1. www.MATHVN.com QHVG-KG
I) Hai ®­êng th¼ng vu«ng gãc:
1) Cho tø diÖn ®Òu ABCD c¹nh b»ng a. Gäi M, N, P, Q, R lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AB,
CD, AD, BC vµ AC. CMR:
a) MN  RP b) MN  RQ c) AB  CD
2) Cho tø diÖn ABCD. Gäi M, N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh BC vµ AD. BiÕt: AB =
CD = 2a; MN = a 3 . TÝnh gãc gi÷a hai ®­êng th¼ng AB vµ CD.
3) Cho tø diÖn ®Òu ABCD cã c¹nh b»ng a. gäi O lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp BCD.
Chøng minh: AO  CD.
II) §­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng:
 Gãc cña ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng:
1) Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh a, SA = a 6 , SA  (ABCD). TÝnh gãc
cña :
a) SC víi (ABCD).
b) SC víi (SAB).
c) SB víi (SAC).
2) Cho ABC vu«ng c©n t¹i B, AB = a, SA = a, SA  (ABC).
a) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn (SBC).
b) TÝnh gãc hîp bëi SB vµ (SAC).
3) Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh a vµ SO  (ABCD) (O lµ t©m ®¸y). Gäi
M, N lµ trung ®iÓm cña SA vµ BC. BiÕt gãc cña MN vµ (ABCD) lµ 600
a) TÝnh MN vµ SO.
b) TÝnh gãc cña MN víi mÆt ph¼ng (SBD)
4) Cho h×nh vu«ng ABCD vµ SAB ®Òu c¹nh a n»m trong hai mÆt ph¼ng vu«ng gãc. Gäi I
lµ trung ®iÓm cña AB.
a) CM: SI  (ABCD) vµ tÝnh gãc hîp bëi SC víi (ABCD).
b) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ B ®Õn mÆt ph¼ng (SAD). Suy ra gãc cña SC hîp víi (SAD).
c) J lµ trung ®iÓm cña CD. CM: (SIJ)  (ABCD). TÝnh gãc hîp bëi ®­êng th¼ng SI vµ
(SDC).
) Chøng minh ®­êng vu«ng gãc víi mÆt, ®­êng vu«ng gãc víi ®­êng
1) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng t©m O; SA  (ABCD). gäi H, I, K
lÇn l­ît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn SB, SC, SD.
a) Chøng minh r»ng: BC  (SAB); CD  (SAD); BD  (SAC).
b) Chøng minh r»ng: AH  SC; AK  SC. Tõ ®ã suy ra AH, AI, AK ®ång ph¼ng.
c) Chøng minh r»ng: HK  (SAC); HK  AI
www.MATHVN.com - 1

2. www.MATHVN.com QHVG-KG
2) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thoi t©m O. BiÕt SA = SC;
SB = SD.
a) CM: SO  (ABCD).
b) Gäi I, J lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AB, BC. CMR: IJ  (SBD).
3) Cho tø diÖn ABCD cã ABC vµ DBC lµ hai tam gi¸c ®Òu. Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC.
a) CM: BC  (AID).
b) H¹ AH  ID (H  ID). CM: AH  (BCD)
4) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a. SAB ®Òu; SCD vu«ng
c©n ®Ønh S. I, J lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AB, CD.
a) TÝnh c¸c c¹nh cña SIJ. CMR: SI  (SCD); SJ  (SAB)
b) Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña S lªn IJ. CMR: SH  AC.
5) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a. MÆt bªn SAB lµ tam gi¸c
®Òu, SC = a 2 . Gäi H, K lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AB vµ AD.
a) CMR: SH  (ABCD)
b) CMR: AC  SK; CK  SD.
6) Cho tø diÖn OABC cã OA, OB, OC ®«i mét vu«ng gãc víi nhau. Gäi H lµ h×nh chiÕu
vu«ng gãc cña O lªn (ABC). CMR:
a) BC  (OAH)
b) H lµ trùc t©m cña ABC
1 1 1 1
c) 2
 2
 2

OH OA OB OC 2
d) C¸c gãc cña ABC ®Òu nhän.
7) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt cã AB = a; BC = a 3 , mÆt bªn
SBC vu«ng t¹i B, mÆt bªn SCD vu«ng t¹i D cã SD = a 5
a) CM: SA  (ABCD) vµ tÝnh SA.
b) Trong mÆt ph¼ng (ABCD) kÎ ®­êng th¼ng qua A  víi AC c¾t c¸c ®­êng th¼ng CB, CD
lÇn l­ît t¹i I, J. Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn SC. H·y X¸c ®Þnh c¸c giao ®iÓm
K, N cña SB, SD víi mÆt ph¼ng (HIJ). CMR: AK  (SBC) AN  (SCD)
c) TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c AKHN.
8) Gäi I lµ mét ®iÓm bÊt kú ë trong ®­êng trßn t©m O b¸n kÝnh R. CD lµ d©y cung cña
®­êng trßn (O) qua I. Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng chøa ®­êng trßn (O) t¹i I
ta lÊy ®iÓm S víi OS = R. gäi E lµ ®iÓm ®èi t©m cña D trªn ®­êng trßn (O). CMR:
a) SDE vu«ng. b) SD  CE. c) SCD vu«ng.
9) Cho MAB vu«ng t¹i M ë trong mÆt ph¼ng (). Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt
ph¼ng () t¹i A ta lÊy hai ®iÓm C, D ë hai bªn ®iÓm A. Gäi C' lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña
C trªn MD, H lµ giao ®iÓm cña AM vµ CC'.
a) CM: CC' (MBD).
www.MATHVN.com - 2

3. www.MATHVN.com QHVG-KG
b) Gäi K lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña H trªn AB. CMR: K lµ trùc t©m cña BCD.
10) Cho ®­êng trßn (O) ®­êng kÝnh AB= 2R; (O) ë trong mÆt ph¼ng (). Dùng AS = 2R
vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (). Gäi T lµ mét ®iÓm di ®éng trªn tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O)

t¹i A. §Æt ABT = . ®­êng trßn BT gÆp ®­êng trßn (O) t¹i M. Gäi N lµ h×nh chiÕu vu«ng
gãc cña A trªn SM.
a) Chøng minh c¸c mÆt bªn cña tø diÖn SAMB ®Òu lµ c¸c tam gi¸c vu«ng.
b) CMR: khi T ®i ®éng ®­êng th¼ng TN lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh H.
c) TÝnh  ®Ó AHN c©n.
11) Cho h×nh chãp S.ABC cã ®¸y ABC lµ tam gi¸c vu«ng t¹i B; SA  (ABC). AH lµ ®­êng
cao kÎ tõ A cña SAB . HK  SB (K  SC). CM:
a) BC  (SAB) b) AH  (SBC) c) KH  (SAB)
12) Cho ba tia Ox, Oy, Oz kh«ng ®ång ph¼ng ®«i mét vu«ng gãc víi nhau.
A  Ox, B  Oy, C  Oz. Gäi H lµ trùc t©m ABC. CMR: OH  (ABC).
13) Cho tø diÖn SABC cã SA  (ABC). H, K lµ trùc t©m ABC vµ SBC. CMR:
a) AH, SK, BC ®ång quy. b) SC  (BHK). c) HK  (SBC).
14) Cho tø diÖn ABCD. SA  (ABC). Dùng ®­êng cao AE cña ABC.
a) CM: SE  BC.
b) H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn SE. CM: AH  SC.
15) Cho tø diÖn ®Òu, CMR hai c¹nh ®èi cña tø diÖn nµy vu«ng gãc víi nhau.
16) Cho mÆt ph¼ng () vµ mét ®­êng trßn (C) ®­êng kÝnh AB chøa trong mÆt ph¼ng ®ã. M
 (C) kh«ng trïng víi A vµ B. Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng () t¹i A ta lÊy
®iÓm S.
a) CM: c¸c mÆt bªn cña tø diÖn SAMB lµ c¸c tam gi¸c vu«ng.
b) Mét mÆt ph¼ng () qua A vu«ng gãc víi SB t¹i D c¾t SM t¹i E. CM: AED vu«ng.
17) Cho h×nh chãp S.ABCD cã SA  (ABCD) ®¸y ABCD lµ h×nh thang vu«ng t¹i A vµ D
AB
víi AD = DC = . I lµ trung ®iÓm cña AB.
2
a) CM: CI  SB vµ DI  SC.
b) Chøng minh c¸c mÆt bªn cña h×nh chãp S.ABCD lµ c¸c tam gi¸c vu«ng.
) ThiÕt diÖn qua mét ®iÓm cho tr­íc vµ vu«ng gãc víi mét ®­êng th¼ng cho tr­íc:
1) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thang vu«ng t¹i A vµ B víi AB = BC = a,
AD = 2a, SA  (ABCD) vµ SA = 2a. Gäi M lµ mét ®iÓm trªn c¹nh AB; () lµ mÆt ph¼ng
qua M vu«ng gãc víi AB. §Æt x = AM (0 < x < a).
a) T×m thiÕt diÖn cña h×nh chãp S.ABCD víi mÆt ph¼ng (). ThiÕt diÖn lµ h×nh g×?
b) TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn.
www.MATHVN.com - 3

4. www.MATHVN.com QHVG-KG
2) Cho tø diÖn SABC cã ABC ®Òu c¹nh a, SA  (ABC) vµ SA = 2a. Gäi () lµ mÆt ph¼ng
qua B vµ vu«ng gãc víi SC. T×m thiÕt diÖn cña tø diÖn t¹o vëi mÆt ph¼ng () vµ tÝnh diÖn
tÝch cña thiÕt diÖn.
3) Cho tø diÖn SABC cã ABC lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a, SA  (ABC) vµ SA = a. T×m thiÕt diÖn
cña tø diÖn SABC víi mÆt ph¼ng () vµ tÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn trong c¸c tr­êng hîp sau:
a) () qua S vµ vu«ng gãc víi BC.
b) () qua A vµ vu«ng gãc víi trung tuyÕn SI cña SBC.
c) () qua trung ®iÓm M cña SC vµ  AB
4) Cho h×nh tø diÖn S.ABC cã ABC lµ tam gi¸c vu«ng c©n ®Ønh B, AB = a. SA  (ABC) vµ
SA = a 3 . M lµ mét ®iÓm tuú ý trªn c¹nh AB, §Æt AM = x (0 < x < a) Gäi () lµ mÆt
ph¼ng qua M vµ vu«ng gãc víi AB.
a) X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña tø diÖn SABC t¹o bëi mÆt ph¼ng ().
b) TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn nµy theo a vµ x.
5) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ABCD vµ h×nh vu«ng c¹nh a; SA  (ABCD) vµ SA = a 2 .
VÏ ®­êng cao AH cña SAB.
SH 2
a) CMR: 
SB 3
b) Gäi () lµ mÆt ph¼ng qua A vµ vu«ng gãc víi SB, () c¾t h×nh chãp S.ABCD theo thiÕt
diÖn lµ h×nh g×? TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn.
6) Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh b»ng a; SA  (ABCD) vµ SA = a 2 . Gäi () lµ mÆt ph¼ng
qua A vµ vu«ng gãc víi SC; () c¾t SB, SC, SD lÇn l­ît t¹i M, N, P.
a) CMR: AM  SB, AD  SD
SM.SB = SN.SC = SP.SD = SA2
b) CM: tø gi¸c AMNP néi tiÕp ®­îc vµ cã hai ®­êng chÐo vu«ng gãc víi nhau.
c) Gäi O lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD; K = AN  MP. CMR: S, K, O th¼ng hµng
d) TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c AMNP.
7) Cho h×nh thoi ABCD cã t©m O víi c¸c ®­êng chÐo AC = 4a, BD = 2a. Trªn ®­êng th¼ng
vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABCD) t¹i O lÊy ®iÓm S víi SO = 2a 3 . mÆt ph¼ng () qua A vµ
 SC c¾t SB, SC, SD lÇn l­ît t¹i B', C', D'.
a) Chøng minh tø gi¸c AB'C'D' cã hai ®­êng chÐo vu«ng gãc víi nhau.
b) TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c AB'C'D'
c) CMR: B'C'D' lµ tam gi¸c ®Òu
8) Cho h×nh tø diÖn S.ABC cã ABC lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a. SA  (ABC) vµ SA = a. Gäi M
lµ mét ®iÓm tuú ý trªn AC, () lµ mÆt ph¼ng qua M vµ  AC.
a) Tuú theo vÞ trÝ cña ®iÓm M trªn c¹nh AC, cã nhËn xÐt g× vÒ thiÕt diÖn t¹o bëi mÆt ph¼ng
() víi tø diÖn SABC
www.MATHVN.com - 4

5. www.MATHVN.com QHVG-KG
b) §Æt CM = x (0 < x < a). TÝnh diÖn tÝch S cña thiÕt diÖn trªn theo a vµ x vµ X¸c ®Þnh x ®Ó
diÖn tÝch nµy cã GTLN. TÝnh diÖn tÝch lín nhÊt ®ã.
9) Cho h×nh l¨ng trô ABC.AB'C' cã ®¸y lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a. AA'  (ABC) vµ AA' = a.
Cã nhËn xÐt g× vÒ thiÕt diÖn cña l¨ng trô t¹o bëi mÆt ph¼ng () trong mçi tr­êng hîp sau:
a) () qua A vµ  B'C
b) () qua B' vµ  A'I (I lµ trung ®iÓm cña BC).
III) Hai mÆt ph¼ng vu«ng gãc:
 ) NhÞ diÖn - gãc cña hai mÆt ph¼ng:
1) Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh a, vÏ SA = a 3 , SA  (ABCD). TÝnh sè ®o cña c¸c nhÞ diÖn
sau: a) (S, AB, C) b) (S, BD, A) c) (SAB, SCD)
2) Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh a t©m O; SA  (ABCD). TÝnh SA theo a ®Ó sè ®o nhÞ diÖn
(B, SC, D) b»ng 1200.
a a 6
3) Cho h×nh thoi ABCD c¹nh a cã t©m O vµ OB = . VÏ SO  (ABCD) vµ SO = .
3 3
a) CM: gãc ASC = 300.
b) Chøng minh c¸c mÆt ph¼ng (SAB); (SAD)  víi nhau.
4) Cho tø diÖn SABC cã SA, SB, SC ®«i mét vu«ng gãc vµ SA = SB = SC. Gäi I, J lµ trung
®iÓm cña AB, BC. TÝnh gãc hîp bëi hai mÆt ph¼ng (SAJ) vµ (SCI).
5) Cho tø diÖn ABCD cã mÆt ABC lµ tam gi¸c ®Òu, mÆt DBC vu«ng c©n t¹i D. BiÕt AB = 2a,
AD = a 7 . TÝnh sè ®o gãc nhÞ diÖn c¹nh BC.
6) Cho ba nöa ®­êng th¼ng Ox, Oy, Oz kh«ng ®ång ph¼ng víi gãc xOy = 900 gãc yOz =
600. TÝnh sè ®o nhÞ diÖn t¹o bëi hai mÆt ph¼ng xOz, zOy.
7) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a, SAB ®Òu vµ vu«ng gãc
(ABCD). Gäi H lµ trung ®iÓm cña AB.
a) CM: SH  (ABCD).
b) Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC. CM: SC  DI. TÝnh sè ®o nhÞ diÖn (B, SC, D)
 øng dông cña ®Þnh lý diÖn tÝch h×nh chiÕu cña ®a gi¸c
1) Cho ABC ®Òu c¹nh a ë trong mÆt ph¼ng (). Trªn c¸c ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi ()
a 2
vÏ tõ B vµ C lÊy c¸c ®o¹n BD = ; CE = a 2 n»m cïng mét bªn víi ().
2
a) CM: ADE vu«ng. TÝnh S ADE .
b) TÝnh gãc cña (ADE) vµ ().
2) Cho h×nh thoi ABCD cã ®Ønh A ë trong mÆt ph¼ng (). C¸c ®Ønh kh¸c kh«ng ë trong mÆt
ph¼ng (), BD = a, AC = a 2 . ChiÕu vu«ng gãc h×nh thoi xuèng mÆt ph¼ng () ta ®­îc
h×nh vu«ng AB'C'D'.
www.MATHVN.com - 5

6. www.MATHVN.com QHVG-KG
a) TÝnh: S ABCD , S AB 'C ' D' . Tõ ®ã suy ra gãc cña (ABCD) vµ ().
b) Gäi E vµ F lÇn l­ît lµ giao ®iÓm cña CB vµ CD víi mÆt ph¼ng (). TÝnh diÖn tÝch cña tø
gi¸c EFDB vµ EFD'B'.
3) Cho ABC ®Òu c¹nh a. Tõ c¸c ®Ønh A, B, C ta vÏ c¸c ®­êng th¼ng vu«ng gãc mÆt ph¼ng
(ABC) lÊy c¸c ®iÓm A', B', C' sao cho AA' = a, BB' = 2a, CC' = x (A', B', C' ë cïng mét phÝa
®èi víi mÆt ph¼ng chøa tam gi¸c)
a) X¸c ®Þnh x ®Ó A'B'C' vu«ng t¹i A'.
b) Trong tr­êng hîp ®ã tÝnh gãc cña (ABC) vµ (A'B'C').
4) Cho ABC c©n cã ®¸y lµ BC = 3a, BC  () vµ tam gi¸c cã ®­êng cao
AH = a 3 . A' lµ h×nh chiÕu cña A trªn () sao cho A'BCvu«ng t¹i A'. TÝnh gãc cña hai
mÆt ph¼ng () vµ (ABC).
) Chøng minh hai mÆt ph¼ng vu«ng gãc. Chøng minh ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi
mÆt ph¼ng:
1) Cho tø diÖn ABCD cã AB  (BCD). Trong BCD vÏ c¸c ®­êng cao BE vµ DF c¾t nhau
t¹i O. trong mÆt ph¼ng (ADC) vÏ DK  AC t¹i K.
a) CM: (ADC)  (ABE); (ADC)  (DFK)
b) Gäi H lµ trùc t©m cña AOD. CM: OH  (ACD).
2) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng t©m O. (SAD) vµ (SAB) cïng vu«ng
gãc víi (ABCD). Gäi () lµ mÆt ph¼ng qua A vµ  víi SC, () c¾t SC t¹i I.
a) CMR: SA  (ABCD).
b) X¸c ®Þnh giao ®iÓm K cña () vµ SO.
c) CM: (SBD)  (SAO) vµ BD // ().
d) X¸c ®Þnh giao tuyÕn d cña (SBD) vµ ().
3) Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng, SA  (ABCD).
a) CM: (SAD)  (SCD)
b) Gäi BE, DF lµ hai ®­êng cao cña SBD. CMR:
(ACF)  (SBC); (ACE)  (SDC); (AEF)  (SAC)
4) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a, SA  (ABCD). Gäi M, N lµ
a 3a
hai ®iÓm lÇn l­ît ë trªn c¹nh BC, DC sao cho BM = ; DN = . CM: (SAM)  (SMN).
2 4
5) Cho ABC vu«ng t¹i A. VÏ BB' vµ CC' cïng vu«ng gãc víi (ABC).
a) CM: (ABB')  (ACC')
b) Gäi AH, AK lµ ®­êng cao cña ABC vµ AB'C'. CMR:
(BCC'B')  (AHK) (AB'C')  (AHK)
6) Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a, mÆt bªn (SAB) lµ tam gi¸c ®Òu
vµ vu«ng gãc víi ®¸y. Gäi I lµ trung ®iÓm cña AB. CMR:
a) SI  (ABCD) b) AD  (SAB)
www.MATHVN.com - 6

7. www.MATHVN.com QHVG-KG
7) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng t©m O; AB = a; SO  (ABCD) vµ
a
SO = ; Gäi I, J lµ trung ®iÓm cña AD vµ BC. CMR:
2
a) (SAC)  (SBD) b) (SIJ)  (SBC) c) (SAD)  (SBC)
8) Cho h×nh vu«ng ABCD, I lµ trung ®iÓm cña AB. Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt
ph¼ng (ABCD) t¹i I ta lÊy ®iÓm S (S  I).
a) CM: (SAD)  (SAB). (SBC)  (SAB).
b) J lµ trung ®iÓm cña BC. CM: (SBD)  (SIJ).
9) Cho ABC vu«ng t¹i A; Gäi O, I, J lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña BC, AB, AC. Trªn ®­êng
th¼ng  (ABC) t¹i O ta lÊy ®iÓm S (S  O). CMR:
a) (SBC)  (ABC) b) (SOI)  (SAB) c) (SOI)  (SOJ)
10) Cho tø diÖn SABC cã SA = SC. (SAC)  (ABC). Gäi I lµ trung ®iÓm cña AC.
CM: SI  (ABC).
11) Cho tø diÖn ABCD cã AB  (BCD). Gäi BE, DF lµ hai ®­êng cao cña BCD ; DK lµ
®­êng cao cña ACD.
a) CM: (ABE)  (ADC); (DFK)  (ACD).
b) Gäi O vµ H lÇn l­ît lµ trùc t©m cña hai BCD , ACD. CM: OH  (ADC).
12) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt, SAB c©n t¹i S vµ (SAB) 
(ABCD). I lµ trung ®iÓm cña AB. CMR: a) BC  (SAB). b) AD  (SAB). c) SI 
(ABCD).
) ThiÕt diÖn qua mét ®­êng th¼ng cho tr­íc vµ vu«ng gãc víi mét mÆt ph¼ng cho
tr­íc:
1) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a; SA  (ABCD) vµ SA = a 3 .
Gäi () lµ mÆt ph¼ng chøa AB vµ  (SCD).
a) X¸c ®Þnh râ mÆt ph¼ng (). mÆt ph¼ng () c¾t h×nh chãp S.ABCD theo thiÕt diÖn lµ h×nh
g×?
b) TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn.
2) Cho h×nh chãp S.ABC, ®¸y ABC lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i B; AB = a; SA  (ABC) vµ SA
= a 3 . Gäi E, F lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña SC vµ SB. M lµ mét ®iÓm trªn AB, §Æt AM = x.
() lµ mÆt ph¼ng chøa EM vµ vu«ng gãc (SAB).
a) X¸c ®Þnh râ mÆt ph¼ng (). mÆt ph¼ng () c¾t h×nh chãp S.ABC theo thiÕt diÖn lµ h×nh
g×?
b) TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn theo a vµ x.
3) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y lµ h×nh thang ABCD vu«ng t¹i A vµ D;
AB = 2a, AD = DC = a. Hai mÆt (SAB) vµ (SAD) cïng vu«ng gãc víi ®¸y,
SA = a. Gäi E lµ trung ®iÓm cña SA, M lµ mét ®iÓm trªn AD víi AM = x. Gäi () lµ mÆt
ph¼ng chøa EM vµ vu«ng gãc (SAD).
www.MATHVN.com - 7

8. www.MATHVN.com QHVG-KG
a) X¸c ®Þnh râ mÆt ph¼ng (). mÆt ph¼ng () c¾t h×nh chãp S.ABCD theo thiÕt diÖn lµ
h×nh g×?
b) TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn theo a vµ x.
4) Cho h×nh l¨ng trô ABC.A'B'C' ®¸y lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a. AA'  (ABC) vµ AA' = a 2 .
Gäi M, N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB vµ A'C'. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña l¨ng trô
víi mÆt ph¼ng () qua MN vµ vu«ng gãc (BCC'B'). TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn.
5) Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y lµ vu«ng c¹nh a. SA  (ABCD) vµ SA = 2a. X¸c ®Þnh thiÕt
diÖn cña h×nh chãp S.ABCD t¹o bëi mÆt ph¼ng () trong c¸c tr­êng hîp sau:
a) () qua t©m O cña ®¸y, trung ®iÓm M cña SD vµ vu«ng gãc (ABCD).
b) () qua A, trung ®iÓm N cña CD vµ  (SBC).
IV) Kho¶ng c¸ch:
 C¸c bµi to¸n vÒ kho¶ng c¸ch:
1) Cho tø diÖn ABCD cã BCD lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a, AB  (BCD) vµ AB = a. TÝnh kho¶ng
c¸ch:
a) Tõ D ®Õn (ABC)
b) Tõ B ®Õn (ACD)
2) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a, SA  (ABCD), SA = h. Gäi
O lµ t©m h×nh vu«ng ABCD. TÝnh kho¶ng c¸ch:
a) Tõ B ®Õn (SCD)
b) Tõ O ®Õn (SCD)
3) Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y lµ h×nh vu«ng v¹nh a, mÆt bªn (SAB)  ®¸y vµ SA = SB = b.
TÝnh kho¶ng c¸ch:
a) Tõ S ®Õn (ABCD)
b) Tõ trung ®iÓm I cña CD ®Õn (SHC), H lµ trung ®iÓm cña AB.
c) Tõ AD ®Õn (SBC).
 X¸c ®Þnh ®o¹n vu«ng gãc chung cña hai ®­êng th¼ng chÐo nhau:
1) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a. SA = h; SA  (ABCD).
Dùng vµ tÝnh ®é dµi ®o¹n vu«ng gãc chung cña:
a) SB vµ CD.
b) SC vµ BD.
c) SC vµ AB.
d) SB vµ AD.
2) Cho tø diÖn OABC cã OA, OB, OC ®«i mét vu«ng gãc vµ OA = OB = OC = a. Gäi I lµ
trung ®iÓm cña BC. Dùng vµ tÝnh ®é dµi ®o¹n vu«ng gãc chung cña c¸c cÆp ®­êng th¼ng:
a) OA vµ BC.
b) AI vµ OC.
www.MATHVN.com - 8

9. www.MATHVN.com QHVG-KG
3) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a, SA  (ABCD), SA = a. TÝnh
kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®­êng th¼ng:
a) SA vµ BD.
b) SC vµ BD.
c) AC vµ SD.
4) Cho hai tam gi¸c c©n kh«ng ®ång ph¼ng ABC vµ ABD cã ®¸y chung AB.
a) CM: AB  CD.
b) X¸c ®Þnh ®o¹n vu«ng gãc chung cña AB vµ CD.
5) Cho h×nh chãp S.ABCD cã SA  (ABC) vµ SA = a 2 . ABC vu«ng t¹i B víi AB = a. M
lµ trung ®iÓm AB. TÝnh ®é dµi ®o¹n vu«ng gãc chung cña SM vµ BC
6) Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh a. I lµ trung ®iÓm cña AB. Dùng IS  (ABCD) vµ IS =
a 3
. Gäi M, N, P lµ trung ®iÓm cña BC, SD, SB. Dùng vµ tÝnh ®é dµi ®o¹n vu«ng gãc
2
chung cña:
a) NP vµ AC.
b) MN vµ AP.
www.MATHVN.com - 9

10. www.MATHVN.com QHVG-KG
VI) MÆt cÇu:
2) Cho tø diÖn OABC cã OA, OB, OC ®«i mét vu«ng gãc víi nhau. OA = a, OB = b, OC =
c. TÝnh b¸n kÝnh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn OABC.
3a
3) Cho h×nh chãp S.ABC cã ®¸y lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a, SA  (ABC); SA = . X¸c ®Þnh
2
t©m vµ b¸n kÝnh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp S.ABC.
4) Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu ABCD, c¹nh ®¸y AB = a, c¹nh bªn SA = a 2 . X¸c ®Þnh t©m
vµ b¸n kÝnh cña mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp.
5) Cho h×nh chãp S.ABCD. §¸y ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt cã AB = 2a, AD = a, SA 
(ABCD); SA = 3a. X¸c ®Þnh t©m vµ b¸n kÝnh cña mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp.
6) Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y lµ h×nh thang c©n ABCD ngo¹i tiÕp víi ®­êng trßn t©m O
b¸n kÝnh a. §­êng cao cña h×nh chãp lµ SO = 2a.
a) CM: O c¸ch ®Òu c¸c mÆt bªn cña h×nh chãp S.ABCD.
b) X¸c ®Þnh t©m vµ b¸n kÝnh cña h×nh cÇu néi tiÕp h×nh chãp S.ABCD.
7) TÝnh b¸n kÝnh mÆt cÇu néi tiÕp h×nh chãp tam gi¸c ®Òu S.ABC cã c¹nh ®¸y b»ng a, gãc
cña mÆt bªn víi ®¸y lµ ().
8) TÝnh b¸n kÝnh mÆt cÇu néi tiÕp h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S.ABCD cã c¹nh ®¸y b»ng a,
®­êng cao SH = h.
9) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y lµ h×nh thoi ABCD t©m O, SO  (ABCD).
a) CM: O c¸ch ®Òu c¸c mÆt bªn cña h×nh chãp. Tõ ®ã suy ra h×nh chãp cã mÆt cÇu néi tiÕp.
b) TÝnh b¸n kÝnh mÆt cÇu néi tiÕp biÕt SO = h, gãc BAD = a,  < 900 vµ AB = a
10) Cho h×nh chãp S.ABC cã ®¸y lµ tam gi¸c vu«ng t¹i A, BC = 2a. c¸c c¹nh bªn SA = SB
= SC = b . T×m t©m vµ b¸n kÝnh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp.
11) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a, SAB lµ tam gi¸c ®Òu vµ vu«ng
gãc víi ®¸y. X¸c ®Þnh t©m vµ b¸n kÝnh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp.
12) Cho tø diÖn ®Òu ABCD c¹nh a, Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn (BCD).
a) TÝnh AH.
b) X¸c ®Þnh t©m vµ tÝnh b¸n kÝnh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD.
13) Cho tø diÖn S.ABC cã ABC lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i B, AB = a,
SA = a 2 , SA  (ABC). Gäi M lµ trung ®iÓm cña AB. X¸c ®Þnh t©m vµ tÝnh b¸n kÝnh mÆt
cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn.
14) Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh a. Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi (ABCD) dùng tõ t©m
a
O cña h×nh vu«ng lÊy mét ®iÓm S sao cho OS = . X¸c ®Þnh t©m vµ tÝnh b¸n kÝnh mÆt cÇu
2
ngo¹i tiÕp h×nh chãp S.ABCD.
15) Cho ba nöa ®­êng th¼ng Ox, Oy, Oz kh«ng ®ång ph¼ng vµ gãc xOy = 900 gãc yOz =
600 , gãc zOx = 120. Trªn Ox, Oy, Oz lÇn l­ît lÊy c¸c ®iÓm A, B, C sao cho OA = OB = OC
= a.
a) CM: ABC vu«ng t¹i B.
www.MATHVN.com - 10

11. www.MATHVN.com QHVG-KG
b) Gäi I lµ trung ®iÓm cña AC. CM: OI  (ABC).
c) X¸c ®Þnh t©m vµ tÝnh b¸n kÝnh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn OABC16) Cho ABC c©n cã
gãc BAC = 1200 vµ ®­êng cao AH = a 2 . Trªn ®­êng th¼ng  vu«ng gãc (ABC) t¹i A lÊy
hai ®iÓm I, J ë hai bªn ®iÓm A sao cho IBC ®Òu vµ JBC vu«ng c©n.
a) TÝnh c¸c c¹nh cña ABC.
b) TÝnh AI, AJ vµ CM: BIJ, CIJ lµ tam gi¸c vu«ng.
c) T×m t©m vµ b¸n kÝnh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp c¸c tø diÖn IJBC, IABC.
17) Cho ABC vu«ng c©n t¹i B (AB = a). Gäi M lµ trung ®iÓm cña AB. Tõ M dùng ®­êng
th¼ng vu«ng gãc (ABC) trªn ®ã lÊy ®iÓm S sao cho SAB ®Òu.
a) Dùng trôc cña c¸c ®­êng trßn ABC vµ SAB.
b) TÝnh b¸n kÝnh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn SABC.
www.MATHVN.com - 11

12. www.MATHVN.com QHVG-KG
VII) DiÖn tÝch, ThÓ tÝch khèi ®a diÖn
1) Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S.ABCD, c¹nh ®¸y AB = a vµ c¸c mÆt bªn hîp víi ®¸y mét
gãc . TÝnh thÓ tÝch vµ S xq cña h×nh chãp.
2) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y lµ h×nh ch÷ nhËt cã AB = a, AD = b, SA = b, SA 
(ABCD). M lµ ®iÓm thuéc SA víi AM= x, mÆt ph¼ng (MBC) c¾t SD t¹i N. TÝnh thÓ tÝch
khèi ®a diÖn ABCDMN theo a, b vµ x.
3) Cho l¨ng trô ®øng ABC.A'B'C' cã ®¸y lµ ABC vu«ng c©n cã AB = AC = a, c¹nh bªn
AA' = a. gäi E lµ trung ®iÓm cña AB, F lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña E lªn BC. mÆt ph¼ng
(C'EF) chia l¨ng trô thµnh hai phÇn. TÝnh tû sè thÓ tÝch cña hai phÇn ®ã.
4) Cho l¨ng trô ®øng ABC.A'B'C' cã ®¸y lµ tam gi¸c vu«ng cã CA = CB = a;
CC' = 2a. M, N lµ trung ®iÓm cña AB vµ AA', mÆt ph¼ng (C'MN) c¾t BC t¹i P.
a) CM: PC = 2PB.
b) TÝnh: V AMNCPC ' .
5) Cho h×nh lËp ph­¬ng ABCD.A'B'C'D' c¹nh a. Gäi E, F lµ trung ®iÓm cña C'D' vµ C'B'.
MÆt ph¼ng (AEF) chia h×nh lËp ph­¬ng thµnh hai phÇn. TÝnh thÓ tÝch cña mçi phÇn.
6) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh a, SA  (ABCD), SA = h. Gäi I, J, K
lµ trung ®iÓm cña SA, BC, CD. Chøng minh mÆt ph¼ng (IJK) chia h×nh chãp S.ABCD thµnh
hai phÇn cã thÓ tÝch b»ng nhau.
7) Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S.ABCD cã c¹nh ®¸y b»ng avµ gãc ASB = .
a) TÝnh diÖn tÝch xung quanh cña h×nh chãp.
a 
b) Chøng minh r»ng ®­êng cao cña h×nh chãp b»ng cot g 2  1
2 2
c) TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp.
8) Cho h×nh chãp S.ABC cã hai mÆt bªn (SAB) vµ (SAC) vu«ng gãc víi ®¸y.§¸y ABC lµ
mét tam gÝc c©n ®Ønh A. Trung tuyÕn AD b»ng a. C¹nh SB t¹o víi ®¸y gãc  vµ t¹o víi mÆt
ph¼ng (SAD) gãc .
a) X¸c ®Þnh c¸c gãc  vµ .
b) Chøng minh r»ng: SB2 = SA2 + AD2 + BD2.
c) TÝnh diÖn tÝch toµn phÇn vµ thÓ tÝch h×nh chãp.
9) Cho h×nh lËp ph­¬ng ABCD.A'B'C'D' c¹nh a. E vµ F lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña C'B' vµ
C'D'.
a) X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh lËp ph­¬ng t¹o bëi (AEF).
b) TÝnh thÓ tÝch hai phÇn cña h×nh lËp ph­¬ng do mÆt ph¼ng (AEF) c¾t ra.
10) Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh a. C¹nh bªn SA vu«ng gãc víi mÆt
®¸y. Tõ A h¹ c¸c ®­êng vu«ng gãc AE víi SB vµ AF víi SD.
a) Chøng minh: (AEF)  SC
www.MATHVN.com - 12

13. www.MATHVN.com QHVG-KG
b) Gäi P lµ giao ®iÓm cña (AEF) víi SC. T×m quü tÝch cña P khi S ch¹y trªn nöa ®­êng
th¼ng Ax vu«ng gãc víi ®¸y ABCD
c) Chøng minh r»ng cã hai vÞ trÝ cña S trªn Ax sao cho VPABCD b»ng mét gi¸ trÞ V cho tr­íc
víi ®iÒu kiÖn V kh«ng v­ît qu¸ mét gi¸ trÞ V1 nµo ®ã mµ ta ph¶i x¸c ®Þnh
VII) To¸n tæng hîp c¸c phÇn:
1) Cho ABC ®Òu cã ®­êng cao AH = 3a, lÊy ®iÓm O trªn ®o¹n AH sao cho AO = a. Trªn
®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng chøa tam gi¸c t¹i O lÊy ®iÓm S sao cho OS = BC.
a) CM: BC  SA.
b) TÝnh SO, SA, SH theo a.
c) Qua I trªn ®o¹n OH vÏ mÆt ph¼ng ()  OH. () c¾t AB, AC, SC, SB lÇn l­ît t¹i M, N,
P, Q. CM: MNPQ lµ h×nh thang c©n.
d) TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c MNPQ theo a vµ x = AI. X¸c ®Þnh x ®Ó diÖn tÝch nµy cã gi¸ trÞ lín
nhÊt.
2) Cho h×nh chãp S.ABC cã SA  (ABCD). §¸y ABC kh«ng ph¶i lµ tam gi¸c c©n. Gäi B'
vµ C' lÇn l­ît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn SB vµ SC.
a) Chøng minh tø gi¸c BCC'B' néi tiÕp ®­îc vµ c¸c c¹nh BC vµ B'C' kh«ng song song.
b) CM: 5 ®iÓm A, B, C, B', C' ë trªn mét mÆt cÇu.
c) Gäi I lµ giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng BC vµ B'C'. CM: gãc IAB = gãc ICA
3) Cho hai nöa ®­êng th¼ng chÐo nhau Ax, By hîp víi nhau mét gãc lµ 600,
AB = a lµ ®o¹n vu«ng gãc chung. Trªn Ax, By lÇn l­ît lÊy c¸c ®iÓm C, D sao cho AC = 2a,
BD = a. Gäi () lµ mÆt ph¼ng chøa By // Ax, E lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña C lªn ().
a) CM: CD  By.
b) Chøng minh 5 ®iÓm A, B, C, D, E ë trªn mét mÆt cÇu, tÝnh b¸n kÝnh mÆt cÇu ®ã.
c) TÝnh gãc hîp bëi CD vµ mÆt ph¼ng (ABC).
d) TÝnh ®é dµi ®o¹n vu«ng gãc chung cña CE vµ AD.
4) Cho hai nöa ®­êng th¼ng Ax, By hîp víi nhau gãc nhän  nhËn AB = h lµm ®o¹n vu«ng
gãc chung. Trªn By lÊy ®iÓm C víi BC = a, gäi D lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña C trªn Ax.
Gäi Az lµ nöa ®­êng th¼ng qua A vµ // By
a) TÝnh ®é dµi AD vµ kho¶ng c¸ch tõ C ®Õn mÆt ph¼ng (ABD).
b) X¸c ®Þnh t©m cña mÆt cÇu ®i qua bèn ®iÓm A, B, C, D.
c) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ D ®Õn By.
5) Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S.ABCD cã c¹nh ®¸y b»ng avµ gãc ASB = .
a) TÝnh diÖn tÝch xung quanh cña h×nh chãp.
a 
b) Chøng minh r»ng ®­êng cao cña h×nh chãp b»ng cot g 2  1
2 2
c) TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp.
www.MATHVN.com - 13

14. www.MATHVN.com QHVG-KG
6) Cho h×nh chãp S.ABC cã hai mÆt bªn (SAB) vµ (SAC) vu«ng gãc víi ®¸y.§¸y ABC lµ
mét tam gÝc c©n ®Ønh A. Trung tuyÕn AD b»ng a. C¹nh SB t¹o víi ®¸y gãc  vµ t¹o víi mÆt
ph¼ng (SAD) gãc .
a) X¸c ®Þnh c¸c gãc  vµ .
b) Chøng minh r»ng: SB2 = SA2 + AD2 + BD2.
c) TÝnh diÖn tÝch toµn phÇn vµ thÓ tÝch h×nh chãp.
7) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a. MÆt bªn SAB lµ tam gi¸c
®Òu vµ vu«ng gãc víi ®¸y. Gäi H lµ trung ®iÓm cña AB vµ lµ mét ®iÓm di ®éng trªn ®­êng
th¼ng BC.
a) Chøng minh r»ng SH  (ABCD). TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp S.ABCD.
b) T×m tËp hîp c¸c h×nh chiÕu vu«ng gãc cña S lªn DM.
c) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ S ®Õn DM theoa vµ x = CM.
8) Cho h×nh lËp ph­¬ng ABCD.A'B'C'D' c¹nh a. E vµ F lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña C'B' vµ
C'D'.
a) X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh lËp ph­¬ng t¹o bëi (AEF).
b) TÝnh thÓ tÝch hai phÇn cña h×nh lËp ph­¬ng do mÆt ph¼ng (AEF) c¾t ra.
9) Cho h×nh chãp SABCD ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh a; SA = a vµ SA  (ABCD), AI, AJ vµ AE
lµ c¸c ®­êng cao xuÊt ph¸t tõ A trong tam gi¸c SAB, SAD vµ SAC
a) Chøng minh: AI, AJ, AE ®ång ph¼ng
Chøng minh r»ng tø gi¸c AIEJ cã c¸c ®­êng chÐo vu«ng gãc nhau vµ tÝnh diÖn tÝch cña nã
10) Cho h×nh chãp SABCD ®¸y lµ h×nh ch÷ nhËt c¹nh; SA  (ABCD). Dùng c¸c ®­êng cao
AH, AK trong tam gi¸c SAB vµ SAD. Chøng minh:
(AHK)  (SBC) vµ (AHK)  (SCD)
11) Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD. Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh ch÷ nhËt t¹i
A lÊy mét ®iÓm S. mÆt ph¼ng qua CD c¾t SA t¹i M vµ SB t¹i N
a) CDMN lµ h×nh g×?
Nãi c¸ch dùng ®­êng vu«ng gãc h¹ tõ S vu«ng gãc víi (CDMN)
12) Cho h×nh thang ABCD vu«ng t¹i A vµ D vµ AB = 2a; AC = DC = a; SA = a lµ ®o¹n
th¼ng vu«ng gãc víi (ABCD)
a) Chøng minh (SAC)  (SBC)
TÝnh gãc nhÞ diÖn (A, SB, C)
13) Trong mÆt ph¼ng (P) cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh a. Hai ®iÓm M vµ N di ®éng trªn c¸c
c¹nh BC vµ CD. §Æt Chøng minh: = x vµ CN = y. Trªn ®­êng th¼ng At vu«ng gãc víi (P)
lÊy mét ®iÓm S. T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y ®Ó:
a) Gãc cña c¸c mÆt ph¼ng (SAM) vµ (SAN) b»ng 450
(SAM)  (SMN)
14) Cho h×nh chãp SABCD ®¸y lµ h×nh vu«ng ABCD c¹nh a. Hai mÆt ph¼ng (SAB) vµ
(SAD) vu«ng gãc víi nhau; SA = a
a) Chøng minh: (SAB)  (SBC) vµ (SBD)  (SAC)
b) X¸c ®Þnh vµ tÝnh gãc nhÞ diÖn (S, BD, A)
c) X¸c ®Þnh vµ tÝnh gãc nhÞ diÖn (B, SC, D)
15) Cho h×nh vu«ng ABCD c¹ch a. Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh vu«ng
t¹i A ta lÊy mét ®iÓm S víi AS = h. X¸c ®Þnh vµ tÝnh ®é dµi ®o¹n vu«ng gãc chung cña:
a) SC vµ BD
www.MATHVN.com - 14

15. www.MATHVN.com QHVG-KG
b) SC vµ AD
16) Trªn c¹nh AD cña h×nh vu«ng ABCD c¹nh a lÊy ®iÓm M víi AM = x (0 < x < a) vµ trªn
nöa ®­êng th¼ng Ax vu«ng gãc víi mp(ABCD) t¹i A ta lÊy ®iÓm S sao cho AS = y > 0
a) Chøng minh r»ng nhÞ diÖn c¹nh SB cña h×nh chãp SABCM lµ nhÞ diÖn vu«ng
b) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn mp(SAC)
c) Gäi I lµ trung ®iÓm cña SC; H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña I lªn Chøng minh:. T×m quü
tÝch cña H khi M ch¹y trªn c¹nh AD vµ S ch¹y trªn Ax
17) Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh thang vu«ng ABCD vu«ng t¹i A vµ B, AB = BC =
a; AD = 2a; ®­êng cao cña h×nh chãp lµ SA = 2a
a) X¸c ®Þnh vµ tÝnh ®o¹n vu«ng gãc chung cña AD vµ SC
b) TÝnh gãc ph¼ng nhÞ diÖn c¹nh SD
18) Cho h×nh chãp SABCD ®¸y lµ nöa lôa gi¸c ®Òu c¹nh a, chiÕu cao SA = h
a) TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp SABCD
b) mÆt ph¼ng qua A vu«ng gãc víi SD c¾t SB, SC, SD ®­êng th¼ng¹i B’, C’ , D’. Chøng
minh r»ng tø gi¸c AB’C’D’ néi tiÕp
c) Chøng minh: A’B’ > C’D’
19) Cho h×nh chãp SABCD, ®¸y lµ h×nh vu«ng ABCD c¹nh a, chiÒu cao SA.
a) H·y nªu c¸ch dùng thiÕt diÖn cña h×nh chãp víi mÆt ph¼ng (P) qua A vµ vu«ng gãc
víi SC
b) TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn
20) Cho h×nh chãp SABCD ®¸y lµ nöa lôc gi¸c ®Òu ABCD víi AD = 2a, AB = BC = CD =
A. C¹nh SA = h vu«ng gãc víi ®¸y. (P) lµ mÆt ph¼ng qua A vu«ng gãc víi SD c¾t SB, SC,
SD t¹i B’, C’, D’
a) Chøng minh r»ng AB’C’D’ lµ mét tø gi¸c néi tiÕp
b) TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp SAB’C’D’
c) TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c AB’C’D’
21) Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh a. C¹nh bªn SA vu«ng gãc víi mÆt
®¸y. Tõ A h¹ c¸c ®­êng vu«ng gãc AE víi SB vµ AF víi SD.
d) Chøng minh: (AEF)  SC
e) Gäi P lµ giao ®iÓm cña (AEF) víi SC. T×m quü tÝch cña P khi S ch¹y trªn nöa ®­êng
th¼ng Ax vu«ng gãc víi ®¸y ABCD
f) Chøng minh r»ng cã hai vÞ trÝ cña S trªn Ax sao cho VPABCD b»ng mét gi¸ trÞ V cho tr­íc
víi ®iÒu kiÖn V kh«ng v­ît qu¸ mét gi¸ trÞ V1 nµo ®ã mµ ta ph¶i x¸c ®Þnh
22) Trong mÆt ph¼ng (P) cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh a. Gäi O lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD.
Trªn ®­êng th¼ng Ox vu«ng gãc víi (P) ta lÊy ®iÓm S.
1/ Gi¶ sö c¸c mÆt bªn cña h×nh chãp SABCD t¹o víi ®¸y mét gãc 
a) X¸c ®Þnh ®­êng vu«ng gãc chung cña SA vµ CD . TÝnh ®é dµi ®­êng vu«ng gãc
chung ®ã theo a vµ 
b) Mét mÆt ph¼ng ®i qua AC vµ vu«ng gãc víi (SAD) chia h×nh cÇu thµnh hai phÇn .
TÝnh tû sè thÓ tÝch cña hai phÇn ®ã
2/ Gi¶ sö ®iÓm S thay ®æi, h·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña S trªn Ox sao cho mÆt ph©n gi¸c cña
gãc nhÞ diÖn øng víi c¹nh ®¸y cña mÆt xung quanh cña h×nh chãp SABCD thµnh hai
phÇn cã diÖn tÝch b»ng nhau
23) Trong mÆt ph¼ng (P) cho ®­êng trßn (r) b¸n kÝnh R; A lµ ®iÓm cè ®Þnh trªn (r), S lµ
®iÓm trªn ®­êng th¼ng (d) vu«ng gãc víi (P) t¹i A. ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp trong (r) cã hai
®­êng cheo AC vµ BD vu«ng gãc víi nhau.
a) Gi¶ sö S cè ®Þnh, ph¶i chän ®¸y ABCD thÕ nµo ®Ó h×nh chãp SABCD cã thÓ tÝch lín
nhÊt
www.MATHVN.com - 15

16. www.MATHVN.com QHVG-KG
b) Víi ABCD ®· ®Þnh chän nh­ ë c©u a. Gi¶ sö S di ®éng trªn (d). Trªn ®o¹n AB lÊy
®iÓm M. §Æt AM = x (0  x  R 2 ) vµ AS = y. BiÕt SM = R 2 . H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ
cña M trªn AB ®Ó h×nh chãp SAMBC cã thÓ tÝch lín nhÊt
24) Cho h×nh chãp SABCD trong ®ã ®¸y ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt. C¹nh bªn SA  (ABCD).
Mét mÆt ph¼ng qua A vu«ng gãc víi SC c¾t SB ë B’, c¾t SD ë D’.
a) Chøng minh r»ng tø gi¸c AB’C’D’ cã hai gãc ®èi vu«ng gãc nhau
b) Chøng minh r»ng nÕu S di chuyÓn trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi (ABCD) t¹i A th×
mÆt ph¼ng (AB’C’D’) lu«n ®i qua mét ®­êng th¼ng cè ®Þnh. Chøng minh r»ng c¸c
®iÓm A, B, B’, C, C’, D, D’ cïng n»m trªn mét mÆt cÇu cè ®Þnh
c) Gi¶ sö gãc SC vµ mÆt (SAB) b»ng x. TÝnh tû sè gi÷a thÓ tÝch cña h×nh chãp SAB’C’D’
vµ thÓ tÝch h×nh chãp SABCD theo x, biÕt r»ng AB = BC
25) Cho h×nh chãp SABCD cã mÆt ®¸y ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt víi AB = a, AD = b. C¹nh
SA vu«ng gãc víi (ABCD) vµ SA = 2a. M lµ ®iÓm trªn SA vu«ng gãc víi (ABCD) vµ SA =
2a. M lµ ®iÓm trªn SA víi AM = x
(0  x  2a)
a) MÆt ph¼ng (MBC) c¾t h×nh chãp theo thiÕ diÖn lµ h×nh g×? TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn
®ã.
b) X¸c ®Þnh x sao cho thiÕt diÖn nãi trªn cã diÖn tÝch lín nhÊt
c) X¸c ®Þnh x sao cho mÆt ph¼ng (MBC) chia h×nh chãp ra thµnh hai phÇn cã thÓ tÝch
b»ng nhau
26) Cho h×nh chãp SABC cã ®¸y ABC lµ tam gi¸c c©n, AB = AC = a, gãc A = . BiÕt r»ng
SA vu«ng gãc víi (ABC) vµ SA = h. cho biÕt tån t¹i 3 ®iÓm M, N, P lÇn l­ît thuéc AB, AC,
BC sao cho AM = AN = AP vµ c¸c tam gi¸c SMP, SNP, t­¬ng ®­¬ng
a) Chøng minh P lµ trung ®iÓm cña BC
b) TÝng thÓ tÝch cña h×nh chãp SAMPN
c) Chøng minh h×nh chãp SAMPN cã mÆt cÇu néi tiÕp. TÝnh b¸n kÝnh cña mÆt cÇu Êy
27) Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt, SA  (ABCD), AB = a, AD = b,
SA = 2a. Gäi M lµ trung ®iÓm cña SA.
MÆt ph¼ng (MBC) c¾t h×nh chãp theo thiÕt diÖn lµ h×nh g×. TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn Êy
®h ®µ l¹t – d - 2000
28) Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh a, trªn ®­êng th¼ng d ®i qua A vµ vu«ng gãc v¬i mÆt
ph¼ng (ABCD) lÊy ®iÓm S sao cho SA = a. Trªn c¹nh CD lÊy ®iÓm M di ®éng. H¹ SH  BM
vµ AK  SH. §Æt gãc ABM = 
a) Chøng minh: AK  (SBM) vµ tÝnh AK theo a vµ 
H¹ AI  SB. Chøng minh SB  (AKI) vµ t×m quü tÝch K khi M thay ®æi trªn c¹nh CD
®h qg tphcm – d - 2000
 Kim tù th¸p
bµi1: Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S.ABCD víi ®¸y lµ h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh b»ng a. MÆt
bªn t¹o víi mÆt ®¸y h×nh chãp 1 gãc 600. MÆt ph¼ng (P) chøa c¹nh AB vµ c¾t SC, SD lÇn
l­ît t¹i M vµ N. Cho biÕt gãc t¹o bëi mÆt ph¼ng (P) vµ mÆt ®¸y cña h×nh chãp lµ 300
a) Tø gi¸c ABMN lµ h×nh g×?
b) TÝnh VSABMN theo a ®h sp tphcm – a - 2000
bµi2: Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S.ABCD víi ®¸y lµ h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh b»ng a vµ
SA = SB = SC = SD = a.
a) TÝnh STP vµ VSABCD theo a ®h sp tphcm – d - 2001
www.MATHVN.com - 16

17. www.MATHVN.com QHVG-KG
b) TÝnh cosin cña gãc nhÞ diÖn (SAB, SAD)
bµi3: Cho h×nh thoi ABCD t©m O; SO lµ ®o¹n th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh thoi
a) Chøng minh r»ng (SAC) lµ mÆt ph¼ng ph©n gi¸c cña c¸c nhÞ diÖn c¹nh SA vµ SC. Suy
ra O c¸ch ®Òu bèn mÆt bªn cña h×nh chãp SABCD
T×m mét ®iÓm c¸ch ®Òu n¨m mÆt cña h×nh chãp Êy
bµi4: Cho h×nh chãp SABCD ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh a. Gäi O lµ t©m h×nh vu«ng; SO vu«ng
gãc víi (ABCD); SA = b, SA t¹o víi (ABCD) vµ (SBC) hai gãc b»ng nhau vµ b»ng 
a) X¸c ®Þnh h×nh chiÕu H cña A xuèng mÆt ph¼ng (SBC). Chøng minh SO = AH
b) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a a vµ b råi suy ra gi¸ trÞ cña tg
bµi5: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh ABCD, diÖn tÝch b»ng a2 3 vµ gãc
gi÷a hai ®­êng chÐo b»ng 600. BiÕt r»ng c¸c c¹nh cña h×nh chãp nghiªng ®Òu trªn mÆt ®¸y
mét gãc 450
a) Chøng minh: ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt
b) TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp
bµi6: Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu SABCD cã c¹nh ®¸y b»ng a, ®­êng cao h. Gäi (P) lµ mÆt
ph¼ng qua A vµ vu«ng gãc víi SC t¹i C’
a) h ph¶i tho¶ m·n ®iÒu kiÖn g× ®èi víi a ®Ó C’  SC?
b) Trong ®iÒu kiÖn ®ã (P) cßn c¾t SB, SD lÇn l­ît t¹i B’, D’. Chøng minh B’C’D’ lµ tam
gi¸c tï
bµi7: Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu SABCD c¹nh a , ®­êng cao SO = a 3
a) M lµ mét ®iÓm trªn ®o¹n OC víi AM = x. Qua M ta dùng mÆt ph¼ng (P) song song
víi SA vµ BD. Nªu c¸ch dùng thiÕt diÖn vµ tÝnh diÖn tÝch cña nã theo a vµ x
b) NÕu M thuéc ®o¹n AO, h·y lÆp l¹i c©u hái trªn
bµi8: Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu SABCD. Gäi M, N, E lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AB, AD vµ
SC
a) Dùng thiÕt diÖn cña h×nh chãp víi mÆt ph¼ng (MNE)
b) TÝnh tû sè thÓ tÝch hai phÇn cña h×nh chãp ph©n chia bëi thiÕt diÖn trªn
bµi9: Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu SABCD ®Ønh S, c¹nh ®¸y b»ng a, ®­êng cao SH. Mét ®iÓm
M b¾t kú thuéc AH, mÆt ph¼ng (P) qua M song song víi AD vµ SH c¾t AB, DC, SD vµ SA
lÇn l­ît t¹i I, J, K, L
a) Cho biÕt SH = a 2 . X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M trªn AH ®Ó thiÕt diÖn IJKL lµ mét tø gi¸c
ngo¹i tiÕp
b) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M trªn AH ®Ó thÓ tÝch khèi ®a diÖn DIJKLH ®¹t gi¸ trÞ lín nh©t
c) mÆt ph¼ng (P) c¾t DB t¹i N. T×m quü tÝch giao ®iÓm P cña hai ®­êng chÐo cña tø gi¸c
MNKL khi M thay ®æi trªn AH
bµi10: Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu, c¹nh ®¸y a, gãc gi÷a mÆt bªn vµ mÆt ®¸y lµ . Qua mét
c¹nh ®¸y ta dùng mét mÆt ph¼ng t¹o víi mÆt ®¸y gãc . TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn
bµi11: Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu SABCD trong ®ã ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a vµ SA = SB
= SC = SD = a.
a) TÝnh chiÕu cao vµ thÓ tÝch h×nh chãp
b) Gäi M, N, P theo thø tù lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB, AD vµ SC. MÆt ph¼ng MNP
c¾t SB vµ SD t¹i Q vµ R. So s¸nh c¸c ®o¹n QB vµ RD víi SB
c) Chøng minh r»ng mÆt ph¼ng (MNP) chia h×nh chãp ®· cho thµnh hai phÇn cã thÓ tÝch
b»ng nhau; kÕt qu¶ ®ã cã ®óng kh«ng nÕu SA = SB = SC  a
www.MATHVN.com - 17

18. www.MATHVN.com QHVG-KG
bµi12: Chop h×nh chãp tø gi¸c ®Òu SABCD cã ®é dµi c¹nh ®¸y AB = a vµ gãc SAB =  .
TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp SABCD theo a vµ 
®h y hn - 2000
bµi13: Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu: SABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a. Gãc ph¼ng
nhÞ diÖn t¹o bëi mÆt bªn vµ ®¸y lµ  (450 <  < 900)
a) TÝnh diÖn tÝch toµn phÇn vµ VSABCD
b) Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC. Tõ M kÎ MK vu«ng gãc víi mp(SAD). MÆt ph¼ng
(BCK) c¾t h×nh chãp theo 1 thiÕt diÖn lµ h×nh g×?
TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn theo a vµ  ®h nn - 2000
bµi14: Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu SABCD cã ®­êng cao SH, ®­êng trung ®o¹n thuéc mÆt
bªn (SBC) lµ SN = a vµ hîp víi ®­êng cao SH mét gãc 
a) TÝnh VSABCD theo a vµ  c® l® xh - 2000
b) Trong mÆt ph¼ng (SHN) vµ HK  SN
Chøng minh: HK lµ kho¶ng c¸ch tõ H tíi mÆt (SBC)
TÝnh HK biÕt a = 3960 vµ  = 22030’
c) TÝnh HK biÕt diÖn tÝch toµn phÇn cña h×nh chãp lµ:
STP = 8a2sincos2(450 – /2)
 Chãp côt:
bµi1: Mét chãp côt tø gi¸c ®Òu cã chiÒu cao h, c¹nh ®¸y lín gÊp ®«i c¹nh ®¸y nhá, c¹nh bªn
t¹o víi c¹nh ®¸y lín xuÊt ph¸t tõ cïng mét ®Ønh gãc 
TÝnh diÖn tÝch xung quanh vµ thÓ tÝch chãp côt
bµi2: BiÕt hai ®¸y cña mét chãp côt cã diÖn tÝch B, B’. TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn trung b×nh ,
tøc kµ thiÕt diÖn ®i qua ®iÓm gi÷a mét c¹nh bªn vµ song song víi hai ®¸y cña chãp côt
bµi3: Cho h×nh chãp côt tam gi¸c ®Òu ngo¹i tiÕp mét h×nh cÇu b¸n kÝnh r cho s½n. TÝnh thÓ
tÝch h×nh chãp côt biÕt r»ng c¹nh ®¸y lín gÊp ®«i c¹nh ®¸y nhá
bµi4: Cho chãp côt tø gi¸c ®Òu ABCDA’B’C’D’. TÝnh tû sè diÖn tÝch cña hai tø gi¸c
ACC’A’ vµ ABC’D’ biÕt r»ng gãc cña mÆt ph¼ng t¹o bíi hai tø gi¸c ®ã lµ 
bµi5: Cho chãp côt lôc gi¸c ®Òu ngo¹i tiÕp h×nh cÇu t©m I b¸n kÝnh R. Gäi O vµ O’ lµ t©m
cña hai ®¸y, x vµ y lµ trung ®o¹n cña hai ®¸y
a) Chøng minh r»ng víi R cho s½n th× tÝch xy kh«ng ®æi
b) TÝnh thÓ tÝch chãp côt theo x, y vµ R. TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt cña thÓ tÝch khi x, y thay
®æi
c) TÝnh gãc cña mÆt bªn víi ®¸y lín khi x + y = 4R hoÆc khi x – y = 2R
bµi6: Cho h×nh chãp côt tam gi¸c ®Òu ABCA’B’C’ ngo¹i tiÕp h×nh cÇu t©m O b¸n kÝnh R
a) Chøng minh hai mÆt ph¼ng (OBC) vµ (OB’C’) vu«ng gãc víi nhau
b) H lµ giao ®iÓm cña BC’ vµ B’C’. Chøng tá OH vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (BCC’B’)
c) Trong c¸c h×nh chãp côt nãi trªn x¸c ®Þnh h×nh chãp côt cã thÓ tÝch nhá nhÊt, Chøng
minh r»ng trong ®iÒu kiÖn nµy diÖn tÝch toµn phÇn cña h×nh chãp côt còng nhá nhÊt.
TÝnh c¸c gi¸ trÞ nhá nhÊt nãi trªn
 H×nh chãp:
bµi1: Cho h×nh chãp SABCD víi ABCD lµ nöa lôc gi¸c ®Òu (AD > BC) vµ SA  (ABCD).
Mét mÆt ph¼ng qua A vu«ng gãc víi SD c¾t D’ vµ c¾t SB, SC t¹i B’, C’ . Chøng minh:
AB’C’D’ lµ tø gi¸c néi tiÕp
www.MATHVN.com - 18

19. www.MATHVN.com QHVG-KG
bµi2: Cho h×nh vu«ng ABCD c¹ch a. Tõ trung ®iÓm I cña AD ta dùng ®­êng th¼ng vu«ng
gãc víi mÆt ph¼ng (ABCD) vµ trªn ®ã lÊy ®iÓm S sao cho SAD lµ tam gi¸c ®Òu
a) Dùng vµ tÝnh ®é dµi ®o¹n vu«ng gãc chung cña SD vµ AB
b) Dùng vµ tÝnh ®é dµi cña ®o¹n vu«ng gãc chung cña SA vµ CM trong ®ã M lµ trung
®iÓm cña AB
bµi3: Trong mp() cho h×nh ch÷ nhËt ABCD. Gäi (C) lµ ®­êng trßn ®­êng kÝnh BD trong
mÆt ph¼ng qua BD vµ vu«ng gãc víi (); M lµ mét ®iÓm di ®éng trªn (C)
a) Chøng minh: AM  MC
b) Cã vÞ trÝ nµo cña M trªn (C) ®Ó (MAB)  (MCD) kh«ng?
c) Gäi () lµ mÆt ph¼ng qua CD vµ vu«ng gãc víi (). ®­êng th¼ng AM c¾t () t¹i M’.
Gäi H’ lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M’ lªn CD. Chøng minh r»ng: DH’ = k2M’H2 víi
k lµ mét h»ng sè kh«ng phô thuéc vµo M. Tõ ®ã suy ra quü tÝch cña M’ khi M
chuyÓn ®éng trªn (C)
bµi4: Cho h×nh vu«ng ABCD n»m trong mp(P). Qua A dùng nöa ®­êng th¼ng Ax  (P). M
lµ mét ®iÓm trªn Ax. ®­êng th¼ng qua M vu«ng gãc víi mp(MCB) c¾t (P) ë R. §­êng th¼ng
qua M vu«ng gãc víi mp(MCD) c¾t (P) ë S
a) Chøng minh: A, B, R th¼ng hµng vµ A, D, S th¼ng hµng
b) T×m quü tÝch trung ®iÓm I cña ®o¹n RS khi M di chuyÓn trªn Ax
c) Gäi H lµ ch©n ®­êng cao kÎ tõ A trong MAI. Chøng minh AH lµ ®­êng cao cña tø
diÖn ARMS vµ H lµ trùc t©m cña MRS
bµi5: Cho h×nh chãp SABCD cã c¸c ®Æc ®iÓm sau: §¸y lµ h×nh thang c©n ABCD ngo¹i tiÕp
®­êng trßn t©m O b¸n kÝnh a, AB // CD vµ CD = 4AB. SO = 2a lµ ®­êng cao
a) TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp
b) Chøng minh r»ng O c¸ch ®Òu bèn mÆt bªn cña h×nh chãp. X¸c ®Þnh t©m vµ b¸n kÝnh
h×nh cÇu néi tiÕp h×nh chãp
bµi6: Cho tø diÖn ABCD víi AB = a; CD = b
a) X¸c ®Þnh h×nh d¹ng cña thiÕt diÖn cña tø diÖn víi mÆt ph¼ng (P) song song víi AB vµ
CD
b) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña mÆt ph¼ng (P) sao cho diÖn tÝch thiÕt diÖn lín nhÊt
c) X¸c ®Þnh vÞ trÝ mÆt ph¼ng (P) sao cho thiÕt diÖn lµ h×nh thoi
bµi7: Cho h×nh chãp PQRS ®¸y lµ tam gi¸c ®Òu QRS c¹nh b»ng m, PQ = m 2 ; ®­êng cao
cña h×nh chãp kÎ tõ P ®i qua trung ®iÓm cña RS. Ng­êi ta c¾t h×nh chãp b»ng mét mÆt
ph¼ng song song víi PQ vµ RS vµ c¸ch ®Ønh Q mét ®o¹n b»ng d
a) Nªu c¸ch dùng thiÕt diÖn. X¸c ®Þnh h×nh d¸ng thiÕt diÖn
b) TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn
bµi8: Cho h×nh chãp tø gi¸c SABCD cã c¹nh SA = x, cßn tÊt c¶ c¸c c¹nh kh¸c ®é dµi b»ng 1
a) Chøng minh SA  SC
b) TÝnh thÓ tÝch cña h×nh chãp. X¸c ®Þnh x ®Ó bµi to¸n cã nghÜa. X¸c ®Þnh x ®Ó thÓ tÝch
lín nhÊt
bµi9: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ mét h×nh b×nh hµnh ABCD. Mét mÆt ph¼ng (P) c¾t
SA SC SB SD
SA, SB, SC, SD theo thø tù t¹i A’, B’, C’, D’. Chøng minh hÖ thøc:   
SA' SC' SB ' SD'
bµi10: Hai h×nh chãp tam gi¸c ®Òu cã chung chiÒu cao, ®Ønh, c¸c c¹nh bªn cña h×nh chãp
trïng víi t©m cña h×nh chãp kia, c¸c c¹nh bªn cña h×nh chãp nµy c¾t c¸c c¹nh bªn cña h×nh
www.MATHVN.com - 19

20. www.MATHVN.com QHVG-KG
chãp kia. C¹nh bªn l cña h×nh chãp thø nhÊt t¹o víi ®­êng cao gãc . C¹nh bªn cña h×nh
chãp thø hai t¹o víi ®­êng cao gãc  . TÝnh thÓ tÝch phÇn chung cña hai h×nh chãp
bµi11: Trong mÆt ph¼ng () cho OAB vµ mét ®iÓm di ®éng M trªn ®o¹n AB. Tõ M ta dùng
hai ®­êng th¼ng song song víi OB vµ OA, LÇn l­ît c¾t OA, OB t¹i P vµ Q; Gäi I lµ giao
®iª,r cña AQ vµ BP. Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mp() t¹i M ta lÊy ®iÓm S  M. §Æt
OA = a, OB = b
OP OQ
a) Chøng minh:   1 . Tõ ®ã suy ra thÓ tÝch hai h×nh chãp SOPIQ vµ SIAB b»ng
a b
nhau
b) Cho gãc AOB = 600, a = 2b vµ SM = b 3 . Gäi 1, 2 lÇn l­ît lµ gãc ph¼ng cña hai
nhÞ diÖn t¹o bíi (SOA) vµ (SOB) víi mp(). Chøng minh r»ng: khi M ®i ®éng trªn
2 2
®o¹n AB th× ta lu«n cã hÖ thøc:  1
tg 1 tg 2
bµi12: §¸y cña h×nh chãp lµ tam gi¸c vu«ng cã diÖn tÝch Q vµ gãc nhän . MÆt bªn qua
c¹nh ®èi víi  vu«ng gãc víi mÆt ®¸y; hai c¹nh bªn cßn l¹i hîp víi mÆt ®¸y gãc 
a) TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp theo , , Q
b) Víi gi¸ trÞ nµo cña  th× tiÕp tuyÕn ®ã lín nhÊt (Q,  kh«nh ®æi)
bµi13: Trong mÆt ph¼ng (P) cho h×nh thang c©n ABCD ngo¹i tiÕp ®­êng trßn t©m O b¸n kÝnh
R, c¸c c¹nh ®¸y AB vµ CD tho¶ m·n ®iÒu kiÖn AB/CD = ¼ . Trªn ®­êng th¼ng d vu«ng gãc
v¬Ýu (P) t¹i O lÊy ®iÓm S sao cho OS = 2R
a) TÝnh diÖn tÝch toµn phÇn vµ thÓ tÝch cña h×nh chãp SABCD
b) Chøng minh O c¸ch ®Òu bèn mÆt cña h×nh chãp SABCD tõ ®ã t×m t©m vµ b¸n kÝnh
cña mÆt cÇu néi tiÕp h×nh chãp
bµi14: Chøng minh r»ng nÕu h×nh chãp cã c¸c mÆt bªn lµm víi mÆt ®¸y mét gãc b»ng nhau
th× h×nh chãp cã mÆt cÇu néi tiÕp. §iÒu ng­îc l¹i cã ®óng kh«ng?
bµi15: Cho h×nh chãp tam gi¸c ®Òu SABC cã ch©n ®­êng cao SH = h. Gäi I, J, K lÇn l­ît lµ
trùc t©m c¸c mÆt bªn cña h×nh chãp
a) Chøng minh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp SIJK cã t©m trªn SH
b) Gäi r lµ b¸n kÝnh cña mÆt cÇu Êy. TÝnh thÓ tÝch cña SABC theo r vµ h
bµi16: Cho h×nh chãp tam gi¸c ®Òu SABC víi c¹nh ®¸y AB = a vµ ®­êng cao SH = h
a) TÝnh theo a vµ h c¸c b¸n kÝnh r, R cña c¸c mÆt cÇu néi tiÕp, ngo¹i tiÕp h×nh chãp
b) Gi¶ sö a cè ®Þnh, h thay ®æi. X¸c ®Þnh ®Ó r/R lín nhÊt
bµi17: Cho h×nh chãp tam gi¸c ®Òu cã diÖn tÝch mÆt cÇu ngo¹i tiÕp lµ S vµ diÖn tÝch mÆt cÇu
néi tiÕp lµ s
a) Chøng minh: S  9s
b) TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp theo S vµ s
www.MATHVN.com - 20