Este documento contiene 17 problemas de álgebra lineal resueltos. Los problemas involucran conceptos como vectores, puntos, segmentos de recta, paralelogramos y triángulos. Cada problema presenta los datos relevantes y la solución detallada paso a paso.

1. FIC-huanuco
E.A.P DE
ING. CIVIL
MATEMATICA
BASICA I
Alumno : Broncano Hilario Deiwitt
ING.CIVIL-UNHEVAL Página 1

2. FIC-huanuco
1. Un vector v = (3,2) es el vector localizado del segmento AB cuyo punto medio es C
= (3,1) .hallar las coordenadas de los extremos.
SOLUCION
Datos
v (3,2) C (3,1)
C (3,1)
De( ) y ( )
B A (3,2).........
..( )
9
B A A ,2
(3,1).........
.( ) 2
2
3
B ,0
2
2. v (7, 6) es el vector localizado del segmento AB y C = (5/3,3) es el punto
de
Trisección más cercano de B de dicho segmento. Hallar las coordenadas de A Y B.
SOLUCION
A 5 B
C ,3
3
Datos
v ( 7, 6 ) A 2B 5
,3
5 3 3
C ,3 A 2B (5,9).........I )
(
3
De( I ) y ( II ) B A (7, 6).........II )
(
A ( 3,7)
B ( 4,1)
3
3. Sea el vector a OP , cuya componente horizontal es x y componente vertical
3
es 6-x. hallar a si b OB = (9 xy y , y) , y a =b .
SOLUCION
a OP = ( x3 ,6 x)
3
b = OB = (9 xy y , y)
a =b
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3. FIC-huanuco
3 3
x 9 xy y 6 y x x y 6
3 3 2 2
x y 9 xy x y 36 2 xy
2 2
(x y) x y xy 9 xy
8
6(36 3 xy ) 9 xy y 6
y
8 2
x
y
y 6y 8 0
y 4 x 2 a (8,4)
y 2 x 4 no cumple
4. Hallar un vector v
cuya magnitud es igual a la del vector OB = (4,-3) y cuyo ángulo es
la misma que la del vector OC = (1,- 3)
SOLUCION
v OB 5 1 3
Datos uOC ,
2 2
v ? 5 3
v ,
OC (1, 3) 2 2
OB ( 4, 3)
5. a) Si v = (x, y) cuya norma es 6 y y 3 x Hallar dicho vector.
SOLUCION
Datos v ( x, 3 x)
v ( x, y ) x2 3x 2 36 v (3,3 3)
v 6 4 x2 36
y 3x x2 9 v ( 3, 3 3)
x 3
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4. FIC-huanuco
b) hallar un vector unitario en la dirección del vector v de norma 17, que tiene su punto inicial
en (3, 12) y punto terminal tiene ordenada 3.
SOLUCION
Datos v pf p0 (3 x,15 )
v 17
(3 x) 2 225 289
p0 (3, 12)
(3 x) 2 64
pf ( x,3)
3 x 8
x 5
8 15
v ,
17 17
6. El segmento de una recta limitada por los puntos A ( 1,8,3), B (9, 7, 2)
esta dividido en 5 partes iguales por los puntos C, D, E, F. Hallar las coordenadas de dichos
puntos.
SOLUCION
A C D E F B
A ( 1,8,3), B (9, 7, 2)
4A B 3A 2B
C D
5 5
4( 1,8,3) (9, 7, 2) 3( 1,8,3) 2(9, 7, 2)
C D
5 5
C (1,5,2) D (3,2,1)
A 4B
2A 3B F
E 5
5
( 1,8,3) 4(9, 7, 2)
2( 1,8,3) 3(9, 7, 2) F
E 5
5
F (7, 4, 1)
E (5, 1,0)
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5. FIC-huanuco
7. En un paralelogramo ABCD se designaAB a , AD b expresar en términos de
a y b los vectores MA, MB, MC , MD donde M es punto de intersección de las
diagonales.
SOLUCION
B C
M
A D
AC AB AD DB AB AD
AM MC a b 2 MB a b
a b
2 MC a b MB
2
a b b a
MC MD
2 2
(a b)
MA
2
8. Demostrar que los puntos A (6,3,4) , B (2,1, 2) , C (4, 1,10)
Son vértices de un triangulo.
SOLUCION
A (6,3,4) B (2,1, 2) C (4, 1,10)
AB AC
B A C A (2 6,1 3, 2 4) (4 6, 1 3,10 4)
( 4, 2, 6) ( 2, 4, 6)
2 2 2 2 2 2
( 4) ( 2) ( 6) ( 2) ( 4) (6)
56 56 es un triangulo isoseles AB AC
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6. FIC-huanuco
9. En el tetraedro OPQR que se muestra en la figura se a OP y b OQ
c OQ Sea M el punto medio de RQ . Hallar PM en función de a , b , c .
SOLUCION
QR c b pero QP PM QM
2n QR a b PM QM n
c b c b
n PM a b
2 2
2a b c
PM rpt.
2
10. En la figura se tiene un paralelogramo de OA 3 , OB 4 , OC 5
V .W
Hallar donde:
V .W
SOLUCION
V a 2b 2c d e y W (0,2,1)
A (0,0,3) B (4,0,0) A (0,5,3)
C (0,5,0) D (4,5,0) E (4,5,3)
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7. FIC-huanuco
a (0,5,0) b (0,5,3) c (4,0, 3)
d ( 4,0,0) e ( 4,0, 3)
V (0,5,0) 2(0,5,3) 2( 4,0, 3) ( 4,0,0) ( 4,0, 3) (0, 5, 15)
W (0,2,1)
V .W (0, 5, 15)(0,2,1) 25 1
2 2 2
V .W 2 2 2 25 2 2
(5 (0) ( 1) ( 3) )( 0 2 1)
2
rpt .
2
A (6, 2,4),
11. La figura es un cubo si C (8, 2, 10)
F ( 6,4,2), H (8,4,4) Hallar las demás coordenadas.
SOLUCION
A (6, 2,4) C (8, 2, 10) F ( 6,4,2) H (8,4,4)
2 2 2 2
AC X X 2 0 ( 14) 2 50 X 2
X 10
AE AE u AE
10( AC FH )
i j k
AC FH 2 0 14 (0, 192,0) u AE
(0, 192,0) / 192
14 0 2
u AE
(0, 1,0)
AE 10(0, 1,0) E A (0, 10,0) E (6, 12,4) rpta
FB 10(0, 1,0) B F (0, 10,0) B ( 6, 6,2) rpta
CG 10 0, 1,0 G C () G (8, 12, 10)rpta
HD 10(0, 1,0) D H (0, 10,0) D (8, 6,4) rpta
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8. FIC-huanuco
12. a) Si A B C 0 A 6 B 8 C 12 .Hallar
A.( 2 B A)
SOLUCION
2
2. AB A ?
A B C 0 lo A, B, C
2
A A.B A.C 0
2
A.B B B.C 0
2
A.C B.C C 0 sumando
2 2 2
2 A.B C A B
2 2 2 2
2 A.B A C 2 A B
reemplasando 8 rpta
b) Si A B C 0 A 6 B 3 C 8 calcular
A.B B.C A.C ?
A B C 0 lo A BC
2
A AB AB 0
2
AB B BC 0
2
AC BC C 0 sumando
2( A B BC AC ) 36 9 64
109
AB BC AC rpta
2
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9. FIC-huanuco
c) Dado A 11 B 23 A B 30 hallar A B ?
2 2
A B 30 A B 2 A B cos
2 2
2
2 A B cos A B 30 (I )
2 2
A B A B 2 A B cos reemplasando( I )
2 2 2
A B 2(11) 2 (23) 30 20
13. Demostrar que el segmento que une los puntos medios de los lados de un triangulo es
paralelo al tercero e igual a la mitad de su longitud.
SOLUCION
AC AB AC AB
AN
2 2 2
AB
MA
2
AC AB AB AC
MN MN l.q.q.d
2 2 2 2
un vector esparalelo si existeun a kb son //
1 1
en este caso MN AC donde k son // l.q.q.d
2 2
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10. FIC-huanuco
14. Dado el paralelogramo ABCD
2 2 2 2 2 2
AB BC CD DA AC BD
SOLUCION
2 2 2
AC AB AD 2 AB AD c os
2 2 2
BD BC CD 2 BCCD c os
AB BC AD CD
sumando
2 2 2 2 2 2
AB BC CD DA AC BD l.q.q.d
n
15. Probar u v u v u,v R
SOLUCION
SI ... u u u
v v v resando
(u v) u v (u v) sacando v
u v u v
2 2 2
16. Probar que: u, v son ortogonales si o solo si u v u v
Solución:
SOLUCION
2 2 2
u v u 2u v v 2u v 0
producto escalar 0 u y v son ortogonales
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11. FIC-huanuco
17. Tres vectores están orientados como se muestra en la figura donde
A 20 B 40 C 30 encuentre A B C
SOLUCION
A 20
A B C ? A B B 40
450 C 30
X
450
C
A (0,20 )
0 0
B B (cos45 , sen 45 )
0 0
C C (cos 45 0 , sen 45 0 )
B 40(cos45 , sen 45 )
1 1
B 20 2 (1,1) C 30 ,
2 2
A B C (35 2 ,20 5 2)
18. Demostrar que el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triangulo es
paralelo al tercero e igual a la mitad de su longitud.
SOLUCION
B
A B B C A B
M MN
2 2 2
B C
N
2 M
N
MN // AC
A C 1
1 ADEMAS: MN AC
MN AC 2
2
C A AC 1
MN MN AC
2 2 2
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