñieåm caùch ñeàu nhau.
⇔ y = 0 coù 3 nghieäm phaân bieät vaø ñieåm uoán naèm treân truïc
hoaønh.
⇔












=−+−
>
⇔
=





>
0m
9
m
.m
27
m
2
33
m
0
3
m
y
2
33
m
23
⇔






±
=⇔
=−
>
2
63
m
01
27
m2
2
33
m
2
11)Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (Cm) vaø (Dk) laø
– x
3
+ mx
2
– m = kx + k + 1
⇔ m(x
2
– 1) = k(x + 1) + 1 + x
3
⇔ x + 1 = 0 ∨ m(x – 1) = k + 1 – x + x
2
⇔ x = – 1 hay x
2
– (m + 1)x + k + m + 1 = 0 (11)
a) Do ñoù, (Dk) caét (Cm) taïi 3 ñieåm phaân bieät
⇔ (11) coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc – 1
⇔



>++−+
≠+++++
0)1mk(4)1m(
01mk1m1
2
⇔ (*)




−−
<
−−≠
4
3m2m
k
3m2k
2
b) Vì (Dk) qua ñieåm K(–1,1) ∈ (Cm) neân ta coù :
(Dk) caét (Cm) thaønh 2 ñoaïn baèng nhau.
⇒ (Dk) qua ñieåm uoán 





−m
27
m2
;
3
m 3
cuûa (Cm)
⇒ 11
3
m
km
27
m2 3
+





+=−
⇒ )3m(9
27m27m2
k
3
+
−−
= (**)

Vaäy ycbt ⇔ k thoûa (*) vaø (**).
12)Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (Cm) ñi qua (–1,1) coù daïng :
y = k(x + 1) + 1 (Dk)
Vaäy, phöông trình hoaønh ñoä tieáp ñieåm cuûa (Dk) vaø (Cm) laø :
– x
3
+ mx
2
– m = (– 3x
2
+ 2mx)(x + 1) + 1 (12)
⇔ m(x
2
– 1) = (– 3x
2
+ 2mx)(x + 1) + 1 + x
3
⇔ x + 1 = 0 ∨ m(x – 1) = – 3x
2
+ 2mx + 1 – x + x
2
⇔ x = – 1 hay 2x
2
+ (1 – m)x – m – 1 = 0 (13)
⇔ x = – 1 ∨ 2
1m
x
+
=
y' (–1) = – 2m – 3





 +
+




 +
−=




 +
2
1m
m2
2
1m
3
2
1m
'y
2
= 4
1
(m
2
– 2m – 3)
Vaäy phöông trình cuûa 2 tieáp tuyeán qua (–1, 1) laø :
y = – (2m + 3)(x + 1) + 1
y = 4
1
(m
2
– 2m – 3)(x + 1) + 1
Nhaän xeùt : Coù 1 tieáp tuyeán taïi tieáp ñieåm (–1, 1) neân phöông trình (12)
chaéc chaén coù nghieäm keùp laø x = – 1 vaø phöông trình (13) chaéc chaén
coù nghieäm laø x = – 1.
13)Caùc tieáp tuyeán vôùi (Cm) taïi tieáp ñieåm cuûa hoaønh ñoä x coù heä soá
goùc laø :
h = – 3x
2
+ 2mx
Ta coù h ñaït cöïc ñaïi vaø laø max khi 3
m
a2
b
x =−= (hoaønh ñoä ñieåm uoán)
Vaäy tieáp tuyeán taïi ñieåm uoán coù heä soá goùc lôùn nhaát.
Nhaän xeùt : 3
m
3
m
3
m
x3mx2x3
222
22
≤+





−−=+−
Ghi chuù : Ñoái vôùi haøm baäc 3
y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d, ta coù :
i) Neáu a > 0 thì tieáp tuyeán taïi ñieåm uoán coù heä soá goùc nhoû nhaát.
ii) Neáu a < 0 thì tieáp tuyeán taïi ñieåm uoán coù heä soá goùc lôùn nhaát.

Vaäy ycbt ⇔ k thoûa (*) vaø (**).
12)Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (Cm) ñi qua (–1,1) coù daïng :
y = k(x + 1) + 1 (Dk)
Vaäy, phöông trình hoaønh ñoä tieáp ñieåm cuûa (Dk) vaø (Cm) laø :
– x
3
+ mx
2
– m = (– 3x
2
+ 2mx)(x + 1) + 1 (12)
⇔ m(x
2
– 1) = (– 3x
2
+ 2mx)(x + 1) + 1 + x
3
⇔ x + 1 = 0 ∨ m(x – 1) = – 3x
2
+ 2mx + 1 – x + x
2
⇔ x = – 1 hay 2x
2
+ (1 – m)x – m – 1 = 0 (13)
⇔ x = – 1 ∨ 2
1m
x
+
=
y' (–1) = – 2m – 3





 +
+




 +
−=




 +
2
1m
m2
2
1m
3
2
1m
'y
2
= 4
1
(m
2
– 2m – 3)
Vaäy phöông trình cuûa 2 tieáp tuyeán qua (–1, 1) laø :
y = – (2m + 3)(x + 1) + 1
y = 4
1
(m
2
– 2m – 3)(x + 1) + 1
Nhaän xeùt : Coù 1 tieáp tuyeán taïi tieáp ñieåm (–1, 1) neân phöông trình (12)
chaéc chaén coù nghieäm keùp laø x = – 1 vaø phöông trình (13) chaéc chaén
coù nghieäm laø x = – 1.
13)Caùc tieáp tuyeán vôùi (Cm) taïi tieáp ñieåm cuûa hoaønh ñoä x coù heä soá
goùc laø :
h = – 3x
2
+ 2mx
Ta coù h ñaït cöïc ñaïi vaø laø max khi 3
m
a2
b
x =−= (hoaønh ñoä ñieåm uoán)
Vaäy tieáp tuyeán taïi ñieåm uoán coù heä soá goùc lôùn nhaát.
Nhaän xeùt : 3
m
3
m
3
m
x3mx2x3
222
22
≤+





−−=+−
Ghi chuù : Ñoái vôùi haøm baäc 3
y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d, ta coù :
i) Neáu a > 0 thì tieáp tuyeán taïi ñieåm uoán coù heä soá goùc nhoû nhaát.
ii) Neáu a < 0 thì tieáp tuyeán taïi ñieåm uoán coù heä soá goùc lôùn nhaát.