Sistemas de Numera¸˜o
ca
Alberto Manuel Brand˜o Sim˜es
a o
alberto.simoes@eu.ipp.pt
6 de Outubro de 2009
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Decimal
ca
Porque usamos dez algarismos?
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Decimal
ca
Porque usamos dez algarismos?
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Decimal
ca
Como conseguimos contar mais de 10 objectos?
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Decimal
ca
Como conseguimos contar mais de 10 objectos?
S´ temos 10 digitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
o
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Decimal
ca
Como conseguimos contar mais de 10 objectos?
S´ temos 10 digitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
o
Solu¸˜o: realizamos combina¸˜es...
ca co
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Decimal
ca
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Decimal
ca
0 10
1 11
2 12
3 13
4 14
5 15
6 16
7 17
8 18
9 19
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Decimal
ca
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91
2 12 22 32 42 52 62 72 82 92
3 13 23 33 43 53 63 73 83 93
4 14 24 34 44 54 64 74 84 94
5 15 25 35 45 55 65 75 85 95
6 16 26 36 46 56 66 76 86 96
7 17 27 37 47 57 67 77 87 97
8 18 28 38 48 58 68 78 88 98
9 19 29 39 49 59 69 79 89 99
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Decimal
ca
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101
2 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102
3 13 23 33 43 53 63 73 83 93 103
4 14 24 34 44 54 64 74 84 94 104
5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 105
6 16 26 36 46 56 66 76 86 96 106
7 17 27 37 47 57 67 77 87 97 107
8 18 28 38 48 58 68 78 88 98 108
9 19 29 39 49 59 69 79 89 99 109
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
ca a
Problema
transistor
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
ca a
Problema
s´ tem dois estados: ligado ou desligado
o
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
ca a
Como representar o estado de um transistor?
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
ca a
Como representar o estado de um transistor?
ligado / desligado
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
ca a
Como representar o estado de um transistor?
ligado / desligado
on / off
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
ca a
Como representar o estado de um transistor?
ligado / desligado
on / off
batata / cebola
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
ca a
Como representar o estado de um transistor?
ligado / desligado
on / off
batata / cebola
verdadeiro / falso
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
ca a
Como representar o estado de um transistor?
ligado / desligado
on / off
batata / cebola
verdadeiro / falso
1/0
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o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
ca a
Como contar mais de dois objectos com dois d´
ıgitos?
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
ca a
Como contar mais de dois objectos com dois d´
ıgitos?
Realizar combina¸˜es...
co
0
1
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
ca a
Como contar mais de dois objectos com dois d´
ıgitos?
Realizar combina¸˜es...
co
0 10
1 11
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
ca a
Como contar mais de dois objectos com dois d´
ıgitos?
Realizar combina¸˜es...
co
100
0 10 101
1 11 110
111
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
ca a
Como contar mais de dois objectos com dois d´
ıgitos?
Realizar combina¸˜es...
co
1000
1001
100 1010
0 10 101 1011
1 11 110 1100
111 1101
1110
1111
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
ca a
Como contar mais de dois objectos com dois d´
ıgitos?
Realizar combina¸˜es...
co
1000 = 810
1001 = 910
100 = 410 1010 = 1010
0 = 010 10 = 210 101 = 510 1011 = 1110
1 = 110 11 = 310 110 = 610 1100 = 1210
111 = 710 1101 = 1310
1110 = 1410
1111 = 1510
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
ca a
Descodifica¸˜o
ca
Como converter rapidamente bin´rio em decimal?
a
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
ca a
Descodifica¸˜o
ca
Como converter rapidamente bin´rio em decimal?
a
Aprender com o formato decimal...
935610 = 9 × 103 + 3 × 102 + 5 × 101 + 6 × 100
9000 + 300 + 50 + 6 = 935610
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
ca a
Descodifica¸˜o
ca
Como converter rapidamente bin´rio em decimal?
a
Aprender com o formato decimal...
935610 = 9 × 103 + 3 × 102 + 5 × 101 + 6 × 100
9000 + 300 + 50 + 6 = 935610
E aplicar no novo sistema de numera¸˜o...
ca
11012 = 1 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20
1 × 8 + 1 × 4 + 0 × 2 + 1 × 1 = 8 + 4 + 1 = 1310
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o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
ca a
Codifica¸˜o
ca
Como converter decimal em bin´rio?
a
431 2
31 215
11
1
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
ca a
Codifica¸˜o
ca
Como converter decimal em bin´rio?
a
431 2
31 215 2
11 15 107
1 1
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
ca a
Codifica¸˜o
ca
Como converter decimal em bin´rio?
a
431 2
31 215 2
11 15 107 2
1 1 7 53 2
1 13 26 2
1 6 13 2
0 1 6 2
0 3 2
1 1
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
ca a
Codifica¸˜o
ca
Como converter decimal em bin´rio?
a
431 2
31 215 2
11 15 107 2
1 1 7 53 2
1 13 26 2
1 6 13 2
0 1 6 2
0 3 2
1 1
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
ca a
Codifica¸˜o
ca
Como converter decimal em bin´rio?
a
431 2
31 215 2
11 15 107 2
1 1 7 53 2
1 13 26 2
1 6 13 2
0 1 6 2
0 3 2
1 1
110101111
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
ca a
Adi¸˜o
ca
1 1 1 0
+ 1 0 1 1
? ? ? ?
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
ca a
Adi¸˜o
ca
1 1 1 0
+ 1 0 1 1
1
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
ca a
Adi¸˜o
ca
1
1 1 1 0
+ 1 0 1 1
0 1
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
ca a
Adi¸˜o
ca
1 1
1 1 1 0
+ 1 0 1 1
0 0 1
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
ca a
Adi¸˜o
ca
1 1 1
1 1 1 0
+ 1 0 1 1
1 0 0 1
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
ca a
Adi¸˜o
ca
1 1 1
1 1 1 0
+ 1 0 1 1
1 1 0 0 1
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
ca a
Subtrac¸˜o
ca
1 1 1 0
– 1 0 1 1
? ? ? ?
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
ca a
Subtrac¸˜o
ca
*
1 1 1 0
– 1 0 1 1
? ? ? 1
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
ca a
Subtrac¸˜o
ca
* *
1 1 1 0
– 1 0 1 1
? ? 1 1
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
ca a
Subtrac¸˜o
ca
* *
1 1 1 0
– 1 0 1 1
? 0 1 1
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
ca a
Subtrac¸˜o
ca
* *
1 1 1 0
– 1 0 1 1
0 0 1 1
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Bits e Bytes
A unidade m´
ınima de informa¸˜o ´ o bit:
ca e
armazena um 0 ou 1
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Bits e Bytes
A unidade m´
ınima de informa¸˜o ´ o bit:
ca e
armazena um 0 ou 1
Um byte corresponde a:
n´mero m´
u ınimo de bits necess´rios para armazenar o conjunto
a
de instru¸˜es de um processador;
co
espa¸o m´
c ınimo endere¸avel num computador;
c
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Bits e Bytes
A unidade m´
ınima de informa¸˜o ´ o bit:
ca e
armazena um 0 ou 1
Um byte corresponde a:
n´mero m´
u ınimo de bits necess´rios para armazenar o conjunto
a
de instru¸˜es de um processador;
co
espa¸o m´
c ınimo endere¸avel num computador;
c
embora tenha tomado muitos tamanhos, actualmente ´ e
indiscut´ a sua associa¸˜o a uma sequˆncia de 8 bits.
ıvel ca e
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Bits e Bytes
A unidade m´
ınima de informa¸˜o ´ o bit:
ca e
armazena um 0 ou 1
Um byte corresponde a:
n´mero m´
u ınimo de bits necess´rios para armazenar o conjunto
a
de instru¸˜es de um processador;
co
espa¸o m´
c ınimo endere¸avel num computador;
c
embora tenha tomado muitos tamanhos, actualmente ´ e
indiscut´ a sua associa¸˜o a uma sequˆncia de 8 bits.
ıvel ca e
um byte consegue armazenar 256 valores diferentes (28 ).
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal
ca
Embora os computadores usem o sistema bin´rio internamente,
a
raramente queremos representar o conte´do de um unico bit;
u ´
habitualmente queremos representar o conte´do de um byte;
u
ou mesmo de v´rios...
a
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal
ca
Embora os computadores usem o sistema bin´rio internamente,
a
raramente queremos representar o conte´do de um unico bit;
u ´
habitualmente queremos representar o conte´do de um byte;
u
ou mesmo de v´rios...
a
andar com 8 ou mais d´
ıgitos ´ cansativo e sujeito a erros;
e
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal
ca
Embora os computadores usem o sistema bin´rio internamente,
a
raramente queremos representar o conte´do de um unico bit;
u ´
habitualmente queremos representar o conte´do de um byte;
u
ou mesmo de v´rios...
a
andar com 8 ou mais d´ ıgitos ´ cansativo e sujeito a erros;
e
usar o sistema decimal n˜o ajuda:
a
convers˜o bin´ria para decimal n˜o ´ imediata;
a a a e
a convers˜o tem de ser feita como um todo;
a
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal
ca
Embora os computadores usem o sistema bin´rio internamente,
a
raramente queremos representar o conte´do de um unico bit;
u ´
habitualmente queremos representar o conte´do de um byte;
u
ou mesmo de v´rios...
a
andar com 8 ou mais d´ ıgitos ´ cansativo e sujeito a erros;
e
usar o sistema decimal n˜o ajuda:
a
convers˜o bin´ria para decimal n˜o ´ imediata;
a a a e
a convers˜o tem de ser feita como um todo;
a
solu¸˜o: usar um sistema de numera¸˜o com uma base
ca ca
m´ltipla de 2:
u
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal
ca
Embora os computadores usem o sistema bin´rio internamente,
a
raramente queremos representar o conte´do de um unico bit;
u ´
habitualmente queremos representar o conte´do de um byte;
u
ou mesmo de v´rios...
a
andar com 8 ou mais d´ ıgitos ´ cansativo e sujeito a erros;
e
usar o sistema decimal n˜o ajuda:
a
convers˜o bin´ria para decimal n˜o ´ imediata;
a a a e
a convers˜o tem de ser feita como um todo;
a
solu¸˜o: usar um sistema de numera¸˜o com uma base
ca ca
m´ltipla de 2:
u
numera¸˜o octal (base 8);
ca
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal
ca
Embora os computadores usem o sistema bin´rio internamente,
a
raramente queremos representar o conte´do de um unico bit;
u ´
habitualmente queremos representar o conte´do de um byte;
u
ou mesmo de v´rios...
a
andar com 8 ou mais d´ ıgitos ´ cansativo e sujeito a erros;
e
usar o sistema decimal n˜o ajuda:
a
convers˜o bin´ria para decimal n˜o ´ imediata;
a a a e
a convers˜o tem de ser feita como um todo;
a
solu¸˜o: usar um sistema de numera¸˜o com uma base
ca ca
m´ltipla de 2:
u
numera¸˜o octal (base 8);
ca
numera¸˜o hexadecimal (base 16);
ca
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal
ca
Embora os computadores usem o sistema bin´rio internamente,
a
raramente queremos representar o conte´do de um unico bit;
u ´
habitualmente queremos representar o conte´do de um byte;
u
ou mesmo de v´rios...
a
andar com 8 ou mais d´ ıgitos ´ cansativo e sujeito a erros;
e
usar o sistema decimal n˜o ajuda:
a
convers˜o bin´ria para decimal n˜o ´ imediata;
a a a e
a convers˜o tem de ser feita como um todo;
a
solu¸˜o: usar um sistema de numera¸˜o com uma base
ca ca
m´ltipla de 2:
u
numera¸˜o octal (base 8);
ca
numera¸˜o hexadecimal (base 16);
ca
numera¸˜o com base 64;
ca
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o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal
ca
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal
ca
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal
ca
0 10
1 11
2 12
3 13
4 14
5 15
6 16
7 17
8 18
9 19
A 1A
B 1B
C 1C
D 1D
E 1E
F 1F
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal
ca
0 10 20
1 11 21
2 12 22
3 13 23
4 14 24
5 15 25
6 16 26
7 17 27
8 18 28
9 19 29
A 1A 2A
B 1B 2B
C 1C 2C
D 1D 2D
E 1E 2E
F 1F 2F
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal
ca
016 = 010 1016 = 1610 2016 = 3210
116 = 110 1116 = 1710 2116 = 3310
216 = 210 1216 = 1810 2216 = 3410
316 = 310 1316 = 1910 2316 = 3510
416 = 410 1416 = 2010 2416 = 3610
516 = 510 1516 = 2110 2516 = 3710
616 = 610 1616 = 2210 2616 = 3810
716 = 710 1716 = 2310 2716 = 3910
816 = 810 1816 = 2410 2816 = 4010
916 = 910 1916 = 2510 2916 = 4110
A16 = 1010 1A16 = 2610 2A16 = 4210
B16 = 1110 1B16 = 2710 2B16 = 4310
C16 = 1210 1C16 = 2810 2C16 = 4410
D16 = 1310 1D16 = 2910 2D16 = 4510
E16 = 1410 1E16 = 3010 2E16 = 4610
F16 = 1510 1F16 = 3110 2F16 = 4710
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
ca a
Codifica¸˜o / Descodifica¸˜o
ca ca
Como converter hexadecimal em decimal?
fazer o que ja faz´
ıamos com o bin´rio:
a
DEAD16 = D × 163 + E × 162 + A × 161 + D × 160
= 13 × 163 + 14 × 162 + 10 × 16 + 13 × 1
= 13 × 4096 + 14 × 256 + 10 × 16 + 13
= 53248 + 3584 + 160 + 13 = 57005
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Bin´ria
ca a
Codifica¸˜o / Descodifica¸˜o
ca ca
Como converter hexadecimal em decimal?
fazer o que ja faz´
ıamos com o bin´rio:
a
DEAD16 = D × 163 + E × 162 + A × 161 + D × 160
= 13 × 163 + 14 × 162 + 10 × 16 + 13 × 1
= 13 × 4096 + 14 × 256 + 10 × 16 + 13
= 53248 + 3584 + 160 + 13 = 57005
Como converter decimal em hexadecimal?
realizar divis˜es sucessivas por 16...
o
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal
ca
O sistema hexadecimal pode ser convertido do e para o bin´rio de
a
forma muito simples:
1101011000011100
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal
ca
O sistema hexadecimal pode ser convertido do e para o bin´rio de
a
forma muito simples:
1101 0110 0001 1100
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal
ca
O sistema hexadecimal pode ser convertido do e para o bin´rio de
a
forma muito simples:
1101 0110 0001 1100
⇓
D61C
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal
ca
Usos t´
ıpicos:
cores RGB em HTML: #4F980A
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal
ca
Usos t´
ıpicos:
cores RGB em HTML: #4F980A
4F = 79 em 256 de RED (30%)
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal
ca
Usos t´
ıpicos:
cores RGB em HTML: #4F980A
4F = 79 em 256 de RED (30%)
98 = 152 em 256 de GREEN (59%)
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal
ca
Usos t´
ıpicos:
cores RGB em HTML: #4F980A
4F = 79 em 256 de RED (30%)
98 = 152 em 256 de GREEN (59%)
0A = 10 em 256 de BLUE (4%)
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca

Sistema de Numera¸˜o com Base 64
ca
A64 = 010 Q64 = 1610 g64 = 3210 w64 = 4810
B64 = 110 R64 = 1710 h64 = 3310 x64 = 4910
C64 = 210 S64 = 1810 i64 = 3410 y64 = 5010
D64 = 310 T64 = 1910 j64 = 3510 z64 = 5110
E64 = 410 U64 = 2010 k64 = 3610 064 = 5210
F64 = 510 V64 = 2110 l64 = 3710 164 = 5310
G64 = 610 W64 = 2210 m64 = 3810 264 = 5410
H64 = 710 X64 = 2310 n64 = 3910 364 = 5510
I64 = 810 Y64 = 2410 o64 = 4010 464 = 5610
J64 = 910 Z64 = 2510 p64 = 4110 564 = 5710
K64 = 1010 a64 = 2610 q64 = 4210 664 = 5810
L64 = 1110 b64 = 2710 r64 = 4310 764 = 5910
M64 = 1210 c64 = 2810 s64 = 4410 864 = 6010
N64 = 1310 d64 = 2910 t64 = 4510 964 = 6110
O64 = 1410 e64 = 3010 u64 = 4610 +64 = 6210
P64 = 1510 f64 = 3110 v64 = 4710 /64 = 6310
Alberto Sim˜es
o Sistemas de Numera¸˜o
ca