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數值求根法 :二分逼近法 (一) 146
求根步驟: 1. 設定容許誤差 tol > 0 2. 尋找區間 [a,b] 使得根 r 在區間內,且 f(a)f(b) < 0 , 設定 fa = f(a),fb = f(b) 3. c 為 [a,b] 中點,計算 f(c) ,設定 fc = f(c) 。 4. 如果 |fc| < tol,則 c 為近似根,輸出 c 後停止計算 5. 如果 fa · fc < 0,則根在 [a,c] 之間,更新 b = c 與 fb = fc; 如果 fc · fb < 0,則根在 [c,b] 之間,更新 a = c 與 fa = fc 6. 回到步驟 3 執行 國立中央大學數學系
3.
147 import math # 函數
: x**2 - 2 與一次微分: 2x def f(x) : x**2 - 2 def df(x) : 2*x # 根 r = math.sqrt(2) # 二分逼近法 a , b , k = 1 , 2 , 0 fa , fb = f(a) , f(b) tol = 1.e-5 print( ”> 二分逼近法: 起始區間 (”, a , ”,” , b , ”)” , sep=”” ) while True : c = (a + b)/2 err = abs(c-r) k += 1 # 迭代次數 近似根 誤差,以下 10e 代表以 10 格與科學記號呈現數字 print( "{:<2} : {:<10e} {:<10e}".format(k,c,err) , sep="" ) fc = f(c) 數值求根法 :二分逼近法 (二) 國立中央大學數學系
4.
148 # 函數絕對值小於 tol
才跳離迭代 if abs(fc) < tol : break if fc * fa < 0 : b = c fb = fc else : a = c fa = fc print() 數值求根法 :二分逼近法 (三) 國立中央大學數學系
5.
149 程式輸出: > 二分逼近法: 起始區間
[1,2] 1 : 1.500000e+00 8.578644e-02 2 : 1.250000e+00 1.642136e-01 3 : 1.375000e+00 3.921356e-02 4 : 1.437500e+00 2.328644e-02 5 : 1.406250e+00 7.963562e-03 6 : 1.421875e+00 7.661438e-03 7 : 1.414062e+00 1.510624e-04 8 : 1.417969e+00 3.755188e-03 9 : 1.416016e+00 1.802063e-03 10 : 1.415039e+00 8.255001e-04 11 : 1.414551e+00 3.372189e-04 12 : 1.414307e+00 9.307825e-05 13 : 1.414185e+00 2.899206e-05 14 : 1.414246e+00 3.204310e-05 15 : 1.414215e+00 1.525518e-06 數值求根法 :二分逼近法 (四) 國立中央大學數學系
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