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Guia de integración indefinida

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Guia de integración indefinida

  1. 1. .INTEGRACI´ON INDEFINIDA Y SUS APLICACIONES Hebeth Cueva Valladolid Agosto del 2016
  2. 2. 1 0.1. Introducci´on El origen del c´alculo integral se remonta a la ´epoca de Arqu´ımedes (287-212 a.C.), matem´atico griego de la antig¨uedad, que obtuvo resultados tan importantes como el valor del ´area encerrada por un segmento parab´olico. La derivada apareci´o veinte siglos despu´es para resolver otros problemas que en principio no ten´ıan nada en com´un con el c´alculo integral. El descubrimiento m´as importante del c´alculo infinitesimal (creado por Barrow, Newton y Leibniz) es la ´ıntima relaci´on entre la derivada y la integral definida, a pesar de haber seguido caminos diferentes durante veinte siglos. Una vez conocida la conexi´on entre derivada e integral (teorema de Barrow), el c´alculo de inte- grales definidas se hace tan sencillo como el de las derivadas. El concepto de C´alculo y sus ramificaciones se introdujo en el siglo XVIII, con el gran desarrollo que obtuvo el an´alisis matem´atico, creando ramas como el c´alculo diferencial, integral y de varia- ciones. El c´alculo diferencial fue desarrollado por los trabajos de Fermat, Barrow, Wallis y Newton entre otros. As´ı en 1711 Newton introdujo la f´ormula de interpolaci´on de diferencias finitas de una funci´on f(x); f´ormula extendida por Taylor al caso de infinitos t´erminos bajo ciertas restricciones, utilizando de forma paralela el c´alculo diferencial y el c´alculo en diferencias finitas. El aparato fundamental del c´alculo diferencial era el desarrollo de funciones en series de potencias, especialmente a partir del teorema de Taylor, desarroll´andose casi todas las funciones conocidas por los matem´aticos de la ´epoca. Pero pronto surgi´o el problema de la convergencia de la serie, que se resolvi´o en parte con la introducci´on de t´erminos residuales, as´ı como con la transformaci´on de series en otras que fuesen convergentes. Junto a las series de potencias se incluyeron nuevos tipos de desarrollos de funciones, como son los desarrollos en series asint´oticas introducidos por Stirling y Euler. La acumulaci´on de resultados del c´alculo diferencial transcurri´o r´apidamente, acumulando casi todos los resultados que caracterizan su es- tructura actual Introducir el c´alculo integral, se logro con el estudio de J.Bernoulli, quien escribi´o el primer curso sistem´atico de c´alculo integral en 1742. Sin embargo, fue Euler quien llev´o la integraci´on hasta sus ´ultimas consecuencias, de tal forma que los m´etodos de integraci´on indefinida alcanzaron pr´acticamente su nivel actual. El c´alculo de integrales de tipos especiales ya a comienzos de siglo, conllev´o el descubrimiento de una serie de resultados de la teor´ıa de las funciones especiales. Como las funciones gamma y beta, el logaritmo integral o las funciones el´ıpticas. Los creadores del An´alisis Infinitesimal introdujeron el C´alculo Integral, considerando los problemas inversos de sus c´alculos. En la teor´ıa de fluxiones de Newton la mutua inversibilidad de los prob- lemas del c´alculo de fluxiones y fluentes se evidenciaba claramente. Para Leibniz el problema era m´as complejo: la integral surg´ıa inicialmente como definida. No obstante, la integraci´on se reduc´ıa pr´acticamente a la b´usqueda de funciones primitivas. La idea de la integraci´on indefinida fue inicialmente la dominante. El C´alculo Integral inclu´ıa adem´as de la integraci´on de funciones, los problemas y la teor´ıa de las ecuaciones difer- enciales, el c´alculo variacional, la teor´ıa de funciones especiales, etc. Tal formulaci´on general creci´o inusualmente r´apido. Euler necesit´o en los a˜nos 1768 y 1770 tres grandes vol´umenes para dar una exposici´on sistem´atica de ´el. Seg´un Euler el C´alculo Integral constitu´ıa un m´etodo de b´usqueda, dada la relaci´on entre los diferenciales o la relaci´on
  3. 3. 2 entre las propias cantidades. La operaci´on con lo que esto se obten´ıa se denominaba in- tegraci´on. El concepto primario de tal C´alculo, por supuesto, era la integral indefinida. El propio C´alculo ten´ıa el objetivo de elaborar m´etodos de b´usqueda de las funciones primitivas para funciones de una clase lo m´as amplia posible. Los logros principales en la construcci´on del C´alculo Integral inicialmente pertenecieron a J. Bernoulli y de- spu´es a Euler, cuyo aporte fue inusitadamente grande. La integraci´on llevada por este ´ultimo hasta sus ´ultimas consecuencias y las cuadraturas por ´el encontradas, todav´ıa constituyen el marco de todos los cursos y tratados modernos sobre C´alculo Integral, cuyos textos actuales son s´olo modificaciones de los tratados de Euler en lo relativo al lenguaje. Estos juicios se confirman con la revisi´on concreta del famoso C´alculo Inte- gral de Euler y su comparaci´on con los textos actuales. La palabra c´alculo proviene del lat´ın calculus, que significa contar con piedras. Precisamente desde que el hombre ve la necesidad de contar, comienza la historia del c´alculo. Tales piedrecitas ensartadas en tiras constitu´ıan el ´abaco romano que, junto con el suwanpan japon´es, constituyen las primeras m´aquinas de calcular en el sentido de contar. El c´alculo integral, encuadrado en el c´alculo infinitesimal, es una rama de las matem´aticas en la que se estudia el pro- ceso de integraci´on o antiderivaci´on, es muy com´un en la ingenier´ıa y en la matem´atica en general y se utiliza principalmente para el c´alculo de ´areas y vol´umenes de regiones y s´olidos de revoluci´on.
  4. 4. 3 0.2. Definiciones y F´ormulas b´asicas Definici´on 1. La funci´on F : I → R se le llama Antiderivada ´o primitiva de f : I → R si F (x) = f(x), ∀x I = [a, b]. Ejemplo : Si f(x) = 2x ⇒ F(x) = x2 es una antiderivada ,pu´es F (x) = 2x = f(x) Tambi´en F1(x) = x2 + 3 es una antiderivada de f(x) ¿Qu´e se Observa? al calcular las antiderivadas de una funci´on no se determina una ´unica funci´on sino una familia de funciones que se difieren entre si en una constante.En General la representaci´on de su antiderivada mas general de f(x) la representaremos por : F(x) + c X Y Y=X 2 +C Definici´on 2. Si F(x) es una antiderivada de f(x) sobre un intervalo I osea F (x) = f(x) Entonces a su antiderivada general F(x) + c se le denota por : G(x) = f(x)dx = F(x) + c , ∀x I
  5. 5. 4 En otras palabras la integral de una funci´on que se designa con f(x)dx no es m´as que su antiderivada general F(x) + c.De ahora en adelante llamaremos integrando a lo que est´a dentro de la integral es decir a f(x)dx NOTA:De la definici´on anterior se tiene : G (x) = F (x) = f(x) i.e d dx f(x)dx = f(x) Propiedades De la definici´on de integral indefinida se tiene : 1. d dx ( f(x)dx) = f(x) 2. d( f(x)dx) = f(x) 3. f (x)dx = f(x) + c Teorema 0.1. Si dos funciones F y G son funciones primitivas o antiderivadas de una funci´on f en un intervalo I (abierto o cerrado) entonces estas funciones difieren de una constante
  6. 6. 5 FORMULAS DE INTEGRACI´ON Siendo u = f(x) una funci´on diferenciable en x 1. un du = un+1 n + 1 + c , n = −1 2. du u = ln|u| + c 3. eu du = eu + c 4. au du = au ln a + c ; a > 0, a = 1 5. du u2 + a2 = 1 a arctan( u a ) + c 6. du a2 − u2 = 1 2a ln| u + a u − a | + c 7. du u2 − a2 = 1 2a ln| u − a u + a | + c 8. du √ a2 − u2 = arcsen( u a ) + c 9. du √ u2 + a2 = ln|u + √ u2 + a2| + c 10. du √ u2 − a2 = ln |u + √ u2 − a2| + c 11. √ a2 − u2du = u 2 √ a2 − u2 + a2 2 arcsin( u a ) + c 12. √ u2 − a2du = u 2 √ u2 − a2 − a2 2 ln|u + √ u2 − a2| + c 13. √ u2 + a2du = u 2 √ u2 + a2 + a2 2 ln|u + √ u2 + a2| + c 14. du u √ u2 − a2 = 1 a arcosec |u| a + c 15. sin udu = −cosu + c 16. cos udu = senu + c
  7. 7. 6 17. tan udu = − ln | cos u| + c 18. cot udu = ln | sin u| + c 19. csc udu = ln | csc u − cot u| + c 20. sec2 udu = tan u + c 21. csc2 udu = − cot u + c 22. sec u tan udu = sec u + c 23. csc u cot udu = − csc u + c Ejercicios 1. Probar que las dos f´ormulas son equivalentes sec xdx = ln | sec x + tan x | sec xdx = − ln | sec x − tan x | Para conseguir que ambas f´ormulas son equivalentes deber´ıamos probar la sigu- iente igualdad : − ln | sec x − tan x |= ln | sec x + tan x | As´ı tenemos que : − ln | sec x − tan x |= − ln | 1 cos x − sin x cos x |= − ln | 1 − sin x cos x | = ln | cos x 1 − sin x |= ln | cos x(1 + sin x) (1 − sin x)(1 + sin x) | ln | 1 cos x + sin x cos x |= ln | sin x + tan x | 2. Probar que las dos f´ormulas son equivalentes csc xdx = − ln | csc x + cot x | csc xdx = ln | csc x − cot x |
  8. 8. 7 Ejercicios de Aplicaci´on Resolvamos los siguientes ejercicios aplicando las reglas para integrales : 1. 2x · 3x+1 5x+2 dx 2. ex (1 + x ln x) x dx 3. 1 − x ln x xex dx 4. sin x cos2 x dx 5. tan y − sec y cos y dy 6. √ x + 4 x dx 7. sin x − x ln x · cos x x sin2 x dx 8. sec x − tan x sec x + tan x dx 9. Se d´a la gr´afica de la derivada de una funci´on.Esbozar las gr´aficas de 2 funciones que tengan por derivada a la funci´on dada 2 f ´ x y Grafico (1) Gr´afico (2) Del gr´afico (2) se observa que f = 2 =⇒ f(x) = 2x + k
  9. 9. 8 entonces las 2 funciones cuyas derivadas resultan f = 2 son : f(x) = 2x + 1 , f(x) = 2x − 1 10. En cada caso ,f es una funci´on cont´ınua y la figura muestra la gr´afica de la funci´on y = f (x) ,la funci´on derivada de f.Bosqueje la gr´afica de la funci´on y = f(x),analizando intervalos de monoton´ıa y de concavidad,valores extremos y puntos de inflexi´on ; si : 1 2 3 2 2 −1 3 −1 −2 Figura (1) Figura(2) Para la figura (1) se tiene que f(1) = 0 y x ≥ 0 ,de la misma forma para la figura (2) se tiene que f(0) = 1 y x ≥ −1
  10. 10. 9 M´ETODOS DE INTEGRACI´ON 0.3. Integraci´on por sustituci´on Este m´etodo para resolver integrales es muy aplicado en su gran mayoria cuando sea posible encontrar dentro del integrando una funci´on y su derivada consiguiendo una integral conocida o f´acil de operar .El m´etodo consiste en que una vez identificada la funci´on y su derivada se debe elegir a la funci´on como la nueva variable y luego usar las f´ormulas de integraci´on descritas con anterioridad. Ejemplos Resueltos 1. Resolver x5 1 + x3 dx Soluci´on la idea es tratar de hacer aparecer dentro del integrando una funci´on y su derivada para lo cu´al haremos un artificio f´acil que consiste en descomponer el numerador de la siguiente forma : x3 x2 1 + x3 dx si llamamos al denominador u = 1 + x3 observamos que du = 3x2 dx =⇒ x2 dx = du 3 As´ı de este modo sustituyendo en la integral anterior se obtiene : u − 1 u du 3 = 1 3 (1 − 1 u )du = 1 3 du − 1 3 1 u du = 1 3 u − 1 3 ln |u| + c Luego regresemos a las variables originales 1 3 (1 + x3 ) − 1 3 ln |1 + x3 | + c
  11. 11. 10 2. Resolver ln(ln x) x ln x dx Soluci´on Escogeremos u = ln x =⇒ du = 1 x dx As´ı de ´este modo se tendr´ıa ln u u du y si aplicamos otro cambio de variable en esta nueva integral v = ln u =⇒ dv = 1 u du se llega a: vdv = v2 2 + c volviendo a las variables originales = (ln u)2 2 + c = (ln(ln x))2 2 + c 3. Resolver 2ex + e−x 3ex + 4e−x dx Soluci´on Es preciso observar que en el integrando no existe relaci´on entre el numerador y el denominador ,lo ´unico que pudieramos hacer es separar en dos integrales 2ex 3ex + 4e−x dx + e−x 3ex + 4e−x dx Ahora en cada una de las integrales multipliquemos a la primera en su numerador y denominador por ex y en la segunda por e−x asi se tendr´ıa : 2e2x 3e2x + 4 dx + e−2x 3 + 4e−x dx Si en la primera elegimos el cambio de variable u = 3e2x + 4 −→ du = 6e2x
  12. 12. 11 4. Resolver 1 x2 ( 1 x − 1) 2 3 dx Soluci´on Considerando de que la derivada de 1 x − 1 es − 1 x2 ,entonces se elige a u como u = 1 x − 1 ,du = − 1 x2 dx as´ı tenemos : u 2 3 (−du) = − u 2 3 du = − u 5 3 5 3 + k − 3 5 u 5 3 + k − 3 5 ( 1 x − 1) 5 3 + k 5. Resolver x3 (4 − x2 ) −1 2 dx Soluci´on Teniendo en cuenta que la derivada de 4 − x2 es −2x ,es preciso realizar una descomposici´on en el integrando x2 (4 − x2 ) −1 2 xdx as´ı 4 − x2 = u2 =⇒ −2xdx = 2udu =⇒ xdx = −udu Luego (4 − u2 )(u2 )−1 2 (−udu) = − (4 − u2 )u−1 udu = − (4 − u2 )du = −(4u − u3 3 ) + k = −4 √ 4 − x2 + ( √ 4 − x2)3 3 + k
  13. 13. 12 6. Resolver 1 ex + e−x dx Soluci´on Al no encontrar una relaci´on entre alguna funci´on y su derivada ,multimplicamos numerador y denominador por ex con esa intenci´on ,as´ı 1 ex + e−x ex ex dx = ex 1 + (ex)2 dx Luego elegiremos u = ex =⇒ du = ex dx =⇒ du u2 + 1 = arctan u + k arctan ex + k 7. Resolver x 1 3 (x 2 3 + 1) 3 2 dx Soluci´on Si elegimos u = x 2 3 + 1 −→ du = 2 3 1 x 1 3 dx Lamentablementen el t´ermino 1 x 2 3 no aparece en el integrando ,por lo que es necesario multiplicar en el numerador y denominador por x 2 3 y reformular el cambio de variables mas conveniente,as´ı : u2 = x 2 3 + 1 −→ 2udu = 2 3 1 x 1 3 dx de all´ı se tiene que u2 − 1 = x 2 3 y que 3udu = 1 x 2 3 dx Luego en la integral x 1 3 (x 2 3 + 1) 3 2 dx = x 1 3 (x 2 3 + 1) 3 2 x 1 3 x 1 3 dx
  14. 14. 13 = x 2 3 (x 2 3 + 1) 3 2 1 x 1 3 dx = (u2 − 1)(u2 ) 3 2 3udu = 3u(u2 − 1)u3 du = 3 u4 (u2 − 1)du = 3 (u6 − u4 )du = 3( u7 7 − u5 5 ) = 3 7 ( x 2 3 + 1)7 − 3 5 ( x 2 3 +1 )5 + C 8. Resolver arctan √ x √ x + 2x2 + x3 dx Soluci´on Primero factorizamos el denominador arctan √ x √ x + 2x2 + x3 dx = arctan √ x √ x √ 1 + 2x + x2 dx = arctan √ x √ x(x + 1) dx Aqu´ı hacemos : u = arctan x −→ du = dx 2 √ x(1 + x) Asi reemplazando en la integral se tiene : = 2udu = u2 + C = (arctan √ x)2 + C
  15. 15. 14 9. Resolver 1 √ x − 1 + √ x + 1 dx Soluci´on Se observa que no existe relaci´on entre el numerador y denominador por lo que lo que multiplicaremos por su conjugada [ 1 √ x − 1 + √ x + 1 ][ √ x − 1 − √ x + 1 √ x − 1 − √ x + 1 ]dx = √ x − 1 − √ x + 1 √ x − 1 2 − √ x + 1 2 dx = √ x − 1 − √ x + 1 x − 1 − x − 1 dx = √ x − 1 − √ x + 1 −2 dx = 1 2 [ √ x + 1dx − √ x − 1dx En cada una de las integrales haremos x + 1 = u2 −→ dx = 2udu y x − 1 = v2 −→ dx = 2vdv As´ı queda = 1 2 [ u(2udu) − v(2vdv)] = 1 2 [2 u2 du − 2 v2 dv] = u3 3 − v3 3 + C = 1 3 √ x + 1 3 − 1 3 √ x − 1 3 + C
  16. 16. 15 10. Resolver cos3 x 1 − sin x dx Soluci´on = cos2 x cos xdx 1 − sin x = (1 − sin2 x) cos xdx 1 − sin x Simplificando = (1 + sin x) cos xdx u = 1 + sin x −→ du = cos xdx = udu = u2 2 + C = (1 + sin x)2 2 + C
  17. 17. 16 Ejercicios Propuestos 1. Resolver ln(2x) + ln2 x 3x dx 2. Resolver (x + 2)2 √ x3 + 6x2 + 12x + 4 dx 3. Resolver x3 √ 1 − x8 dx 4. Resolver ex dx e2x − 6ex + 13 5. Resolver dx ex √ 1 − e2x 6. Resolver ex dx √ 2 − e2x + 3ex 7. Resolver √ 2 − x − x2dx 8. Resolver √ x2 + xdx 9. Resolver 1 3x + 2 dx 10. Resolver 3 √ 3x + 2 − √ x 11. Resolver 2x − √ arcsin x √ 1 − x2 dx 12. Resolver ex+ex dx
  18. 18. 17 13. Resolver eln(x)+ 1 x x3 dx 14. Resolver sin(2x)dx cos2 x + 4 15. Resolver x3 1 + x4 dx 16. Resolver x2x (ln(x) + 1)dx 17. Resolver dx sin2 x 3 cot(x) − 1 18. Resolver cos2 x(tan2 x + 1) (sin x + cos x)2 dx 19. Resolver dx √ ex − 1 20. Resolver √ 1 + e−2x e−3x dx 21. Resolver dx √ x + 1 22. Resolver cos3 x 1 − sin x dx 23. Resolver x √ 9 − x4 dx 24. Resolver x 2 − x dx 25. Resolver 2 + √ xdx
  19. 19. 18 26. Resolver dx x − √ x2 − 1 dx 27. Resolver x3 √ a2 − x2dx 28. Resolver 2 x(x4 + 25) 1 2 dx 29. Resolver (x2 − 25) 3 2 x6 dx 30. Resolver (4 − x2 ) 1 2 x2 dx 31. Resolver x2 − 3 x √ x4 − 4 dx 32. Resolver 1 x2 √ 1 + x2 dx 33. Resolver e 1 x x2 dx 34. Resolver √ 1 + sin xdx 35. Resolver sin xetan2 x cos3 x dx 36. Resolver 4 cos x √ 1 − sin 2x + 2 cos2 x dx 37. Resolver ln x x3((ln(x) − 1))3 dx 38. Resolver x2 √ 4 − x2dx
  20. 20. 19 39. Resolver √ x2 + 1 x dx 40. Resolver dx (x2 + 5) 3 2 dx 41. Resolver √ x2 − 16 x dx 42. Resolver x + 1 √ 9 − x2 dx 43. Resolver √ x2 − 8 x4 dx 44. Resolver x3 √ 4 − x2 dx 45. Resolver dx x3 √ x2 − 1 dx
  21. 21. 20 0.4. Integraci´on por partes Este m´etodo es de mucha utilidad en la pr´actica,cuyo procedimiento lo describiremos a continuaci´on: Siendo u = f(x) y v = g(x) dos funciones diferenciables de la variable x .De la f´ormula para la diferencial de un producto de dos funciones se tiene : d(uv) = udv + vdu que es equivalente a: udv = d(uv) − vdu ahora si integramos ambos miembros se tiene: udv = uv − vdu La cu´al se denomina F´ormula para la Integraci´on por partes Nota: La elecci´on de u y de v es arbitraria no existe una f´ormula espec´ıfica para poder tomarlos,lo que ayuda en gran medida es que cuando aparezcan dentro del integrando funciones trigonom´etricas ,exponenciales o logar´ıtmicas es preferible tomarlas como dv. Ejemplos Resueltos 1. Resolver x2 sin(4x)dx Soluci´on En este caso por la nota anterior considerar´e u = x2 =⇒ du = 2xdx lo que queda dentro del integrando ser´a dv = sin(4x)dx =⇒ v = − cos(4x) 4 As´ı que al reemplazar en F´ormula para la Integraci´on por partes se tiene: x2 sin(4x)dx = −1 4 x2 cos(4x) − ( − cos(4x) 4 )(2xdx)
  22. 22. 21 = −1 4 x2 cos(4x) + 1 2 (cos(4x))(xdx) En la integral del lado izquierdo nuevamente la integraremos por partes asi de este modo en ella eligo u = x =⇒ du = dx dv = cos(4x)dx =⇒ v = sin(4x) 4 Asi de este modo x cos(4x)dx = x sin(4x) 4 − sin(4x) 4 dx x cos(4x)dx = x sin(4x) 4 + cos(4x) 16 Luego x2 sin(4x)dx = −1 4 x2 cos(4x) + 1 2 (x sin(4x) 4 + cos(4x) 16 ) + c 2. Resolver ln(x)dx Soluci´on Aqu´ı hagamos u = ln(x) =⇒ du = 1 x dx y dv = dx =⇒ v = x. De esta forma al utilizar la f´ormula de integraci´on por partes se tiene: ln(x)dx = (ln(x))(x) − (x)( 1 x )dx ln(x)dx = (ln(x))(x) − dx ln(x)dx = (ln(x))(x) − x
  23. 23. 22 3. Resolver ln(2 + 3 √ x) 3 √ x dx Soluci´on Dentro de todas las posibilidades en la elecci´on de u se sugiere la elecci´on de logaritmo as´ı : u = ln(2 + 3 √ x) =⇒ du = dx 3x 2 3 (2 + 3 √ x) dv = 1 3 √ x dx =⇒=⇒ v = x −1 3 dx = 3 2 x 2 3 ln(2 + 3 √ x) 3 √ x dx = 3 2 x 2 3 ln(2 + 3 √ x) − 3 2 x 2 3 1 3x 2 3 (2 + 3 √ x) dx = 3 2 x 2 3 ln(2 + 3 √ x) − 1 2 1 2 + 3 √ x dx Para la integral que falta haremos un cambio de variable adicional m3 = x =⇒ 3m2 dm = dx As´ı : 1 2 + 3 √ x dx = 1 2 + 3 √ m3 (3m2 dm) = 3 m2 2 + m dm Luego realizando un ´ultimo cambio de variable en la integral n = 2 + m =⇒ dn = dm As´ı 3 m2 2 + m dm = 3 (n − 2)2 n dn = 3 n2 − 4n + 4 n dn = 3[ (2 + m)2 2 − 4(2 + m) + 4 ln(m + 2)] = 3[ (2 + 3 √ x)2 2 − 4(2 + 3 √ x) + 4 ln( 3 √ x + 2)] + k
  24. 24. 23 4. Resolver e 1 x x3 dx Soluci´on Aqu´ı primero descomponemos la integral 1 x2 e 1 x 1 x dx luego realizamos el cambio de variable m = 1 x =⇒ dm = −1 x2 dx de donde se llega em m(−dm) = − mem dm esta integral se resuelve usando integraci´on por partes debido a que es imposible encontrar una relaci´on entre alguna funci´on y su derivada u = m =⇒ du = dm dv = em dm =⇒ v = em − mem dm = −[mem − em dm] = −[mem − em ] + k = −[ 1 x e 1 x − e 1 x ] + k 5. Resolver I = arctan √ xdx Soluci´on u = arctan √ x =⇒ du = 1 2 √ x(1 + x) dx dv = dx =⇒ v = x
  25. 25. 24 I = x arctan √ x − x( 1 2 √ x (1 + x))dx I = x arctan √ x − 1 2 √ x 1 + x dx en la integral realizamos x = m2 −→−→ dx = 2mdm I = x arctan √ x − 1 2 m 1 + m (2mdm) I = arctan √ x − m2 m2 + 1 dm I = arctan √ x − (m2 + 1) − 1 m2 + 1 dm I = arctan √ x − (1 − 1 1 + m2 )dm I = arctan √ x − (m − arctan m) + k I = arctan √ x − √ x + arctan √ x + k 6. Resolver I = x sin x cos xdx Soluci´on Haremos u = x −→ du = dx y v = sin x cos xdx = 1 2 sin(2x)dx = −1 2 cos(2x) 2 = − cos(2x) 4 + C As´ı I = x sin x cos xdx = −x cos(2x) 4 − −1 4 cos(2x)dx = − x 4 cos(2x) + 1 4 cos(2x)dx = − x 4 cos(2x) + 1 8 sin(2x) + C
  26. 26. 25 7. Resolver sin2 x ex dx Soluci´on I = e−x sin2 xdx Hacemos u = sin2 x −→ du = 2 sin x cos xdx = sin(2x)dx dv = e−x dx −→ v = −e−x sin2 x ex dx = −e−x sin2 x − −e−x sin(2x)dx sin2 x ex dx = −e−x sin2 x + e−x sin(2x)dx La integral del segundo mienbro se resuelve haciendo uso nuevamente de la inte- graci´on por partes , de este modo en I = e−x sin(2x)dx u = sin(2x) −→ du = 2 cos(2x)dx dv = e−x dx −→ v = −e−x entonces : I = −e−x sin(2x) − −e−x (2 cos(2x)dx) I = −e−x sin(2x) + 2e−x cos(2x)dx I = −e−x sin(2x) + 2 e−x cos(2x)dx Luego en la integral del lado derecho u = cos(2x) −→ du = −2 sin(2x)dx dv = e−x dx −→ v = −e−x
  27. 27. 26 I = −e−x sin(2x) + 2[−e−x cos(2x) − 2 e−x sin(2x)dx] I = −e−x sin(2x) − 2e−x cos(2x) − 4I 5I = −e−x sin(2x) − 2e−x cos(2x) I = 1 5 [−e−x sin(2x) − 2e−x cos(2x)] Luego en sin2 x ex dx = −e−x sin2 x + e−x sin(2x)dx sin2 x ex dx = −e−x sin2 x + 1 5 [−e−x sin(2x) − 2e−x cos(2x)] + C 8. Resolver cos(ln x)dx Soluci´on u = cos(ln x) −→ du = − sin(ln x) 1 x dx dv = dx −→ v = x I1 = cos(ln x)dx = x cos(ln x) − x(− sin(ln x)) 1 x dx I1 = cos(ln x)dx = x cos(ln x) + x(sin(ln x))dx En la integral I = x(sin(ln x))dx u = sin(ln(x)) −→ du = cos(ln(x)) 1 x dx dv = dx −→ v = x
  28. 28. 27 I = x sin(ln x) − x cos(ln(x)) 1 x dx I = x sin(ln x) − I1 Luego I1 = x cos(ln x)x sin(ln x) − I1 2I1 = x cos(ln x)x sin(ln x) I1 = 1 2 [x cos(ln x)x sin(ln x)] + C 9. Resolver I = arctan √ x √ x dx Soluci´on Sea u = arctan( √ x) −→ du = 1 2 √ x 1 + x dx = dx 2 √ x(1 + x) dv = 1 √ x dx −→ v = x −1 2 dx = 2 √ x = 2 √ x arctan( √ x) − 2 √ x( 1 2 √ x(x + 1) )dx = 2 √ x arctan( √ x) − 1 x + 1 dx = 2 √ x arctan( √ x) − ln(1 + x) + C 10. Resolver x cos x sin2 x dx u = x −→ du = dx v = cos x sin2 x dx
  29. 29. 28 Hacemos m = sin x −→ dm = cos xdx v = dm m2 = m−2 dm = −1 m = −1 sin x I = −x sin x − − 1 sin x dx = −x sin x + 1 sin x dx I = −x sin x + csc xdx I = −x csc x + ln | csc x − cot x| + C
  30. 30. 29 Ejercicios Propuestos 1. Resolver sec5 xdx 2. Resolver arctan √ x − 1dx 3. Resolver sin 3 √ xdx 4. Resolver x csc2 ( x 2 )dx 5. Resolver sin √ 2xdx 6. Resolver 3x cos xdx 7. Resolver (arcsin x)2 dx 8. Resolver arcsin x x2 dx 9. Resolver 4x3 arcsin( 1 x )dx 10. Resolver x cos3 xdx 11. Resolver sin2 x ex dx
  31. 31. 30 12. Resolver eax cos(bx)dx 13. Resolver e3x sin(4x)dx 14. Resolver x2 ex sin(x)dx 15. Resolver ln(cos x) cos2 x dx 16. Resolver x2 + 1 (x + 1)2 ex dx 17. Resolver sin( 2y)dx 18. Resolver ln( √ x + √ x + 1)dx 19. Resolver x ln( 1 − x 1 + x )dx 20. Resolver xex (1 + x)2 dx 21. Resolver ln(x + √ 1 + x2)dx 22. Resolver (2x − 3)(x2 − 3x − 1)4 ln(x2 − 3x − 1)dx 23. Resolver sec3 xdx 24. Resolver x arctan2 xdx 25. Resolver ln(x2 + 2)dx
  32. 32. 31 26. Resolver x2 ln(x6 − 1)dx 27. Resolver sin2 (ln x)dx 28. Resolver esin x cos4 x − 1 cos3 x dx 29. Resolver x2 − sin2 x x − sin x cos x + x cos x − sin x dx 30. Resolver x arctan x (1 + x2) dx 31. Resolver x2 sec2 x (tan x − x sec2 x)2 dx
  33. 33. 32 0.5. Generalizaci´on del m´etodo de Integraci´on por partes Presentamos en esta oportunidad la Generalizaci´on del m´etodo de integraci´on por partes (GMIP)aplicados siempre y cuando en el integrando exista el producto de dos funciones una de las cu´ales debe ser un polinomio y la otra una funci´on f´acil de inte- grar,la explicaci´on del m´etodo se har´a en los ejercicios que a continuaci´on se muestran Ejemplos Resueltos 1. Resolver (x3 + 2x + 1) cos xdx Soluci´on Como se observa dentro del integrando existe el producto de dos funciones una de ellas es un polinomio y la otra es una funci´on de f´acil integraci´on,el proceso para la resoluci´on por este m´etodo consiste en separar convenientemente el polinomio y la funci´on mediante dos columnas a partir de la cu´al se deber´a en primer lugar a derivar el polinomio tantas veces se llegu´e a cero y de la misma forma se integrar´a la otra funci´on tantas veces se deriv´o la primera ,para luego empezar a multiplicar intercaladamente incluyendo el signo que debe empezar con positivo siendo ´este el resultado final de la integraci´on. EL resultado final ser´a (x3 + 2x + 1) cos xdx
  34. 34. 33 = (x3 + 2x + 1)(sin x) + (3x2 + 2)(cos x) − (6x)(sin x) − (6)(cos x) 2. x5 sin xdx 3. xn ex dx 4. (3x2 − 2x + 6)e−2x dx 5. (4x3 + 2x2 + x + 1) sin(2x)dx 6. Resolver 3x2 + 2x − 1 4e3x dx
  35. 35. 34 0.6. Integraci´on de funciones Trigonom´etricas Recordemos algunas identidades trigon´ometricas : sin2 θ + cos2 θ = 1 1 + tan2 θ = sec2 θ 1 + cot2 θ = csc2 θ sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos(α ± β) = cos α cos β sin α sin β Apartir de ´estas se puede deducir algunas m´as pero ´estas son las m´as importantes. El procedimiento para resolver Integrales trigonom´etricas es tratar de que con ayuda de las identidades dadas anteriormente hacer aparecer en el integrando funciones y sus derivadas para as´ı de esa forma tener integrales conocidas y f´aciles de integrar mediante un cambio de variables. 1. √ cos x(sin5 x)dx Soluci´on Nuestro objetivo es buscar una relaci´on entre una funci´on y su derivada asi de este modo √ cos x(sin5 x)dx = √ cos x(sin2 x)2 sin xdx = √ cos x(1 − cos2 x)2 sin xdx = √ cos x(1−2 cos2 x+cos4 x)dx = √ cos x sin x−2 cos 5 2 sin xdx+ cos 9 2 sin xdx Si en todas las integrales hacemos el cambio u = cos x =⇒ du = − sin xdx asi se tiene : − u 1 2 du + 2 u 5 2 du − u 9 2 = − 2 3 u 3 2 + 4 7 u 7 2 − 2 11 u 11 2 + k regresando a las variables originales = − 2 3 (cos x) 3 2 + 4 7 (cos x) 7 2 − 2 11 (cos x) 11 2 + k
  36. 36. 35 2. √ tan x sec6 xdx Soluci´on √ tan x sec6 xdx = √ tan x(sec2 x)2 sec2 xdx √ tan x(1 + tan2 x)2 sec2 xdx = √ tan x(1 + 2 tan2 x + tan4 x) sec2 xdx = √ tan x sec2 xddx + 2 √ tan x tan2 x sec2 xd + √ tan x tan4 x sec2 xdx = tan 1 2 sec2 xdx + tan 5 2 sec2 xdx + tan 9 2 sec2 xdx Si aqu´ı realizamos el cambio de variable u = tan x =⇒ du = sec2 xdx 3. Resolver sin3 x 3 √ cos4 x dx Soluci´on Lo primero que se debe realizar es buscar una relaci´on entre las funciones trigonom´etri- cas que aparecen en el integrando,caso contrario elegimos otro camino De este modo en la integral sin3 x 3 √ cos4 x dx = sin x sin2 x 3 √ cos4 x dx = sin x(1 − cos2 x) 3 √ cos4 x dx entonces : u3 = cos x =⇒ 3u2 du = − sin sin xdx = − (1 − u6 ) 3 √ u3 4 (3u2 du) = −3 (1 − u6 )u2 u4 du = −3 1 − u 6 u2 du = −3 ( 1 u2 − u4 )du
  37. 37. 36 = −3( −1 u − u5 5 ) + k = 3 3 √ cos x + 3 5 ( 3 √ cos x)5 + k 4. Resolver (1 + cos 3x) 3 2 dx Soluci´on Para esto se debe recordar la identidad cos2 θ = 1 + cos θ 2 con lo que elegimos 3x = 2θ =⇒ 3dx = 2dθθ (1 + cos 2θ) 3 2 2 3 dθ = 2 3 (2 cos2 θ) 3 2 dθθ = 2 3 2 3 2 cos3 θdθ = 2 5 2 3 cos3 θdθ = 2 5 2 3 cos θ cos2 θdθ = 2 5 2 3 cos θ(1 − sin2 θ)dθ Elegimos aqu´ı el cambio de variable u = sin θ =⇒ du = cos θθdθ = 2 5 2 3 (u − u3 3 ) + k = 2 5 2 3 (sin θ − sin3 θ 3 ) + k = 2 5 2 3 (sin( 3x 2 ) − sin3 ( 3x 2 3 ) 3 ) + k
  38. 38. 37 5. Resolver tan3 (3x) sec4 (3x)dx Soluci´on lo que se busca es una relaci´on entre alguna funci´on y su respectiva derivada ,asi se tiene tan3 (3x) sec2 (3x) sec2 (3x)dx tan3 (3x) sec2 (3x)(1 + tan2 (3x))dx Elegimos u = tan(3x) −→ du = 3 sec2 (3x)dx u3 (1 + u2 ) 1 3 du = 1 3 (u3 + u5 )du = 1 3 ( u4 4 + u6 6 ) + k = 1 12 tan4 (3x) + 1 18 tan6 (3x) + k 6. Resolver ( sin(2x) − cos(2x))2 dx Soluci´on [sin(2x) − 2 sin(2x) cos(2x) − cos2 (2x)]dx [sin(2x) − 2 sin(2x) cos(2x) − 1 2 (1 + cos(4x))]dx sin(2x)dx − 2 sin(2x) cos(2x) − 1 2 (1 + cos(4x))dx En la segunda integral hacemos u2 = sin(2x) −→ 2udu = 2 cos(2x)dx −→ udu = cos(2x)dx Luego
  39. 39. 38 = − cos(2x) 2 − 2 u2 du − 1 2 (x + sin(4x) 4 ) + C = − cos(2x) 2 − 2u3 3 − 1 2 (x + sin(4x) 4 ) + C = − cos(2x) 2 − 2 sin(2x) 3 3 − 1 2 (x + sin(4x) 4 ) + C 7. Resolver sin(10x) sin(20x) sin(30x)dx Soluci´on Usaremos sin A sin B = 1 2 [cos(A − B) − cos(A + B)] As´ı sin(10x) sin(20x) = 1 2 [cos(−10x) − cos(30x)] Pero cos(−10x) = cos(10x) sin(10x) sin(20x) = 1 2 [cos(10x) − cos(30x)] Luego sin(10x) sin(20x) sin(30x) = 1 2 (cos(10x) − cos(30x)) sin(30x) Luego como sin A cos B = 1 2 [sin(A + B) + sin(A − B)] = 1 2 [ 1 2 (sin(40x) + sin(20x)) − 1 2 (sin(60x) + sin 0)] = 1 4 (sin(40x) + sin(20x)) − 1 4 sin(60x)
  40. 40. 39 =⇒ sin(10x) sin(20x) sin(30x)dx = 1 4 (sin(40x) + sin(20x)) − 1 4 sin(60x)dx = −1 160 cos(40x) − 1 80 cos(20x) + 1 240 cos(60x) + C 8. Resolver sin3 x cos(3x)dx Soluci´on Usaremos sin A cos B = 1 2 [sin(A + B) + sin(A − B)] sin x cos(3x) = 1 2 [sin(4x) + sin(−2x)] = 1 2 [sin(4x) − sin(2x)] = sin3 x cos(3x) = sin2 x sin x cos(3x) = [ 1 − cos(2x) 2 ][ sin(4x − sin(2x)) 2 ] = 1 4 [sin(4x) − sin(2x) − sin(4x) cos(2x) + sin(2x) cos(2x)] = 1 4 [sin(4x) − sin(2x) − 1 2 [sin(6x) + sin(2x)] + 1 2 sin(4x)] = 3 8 sin(4x) − 3 8 sin(2x) − 1 8 sin(6x) =⇒ [ 3 8 sin(4x) − 3 8 sin(2x) − 1 8 sin(6x)]dx = 3 8 ( − cos(4x) 4 ) − 3 8 ( − cos(2x) 2 ) − 1 8 ( − cos(6x) 6 ) + C = 3 32 (− cos(4x)) + 3 16 (cos(2x)) − 1 48 (− cos(6x)) + C
  41. 41. 40 9. Resolver cos5 x √ sin x dx Soluci´on cos5 x √ sin x dx = cos x(cos2 x)2 √ sin x dx = (1 − sin2 x)2 cos x √ sin x dx Hacemos el cambio u2 = sin x −→ 2udu = √ sin x = (1 − u4 )2 ) √ u2 2udu = 2 (1 − u4 )2 u u du = 2 (1 − 2u4 + u8 )du = 2(u − 2 5 u5 + u9 9 ) + C = 2[ √ sin x − 2 5 √ sin x 5 + 1 9 √ sin x 9 ] + C 10. Resolver √ cos2 x + cos xdx Soluci´on Usaremos que cos2 θ = 1 + cos(2θ) 2 Haciendo θ = x 2 se llega a 1 + cos x = 2 cos2 (x 2 ) Luego √ cos2 x + cos xdx = cos x(1 + cos x)dx
  42. 42. 41 cos(2( x 2 ))2 cos2( x 2 )dx = √ 2 cos2( x 2 ) − sin2 ( x 2 ) cos( x 2 )dx √ 2 1 − 2 sin2 ( x 2 ) cos( x 2 )dx Hacemos u √ 2 = sin( x 2 ) −→ du √ 2 = 1 2 cos( x 2 )dx = √ 2 1 − 2( u2 2 )2 du √ 2 = 2 √ 1 − u2du = 2[ u 2 √ 1 − u2 + 1 2 arcsin u] + C = u √ 1 − u2 + arcsin u + C = √ 2 sin( x 2 ) 1 − 2 sin2 ( x 2 ) + arcsin( √ 2 sin( x 2 )) + C
  43. 43. 42 Ejercicios Propuestos 1. Resolver √ sin x cos5 xdx 2. Resolver sin3 ( x 3 ) cos7 ( x 3 )dx 3. Resolver tan3 (2x) cos3(2x)dx 4. Resolver cos5 x sin4 x dx 5. Resolver √ cot x cos9 xdx 6. Resolver sin3 x 3 √ cos4 x dx 7. Resolver 3 sin2 x cos17 x dx 8. Resolver cos(9x − 20) cos(5x + 20)dx 9. Resolver cos(3x + π) sin(9x − π) cos(2x)dx 10. Resolver cos x cos(3x) cos(5x)dx 11. Resolver cos2 x sin2 (4x)dx 12. Resolver cos4 (2x) sin3 (2x)dx
  44. 44. 43 13. Resolver tan5 x √ cos3 xdx 14. Resolver sin3 x 3 √ cos4 x 15. Resolver 3 sin2 x cos14 x dx 16. Resolver sin 2x · sin 3xdx 17. Resolver sin x sin(3x) sin(5x)dx 18. Resolver ( sec x tan x )4 dx 19. Resolver sin(4x + 7) cos(5x + 8)dx 20. Resolver tan4 x sec3 xdx 21. Resolver cot5 x csc4 xdx 22. Resolver x2 cos(2x3 )dx 23. Resolver tan5 (3x) sec 9 2 (3x)dx 24. Resolver sin2 (πx) cos6(πx) dx 25. Resolver cos x 3 sin7 (2x) cos x
  45. 45. 44 26. Resolver dx sin2 x cos4 x dx 27. Resolver cos4 x + sin4 x cos2 x − sin2 x dx 28. Resolver dx √ sin x cos3 x 29. Resolver 1 + tan x 1 − tan x dx 30. Resolver sin4 ( x 2 ) cos2 ( x 2 )dx 31. Resolver tan3 4x sec 9 2 4xdx 32. Resolver x2 cos 2x3 dx 33. Resolver sin6 2xdx
  46. 46. 45 0.7. F´ormulas de Recurrencia 1. Obtener una f´ormula de recurrencia para la integral In = sinn xdx Soluci´on En primer lugar dentro del integrando haremos la descomposici´on sinn xdx = sinn−1 x sin xdx aqu´ı usaremos integraci´on por partes : u = sinn−1 x =⇒ du = (n − 1) sinn−2 x cos xdx dv = sin x =⇒ v = − cos x luego : In = −(sinn−1 x)(cos x) + (n − 1) sinn−2 x cos x cos xdx = −(sinn−1 x)(cos x) + (n − 1) sinn−2 x cos2 xdx In = −(sinn−1 x)(cos x) + (n − 1) sinn−2 x(1 − sin2 x)dx = −(sinn−1 x)(cos x) + (n − 1) sinn−2 xdx + (n − 1) sinn xdx In = −(sinn−1 x)(cos x) + (n − 1)In−2 + (n − 1)In In = 1 2 − n [(sinn−1 x)(cos x) + (n − 1)In−2] 2. Obtener una f´ormula de recurrencia para la integral In = cosn xdx 3. Demostrar que xn e−x dx, n N −→ In = −xn e−x + nIn−1 4. Obtener una f´ormula de recurrencia para la integral secn xdx
  47. 47. 46 5. Halle una f´ormula de recurrencia para la integral In = xn (ax + b)dx Donde n es entero ≥ 0.Calcule I2 6. Obtener una f´ormula de recurrencia de In = ( x − a x − b )n dx 7. Obtener una f´ormula de recurrencia de In = 1 xn √ 1 + xdx 8. Obtener una f´ormula de recurrencia de In = 1 xn √ a + bxdx 9. Obtener una f´ormula de recurrencia de In = (x2 − a2 )n dx
  48. 48. 47 0.8. Integraci´on de funciones Racionales No existe un procedimiento general para resolver integrales del tipo racional,por esta raz´on en los ejemplos que siguen detallaremos los tipos de Integrales que contienen funciones racionales. 1. Integrales del tipo P(x) Q(x) dx Donde P(x), Q(x) son polinomios del mismo grado Resolver la siguiente integral x + 2 x + 1 dx Cuando tengamos el cociente entre dos polinomios de igual grado es aconsejable realizar la divisi´on entre polinomios para as´ı de esta forma obtener integrales conocidas o f´aciles de integrar (1 + 1 x + 1 )dx = dx + 1 x + 1 dx = x + ln |x + 1| + k 2. Integrales del tipo P(x) Q(x) dx Donde P(x) es un polinomio de grado m y Q(x)es un polinomio de grado n ,adem´as m < n Resolver la siguiente integral 4x2 + 9x − 1 x3 + 2x2 − x − 2 dx Para resolver integrales de este tipo donde el denominador sea un polinomio de grado mayor que el polinomio del numerador es conveniente usar FRACCIONES PARCIALES,m´etodo que a continuaci´on se detalla . En primer lugar se debe factorizar el polinomio del denominador en la medida de lo posible a lo m´as en factores cuadr´aticos irreducibles,para el problema se tiene 4x2 + 9x − 1 x3 + 2x2 − x − 2 = 4x2 + 9x − 1 (x + 1)(x − 1)(x + 2) Una vez ejecutado el procedimiento y dado que en el denominador existen 3 factores todos lineales se debe realizar una separaci´on en tres factores cada uno de los cuales contendr´a dentro de cada denominador a uno de los factores lineales
  49. 49. 48 y en su numerador respectivo a un polinomio de grado uno menos que el polinomio del denominador en este caso una constante asi : 4x2 + 9x − 1 x3 + 2x2 − x − 2 = 4x2 + 9x − 1 (x + 1)(x − 1)(x + 2) = A x + 1 + B x − 1 + C x + 2 Ahora el objetivo es hallar cada uno de los valores que representan a las constantes indicadas para asi de este modo simplificar la integraci´on 4x2 + 9x − 1 x3 + 2x2 − x − 2 = A(x + 2)(x + 1) + B(x − 1)(x + 1) + C(x − 1)(x + 2) x3 + 2x2 − x − 2 como se tiene el mismo denominador al cancelarlos queda 4x2 + 9x − 1 = A(x + 2)(x + 1) + B(x − 1)(x + 1) + C(x − 1)(x + 2) Existen dos formas de conseguir los valores de A, B, C una de ellas es tratando de igualar los coeficientes de los polinomios en ambos mienbros y la otra es tratando de dar valores arbitrarios al x de tal forma que se elimine por lo menos algunas de las variables y hallar las que quedan.En esta oportunidad realizar´e la segunda opci´on y para esto x = 1 −→ A = 2 x = −1 −→ C = 3 x = −2 −→ B = −3 Por lo tanto 4x2 + 9x − 1 x3 + 2x2 − x − 2 = A x + 1 + B x − 1 + C x + 2 = 2 x + 1 − 3 x − 1 + 3 x + 2 =⇒ 4x2 + 9x − 1 x3 + 2x2 − x − 2 dx = 2 x + 1 dx − 3 x − 1 dx + 3 x + 2 dx = 2 ln |x − 1| − 3 ln |x + 2| + 3 ln |x + 1| + k 3. Resolver 1 1 + x4 dx Soluci´on En esta integral es necesario recordar algunos m´etodos de integraci´on,recordemos que nuestro objetivo es factorizar la suma que aparece en el denominador como el productos de factores o lineales o a lo m´as en el de factores cuadr´aticos irreducibles asi que completando cuadrados y haciendo uso de la diferencia de cuadrados se tiene : x4 + 1 = x4 + 2x2 + 1 − 2x2 = (1 + x2 )2 − 2x2 x4 + 1 = (1 + x2 )2 − ( √ 2x)2 = (x2 + √ 2x + 1)(x2 − √ 2x + 1)
  50. 50. 49 asi de este modo usando fracciones parciales 1 x4 + 1 = Ax + B x2 + √ 2x + 1 + Cx + D x2 − √ 2x + 1 de donde 1 = (A + C)x3 − ( √ 2A + B + √ 2C + D)x2 + (A − √ 2B + C + √ 2D)x + (B + D) se obtiene el sistema de ecuaciones A + C = 0 − √ 2A + √ 2C + B + D = 0 A + C − √ 2B + √ 2D = 0 B + D = 1 Del sistema se obtiene que : A = √ 2 4 , C = − √ 2 2 , B = 1 2 , D = 1 2 =⇒ 1 x4 + 1 dx = √ 2 4 x x2 + √ 2x + 1 dx+ 1 2 1 x2 + √ 2x + 1 dx− √ 2 4 x x2 − √ 2x + 1 + 1 2 dx x2 − √ 2x + 1 4. Resolver (2x + 1) x3 − 7x + 6 dx Utilizando rufinni factorizamos el denominador x3 − 7x + 6 = (x − 1)(x + 2)(x + 3) De esta forma 2x + 1 (x − 1)(x + 2)(x + 3) = A x − 1 + B x + 2 + C x + 3 Para calcular el valor de A debemos multiplicar a toda la igualdad por el denom- inador de A ,de este modo quedar´ıa 2x + 1 (x + 2)(x + 3) = A + B (x + 2) (x + 1) + C x + 3 (x − 1) y luego reemplazar x por aqule valor que elimina al denominador de A es decir por x = 1
  51. 51. 50 As´ı A = 3 12 = 1 4 An´alogamente con B = 1 y con C = −5 4 Luego 2x + 1 x3 − 7x + 6 dx = 1 4 1 x − 1 dx + 1 x + 2 dx − 5 4 1 x + 3 dx = 1 4 ln(x − 1) + ln(x + 2) − 5 4 ln(x + 3) + k 5. Resolver x + 1 x3 + 4x dx Para resolver este tipo de integrales hay que tener en cuenta que luego de la factorizaci´on por cada factor lineal en el denominador existe un polinomio de grado cero en el numerador y por cada factor cuadr´atico irreducible(determinante negativo) en el numerador existe un polinomio de grado uno en el numerador. x + 1 x3 + 4x = x + 1 x(x2 + 4) = A x + Bx + C x2 + 4 x + 1 x(x2 + 4) = A(x2 + 4) + (Bx + C)x x(x2 + 4) x + 1 = Ax2 + 4A + Bx2 + Cx x + 1 = (A + B)x2 + Cx + 4A Teniendo en cuenta que dos polinomios son iguales cuando sus coeficientes son iguales ,as´ı se tiene : A + B = 0 , C = 1 , 4A = 1 A = 1 4 , B = −1 4 , C = 1 x + 1 x3 + 4x dx = 1 4 1 x dx − 1 4 x x2 + 4 dx + 1 x2 + 4 1 4 ln(x) − 1 8 ln(x2 + 4) + 1 2 arctan x 2 + k
  52. 52. 51 6. Resolver 2x2 − 1 x3 − x dx EL denominador se puede factorizar x3 − x = x(x2 − 1) = x(x + 1)(x − 1) Luego 2x2 − 1 x3 − x = 2x2 − 1 x(x + 1)(x − 1) = A x + B x + 1 + C x − 1 De donde A = 1 ,B = 1 2 y C = 1 2 =⇒ 2x2 − 1 x3 − x dx = 1 x dx + 1 2 1 x + 1 dx + 1 2 1 x − 1 dx = ln |x| + 1 2 ln |x + 1| + 1 2 ln |x − 1| + C 7. Resolver 5x2 − 11x + 5 x3 − 4x2 + 5x − 2 dx Los factorizaci´on del denominador es : = x3 − 4x2 + 5x − 2 = (x − 1)2 (x − 2) As´ı tenemos 5x2 − 11 x − 2 = A x − 1 + B (x − 1)2 + C x − 2 B = 5−11+5 −1 = 1 ,C = 20 − 22 + 5 y si hacemos x = 0 −→ −5 2 = −A + 1 − 3 2 −→ A = 2 Luego 5x2 − 11x + 5 x3 − 4x2 + 5x − 2 dx = 2 1 x − 1 dx + 1 (x − 1)2 dx + 3 1 x − 2 dx = 2 ln |x − 1| − 1 x − 1 + 3 ln |x − 2| + C
  53. 53. 52 8. Resolver x + 1 x3 + 4x dx x + 1 x3 + 4x = x + 1 x(x2 + 4) = A x + Bx + C x2 + 4 x + 1 x(x2 + 4) = A(x2 + 4) + x(Bx + C) x(x2 + 4) −→ x + 1 = Ax2 + 4A + Bx2 + Cx x + 1 = (A + B)x2 + Cx + 4A Igualando los coeficientes A + B = 0 ,C = 1 y 4A = 1 ,de allo se tiene que A = 1 4 ,B = −1 4 y C = 1 x + 1 3 + 4x dx = 1 4 1 x dx − 1 4 x x2 + 4 dx + 1 x2 + 4 dx = 1 4 ln |x| − 1 8 ln(x2 + 4) + 1 2 arctan( x 2 ) + C
  54. 54. 53 Ejercicios Propuestos 1. Resolver 2x2 x4 + x2 + 1 dx 2. Resolver 1 x2(x + 1)2 dx 3. Resolver x5 (x2 + 4)2 dx 4. Resolver 1 x(x3 + 1) dx 5. Resolver 2x2 + 41x − 91 (x − 1)(x + 3)(x − 4) dx 6. Resolver 2x2 − 5 x4 − 5x2 + 6 dx 7. Resolver 4x3 + 4x2 − 18x + 6 x4 − 3x3 − x2 + 3x dx 8. Resolver x2 + x − 1 x3 − x2 − x + 1 dx 9. Resolver x6 − 2x4 + 3x3 − 9x2 + 4 x5 − 5x3 + 4x dx 10. Resolver x3 + 4x + 1 x4 + x2 + 1 dx 11. Resolver 5x2 + 6x + 9 (x − 3)2(x + 1)2 dx
  55. 55. 54 12. Resolver x + 1 x3 − 2x2 + 3x dx 13. Resolver x3 + x2 − 5x + 15 (x2 + 5)(x2 + 2x + 3) dx 14. Resolver 4x2 − 8x (x − 1)2(x2 + 1)2 dx 15. Resolver 2x2 + 1 x3 − x2 − 5x − 3 dx 16. Resolver 4x2 + 6 x3 + 3x dx 17. Resolver x3 + x − 1 (x2 + 2)2 dx 18. Resolver x2 − x + 1 x4 − 5x3 + 5x2 + 5x − 6 dx 19. Resolver 2x4 − 2x + 1 2x5 − x4 dx 20. Resolver x3 + 4x + 1 x4 + x2 + 1 dx 21. Resolver 5x2 + 6x + 9 (x − 3)2(x + 1)2 dx 22. Resolver dx x4 + x2 + 1 dx 23. Resolver x2 + 2x − 1 x3 − 27 dx 24. Resolver 3 8x3 + 1 dx 25. Resolver 2x2 16 − x4 dx
  56. 56. 55 M´etodo de Hermite-Ostrogradski Usando para integrales que presentan el tipo : Ax + B (x2 + bx + c)n dx , n ∈ N, n ≥ 1 siendo x2 + bx + c una cuadr´atica irreducible Para esto se debe considerar : Ax + B (x2 + bx + c)n dx = P(x) (x2 + bx + c)n−1 + Cx + D x2 + bx + c dx Donde : P(x) es un polinomio de grado uno menos que su denominador ,C, D ∈ R La explicaci´on del procedimiento se detalla en el siguiente ejemplo : dx (x2 + 1)2 = Ax + B (x2 + 1) + Cx + D x2 + 1 dx Para hallar las constantes A, B, C, D debemos integrar ambos mienbros as´ı tenemos : 1 (x2 + 1)2 = A(x2 + 1) − 2x(Ax + B) (x2 + 1)2 + (Cx + D) (x2 + 1) 1 (x2 + 1)2 = A(x2 + 1) − 2x(Ax + B) (x2 + 1)2 + (Cx + D)(x2 + 1) (x2 + 1)2 Luego 1 = Ax2 + A − 2Ax2 − 2Bx + Cx3 + Cx + Dx2 + D De aqu´ı A = 1 , B = 0 , C = 0 , D = 1 reemplazando dx (x2 + 1)2 = x x2 + 1 + 1 x2 + 1 dx = x x2 + 1 + arctan x = x2 arctan x + arctan x + x x2 + 1 Adem´as en el caso en el que el denominador de la fucni´on racional P(x) Q(x) tenga factores de multiplicidad P(x) Q(x) dx = f(x) Q1(x) + g(x) Q2(x) dx
  57. 57. 56 Donde Q1(x) es el m´aximo com´un divisor de los polinomios Q(x) y de su derivada Q (x) y Q2(x) = Q(x) Q1(x) .Adem´as f(x) y g(x) son polinomios con coeficientes indtermi- nados ,cuyos grados son menores en una unidad que los polinomios Q1(x) y Q2(x) respectivamente. Ejemplo : Resolver dx (x + 1)2(x2 + 1)2 Se observa que : Q(x) = (x + 1)2 (x2 + 1)2 =⇒ Q (x) = 2(x + 1)(x2 + 1)(3x2 + 2x + 1) Luego Q1 = (x + 1)(x2 + 1) y Q(x) Q1(x) = (x + 1)(x2 + 1) dx (x + 1)2(x2 + 1)2 = Ax2 + Bx + C (x + 1)(x2 + 1) + Dx2 + Ex + F (x + 1)(x2 + 1) dx Derivando ambos mienbros y resolviendo se obtiene : A = −1 4 , B = 1 4 , C = 0 , D = 0 , E = − 1 4 , F = 3 4 dx (x + 1)2(x2 + 1)2 = −x2 + x 4(x + 1)(x2 + 1) + −x + 3 4(x + 1)(x2 + 1) dx = −x2 + x 4(x + 1)(x2 + 1) + 1 2 ln |x + 1| − 1 4 ln |x2 + 1| + 1 4 arctan x + c
  58. 58. 57 Ejercicios Propuestos 1. 4x2 − 8x (x − 1)2(x2 + 1) dx 2. (x2 − 1)2 (x + 1)(1 + x2)3 dx 3. 1 x4(x3 + 1)2 dx 4. x + 2 ((x2 + 2x + 2)3) dx 5. 1 (x4 − 1)2 dx 6. 1 (x2 + 1)4 dx
  59. 59. 58 0.9. Integraci´on de funciones Racionales de Seno y Coseno Las integrales el tipo f(sin x, cos x)dx donde f es una funci´on racional.Generalmente se resuelve haciendo uso del siguiente cambio de variables: tan( x 2 ) = t −→ x = 2 arctan t −→ dx = 2 1 + t2 dt sin( x 2 ) = t √ 1 + t2 cos( x 2 ) = 1 √ 1 + t2 sin x = sin 2( x 2 ) = 2 sin( x 2 ) cos( x 2 ) = 2t 1 + t2 cos x = cos 2( x 2 ) = cos2 ( x 2 ) − sin2 ( x 2 ) = 1 − t2 1 + t2 Si este cambio convierte la integral en una muy complicada se debe tener en cuenta lo siguiente : 1. Si f es impar respecto a sin x es decir f(− sin x, cos x) = −f(sin x, cos x) entonces realizar la sustituci´on cos x = t 2. Si f es impar respecto a cos x es decir f(sin x, − cos x) = −f(sin x, cos x) entonces realizar la sustituci´on sin x = t 3. SI f es par con respecto a sin x y cos x es decir f(− sin x, − cos x) = f(sin x, cos x) entonces la sustituci´on es tan x = t
  60. 60. 59 1. Resolver dx (2 + cos x − 2 sin x) sin x dx Usaremos tan( x 2 ) = t −→ x = 2 arctan t −→ dx = 2 1 + t2 dt sin( x 2 ) = t √ 1 + t2 cos( x 2 ) = 1 √ 1 + t2 sin x = sin 2( x 2 ) = 2 sin( x 2 ) cos( x 2 ) = 2t 1 + t2 cos x = cos 2( x 2 ) = cos2 ( x 2 ) − sin2 ( x 2 ) = 1 − t2 1 + t2 =⇒ dx (2 + cos x − 2 sin x) sin x dx = 1 (2 + 1 − t21 + t2 − 4t 1+t2 )( 2t 1+t2 ) ( 2dt 1 + t2 ) = 1 + t2 t(t2 − 4t + 3) dt = 1 + t2 t(t − 3)(t − 1) dt Usando fracciones parciales 1 + t2 t(t − 3)(t − 1) = A t + B t − 3 + C t − 1 =⇒ A = 1 3 , B = 5 3 , C = −1 = 1 3 1 t dt + 5 3 1 t − 3 dt− ∈ 1 t − 1 tdt = 1 3 ln |t| + 5 3 ln |t − 3| − ln |t − 1| + k 2. Resolver 2 − sin x 2 + cos x dx = 2 − 2t 1+t2 2 + 1−t2 1+t2 2 1 + t2 dt 2+2t2−2t 1+t2 2+2t2+1−t2 1+t2 2 1 + t2dt 4 t2 − t + 1 (t2 + 3)(t2 + 1) dt t2 − t + 1 (t2 + 3)(t2 + 1) = At + B t2 + 3 + Ct + D t2 + 1
  61. 61. 60 t2 − t + 1 (t2 + 3)(t2 + 1) = (At + B)(t2 + 1) + (Ct + D)(t2 + 3) (t2 + 1)(t2 + 1) t2 − t + 1 = At3 + At + Bt2 + B + Ct3 + 3Ct + Dt2 + 3D t2 − t + 1 = (A + C)t3 + (B + D)t2 + (A + 3C)t + (B + 3D) Luego A + C = 0 , B + D = 1 , A + 3C = −1 , B + 3D = 1 Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene : A = 1 2 , B = 1 , C = −1 2 , D = 0 t2 − t + 1 (t2 + 3)(t2 + 1) dt = 1 2 t t2 + 3 dt + 1 t2 + 3 dt − 1 2 t t2 + 1 dt = 1 4 ln(t2 + 3) + 1 √ 3 arctan( t √ 3 ) − 1 4 ln(t2 + 1) + k = 1 4 ln(tan2 ( x 2 ) + 3) + 1 √ 3 arctan( 1 √ 3 tan tan(x 2 ) ) − 1 4 ln(tan2 ( x 2 ) + 1) + k 3. Resolver 1 tan2 + sin2 x dx En esta integral ,si se elige el cambio general t = tan(x 2 ) ,la integral se complica y lo puedes comporbar ,as´ı que podemos elegir otro cambio ,para esto se debe tener ehn cuenta que la funci´on que aparece en el integrando es par con respecto a sin x y de cos x ,luego la sustituci´on conveniente ser´ıa : tan x = t =⇒ x = arctan t =⇒ dx = 1 1 + t2 dt dx = 1 1 + t2 dt 1 t2 + t2 1+t2 1 1 + t2 dt 1 + t2 t2 + t4 + t2 1 1 + t2 dt = 1 t4 + 2t2 dt
  62. 62. 61 1 t2(t2 + 2) = A t + B t2 + Ct + D t2 + 2 1 t2(t2 + 2) = At(t2 + 2) + B(t2 + 2) + (Ct + D)t2 t2(t2 + 2) 1 = At3 + 2At + Bt2 + 2B + Ct3 + Dt2 1 = (A + C)t3 + (B + D)t2 + 2At + 2B A + C = 0, B + D = 0, 2A = 0, 2B = 1 resolviendo el sistema C = 0, D = −1 2 , A = 0, B = 1 2 reemplazando 1 t2(t2 + 2) dt = 1 2 1 t2 dt − 1 2 1 t2 + 2 dt = − 1 2t − 1 2 √ 2 arctan( t √ 2 ) + k = − 1 2 tan x − 1 2 √ 2 arctan( tan x 2 ) + k
  63. 63. 62 Ejercicios Propuestos 1. Resolver 1 (2 + cos x)(3 + cos x) dx 2. Resolver sin(2x) sin4 x + cos4 x dx 3. Resolver 1 1 − sin4 x dx 4. Resolver 1 (sin x + 2 sec x)2 dx 5. Resolver sec x 2 tan x + sec x − 1 dx 6. Resolver sin x + 2 cos x − 3 sin x − 2 cos x + 3 dx 7. Resolver sin2 x 1 − tan x dx 8. Resolver 1 sin x + cos x + 2 dx 9. Resolver 1 5 + 3 cos x dx 10. Resolver 1 (sin x + cos x)2 dx 11. Resolver dx 1 + sin x + cos x 12. Resolver cos x 1 + 2 cos x dx
  64. 64. 63 13. Resolver 1 4 sin x − 3 cos x dx 14. Resolver sec x 2 tan x + sec x − 1 dx 15. Resolver sin2 x 1 − tan x dx 16. Resolver cos(2x) sin4 x + cos4 x dx
  65. 65. 64 0.10. Integraci´on de Funciones Irracionales De la misma forma que la integraci´on de funciones Racionales no existe m´etodo general para el c´alculo de las mismas,lo primero que se debe buscar en una integral del tipo irracional es convertirla en una racional y tal cambio se logra realizando con- venientemente un cambio de variable;no siempre es posible hacer esto por est´a raz´on detallamos el procedimiento de algunos de los tipos mas encontrados a la hora de calcular una integral irracional. 1. x2 + √ 1 + x 3 √ 1 + x dx haremos un cambio de variable 1 + x = u6 =⇒ dx = 6u5 du x2 + √ 1 + x 3 √ 1 + x dx = (u6 − 1)2 + u3 u2 (6u5 du) = (u12 − 2u6 + 1 + u3 )6u3 du = 6 (u15 − 2u9 + u3 + u6 )du = 6( u16 16 − 2u10 10 + u4 4 + u7 7 ) + k regresando a la variable original = 6( (x + 1)16 16 − 2(x + 1)10 10 + (x + 1)4 4 + (x + 1)7 7 ) + k 2. Integrales del tipo ax + b √ cx2 + dx + e dx Donde cx2 + dx + e tiene discriminante distinto cero Resolver la siguiente integral x + 2 √ 4 − 2x − x2 dx observemos en primer lugar que el discriminante del polinomio cuadr´atico que se encuentra dentro del radical es (−2)2 − 4(−1)(4) = 20 = 0,primero completemos cuadrados en el polinomio del denominador e inmediatamente debemos dar forma ala expresi´on lineal que se encuentra en el numerador tratando de que aparezca el factor lineal que est´a el- evado al cuadrado y que est´a en el denominador el cu´al apareci´o al momento de completar cuadrados x + 2 5 − (x + 1)2 dx = (x + 1) + 1 5 − (x + 1)2 dx Luego de realizar la separaci´on conveniente realizar un cambio de variable en ambas integrales x + 1 5 − (x + 1)2 dx + 1 5 − (x + 1)2 dx
  66. 66. 65 En la primera integral hacemos el cambio de variable u2 = 5 − (x + 1)2 =⇒ 2udu = −2(x + 1)dx As´ı se tiene x + 1 5 − (x + 1)2 dx = −u u du = −u = − 5 − (x + 1)2 En la segunda integral al hacer u = x + 1 =⇒ du = dx se tiene la integral conocida 1 5 − (x + 1)2 dx = 1 √ 5 − u2 du = arcsin( u √ 5 ) 3. Integrales de la forma Pn(x) √ ax2 + bx + c dx (1) Donde Pn(x) es un polinomio de grado n Pn(x) √ ax2 + bx + c dx = Qn−1(x) √ ax2 + bx + c + λ dx √ ax2 + bx + c Donde Qn−1(x) es un polinomio de grado n − 1 con coeficientes indeterminados y λ se encuentra derivando (1) Resolver la siguiente integral x2 √ x2 − x + 1 dx La integral es del tipo en menci´on el polinomio que se encuentra en el numerador Pn(x) es de segundo grado asi de este modo adecuando los datos se tiene : x2 √ x2 − x + 1 dx = (Ax + B) √ x2 − x + 1 + C dx √ x2 − x + 1 Como nuestro objetivo es hallar las cosntantes lo primero que se debe reazlizar es la derivaci´on en ambos mienbros x2 √ x2 − x + 1 = A √ x2 − x + 1 + (Ax + B) (2x − 1) 2 √ x2 − x + 1 + C √ x2 − x + 1 2x2 = 2A(x2 − x + 1) + (Ax + B)(2x − 1) + 2C 2x2 = (4A)x2 + (−3A + 2B)x + (2A − B + 2C)
  67. 67. 66 del sistema que se forma se obtiene que : A = 1 2 , B = 3 4 , C = −1 8 De aqu´ı x2 √ x2 − x + 1 dx = ( 1 2 x + 3 4 ) √ x2 − x + 1 − 1 8 dx √ x2 − x + 1 para resolver la integral dx √ x2 − x + 1 T´an s´olo se completa cuadrados y se realiza un cambio de variable dx √ x2 − x + 1 = 1 (x − 1 2 )2 + 3 4 dx sea u = x − 1 2 =⇒ du = dx 1 (x − 1 2 )2 + 3 4 dx = 1 u2 + 3 4 du = ln |u + u2 + 3 4 | =⇒ 1 (x − 1 2 )2 + 3 4 dx = ln |(x − 1 2 ) + √ x2 − x + 1| Luego x2 √ x2 − x + 1 dx = ( 1 2 x + 3 4 ) √ x2 − x + 1 − 1 8 ln |(x − 1 2 ) + √ x2 − x + 1| + k 4. Integrales de la forma dx (ex + f)n √ ax2 + bx + c , n Z+ Este tipo de integrales se resuelve realizando el cambio de variable t = 1 ex + f Resolver dx (x + 1)3 √ x2 + 2x − 3 t = 1 x + 1 =⇒ x = 1 t − 1 =⇒ dx = − 1 t2 dt dx (x + 1)3 √ x2 + 2x − 3 = t3 1 (1 t − 1)2 + 2(1 t − 1) − 3 ( −1 t2 )dt
  68. 68. 67 = − t2 √ 1 − 4t2 dt El cambio de variable transform´o la integral en una del tipo anterior as´ı que ejecutamos el procedimiento para tal tipo. t2 dt √ 1 − 4t2 = (At + B) √ 1 − 4t2 + C dt √ 1 − 4t2 Derivando ambos mienbros t2 √ 1 − 4t2 = A √ 1 − 4t2 + (At + B)( −4t √ 1 − 4t2 ) + C( 1 √ 1 − 4t2 ) t2 = A(1 − 4t2 ) − 4t(At + B) + C De donde A = −1 8 , B = 0, C = 1 8 5. Integrales de la forma xm (a + bxn )p dx LLamadas INTEGRALES DEL BINOMIO DIFERENCIAL donde m, n, p son n´umeros racionales a y b son n´umeros reales distintos de cero.Para calcular estas integrales se aplica las condiciones de CHEBICHEV y mediante este cri- terio a la integral se puede expresar como una combinaci´on finita de funciones elementales solamente en los tres casos siguientes : a) Si p es un n´umero entero ,hacemos x = zs siendo s el com´un denominador de los exponentes fraccionarios m y n de la variable x b) Cuando m+1 n es un n´umero entero en este caso zs = a + bxn donde s es el divisor de la fracci´on de p c) Cuando m+1 n + p es un n´umero entero ,en este caso hacer zs = ax−n + b donde s es el divisor de la fracci´on de p.
  69. 69. 68 1) Resolver x3 (1 + 2x2 ) −3 2 dx Haciendo una identificaci´on de los datos se tiene : m = 3, a = 1, b = 2, n = 2, p = −3 2 m + 1 n = 3 + 1 2 = 2 =⇒ z2 = 1 + 2x2 Luego 2zdz = 4xdx x2 (1 + 2x2 ) −3 2 xdx = ( z2 − 1 2 )(z2 ) −3 2 ( zdz 2 ) = 1 4 (1 − z−2 )dz = 1 4 (z + 1 z ) + k 2) Resolver dx √ x3 3 1 + 4 √ x3 = x −3 2 (1 + x 3 4 ) −1 3 dx aqu´ı m = −3 2 , n = 3 4 , p = −1 3 m + 1 n = −3 2 + 1 3 4 = −2 3 como el n´umerador obtenido no es entero se debe considerar m + 1 n + p = −2 3 − 1 3 = −1 Luego z3 = x −3 4 + 1 =⇒ x = 1 (z3 − 1) 4 3 =⇒ dx = −4z2 (z3 − 1) −7 3 dz Por lo que x −3 2 (1 + x 3 4 ) −1 3 dx = ((z3 − 1) −4 3 ) −3 2 (1 + 1 z3 − 1 ) −1 3 (−4z2 (z3 − 1) −7 3 )dz = −4 (z3 − 1)2+1 3 −7 3 zdz = −4 zdz = −2z2 + k
  70. 70. 69 Ejercicios Propuestos a) Resolver dx 1 + √ 1 − 2x − x2 b) Resolver 3 1 − x 1 + x dx x c) Resolver dx √ x( 4 √ x + 2)10 d) Resolver dx x7(1 + x7) 1 7 e) Resolver dx (x + 2) √ x + 1 f ) Resolver x2 + √ 1 + x 3 √ 1 + x dx g) Resolver x2 √ x2 − x + 1 dx h) Resolver dx (x + 1)3 √ x2 + 2x − 3 i) Resolver dx √ x + 3 √ x j) Resolver e2x dx 4 √ ex + 1 k) Resolver dx x 3 √ x2 + 4
  71. 71. 70 l) Resolver dx (x − 1)3 √ x2 + 3x + 1 m) Resolver dx 3 √ 1 + x3 n) Resolver e2x 4 √ ex + 1 dx ˜n) Resolver 1 − √ 3x + 2 1 + √ 3x + 2 dx o) Resolver 1 √ x + 1 + 4 √ x + 1 dx p) Resolver 2 + √ xdx q) Resolver 2 + x √ 4 − 2x − x2 dx
  72. 72. 71 0.11. Aplicaciones de Integraci´on Indefinida Econ´omicas 1. PROPENSI´ON MARGINAL AL CONSUMO Suponga que la funci´on de consumo para cierto pa´ıs es c(x), donde x es el ingreso nacional disponible. En- tonces la propensi´on marginal al consumo es c (x). Suponga que x y c ambas se miden en miles de millones de d´olares y c (x) = 0,9 + 0,3 √ x Si cuando x = 0 el consumo es de 10 mil millones de d´olares, determine c(x). 2. COSTO MARGINAL En cierta f´abrica, el costo marginal es 3(q − 4)2 d´olares por unidad cuando el nivel de producci´on es q unidades. a) Exprese el costo total de producci´on en funci´on de los gastos indirectos (el costo de producir 0 unidades) y el n´umero de unidades producidas. b) ¿Cu´al es el costo de producir 14 unidades si el gasto indirecto es de 436 d´olares? 3. INGRESO El ingreso marginal por la venta de x unidades de un cierto art´ıculo se estima que ser´a R (x) = 50 + 3,5xe−0,01x2 D´olares por unidad, donde R(x) es el ingreso en d´olares. a) Determine R(x), suponiendo que R(0) = 0. b) ¿Qu´e ingreso se espera por la venta de 1000 unidades? 4. Depreciaci´on El ritmo de depreciaci´on dV dt de una m´aquina es inversamente proporcional al cuadrado de t+1,siendo V el valor a los t a˜nos de su adquisici´on.Si el valor inicial era 500 000 d´olares y su valor decreci´o 100 000 en el primer a˜no,estimar su valor los cuatro a˜nos despu´es de su compra. 5. Desembolso El ritmo de desembolso dQ dt de una subvenci´on estatal de 2 millones de d´olares es proporcional al cuadrado de 100 − t .El tiempo t se mide en d´ıas (0 ≤ t ≤ 100) y Q es la cantidad que resta por desembolsar.Calcular la cantidad que resta por desembolsar tras 50 d´ıas,suponiendo que el desembolso se realiza en 100 d´ıas.
  73. 73. 72 6. Funci´on de costo Suponga que la funci´on de costo Marginal para el producto de un fabricante esta dada por : dc dq = 100q2 − 4998q + 50 q2 − 50q + 1 donde C(x) es el Costo Total en d´olares cuando se producen q unidades.si los Costos Fijos son de 10 000 d´olares encuentre el costo de producir 100 unidades. 7. Ingreso MarginalEl ingreso marginal derivado de la producci´on de q unidades de cierto art´ıculo es : dR dq = 4q − 12q2 d´olares por unidad.Si el ingreso derivado de la produc´on de 20 unidades es de 30 000.¿Cu´al ser´a el ingreso esperado por la producci´on de 40 unidades? 8. Funci´on de costo La Funci´on de Costo Marginal para el producto de un fabricante est´a dada por : dc dq = 9 10 √ q 0,04q 3 4 + 4 donde C es el costo total en d´olares cuando se producen q unidades.Los costos fijos son de 360 d´olares . a) Determine el costo marginal cuando se producen 25 unidades. b) Encuentre el costo total de producir 25 unidades. 9. PRODUCCI´ON La Corporaci´on Bejax ha preparado una l´ınea de producci´on para fabricar un nuevo tipo de telefonos celulares .La tasa de producci´on de los tel´efonos es : dP dt = 1500(2 − t 2t + 5 ) unidades por mes.¿Cu´antos tel´efonos se producen durante el tercer mes? 10. PUBLICIDADUna agencia de publicidad inicia una campa˜na para propmover un producto nuevo,y determina que t d´ıas despu´es ,el n´umero de personas N(t)que ha escuchado acerca del producto cambia a una tasa dada por personas por d´ıa N (t) = 5t2 − 0,04t t2 + 3 personas por d´ıa.¿Cu´antas personas han o´ıdo sobre el producto durante la primera semana?.¿cu´antas personas durante la segunda semana?
  74. 74. 73 11. Funci´on de Ingreso EL Ingreso marginal de una empresa est´a dada por la siguiente expresi´on : R (x) = e2x √ 1 + ex determine el Ingreso para 200 unidades. 12. Funci´on de Ingreso La funci´on de Ingreso marginal para el producto de un fabricante est´a dado por : dr dq = 1 eq − 1 Calcule el ingreso total. 13. DEMANDAEl gerente de una zapater´ıa determina que el precio p d´olares por cada par de zapatos deportivos de cierta marca popular,cambia a una tasa de : dp dx = −300x (x2 + 9) 3 2 cuando los consumidores demandan x(miles) de pares.Cuando el precio es de 75 d´olares por par,son demandados 4000 pares.¿Aqu´e precio se demandar´an 5000 pares de zapatos deportivos?.¿Aqu´e precio no se demandar´an zapatos deportivos? 14. VALOR DE LA TIERRA Se estima que dentro de t a˜nos ,el valor V (x) de un acre de tierra cultivable crecer´a a una tasa de : dV (x) dx = 0,4x3 0,2x4 + 8000 d´olares por a˜no.Actualmente la tierra vale 500 d´olares por acre.¿Cu´anto valdr´a la tierra dentro de 10 a˜nos? 15. Producci´on Total La Raz´on de producci´on de un pozo en barriles diarios var´ıa de acuerdo con la siguiente f´ormula P (t) = 1200000 (t + 1600) 3 2 donde t es el tiempo (en d´ıas) a partir del inicio de la producci´on.Calcule la Pro- ducci´on Total hasta el tiempo t,tambi´en encuentre la Producci´on Total disponible es decir l´ım t−→∞ P(t)
  75. 75. 74 16. El dinero depositado en cierto banco se incrementa de tal manera que la raz´on de cambio del saldo es igual al 7 % del saldo en ese instante. Adem´as si en un inicio se hizo un dep´osito de $3500 cu´anto se obtiene al cabo de 18 meses. 17. La relaci´on entre el precio p y la cantidad demandada x es tal que la tasa de disminuci´on en la demanda, a medida que el precio aumenta, es proporcional a la cantidad demandada e inversamente proporcional a la suma del precio m´as una constante. Encontrar la funci´on de demanda si p = p0 cuando x = 1. Geom´etricas 18. La pendiente de la recta tangente en cualquier punto (x, y) de ´esta curva es 3 √ x , si el punto (9,4) est´a en la curva ,encontrar una ecuaci´on de la curva. 19. Halle una funci´on y = f(x) dos veces derivable que cumpla lo siguiente : y = 4x−3 y la ecuaci´on de la recta tangente a su gr´afica en el punto (1,3) es y + 2x = 5 20. La pendiente de la recta tangente en cualquier punto (x, y) en una curva es 10−4x y el punto (1,-1) est´a en la curva.Encontrar una ecuaci´on de la curva 21. Si f (x) = −af(x) y g (x) = bg(x) ,donde a y b son constantes encontrar la integral f(x)g (x)dx TRAYECTORIAS ORTOGONALES Dada una curva f(x) otra curva g(x) ser´a ortogonal a esta en x0 si se cumple : f (x0) · g (x0) = −1 22. Hallar las trayectorias ortogonales de las siguientes familias de curvas ex + e−y = c 23. Encontrar las trayectorias ortogonales de todas las par´abolas con v´ertice en el origen y foco sobre el eje X
  76. 76. 75 g(x) f(x) x 0 L T L T g(x ) 0 0f(x ) Recta Tangente en g(x ) Recta Tangente en f(x ) 24. Encontrar las trayectorias ortogonales de la familia de circunferencias de centro en el origen de coordenadas 25. Encuentre las trayectorias ortogonales de la familia de curvas. a) y = kx2 b) y = (x + k)−1 c) y = ke−x 26. Encuentre las trayectorias ortogonales asociadas a lafamilia de curvas y3 = kx2 27. Encuentre el valor de la constante a ,de tal forma que las familias y3 = c1x , x2 + ay2 = c2 sean ortogonales
  77. 77. 76 F´ısicas 28. CONTAMINACI´ON DEL AGUA Un derrame de petr´oleo en el oc´eano tiene una forma aproximadamente circular, con radio R(t) pies, t minutos despu´es del inicio del derrame. El radio crece a una tasa de R (t) = 21 0,07 + 5 a) Determine una expresi´on para el radio R(t), suponiendo que R = 0 cuando t = 0 b) ¿Cu´al es el ´area A = πR2 del derrame despu´es de 1 hora? 29. CONCENTRACI´ON DE UN MEDICAMENTO La concentraci´on C(t) en miligramos por cent´ımetro c´ubico mg cm3 de un medicamento en el torrente sangu´ıneo de un paciente es de 0,5 mg cm3 inmediatamente despu´es de una inyecci´on y t minutos m´as tarde disminuye a la tasa de C (t) = −0,01e0,01t (e0,01t + 1)2 mg cm3 por minuto. Se aplica una nueva inyecci´on cuando la concentraci´on es menor que 0.05 mg/cm3. Determine una expresi´on para C(t). ¿Cu´al es la concentraci´on despu´es de 1 hora? ¿Cu´al es despu´es de 3 horas? 30. CONCENTRACI´ON DE UN MEDICAMENTOLa concentraci´on C(t) en miligramos por cent´ımetro c´ubico de un medicamento en el torrente sangu´ıneo de un paciente es de 0.5 miligramos por cent´ımetro c´ubico inmediatamente despu´es d euna inyecci´on y t minutos m´as tarde disminuye a la tasa de : dC dt = −0,01e0,01t (e0,01t + 1)2 miligramos por cent´ımetro c´ubico.Se aplica una nueva inyecci´on cuando la con- centraci´on es menor que 0.05 mg cm3 .Determine una expresi´on para C(t) y la con- centraci´on una hora y 3 horas despu´es. 31. FLUJO SANG´INEO Una de las leyes de Posieuille para el flujo sangu´ıneo en una arteria establece que si v(r) es la velocidad del flujo a r cm del eje central de la arteria,entonces la velocidad disminuye a una tasa proporcional a r .Es decir dv dr = −ar
  78. 78. 77 donde a es una constante positiva.Determine una expresi´on para v(r).Suponga que v(R) = 0,donde R es el radio de la arteria. 32. Aceleraci´on : Un autom´ovil tarda 13 segundos en acelerar de 25 km/h a 80 km/h.Suponiendo aceleraci´on constante,calcular: a) La aceleraci´on en m s2 b) La distancia que recorre en esos 13 segundos. 33. Movimiento La velocidad de una part´ıcula que se desplaza a lo largo de una recta en el instante v(t) = t √ 1 + t2 Determine la distancia recorrida por la part´ıcula desde el instante t1 = √ 8 hasta t2 = √ 24. 34. Movimiento Vertical Ra´ul arroja una piedra hacia arriba,desde el suelo.La piedra alcanza una altura m´axima de 225 pies.¿Cu´al era su velocidad inicial? 35. Movimiento Vertical Se lanza una bola verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de 60 pies/s2 .¿Qu´e altura alcanza? . (Despreciar la resistencia del aire y tomar a(t) = −32pies/s2 ) 36. Movimiento Vertical De lo alto de un edificio de 100 pies de altura se suelta una piedara.En funci´on del tiempo,determinar la posici´on y la velocidad con que cae y,luego , el instante que toca suelo y la velocidad con que lo hace. 37. Movimiento Vertical De una altura a 2 m del suelo y con una velocidad de 10 m/seg,se lanza vertical- mente hacia arriba una pelota.Determine la altura que alcanzar´a la pelota y el instante que llege al suelo.
  79. 79. 78 38. Crecimiento de un ´arbolUn vivero suele vender los ´arboles tras 6 a˜nos de crecimiento.El ritmo de crecimiento en esos 6 a˜nos viene dado por : dh dt = 1, 5t + 5 donde t es el tiempo en a˜nos y h es la altura en cm.en el momento de plantarlos miden 12 cm. Calcular su altura tras t a˜nos y en el momento de ser vendidos. 39. Crecimiento de una Poblaci´on El ritmo de crecimiento dP dt de una poblaci´on de bacterias es proporcional a la ra´ız cuadrada de t ,donde p es el tama˜no de la poblaci´on y t es el tiempo en dias (0 ≤ t ≤ 10).El tama˜no de la poblaci´on es 500.Tras un d´ıa ha crecido hasta 600.Estimar la poblaci´on a los 7 d´ıas 40. Ley de Enfriamiento de Newton Un term´ometro que marca 18o F ,se lleva a una cuarto cuya temperatura es de 70o F,un minuto despu´es la lectura del term´ometro es de 31o F.Determ´ınese las temperaturas medidasd como una funci´on del tiempo y en particular encontrar la temperatura que marca el term´ometro cinco minutos despu´es que se lleva al cuarto. 41. Ley de Enfriamiento de Newton Un qu´ımico desea enfriar desde 80o C hasta 60o C una sustancia contenida en un matraz,se coloca el dispositivo en un recipi- ente ampilo por el que circula agua a 15o C.Se observa que despu´es de 2 minutos la temperatura ha descendido a 70o C.Estimar el tiempo total de enfriamiento. 42. Ley de Enfriamiento de Newton Dentro de cuanto tiempo la temperatura de un cuerpo calentado hasta 100o C descender´a hasta 30o C.Si la temperatura del local es de 20o C y durante los primeros 20 minutos el cuerpo en cuesti´on se enfr´ıa hasta 60o C. 43. Un term´ometro que est´a inicialmente en el interior de una habitaci´on se lleva al exterior donde la temperatura es aproximadamente constante a 15o C. Despu´es de un minuto marca 30o C y despu´es de 10 minutos marca 20o C. De acuerdo a la ley de Newton ¿Cu´al era la temperatura de la habitaci´on? 44. Una masa de metal se extrae de un horno a 1000o C y se pone a enfriar en un lugar cuya temperatura se mantiene aproximadamente constante a 30o C. Despu´es de 10 horas su temperatura desciende a 200o C ¿Cu´anto tardar´a en llegar a 31o C? ¿ Llegar´a en alg´un instante la temperatura a ser igual a la temperatura ambiente de 30o C? Justifique su respuesta.
  80. 80. 79 LEY DE DESINTEGRACI´ON RADIOACTIVA La rapidez de cambio de desintegraci´on de una sustancia radioactiva de una sustancia es proporcional,en cualquier instante,a la cantidad de sustancia que est´a presente. Vida Media de una sustancia radioactiva .Se define como el tiempo que trasncurre para que desaparezca el 50 por ciento de la sustancia. 45. Una cierta sustancia radioactiva tiene una media de 38 horas.Encontrar que tanto tiempo toma el 80 por ciento de la radioactividad para disiparse. 46. En una poblaci´on bacteriana B se sabe que tiene un taza de crecimiento pro- porcional a B misma , si entre medio d´ıa y las 2 p.m.la poblaci´on se triplica.A qu´e tiempo,sino se efect´ua ning´un control ,B ser´a 100 veces mayor que el medio dia. 47. Vida Media Un cierto material radiactivo tiene una vida media de dos ho- ras.Encuentre el intervalo de tiempo requerido para que una cantidad dada de este material decaiga hasta un d´ecimo de su masa original. 48. Vida Media Si el 45 por ciento de una sustancia radiactiva se desintegra en 200 a˜nos.¿Cu´al es su vida media?.¿En cu´anto tiempo se desintegrar´a 60 por ciento de la cantidad original? 49. Bacterias en un cierto cultivo incrementan a una tasa proporcional al n´umero pre- sente.Si el n´umero original se incrementa en 50 porciento en 2 horas.¿En cu´anto tiempo se espera tener dos veces el n´umero original? 50. Encuentre la vida media de una sustancia radioactiva si el 20 % de ´esta desaparece en 5 a˜nos. 51. El uranio se descompone a una velocidad proporcional a la cantidad presente. Si inicialmente hay 10 gramos y despu´es de dos horas se ha perdido el 5 % de su masa original, hallar la cantidad restante de uranio como funci´on del tiempo y La cantidad de uranio despu´es de 5 horas. 52. Crecimiento de un ´arbol: Un vivero suele vender los ´arboles tras 6 a˜nos de crecimiento.EL ritmo de crec- imiento en esos 6 a˜nos viene dado por: dh dt = 1, 5t + 5
  81. 81. 80 donde t es el tiempo en a˜nos y h la altura en cm.En el momento de plantarlos ,miden 12 cm(en t = 0) a) Calcular su altura tras t a˜nos b) ¿Qu´e altura tienen en el momento de ser vendidos? 53. Crecimiento de un ´arbol: Un ecologista encuentra que cierto ´arbol crece de tal forma que su altura h(t)despu´es de t a˜nos cambia a una raz´on de dh dt = 0,2t 2 3 + √ t pies por a˜no.Si cuando se plant´o el ´arbol ´este ten´ıa una altura de 2 pies.¿Cu´al ser´a su altura dentro de 27 a˜nos? 54. Crecimiento de una poblaci´on: El ritmo de crecimiento dP dt de una poblaci´on de bacterias es proporcional a la ra´ız cuadrada de t ,donde P es el tama˜no de la poblaci´on y t el tiempo en d´ıas (0 ≤ t ≤ 10).El tama˜no inicial es 500.Tras un d´ıa ,ha crecido hasta 600.Estimar la poblaci´on a los 7 d´ıas. 55. Crecimiento de una poblaci´on: Se ha estimado que dentro de t meses la poblaci´on de una cierta ciudad cambiar´a a raz´on de 4 + 5t 2 3 personas por mes.Si la poblaci´on actual es de 10 000.¿Cu´al ser´a la poblaci´on dentro de 8 meses ? 56. Crecimiento Logistico En la ley de crecimiento Log´ıstico se supone que al tiempo t la tasa de crecimiento f (t) = Af(t)(B − f(t)) donde A y B son constantes .Si f(0) = C calcular f(t). 57. La poblaci´on de Cali era de 200 mil habitantes en 1,950 (t = 0) y de 1 mill´on en 1,985 (t = 35). Si en cada instante crece con rapidez proporcional a la poblaci´on existente en ese instante, ¿en qu´e a˜no la poblaci´on de Cali exceder´a los 5 millones de habitantes? 58. Los experimentos muestran que el radio se desintegra a una rapidez proporcional a la cantidad de radio instant´aneamente presente. Su vida media, es de 1590 a˜nos. ¿Qu´e porcentaje desaparecer´a en 1 a˜no? 59. Sup´ongase que en un cultivo de levadura, en cada instante la rapidez de cambio respecto al tiempo del fen´omeno activo y(t) es proporcional a la cantidad exis- tente. Si y(t) se duplica en dos horas, ¿cu´anto puede esperarse al final de 8 horas, a la misma rapidez de crecimiento?

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