Números racionais fracionários

NÚMERO RACIONAL.
 FRAÇÕES

 

Helena Borralho/2012-13

Fração é um número que
exprime uma ou mais
partes, em que foi dividida a
unidade.




1 Numerador
Termos da fracção
2 Denominador

1 é o numerador, representa o número de partes que
se consideram.

2 é o denominador, representa o número de 1
partes geometricamente iguais em que se 2
considera dividida a unidade.


O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS É UM CONJUNTO REPRESENTADO PELA LETRA ℚ
E QUE É COMPOSTO PELOS NÚMEROS INTEIROS E PELOS NÚMEROS FRACIONÁRIOS.

UM NÚMERO RACIONAL INTEIRO, OU FRACIONÁRIO, É UM NÚMERO
QUE PODE SER ESCRITO NA FORMA


Assim 12 é múltiplo de 4, pelo que é um número natural.


Temos uma pizza para dividir, igualmente, por 8 pessoas.
Quando dividida , a pizza continuará a ser uma unidade,
só que, agora, está dividida em 8 pedaços.

Assim teremos:


Durante muito tempo, os números naturais foram os
únicos conhecidos e usados pelos homens. Depois
começaram a surgir questões que não poderiam ser
resolvidas com números naturais. Então surgiu o
conceito de número fracionário.


Número racional fracionário, porque o numerador não é
múltiplo do denominador.

Exemplos Dois não é múltiplo de 8

Pode ser representado por:

ou 2:8=0,25


O primeiro pedaço representa um
oitavo da pizza, os sete pedaços que
restaram equivalem a sete oitavos
da pizza.
Assim, o número fraccionário um
oitavo pode representar-se por:

ou 0,125

• Um NÚMERO FRACIONÁRIO é um número que pode ser
representado por uma fração, mas que não é um número
inteiro.


• O conjunto dos NÚMEROS RACIONAIS é formado pelos números inteiros e pelos
números fracionários.

Todo o número racional pode ser representado por uma fração.

Quando é que uma fração representa um número natural? Dá
exemplos.

Quando o numerador é múltiplo do denominador


O denominador de uma fração pode ser zero? Porquê?

Não. Porque numa divisão o quociente
tem de ser diferente de zero.


25
25%
100
1
4

Um quarto 0,25


2
3
3
10

1
12

1 1 1
2 3 4

1 um meio 5 3 três décimas
cinco sextos
2 6 10
1 um terço 2 dois sétimos 4 quatro onze avos
3 7 11
3 três quartos 7 sete oitavos
4 8
12 21 vinte e um nonos
doze quintos
5 9Helena Borralho/2012-13

Tarefa1: Os alunos da turma da Joana foram a um passeio. A Joana e quatro
dos seus colegas decidiram levar para o lanche 3 sandes para partilharem
igualmente entre elas. Que porção de sandes coube a cada uma das 5
crianças?


1ºProcesso

1 1 22 3
3 4
4 5 1 2 3 4 5

1 1
1
2 10 10
O que coube a cada uma das 5 crianças


2ºProcesso



1 1 1
5 5 5
1 1 1 3
5 + + =
5 5 5

3º Processo - resolução com a divisão

3 : 5 = 0,6

3
5


 Tarefa 2: No mesmo passeio outro grupo de 10 crianças partilhou 6 sandes
tendo cada uma ficado com a mesma quantidade de sandes. Com que porção
ficou cada uma?


1ºProcesso

1 1 6
ou
2 10 10
O que coube a cada uma das 10 crianças

2ºProcesso

 60 pedaços a dividir por 10
 Cada pedaço são 0,6 de sandes


Uma fração é maior que um, quando o
numerador é maior que o denominador.

Uma fração é menor que um, quando o
numerador é menor que o denominador.

Uma fração é igual a um, quando o
numerador e o denominador são iguais


Frações próprias – quando o
numerador é menor que o
denominador

Frações impróprias – quando o numerador é maior que o
denominador


+ +
Repara que: se multiplicares, 2 x 4 + 2 e mantiveres o mesmo denominador,
obténs a fração correspondente ao numeral misto dado.

FRAÇÕES DECIMAIS

Frações decimais são todas as frações cujo denominador está
representado por uma potência não nula de base 10, ou seja, 10, 100,
1000, 10000,…

Exemplos
3 49
10 100

19 1
1000 10 000

Fracções decimais

4 7
10 100

3
1000

Números decimais

Exemplos

3 49
0,3 0, 49
10 100

19 1
0, 019 0, 0001
1000 10 000

Para se transformar uma fração decimal num número decimal, basta dividir o
numerador pelo denominador. E, esse quociente possui tantas casas decimais
iguais quanto o número de zeros do denominador.

Todos os números decimais podem ser
representados na forma de fração decimal.


Exemplo

FRAÇÕES EQUIVALENTES

=
:2

2 1
12
= 6
:2



=
x3

2 6
5 = 15
x3


Frações equivalentes

Duas frações dizem-se equivalentes se a partir de uma podemos obter a
outra, multiplicando (ou dividindo) o numerador e o denominador por um
mesmo número, diferente de zero.

1 3 4 1 6 2
4 12 8 2 9 3






×2 ×2 :2 :2

1 2 4 4 2 1
= = = =
3 6 12 12 6 3

×2 ×2 :2 :2
Se multiplicarmos ou dividirmos os dois termos de uma fração pelo mesmo
número, diferente de zero, obteremos uma fração equivalente à fração dada.

Tiago dividiu uma pizza em 8 partes iguais e comeu 4 partes. Que
fração da pizza ele comeu?
Tiago comeu 4/8 da pizza. Mas, 4/8 é equivalente a 2/4. Assim,
podemos dizer que ele comeu 2/4 da pizza.


A fração 2/4 foi obtida dividindo-se A fração 2/4 ainda pode ser simplificada, ou
ambos os termos da fração 4/8 por seja, podemos obter uma fração equivalente
2. Veja-se: com termos menores. Veja-se:

Esta fração 1/2 não pode mais ser
Dizemos que esta é uma fração simplificada.
simplificada de 4/8. Uma fração que não pode mais ser
simplificada diz-se irredutível.


Simplificar uma fração é dividir o numerador e o denominador pelo maior valor
constante, de forma a encontrar uma fração equivalente. Caso isso não seja possível, diz-
se que a fração é irredutível.

6 1 4 2 6 2 2
12 2 10 5 9 3 7


Simplificação de fracções
Porque:
: 28
D28 = { 1, 2, 4, 7 ,14 , 28 }
28 1
= D56 = { 1, 2, 4, 7,
56 2 8 ,14 , 28 ,56}
O máximo divisor comum entre 28 e 56 é o maior
: 28 número que é divisor comum destes números.
Porque: = 28
m.d.c.(28,56)


: 28
28 2 56 2 O máximo divisor comum entre 28
e 56, decompostos em fatores
14 2 28 2 primos é igual ao produto dos
28 1
= 7 14 2 fatores primos comuns de menor
56 2 7
1 7 7 expoente.
: 28 2 1
3
28 = 2 × 7 56 = 2 × 7
2
m.d.c.(28,56) = 2 × 7 = 28

• Quando dois ou mais números representados por fracções têm o mesmo
denominador, o menor deles é representado pela fracção que tiver menor
numerador.


Comparação e ordenação de números racionais

• Quando dois ou mais números representados por fracções têm o mesmo
numerador, o menor deles é representado pela fracção que tiver maior
denominador.


2 4 15 8 5 11
5 5 5 5 5 5
5 8 11
5 5 5

0 2 4 1 2 3
15
5 5
5
• A comparação e ordenação de números racionais facilita a sua localização e
posicionamento na reta numérica.

1 3
+ + =
8 8
3 1
- - =
4 4


Quantas joaninhas há no total?

12

Quantas são Amarelas? 5 de 12 ou

Quantas são Vermelhas? 4 de 12 ou

Quantas são Azuis? 3 de 12 ou

Adição de frações com o mesmo denominador


1 1
2 + 3
?

Como somar/subtrair frações com denominadores diferentes?


=?
1 1
2
+ 3
Frações equivalentes, com o mesmo
denominador 3 2 5
+ = 6
6 6


Adição de frações com denominadores diferentes


Para somar/subtrair frações, é necessário que
tenham o mesmo denominador.

1 5 4 1
3 6 3 5
6 1 1 1 3
2
5 2 3 5 6


Das 18 laranjas que comprei, 2/3 tinham bicho. Quantas laranjas
estavam estragadas?

2
de 18
3
- Uma única Figura/Objeto
OU
- Várias Figuras/Conjunto de Objetos


Estavam estragadas 12 laranjas
0u
2 2 36
de 18 18 12
3 3 3


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