Desarrollo conceptual y matematico de jacobiano para dar intuición del mismo al educando

1. [[11]]
JJaaccoobbiiaannoo
JJaaccoobbiiaannoo
AAbbssttrraacctt..-- EEll JJaaccoobbiiaannoo eess uunnaa ooppeerraacciióónn ddee uussoo ffrreeccuueennttee eenn llaa cciieenncciiaa ppaarraa ccaammbbiiaarr ddee ccoooorrddeennaaddaass ddoobblleess òò ttrriipplleess ddee
uunn ssiisstteemmaa ccoooorrddeennaaddoo aa oottrroo;; EEssttee aarrttííccuulloo ttrraattaa ddee llaa vvaalliiddeezz ddee ssuu ffuunnddaammeennttoo tteeóórriiccoo.. PPaarrttee II EEss llaa ddeemmoossttrraacciióónn ddee
qquuee uunn ddeetteerrmmiinnaannttee ddee sseegguunnddoo oorrddeenn rreepprreesseennttaannddoo llaass llíínneeaass ddeell mmiissmmoo ppoorr ddooss vveeccttoorreess lliinneeaallmmeennttee iinnddeeppeennddiieenntteess eenn
𝑹𝑹 𝟐𝟐
,, eess iigguuaall aall áárreeaa ddeell ppaarraalleellooggrraammoo eennccllaauussttrraaddoo ppoorr eessooss ddooss vveeccttoorreess;; ttaammbbiiéénn ccoommoo ttrreess vveeccttoorreess,, lliinneeaallmmeennttee
iinnddeeppeennddiieenntteess,, eenn 𝑹𝑹 𝟑𝟑
,, EEll ddeetteerrmmiinnaannttee ffoorrmmaaddoo ccoonn eellllooss rreepprreesseennttaa eell vvoolluummeenn qquuee ggeenneerraann eessooss ttrreess vveeccttoorreess;; PPaarrttee IIII
RReepprreesseennttaacciióónn ddee llooss ddiiffeerreenncciiaalleess eenn eell ssiisstteemmaa oorriiggiinnaall ccoommoo vveeccttoorreess eenn eell nnuueevvoo ssiisstteemmaa ccoooorrddeennaaddoo;; PPrrooppiieeddaadd ddee
llooss ddeetteerrmmiinnaanntteess ppaarraa ffaaccttoorriizzaarr eelleemmeennttoo ccoommúúnn eenn uunnaa llíínneeaa ddeell ddeetteerrmmiinnaannttee;; PPaarrttee IIIIII EEjjeemmpplloo ddee oobbtteenncciióónn ddee
jjaaccoobbiiaannoo eenn 𝑹𝑹 𝟑𝟑
ppaarraa ttrraannssffoorrmmaarr ddee ssiisstteemmaa ccaarrtteessiiaannoo aa eessfféérriiccoo yy vviicceevveerrssaa oobbtteenncciióónn ddee jjaaccoobbiiaannoo ppaarraa ttrraannssffoorrmmaacciióónn
ddee eessfféérriiccoo aa ccaarrtteessiiaannoo;; ssiiggnniiffiiccaaddoo ddee vvoolluummeenn ddiiffeerreenncciiaall eenn aammbbooss ccaassooss;; PPaarrttee IIVV SSuussttiittuucciióónn eerrrróónneeaa aall hhaacceerr
ddiirreeccttaammeennttee uunnaa ssuussttiittuucciióónn ddee ddiiffeerreenncciiaalleess ssiinn uunnaa ttrraannssffoorrmmaacciióónn vveeccttoorriiaall ccoovvaarriiaannttee;; vveennttaajjaass ddee rreepprreesseennttaacciióónn
ggeeoommééttrriiccaa ddee ddiiffeerreenncciiaalleess yy ddee ccóómmoo eessttoo iimmpplliiccaa uunnaa rreepprreesseennttaacciióónn vveeccttoorriiaall ddee ddiiffeerreenncciiaalleess eenn ccoooorrddeennaaddaass ddeell
nnuueevvoo ssiisstteemmaa ccoooorrddeennaaddoo..
PPaarrttee IIDDeemmoossttrraacciióónn ddee ccóómmoo uunn ddeetteerrmmiinnaannttee ddee sseegguunnddoo oorrddeenn rreepprreesseennttaannddoo llaass llíínneeaass ddeell
mmiissmmoo ppoorr ddooss vveeccttoorreess lliinneeaallmmeennttee iinnddeeppeennddiieenntteess eenn 𝑹𝑹 𝟐𝟐
,, eess iigguuaall aall áárreeaa ddeell ppaarraalleellooggrraammoo
eennccllaauussttrraaddoo ppoorr eessooss ddooss vveeccttoorreess..
aa))..--UUnn vveeccttoorr eenn ssiisstteemmaa ccaarrtteessiiaannoo eenn 𝑹𝑹 𝟐𝟐
,, AA == AA((xx,,yy)),, ttiieennee uunn vveeccttoorr ppeerrppeennddiiccuullaarr aall mmiissmmoo,, DD ==|| 𝒊𝒊 𝒋𝒋
𝒙𝒙 𝒚𝒚 ||
eennttoonncceess DD== yy ii–– xx jj((11)) MMuullttiipplliiccaammooss AA∙∙DD == xxyy−− yyxx == 00 eessttoo rreevveellaa qquuee DD eess ⊥⊥ AA
AAhhoorraa mmuullttiipplliiccaammooss,, eessccaallaarrmmeennttee,, uunn vveeccttoorr lliinneeaallmmeennttee iinnddeeppeennddiieennttee aa AA,, ddiiggaammooss BB== BB((bb,,
dd))ppoorr DD== DD((yyii,,−−xxjj)),, ppaarraa ddeemmoossttrraarr qquuee eessttoo rreepprreesseennttaa eell áárreeaa eennttrree llooss vveeccttoorreess AA yy BB..
BB∙∙DD == bbyy−− ddxx == || 𝒃𝒃 𝒅𝒅
𝒙𝒙 𝒚𝒚|| ((22)) EEss ddeecciirr qquuee BB∙∙DD ssee ppuuddoo rreepprreesseennttaarr ccoorrrreeccttaammeennttee ppoorr eell ddeetteerrmmiinnaannttee
mmoossttrraaddoo ((22)),, AAhhoorraa aapplliiccaannddoo llaa ddeeffiinniicciióónn ddee pprroodduuccttoo eessccaallaarr eennttrree vveeccttoorreess nnooss ccoonneeccttaammooss ccoonn
llaa ddeemmoossttrraacciióónn ddee llaa ppaarrttee II ((aa))
BB∙∙DD == ││BB││││DD││ 𝐜𝐨𝐬 𝜣𝜣((33)) PPeerroo ││DD││==││AA││ ((44)) YY ppuueeddoo ssuussttiittuuiirr ((44)) eenn ((33)) yy aaddeemmááss eell
ccoosseennoo ddee ΘΘ lloo ppuueeddoo rreemmppllaazzaarr ppoorr eell 𝐬𝐢𝐧 𝜶𝜶ccoommoo lloo iinnddiiccaa llaa ffiigguurraa ssiigguuiieennttee tteenniieennddoo eenn ccuueennttaa
llaass pprrooppiieeddaaddeess ttrriiggoonnoommééttrriiccaass ddee áánngguullooss ccoommpplleemmeennttaarriiooss..
EEnnttoonncceess qquueeddaa ddeemmoossttrraaddoo qquuee ppaarraa AA yy BB eenn 𝑹𝑹 𝟐𝟐
eell ddeetteerrmmiinnaannttee || 𝒃𝒃 𝒅𝒅
𝒙𝒙 𝒚𝒚 || == ÁÁrreeaa AABB
bb))..--PPaarraa 𝑹𝑹 𝟑𝟑
LLaa ddeemmoossttrraacciióónn eess aannáállooggaa ddoonnddee hhaabbrráá uunn vveeccttoorr DD ppeerrppeennddiiccuullaarr aall ppllaannoo ggeenneerraaddoo
ppoorr ddooss vveeccttoorreess lliinneeaallmmeennttee iinnddeeppeennddiieenntteess,, ddiiggaammooss AA == AA((xx,, yy,, zz)),, BB== BB((bb,, dd,, ee))
DDee eessttaa mmaanneerraa BB∙∙DD == ││BB││││DD││ 𝐜𝐨𝐬 𝜣𝜣 == ││BB││││AA││ 𝐬𝐢𝐧 𝜶𝜶
EEnnttoonncceess eell ddeetteerrmmiinnaannttee ((22)) eess eell áárreeaa ddeell ppaarraalleellooggrraammoo
ffoorrmmaaddoo ppoorr llooss vveeccttoorreess AA yy BB,, pprreeccaauucciióónn eell áárreeaa nnoo eess eell
pprroodduuccttoo eessccaallaarr eennttrree AA yy BB ssiinnoo eell ddeetteerrmmiinnaannttee ((22))

2. [[22]]
JJaaccoobbiiaannoo
DD == ││
𝒊𝒊 𝒋𝒋 𝒌𝒌
𝒙𝒙 𝒚𝒚 𝒛𝒛
𝒃𝒃 𝒅𝒅 𝒆𝒆
││LLaa ddeemmoossttrraacciióónn ddee llaa ppeerrppeennddiiccuullaarriiddaadd ddee DD ppaarraa ccoonn AA yy BB eess aannáállooggaa
rreessoollvviieennddoo pprriimmeerroo eell ddeetteerrmmiinnaannttee DD.. PPeerroo ssee ssuuggiieerree mmeejjoorr qquuee ssee uuttiilliicceenn eejjeemmppllooss nnuumméérriiccooss..
AAssíí mmiissmmoo ccoommoo eenn 𝑹𝑹 𝟐𝟐
𝒕𝒂𝒎𝒃𝒊𝒕𝒂𝒎𝒃𝒊éé 𝒏𝒏 𝒆𝒏𝒆𝒏 𝑹𝑹 𝟑𝟑
eell áánngguulloo αα eess eell ccoommpplleemmeennttoo ddeell áánngguulloo θθ,, ssiieennddoo θθ eell
áánngguulloo eennttrree eell vveeccttoorr CC yy eell vveeccttoorr DD,, ddoonnddee DD == AA⤬⤬BB
EEnnttoonncceess eell ttrriippllee pprroodduuccttoo vveeccttoorriiaall CC∙∙ AA⤬⤬BB == ││
𝒄𝟏𝒄𝟏 𝒄𝟐𝒄𝟐 𝒄𝟑𝒄𝟑
𝒙𝒙 𝒚𝒚 𝒛𝒛
𝒃𝒃 𝒅𝒅 𝒆𝒆
││((55))
DDoonnddee CC == CC((cc11,, cc22,, cc33))
││
𝒄𝟏𝒄𝟏 𝒄𝟐𝒄𝟐 𝒄𝟑𝒄𝟑
𝒙𝒙 𝒚𝒚 𝒛𝒛
𝒃𝒃 𝒅𝒅 𝒆𝒆
││ == vvoolluummeenn ggeenneerraaddoo ppoorr AA,, BB,, CCyyaa qquuee ⃒⃒ 𝑨𝑨 ⤬⤬ 𝑩⃒⃒𝑩⃒⃒ == ⃒⃒DD⃒⃒
OO sseeaa qquuee ⃒⃒ 𝑨𝑨 ⤬⤬ 𝑩⃒⃒𝑩⃒⃒ == ⃒⃒DD⃒⃒ == áárreeaa ggeenneerraaddaa ppoorr AA yy BB
PPaarrttee IIIIRReepprreesseennttaacciióónn ddee llooss ddiiffeerreenncciiaalleess eenn eell ssiisstteemmaa oorriiggiinnaall ccoommoo vveeccttoorreess eenn eell nnuueevvoo ssiisstteemmaa
ccoooorrddeennaaddoo;; PPrrooppiieeddaadd ddee llooss ddeetteerrmmiinnaanntteess ppaarraa ffaaccttoorriizzaarr eelleemmeennttoo ccoommúúnn eenn uunnaa llíínneeaa ddeell ddeetteerrmmiinnaannttee
EEjjeemmpplloo:: SSeeaann llaass ccoooorrddeennaaddaass ccaarrtteessiiaannaass xx,, yy,, zz qquuee ccoorrrreessppoonnddeenn aa llooss ddiiffeerreenncciiaalleess ddxx,, ddyy,, ddzz
YY sseeaann llaass eeccuuaacciioonneess ddee ttrraannssffoorrmmaacciióónn ddee ccoooorrddeennaaddaass ddeell ccaarrtteessiiaannoo aa ccuuaallqquuiieerr oottrroo llaass ssiigguuiieenntteess::
XX== xx((rr,, θθ,, φφ))
AAssíí ddxx ==
𝛛𝐱
𝛛𝐫
ddrr ++
𝝏𝒙
𝝏𝜽
ddθθ ++
𝝏𝒙
𝝏𝝋
ddφφ;; AAssíí :: ddxx ==
𝛛𝐱𝛛𝐱
𝛛𝐫𝛛𝐫
êê 𝒓𝒓ddrr ++
𝝏𝒙𝝏𝒙
𝝏𝜽𝝏𝜽
êê 𝜽𝜽 ddθθ ++
𝝏𝒙𝝏𝒙
𝝏𝝋𝝏𝝋
êê 𝝓𝝓ddφφ ((66))
AAnnaallooggaammeennttee:: SSii YY == yy ((rr,, θθ,, φφ));; yy ttaammbbiiéénn:: ZZ == zz ((rr,, θθ,, φφ)),, eennttoonncceess ssuuss ddiiffeerreenncciiaalleess vveeccttoorriiaalleess::
ddyy ==
𝛛𝐲𝛛𝐲
𝛛𝐫𝛛𝐫
êê 𝒓𝒓 ddrr ++
𝝏𝒚𝝏𝒚
𝝏𝜽𝝏𝜽
êê 𝜽𝜽ddθθ ++
𝝏𝒚𝝏𝒚
𝝏𝝋𝝏𝝋
êê 𝝓𝝓 ddφφ ((77)),, AAssíí:: ddzz ==
𝝏𝒛𝝏𝒛
𝛛𝐫𝛛𝐫
êê 𝒓𝒓ddrr ++
𝝏𝒉𝝏𝒉
𝝏𝜽𝝏𝜽
êê 𝜽𝜽 ddθθ ++
𝝏𝒉𝝏𝒉
𝝏𝝋𝝏𝝋
ȇȇ 𝝋𝝋 ddφφ((88))
ddoonnddee:: êê 𝒓𝒓,, êê 𝜽𝜽,, êê 𝝓𝝓;; ssoonn vveeccttoorreess uunniittaarriiooss eenn ddiirreecccciióónn ddee ccrreecciimmiieennttoo ddee:: rr,, θθ,, φφ;; ddee llaass nnuueevvaass
ccoooorrddeennaaddaass;; eennttoonncceess eell eelleemmeennttoo ddiiffeerreenncciiaall ddee vvoolluummeenn ccaarrtteessiiaannoo eessttaarráá aahhoorraa rreepprreesseennttaaddoo ppoorr::

3. [[33]]
JJaaccoobbiiaannoo
DDee llaa pprrooppiieeddaadd ddee ddeetteerrmmiinnaanntteess,, qquuee uunnaa ccoolluummnnaa mmuullttiipplliiccaaddaa ppoorr llaa mmiissmmaa ccaannttiiddaadd,, eell ddeetteerrmmiinnaannttee
qquueeddaa mmuullttiipplliiccaaddoo ppoorr eessaa mmiissmmaa ccaannttiiddaadd;; ssee ppuueeddee ffaaccttoorriizzaarr ddrr,, ddθθ,, ddϕϕ ;; yyaa qquuee ccaaddaa ffaaccttoorr eess ccoommúúnn eenn
uunnaa ccoolluummnnaa..
AAll ddeetteerrmmiinnaannttee ssee llee llllaammaa JJaaccoobbiiaannoo
nnootteemmooss qquuee ssii hhuubboo ssuussttiittuucciióónn ddee eelleemmeennttooss ddiiffeerreenncciiaalleess eenn ddVV== ddxx ddyy ddzz,, ppeerroo ffuueerroonn ssuussttiittuucciioonneess
vveeccttoorriiaalleess eess ddeecciirr vveeccttoorriiaallmmeennttee..
PPaarrttee IIIIII EEjjeemmpplloo ddee oobbtteenncciióónn ddee jjaaccoobbiiaannoo eenn 𝑹𝑹 𝟑𝟑
ppaarraa ttrraannssffoorrmmaarr ddee ssiisstteemmaa ccaarrtteessiiaannoo aa eessfféérriiccoo yy
vviicceevveerrssaa oobbtteenncciióónn ddee jjaaccoobbiiaannoo ppaarraa ttrraannssffoorrmmaacciióónn ddee eessfféérriiccoo aa ccaarrtteessiiaannoo;; ssiiggnniiffiiccaaddoo ddee vvoolluummeenn
ddiiffeerreenncciiaall eenn aammbbooss ccaassooss
EEnn eell ccaassoo ddee ttrraannssffoorrmmaacciióónn ddee ccaarrtteessiiaannaass aa eessfféérriiccaass ssee uuttiilliizzaann llaass ssiigguuiieenntteess rreellaacciioonneess::
XX == xx ((rr,, θθ,, ϕϕ)) == rr 𝐬𝐢𝐧 𝜽𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝓𝝓 ;; YY== yy ((rr,, θθ,, ϕϕ)) == rr 𝐬𝐢𝐧 𝜽𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝓𝝓 ;; ZZ== zz ((rr,, θθ,, ϕϕ)) == rr 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝜽
EEnnttoonncceess ssuu jjaaccoobbiiaannoo ddee ttrraannssffoorrmmaacciióónn sseerráá::
PPaarraa ttrraannssffoorrmmaacciióónn iinnvveerrssaa ddee eessfféérriiccaass aa ccaarrtteessiiaannaass ssuu jjaaccoobbiiaannoo ddeebbee sseerr eell rreeccíípprrooccoo eess ddeecciirr::
EEssttoo eess ppaarraa ppooddeerr rreeggrreessaarr aa llaa eexxpprreessiióónn ccaarrtteessiiaannaa ddeebbee sseerr eell rreeccíípprrooccoo ddee llaa ttrraannssffoorrmmaacciióónn
iinnvveerrssaa,, eecc..,, ((1122)),, ddee ccaarrtteessiiaannaass aa eessfféérriiccaa.. PPaarraa eelllloo ssee uuttiilliizzaann llaa ttrraannssffoorrmmaacciióónn::

4. [[44]]
JJaaccoobbiiaannoo
PPaarrttee IIVV SSuussttiittuucciióónn eerrrróónneeaa aall hhaacceerr ddiirreeccttaammeennttee uunnaa ssuussttiittuucciióónn ddee ddiiffeerreenncciiaalleess ssiinn uunnaa ttrraannssffoorrmmaacciióónn
vveeccttoorriiaall ccoovvaarriiaannttee;; vveennttaajjaass ddee rreepprreesseennttaacciióónn ggeeoommééttrriiccaa ddee ddiiffeerreenncciiaalleess yy ddee ccóómmoo eessttoo iimmpplliiccaa uunnaa
rreepprreesseennttaacciióónn vveeccttoorriiaall ddee ddiiffeerreenncciiaalleess eenn ccoooorrddeennaaddaass ddeell nnuueevvoo ssiisstteemmaa ccoooorrddeennaaddoo..
SSii ssee ssuussttiittuuyyeenn llooss eelleemmeennttooss ddiiffeerreenncciiaalleess ddee uunnaa iinntteeggrraall mmúúllttiippllee,, ssiinn ddaarrlleess ccaarráácctteerr vveeccttoorriiaall eenn eell nnuueevvoo
ssiisstteemmaa ccoooorrddeennaaddoo,, ssee oobbttiieenneenn ppoorr eejjeemmpplloo pprroodduuccttooss ccoommoo ddrr ddrr ddθθ ++ ddθθ ddθθ ddθθ ++ eettcc;; yyaa qquuee ssee ttrraattaa ddee uunnaa
mmuullttiipplliiccaacciióónn aallggeebbrraaiiccaa
LLaa eexxpprreessiióónn ((1133)) nnoo ttoommaa eenn ccuueennttaa llaa ddeeffoorrmmaacciióónn ddeell eelleemmeennttoo ddiiffeerreenncciiaall ddee vvoolluummeenn ssuuffrree aall
tteenneerr uunn ccaammbbiioo ddee ccoooorrddeennaaddaass,, lloo qquuee nnooss ddaann iinntteeggrraalleess ccoonn ddooss óó ttrreess ddiiffeerreenncciiaalleess rreeppeettiiddaass qquuee
ccaarreecceenn ddee sseennttiiddoo ggeeoommééttrriiccoo..
EEnn ccaammbbiioo aall ddaarr ccaarráácctteerr vveeccttoorriiaall eenn eell nnuueevvoo ssiisstteemmaa ccoooorrddeennaaddoo,, aa llooss ddiiffeerreenncciiaalleess oorriiggiinnaalleess,,
ssee ppuueeddee ttoommaarr eenn ccuueennttaa ssuu ddeeffoorrmmaacciióónn eessppaacciiaall::
SSiinn eemmbbaarrggoo eessttee ccoonncceeppttoo ttiieennee ssuuss lliimmiittaacciioonneess yyaa qquuee eell pprroocceessoo iinnvveerrssoo eell eelleemmeennttoo
ddiiffeerreenncciiaall eessfféérriiccoo nnoo ccuueennttaa ccoonn iinntteerrpprreettaacciioonneess ggeeoommééttrriiccaa ppeerroo ssii eexxiissttee uunn jjaaccoobbiiaannoo
iinnvveerrssoo..