Strength Of Materials 2

Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m
thanh hïng
CHƢƠNG 5 : XOẮN THUẦN TUÝ THANH THẲNG

§1 : Khái niệm

 Định nghĩa: Thanh chịu xoắn thuần tuý là thanh mà trên mọi mặt cắt ngang chỉ tồn tại MZ
 Quy ƣớc : MZ >0 nếu nhìn vào mặt cắt Mz quay thuận chiều kim đồng hồ.

Ví dụ: Vẽ biểu đồ nội lực cho thanh chịu lực nhƣ hình vẽ.

 Bước 1 : Xác định phản lực liên kết, phân đoạn
thanh

 Bước 2 : Lập biểu thức nội lực
 Đoạn 1 : Lập mặt cắt 1-1 AB,
xét cân bằng phần trái : 0z1a.
mz  0  M(1)  mz1
z

 Đoạn 2 : Lập mặt cắt 2-2BC, xét cân bằng phần
trái : 0 z2 a.
mz  0  M(2)  ma M 2ma
z

 Bước 3: Vẽ biểu đồ.

 Trong thực tế, các chi tiết, bộ phận chịu xoắn nhƣ: mũi khoan, trục các tuốc bin,...Ta xét hai
trƣờng hợp chịu xoắn thuần tuý:
- Thanh mặt cắt ngang tròn.
- Thanh mặt cắt ngang không tròn.

§2. Xoắn thuần tuý thanh mặt cắt ngang tròn
I. Ứng suất trên mặt cắt ngang
 Thí nghiệm: Cho thanh tròn chịu lực nhƣ hình vẽ
(xoắn thuần tuý)
 Trƣớc khi thanh chịu lực: Vạch những đƣờng thẳng
song song trục thanh (đƣờng sinh) và các đƣờng tròn
vuông góc trục thanh.
 Sau khi chịu lực, ta thấy:
 Mặt cắt ngàm đứng yên
 Các đƣờng song song trục thanh bị xoắn ốc
 Các đƣờng tròn vẫn vuông góc trục thanh và
khoảng cách giữa các đƣờng tròn không đổi
 Đƣa ra hai giả thuyết:
 Giả thuyết về mặt cắt ngang: Mặt cắt ngang luôn phẳng và vuông góc trục thanh, khoảng
cách giữa các mặt cắt là không đổi. (a)
 Giả thuyết về bán kính của mặt cắt ngang: bán kính của mặt cắt ngang luôn phẳng và độ
dài không đổi. (b)

43

thanh hïng
Ngoài ra, còn tuân theo 3 giả thuyết đầu tiện của SBVL
 Xét điểm A bất kì thuộc thanh: Việc tính ứng suất tại A rất phức tạp (không tính đƣợc)
 Tách tại A một phân tố bằng các mặt

 Hai mặt cắt ngang 1-1, 2-2 cách nhau khoảng dz.
 Hai mặt phẳng đi qua trục z, làm với nhau một góc d.
 Hai mặt trụ trục z có bán kính  và (+d).
 Phân tố ABCDEFGH
Theo giả thuyết (a) , ta có: AE=BF=CG=DH=dz
Phân tố không có biến dạng dọc trục z
 Trên mặt cắt ABCD (hay EFGH) không có ứng
suất pháp.
 Trên mặt cắt ngang thanh chỉ có ứng suất tiếp .
 Gọi : d - góc xoắn tƣơng đối giữa hai mặt cắt 1-1 và 2-2.
 - góc trƣợt giữa 2 mặt cắt 1-1 và 2-2 do  gây ra.
 Sau khi chịu Mz  điểm A A’: Theo giả thuyết (b)  OA=OA’=

d= A'OA
AA' OAtgd d d
tg           (1)
EA dz dz dz
  
Ta có:   P  R  P: Vuông góc với bán kính

 R: hƣớng theo bán kính  giả thuyết (b)  R=0
 
Vậy   P
® luË Huc
inh t
Gd
   G  
dz
 (2)

® nghÜ
inh a
d d d d M
 Mz   dF  G dz  dF G dz   dF G dz J  dz  GJz 
2 2
(3)
(F) (F) (F) 

d
 Gọi   là góc xoắn tỷ đối (góc xoắn tƣơng đối giữa hai mặt cắt ngang cách nhau
dz
một khoảng bằng 1 đơn vị)
Mz

(2)
(3)
    (4)
J
 Gọi GJ - Độ cứng của thanh khi xoắn
D4
 J= JP: Mômen quán tính độc cực  JP  Jx  Jy  (1 4 )  0,1 4 (1 4 )
D
32
44

thanh hïng
 Nhận xét:  phân bố bậc nhất đối với 
  0    0
D M D M
    max  z .  z
2 JP 2 W P

2JP
W 
P : Mômen chống xoắn của mặt cắt ngang
D

II. Biến dạng
 Gọi  là góc xoắn tƣơng đối giữa hai mặt cắt đầu thanh (góc xoắn toàn phần)
 Xét đoạn thanh có chiều dài dz:
l l
Mz dz M dz
(3)  d      d   z (5)
GJP 0 0
GJP
Nếu :
Mz Ml
 const    z
GJP GJP (6)
M(i) n
M(i)l
 Đặc biệt: khi thanh chia ra n đoạn: chiều dài li, z
 const     z i (7)
GiJPi i1 Gi JPi

III. Kiểm tra bền và kiểm tra cứng
a. Điều kiện bền:
Mz Mz o
max  max
 max
 [ ]  (8)
WP 0,2D (1   )
3 4
n

 0: ứng suất nguy hiểm (xác định từ thực nghiệm)
 n : Hệ số an toàn (n>1)

 Có 3 bài toán cơ bản: - Kiểm tra bền.
Mz max
- Chọn kích thƣớc mặt cắt ngang: Db  3 .
0,2   (1  4 )

- Xác định [Mz]b (giá trị tải trọng cho phép).

b. Điều kiện cứng:
Mz Mz
max  max
 max
 [](rad/m) (9)
GJP G.0,1 4 (1 4 )
D
 Có 3 bài toán cơ bản: - Kiểm tra cứng.
Mz max
- Chọn kích thƣớc mặt cắt ngang: Dc  4 .
0,1  (1 4 )
G 
- Xác định [Mz]c (giá trị tải trọng cho phép).
 Chú ý: Muốn thanh chịu xoắn đảm bảo điều kiện bền và cứng thì
D=max{Db,Dc} ; [Mz]=min{[Mz]b ,[Mz]c }

45

thanh hïng
Ví dụ 1: Cho thanh tròn chịu lực nhƣ hình vẽ. Xác định mặt cắt ngang thanh nếu biết:
[]=5kN/cm ; []=0,25rad/m ; G=8.103 kN/cm2 . Sau đó đi tính AC.
2

Giải:
 Vẽ biểu đồ mômen MZ :
Mz  4kNm 400kNcm
max

 Xác định đƣờng kính D:
 Theo điều kiện bền:
Mz max 400
Db  3 3  7,37cm.
0,2
  0,2.5

 Theo điều kiện cứng:
Mz max 400
Dc  4 4  3,76cm.
0,1 
G  0,1.8.103.0,25.102
 D=max{Db,Dc}=7,37cm.
 Tính AC: AC = AB + BC
100 M(1) dz 100 M(2) dz
 AC     , (M(1)  2z,M(2)  4kNm)
z z
z z
0 GJP 0 GJP
1  100
100  1
   2z.dz  400 0   8.1030,1.7,374 .5.10
4

GJP  0 
 0,021 rad

Ví dụ 2: Cho thanh chịu lực nhƣ
hình vẽ. Hãy xác định mặt cắt thanh,
biết:
[]=5kN/cm2 .
[]=0,25rad/m .
G=8.103 kN/cm2 .
Tính góc xoắn toàn phần AC=?

 Tính phản lực và chia đoạn
 Vẽ biểu đồ Mz
 Đoạn 1 (AB): M1 max  2kNm  200kNcm

M1 max 200
 Theo điều kiện bền: d(1)  3 3  5,85cm .
0,2  
b
0,2.5

M1 max 200
 Theo điều kiện cứng: d(1)  4 4  3,16cm .
0,1G   0,1.0,25.8.103.102
c

 d1=max{db(1),d c(1)}=5,85 cm.

46

thanh hïng

 Đoạn 2 (BC): M2 max  4kNm  400kNcm .

M2 max 200
 Theo điều kiện bền: 2d(2)  3 34  7,36cm  d(2)  3,68cm .
b
0,2
  0,2.5 b

M2 max 400
 Theo điều kiện cứng: 2d(2)  4 4  3,76cm  d(2)  1,88cm .
0,1.0,25.8.103.102
c
0,1 
G  c

 d2=max{db(2),d c(2)}=3,68 cm.
d=max{d1,d2}=5,85 cm.
Vậy JP1 =0,1.d4=0,1.5,854=117,1cm4 ; JP2 =0,1.(2d)4=0,1.(2.5,85)4=1861,1cm4

 Tính góc xoắn toàn phần:
Tính :  = AB + BC
a M(1) dz
z
a M(2) dz
z
a
mz dz a M(2) dz
z ma2 M(2) .a 2.102.104 4.102.102
      z  
0
GJP1 0
GJP2 0
GJP1 0
GJP2 2GJP1 GJP2 2.8.103.117,1 8.103.1861,1
  1,07(rad).

§3: Xoắn thuần tuý thanh có mặt cắt ngang không tròn

 Thí nghiệm: Xét thanh chịu xoắn mặt cắt ngang hình chữ nhật. Trƣớc khi thanh chịu xoắn,
ta vạch lên mặt ngoài thanh những đƣờng thẳng song song trục thanh, vuông góc trục thanh
( Tạo nên lƣới ô vuông)
Sau khi thanh chịu xoắn, trục thanh vẫn thẳng nhƣng các đƣờng kể đều bị cong đi  ô
vuông bị méo  mặt cắt ngang của thanh bị vênh đi.
 Lý thuyết đàn hồi đã nghiên cứu đƣợc thanh xoắn có mặt cắt ngang bất kỳ.

I. Thanh có mặt cắt ngang hình chữ nhật
 Thanh có mặt cắt ngang hình chữ nhật chịu xoắn thuần tuý
 Luật phân bố ứng suất tiếp trên mặt cắt:
 Tại các điểm góc:  = 0
 Các trục đứng:  phân bố theo quy luật đƣờng
cong có tâm uốn tại tâm O
 Dọc theo các cạnh:  phân bố theo đƣờng cong,
max tại A và A’
Mz
max  ; W xoắn=b2h
Wxoan

1  max
Mz
max  ; Jxoắn=b3h
GJxoan

Trong đó: ,, phụ thuộc b/h, đƣợc tra theo bảng Các công thức đƣợc rút ra từ thực nghiệm.

47

thanh hïng
h/b 1.0 1.5 2.0 3.0 4.0 5.0 8.0 10 
 0.141 0.196 0.229 0.263 0.281 0.291 0.307 0.313 0.333
 0.208 0.231 0.246 0.267 0.282 0.291 0.307 0.313 0.333
 1 0.859 0.795 0.753 0.745 0.743 0.742 0.742 0.742

II. Thanh có thành mỏng
 Định nghĩa: Thanh có mặt cắt ngang với bề dày  << các kích
thƣớc khác của mặt cắt  thanh có thành mỏng.
 Ví dụ: ống tròn mỏng, thép dát I,C,L
 Đƣờng trung bình: là đƣờng chia đôi chiều dày  của mặt cắt.

a. Thanh có thành mỏng kín:
 Đƣờng trung bình là đƣờng khép kín  thành mỏng kín.
 Xét thanh chịu xoắn với thành mỏng kín, mặt cắt ngang nhƣ hình vẽ:
 Vì  bé  xem ứng suất tiếp  phân bố đều theo .
 Xét điểm A bất kỳ trên mặt cắt ngang.
Mz Mz
A   max 
2F  A
o 2F min
o

Mz ds
 2 
4F G (s)
0

Với S - độ dài đƣờng trung bình.

b. Thanh có thành mỏng hở:
 Đƣờng trung bình là đƣờng không khép kín  Thanh có thành mỏng hở
 Xét thanh chịu xoắn với thành mỏng hở, mặt cắt ngang nhƣ hình vẽ:
Chia mặt cắt ra m hình chữ nhật : hình thứ i có chiều rộng i, chiều dài hi
Mz M
i  i  max  z max
Jxo¾n Jxo¾n

1 n 3
Trong đó: Jxo¾ 
n  i hi
3 i1
(*)

Mz

GJxo¾n

nm 3
Thực tế : Jxo¾ 
n  i hi
3 i1
Với n- phụ thuộc hình dạng mặt cắt ngang, xác định bằng thực nghiệm (tra bảng)
Loại mặt cắt L C T I
n 1,10 1,12 1,15 1,20

§4. Bài toán siêu tĩnh
48

thanh hïng

Bài toán 1: Vẽ biểu đồ nội lực cho thanh chịu
lực nhƣ hình vẽ.

Giải:

 Xét cân bằng AB:

 Mz  0  MA  MB  M (1)
 Bài toán siêu tĩnh: bậc siêu tĩnh n = 1.
 Lập phƣơng trình biến dạng bổ sung.

 Phƣơng trình biến dạng : do A, B là ngàm nên
AB  AC  CB  0 (*)
Trong đó:
 M(1) . AC M(1) .2a
 AC  z  z
 G.JP G.JP
 (2) (2)
   Mz .CB  Mz .a
 CB
 G.JP G.JP

 Lập mặt cắt 1-1 và 2-2
M(1)   MA
 Z
 mz  0   (2)
MZ  MB

Thay vào (*):
MA .2a M B .a
 0 (2)
GJP GJP
 2M
MB  3

(1),( 2)  
M  M
 A
 3

49

thanh hïng
Bài toán 2: Trụ tròn AB liên kết ngàm tại A,
chịu mômen xoắn M0, gắn với 2 thanh CD, EF
bằng 1 thanh CE tuyệt đối cứng.
Biết AB có : G,d
CD, EF có cùng l, E, F
Xác định biến dạng dài của CD, EF.

Giải:
 Xét cân bằng ABCE:

 Y  0  N1  N2  N
Điều kiện biến dạng: l  b.tg  b.
  : góc xoắn tƣơng đối của AB ( góc xoắn toàn phần)
MiZ .li
 
GJp

 Xét thanh AB: Vẽ biểu đồ Mz
Vậy:
M0  2Nb ( 2Nb) M  4Nb
  a a 0 a
GJp GJp GJp
Nl M  4Nb
l  b  b 0 a
EF GJp
M0aEF
 N1  N2  N 
lGJp  abEF
Na M0a2
l1  l2  
EF lG Jp  ab.EF

50

thanh hïng
Bài toán 3: Xét thanh chịu lực nhƣ hình vẽ.
Biết : G, d, l , u (biến dạng dài tỷ đối theo
phƣơng u tại điểm M).
Tìm M0, góc xoay của tiết diện tại B.

Giải:

- Vẽ biểu đồ Mz

- Xác định M0
Ta có: W P = 0,2 d3, JP = 0,1d4
Theo đ ịnh lu ật Hooke:
1
  (   ) (1)
u E u v
mặt khác :        0     (2)
u v x y u v
  .E
(1),(2)    u (1  )    u (3)
u E u 1 

- Theo công thức xoay trục:
   
x y x y
   cos 2   xy sin2    xy sin2
u 2 2

xy   u
sin2

- Xét phân tố tại M:
Mz M0  E.
xy   max   3
 u 
Wp 0,2d sin2 (1  ).sin2

u E.0,2d3
 M0 
(1 ) sin2

- Góc xoay của tiết diện tại B. A là ngàm → A=0
M0 l u .E.l.0,2d3 2 u .E.l.
B  AB   4

GJp G.0,1d (1 ).sin2 G.d.(1 ).sin2

51

thanh hïng
BÀI TẬP CHƢƠNG 5

52

thanh hïng
CHƢƠNG 6: UỐN NGANG PHẲNG NHỮNG THANH THẲNG

§1. Khái niệm

 Định nghĩa: Thanh chịu uốn là thanh có trục bị
uốn cong dƣới tác dụng của ngoại lực.
Trục là đƣờng cong phẳng  thanh chịu uốn phẳng
(dầm)
Ngoại lực: lực tập trung hay phân bổ vuông
góc trục dầm, hoặc mômen nằm trong mặt phẳng
chứa trục dầm.
 Ở đây, ta chỉ xét thanh có mặt cắt ngang tồn tại
trục đối xứng (trục y) và tải trọng tác dụng thuộc mặt
phẳng đối xứng, (chính là mặt phẳng chứa trục quán tính trung tâm  mặt phẳng quán tính
chính trung tâm).
Xét 2 trƣờng hợp: + Dầm uốn thuần túy phẳng.
+ Dầm uốn ngang phẳng.

§2. Uốn thuần túy phẳng

I. Định nghĩa: là dầm mà trên mọi mặt
cắt ngang chỉ tồn tại 1 thành phần nội
lực Mx nằm trong mặt phẳng quán
tính chính trung tâm (y0z)

II. Ứng suất trên mặt cắt ngang
Dầm có mặt cắt chữ nhận b  h, chịu
uốn thuần túy nhƣ hình vẽ.
 Thí nghiệm:
 Trƣớc khi chịu lực, vạch lên mặt
ngoài dầm những đƣờng thẳng song
song và vuông góc trục dầm, tạo
nên những ô vuông.
 Sau khi chịu lực, dầm biến dạng, ta
thấy đƣờng thẳng song song với trục
dầm trở thành đƣờng cong, đƣờng
vuông góc với trục dầm vẫn thẳng và
vuông góc với trục dầm.
Suy ra 2 giả thuyết :
a. giả thuyết về mặt cắt ngang : mặt cắt
ngang dầm luôn phẳng và vuông góc với
trục dầm (cả trƣớc và sau biến dạng)
b. Giả thuyết về các thớ dọc : Trong quá trình biến dạng, các thớ dọc của dầm không ép lên
nhau và không đẩy xa nhau.

53

thanh hïng
 Vật liệu dầm làm việc trong giới hạn đàn hồi (,  tuân theo định luật Huc)
 Nhận xét : dầm bị uốn, các thớ trên co lại, các thớ dƣới giãn ra từ thớ vo sang thớ giãn sẽ
có thớ không co, không giãn . Gọi là thớ trung hòa.
 Tổng thớ trung hòa là lớp trung hòa.
 Lớp trung hòa x mặt cắt ngang ta có mặt
trung hòa.
Bỏ qua các biến dạng của mặt cắt ngang
(biến dạng nhỏ), coi nhƣ mặt cắt ngang không
thay đổi, suy ra đƣờng trung hòa là đƣờng thẳng

 Xét đoạn thanh dz cắt ra khỏi thanh bởi 1-1
và 2-2
Sau khi biến dạng ta có :
 Theo tính chất thớ trung hòa : dz =d
 Thớ ab ( cách thớ trung hòa 1 đoạn y):
abt = dz ; abs = (  y)d
®inh nghÜa
abs  abt y
 z 
abt


(1)

 Xét điểm C bất kỳ trên mặt cắt ngang nào đó của dầm: việc tính ứng suất tại điểm C không
thực hiện đƣợc. Suy ra tách tại C một phân tố hình hộp (Các mặt song song với mặt phẳng tọa
độ)  tính ứng suat trên 6 mặt phân tố
 Theo giả thiết (b)  trên các mặt song song z, không có ứng
suất pháp hay: x  y  0

 Theo giả thiết (a)  góc của phân tố biến dạng không đổi. 
trên các mặt phân tố không có ứng suất tiếp.
 chỉ tồn tại  z

y
 Theo định luật Huc: z   z.E  E. (2)

®inh nghÜa
E E
 Nz   zdF  0    y.dF  0   .Sx  0
(F) (F)

® nghÜ
inh a
Sx = 0  x là trục trung tâm. Vì y là trục đối xứng nên x0y là hệ quán tính chính trung tâm
của mặt cắt ngang.
(2)
E E
Mx   z ydF    y .dF 
2
.Jx
(F) (F) 
1 Mx
  (3): Độ cong của trục quán tính chính trung tâm (EJx: độ cứng của dầm khi uốn)
 EJx
Mx
(2),(3)   z  y
Jx

54

thanh hïng

 Nhận xét: Luật phân bố của  z trên mặt cắt ngang dầm:
 Phân bố bậc nhất đối với y.
 Những điểm nằm trên đƣờng thẳng song song với x
(có cùng tung độ y) sẽ có  z bằng nhau và tỉ lệ với
d (khoảng cách đến đƣờng trung hòa).
 Điểm nằm trên đƣờng trung hòa (y=0) có  z =0.

 Những điểm nằm xa đƣờng trung hòa nhất có max , min .
 Nếu trục x cũng là trục thẳng đối xứng: Đƣờng trung hòa chia đôi chiều cao
Mx h M
max , min    x (4)
Jx 2 Wx
2Jx
với W x= : mômen chống uốn của mặt cắt ngang.
h
 Nếu trục x không phải là trục đối xứng:
Mx
max  .yKmax
Jx
(5)
Mx
min   .y n
max
Jx

III. Điều kiện bền:
a. Với vật liệu dẻo:   k    n   
     
 Điều kiện bền: max    
  (6)

b. Với vật liệu đòn :      
k n

max   k
  
 Điều kiện bền:  (7)
 min    n
  

IV. Hình dáng hợp lý của mặt cắt ngang:
Mặt cắt ngang hợp lý nếu đảm bảo bền (khả năng chịu lực là lớn nhất) tiết kiệm vật liệu.

a. Yêu cầu về bền: Ứng suất lớn nhất trong dầm đạt tới ƢS cho phép
Mx 
max  .yKmax   k 
 
Jx  yk  
  max    k (8)
M  ymax    n
n
 
min  x .ynmin   n 
 
Jx 
(8)  Kết luận:
 Vật liệu dẻo:  k  n  yk  ymax  trục x đối xứng
max
n

 Vật liệu dòn: Trục x chia chiều cao mặt cắt theo tỷ số ở (8)
55

thanh hïng
b. Yêu cầu tiết kiệm vật liệu:
Từ biểu đồ z ta thấy:
 Vật liệu ở vùng có max, min làm việc gần hết khả năng.
 Vật liệu càng ở gần đƣờng trung hòa làm việc ít hơn.
 Bố trí vật ở xa đƣờng trung hòa.
(a), (b)  + Vật liệu dẻo : Trục x đối xứng, vật liệu bố trí xa đƣờng trung hòa  mặt cắt hợp lý
thƣờng là:

+ Vật liệu dòn:

 Chú ý: Khi xét điều kiện bền cho thanh:
 Nếu Mx có dấu không đổi  chỉ quan tâm M max

 Nếu Mx có hai dấu: đƣờng trung hòa không chia
đôi chiều cao, vật liệu dòn  quan tâm đến cả
Mmax, Mmin (Kiểm tra tại cả 2 mặt cắt)

§3. Uốn ngang phẳng

1. Định nghĩa: Dầm chịu uốn ngang phẳng là dầm
mà trên mặt cắt ngang có các thành phần nội
lực Mx, Qy nằm trong mặt phẳng nằm quán tính
chính trung tâm (y0z)
 Mặt phẳng tải trọng: (các tải trọng thuộc cùng
1 mặt phẳng)
 Mặt phẳng biến dạng
 Hai mặt phẳng này trùng nhau  có trƣờng
hợp uốn phẳng:


Uốn phẳng thuần túy : chỉ tồn tại Mx


Uốn phẳng ngang: có Mx, Qy (h >> b, h << l)
56

thanh hïng
II. Ứng suất trên mặt cắt ngang
 Xét dầm chịu uốn ngang phẳng nhƣ hình vẽ.

 Trƣớc khi dầm chịu lực: vạch lên ngoài
mặt dầm những đƣờng thẳng song song và
vuông góc với trục dầm (tƣợng trƣng cho thớ
dọc và mặt cắt ngang)

 Sau khi dầm biến dạng, ta thấy:
- Những đƣờng thẳng song song với trục
dầm (thớ dọc) bị cong nhƣng vẫn song song
với trục dầm, các thớ không ép lên nhau,
cũng không tách nhau  trên mặt cắt dọc: y
=0 (Thực tế thì có nhƣng vì sự thay đổi ấy
nhỏ  bỏ qua, đúng khi h << l)
- Những đƣờng thẳng vuông góc với trục dầm không còn thẳng và vuông góc trục dầm nữa
 mặt cắt ngang không còn phẳng mà bị vênh.

 + Thớ dọc: 1 số thớ co lại, 1 số thớ giãn ra  z
+ Mặt cắt ngang: mặt cắt ngang không còn phẳng bị biến dạng góc   ứng suất tiếp zy

LTDH  tại điểm D(x,y) bất kỳ thuộc mặt cắt ngang, tách ra 1 phân tố hình hộp thì trên các
 
mặt phân tố y, z, zy
Thực tế: y << z,zy  z,zy

a. Ứng suất pháp z:
MX
- Trong uốn thuần túy phẳng, mặt cắt ngang phẳng: Z  .y (*)
JX
- Trong uốn ngang phẳng, mặt cắt ngang không còn phẳng  không thể sử dụng công thức (*)
Tuy nhiên trong "Lý thuyết đàn hồi", công thức tính z rất phức tạp và chứng minh đƣợc
rằng đối với dầm chịu uốn ngang phẳng, vẫn dùng đƣợc công thức (*) để tính z mà sai số
không lớn lắm.
Mx
Vậy: z  y (1) (h nhỏ nên xem nhƣ mặt cắt ngang là phẳng)
Jx

b. Ứng suất tiếp zy - Công thức Jurapski
Ta đi xác định phƣơng, chiều và độ lớn của ứng suất tiếp zy

 Xét dầm mặt cắt ngang chữ nhật hẹp bxh (b<< h  mặt
cắt hẹp) chịu uốn ngang phẳng.
 Phƣơng :
Xét điểm A(x,y) thuộc mặt cắt ngang 1-1. Qua D kẻ
đƣờng thẳng song song với Ox, cắt các biên của mặt cắt tại
B, C; cắt Oy tại D.
Ứng suất tiếp C có chiều bất kỳ trong (1-1)
  
 C C
C  zy  zx
57

thanh hïng

 Theo luật đối ứng: nếu có C  phải có C , mặt khác: do mặt bên dầm không có lực tác
zx xz

dụng ( Nz = 0, Mz = 0...) nên C  C  0
xz zx

Vậy C  zy ; TT B  zy
C B

Do tính chất đối xứng và giả thiết mặt cắt chữ nhật hẹp nên:
A  B  C  D  zy
Vậy ứng suất tiếp của các điểm trên BC đi qua A chỉ có phƣơng y và có trị số bằng nhau.
(Phân bố đều)

 Độ lớn :
 Cắt đoạn dầm dz bằng mặt phẳng 1-1, 2-2
 Mặt phẳng song song với Oz đi qua điểm D
chia đoạn dz thành 2 phần:
 tính zy yz  ?

Đặt BC = bC
dt(BCEF) = FC
 Xét cân bằng đoạn dz:

 Z 0   (1)dF  (2)dF yz.bc.dz 0
z z (*)
FC FC

Mặt khác :
Mx Mx  dMx
(1) 
z y ; (2) 
z y
Jx Jx
(biểu đồ Mx liên tục : chiều dài thay đổi dz  mômen thay đổi
vi phân dMx)
Mx M  dM
(*)   ydF x J x  ydF yzbcdz  0
Jx F
c
x F c

Mx
(  const đối với mặt cắt đang xét)
Jx
dMx
 yzbcdz  ydF
Jx F
C

dMx 1
 yz   ydF
dz bcJx F
C

dMx
 Qy  ydF Sx : mômen tĩnh của phần diện tích Fc đối với trục x
C
Ta có: ;
dz FC

QySC
Vậy: yz  zy  x
(2) - Công thức Jurapski
Jxbc

58

thanh hïng
c. Luật phân bố ứng suất tiếp đối với một số mặt cắt

 Mặt cắt chữ nhật.
Tính ứng suất tiếp tại điểm D(x,y)
h 1h
Ta có : Sc  bC.(  y). (  y)
x
2 2 2
b.h3
bC = b ; Jx 
12
Thay vào công thức Jurapski ta đƣợc
h2 2 h2 2
QySC Qy.b.(  y ) 6Qy.(  y )
zy  
x 4  4 (3)
3
Jxbc b.h b.h3
2b.
12
Ứng suất tiếp lớn nhất tại y=0 (thuộc đƣờng trung hòa)
3Qy 3Qy
max  zy (0)  (4)
2b.h 2F

 Mặt cắt chữ I.
Xét dầm chịu uốn ngang phẳng có mặt
cắt ngang chữ I. Để đơn giản hóa ta coi mặt
cắt gồm 3 hình chữ nhật ghép lại.

 Phần lòng: hình chữ nhật rộng d, cao (h-2t)

Qy dy2
(l) 
zy (Sx  ) (5)
Jxd 2

(với Sx : tra bảng)

 Phần đế: 2 hình chữ nhật rộng b, cao t
Qy h t Qy.x h t
(d) 
zy .t.x.(  ) .(  )
Jxt 2 2 Jx 2 2
{ ứng suất của phần giao giữa lòng và đến không xét đến vì phức tạp và có trị số nhỏ }

Thực tế: thấy  zy >> zy ta chỉ xét sụ phân số ƢS tiếp  zy ở phần lòng của mặt cắt.
(l) (d)

 Tại y=0 (các điểm thuộc đƣờng trung hòa):
QySx
(l)  max 
zy (6)
Jxd
 Tại điểm K (giao giữa phần lòng và đế): Xét điểm K thuộc phần lòng (blßng  b® (l) lớn)
c c
ª
zy

h Qy  d h  
2
yK   t  k  S  t 
Jxd  x 2  2  
(7)
2    

59

thanh hïng
 Mặt cắt hình tròn

Qy
zy  (R2  y2) (8)
3Jx
QyR2 4Qy
Tại y=0 : zy  max  
3Jx 3F

III. Kiểm tra bền cho dầm – chịu uốn ngang phẳng
Xét đoạn dầm chịu uốn ngang phẳng mặt cắt ngang chữ nhật (bxh). Nếu tách ra tại các
điểm trên dầm những phân tố thì tƣơng ứng có 3 loại trạng thái ứng suất (TTƢS) dựa vào biểu
đồ z và zy của mặt cắt ngang.

 Phân tố A, A' có  z  max ; zy  0 là phân tố ở trạng thái ứng suất đơn.
min

 Phân tố B có z  0; zy  max là phân tố ở trạng thái trƣợt thuần túy.

 Phân tố C có z  0; zy  0 là phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng.

Vì tại các điểm trong dầm chịu 3 loại TTƢS khác nhau nên việc kiểm tra bền cho dầm
phải tiến hành kiểm tra đồng thời cho 3 loại TTƢS trên.

a) Kiểm tra phân tố trạng thái ứng suất đơn:
- Mặt cắt kiểm tra : mặt cắt có Mx  Mmax .
min

- Điểm kiểm tra : điểm có  z  max .
min

Điều kiện bền: + Vật liệu dẻo : max      (9a)

max   k

+ Vật liệu dòn :  (9b)
 min  n

b) Kiểm tra phân trượt thuần túy:
- Mặt cắt kiểm tra : mặt cắt có Qy .
max

- Điểm kiểm tra : điểm có zy  max .

Điều kiện bền: max    (10)
Ta có thể tính [] thông qua [] theo thuyết bền nhƣ sau :
- Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất :       / 2 .

- Thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng lớn nhất :     / 3 .

60

thanh hïng
c) Kiểm tra phân tố phẳng đặc biệt:
- Mặt cắt kiểm tra: mặt cắt có Qy & Mx cùng lớn

- Điểm kiểm tra: điểm có z và  zy cùng lớn (điểm K)
Điều kiện bền:

 Thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất :
1  K  4K  
2 2
(11)

 Thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng lớn nhất
t  K  3K  
2 2
(11’)
MC QC .ScK
x
Trong đó : K  yK ; K 
Jx Jx .bc
Từ các điều kiện bền (9a,b), (10), (11)  Có 3 dạng bài toán :

1. Kiểm tra bền: theo điều kiện bền (9a) hoặc (9b).
Chú ý: Mặt cắt ngang có đƣờng trung hoà không chia đôi chiều cao; Vật liệu dòn  phải
quan tâm cả hai mặt cắt có Mx  Mmax
min

2. Chọn kích thước mặt cắt ngang :
(9,9')  F1 

(10)  F2   F  max Fi 
(11)  F3 

3. Xác định giá trị tải trọng cho phép [P] tác dụng lên dầm:

Để giải bài toán không phức tạp, ta xác định [F]S hoặc [P]S sơ bộ theo (a), sau đó kiểm
tra cho (b), (c) với các giá trị sơ bộ vừa tìm đƣợc:
+ Nếu các điều kiện bền thỏa mãn (hoặc vƣợt quá <  5%  chấp nhận đƣợc) thì ta
chọn [F] = [F]S hay [P] = [P]S.
+ Nếu điều kiện nào không thỏa mãn thì ta chọn [F] hay [P] theo điều kiện đó là đủ.

----------------------------------------------------

61

thanh hïng

Ví dụ 1: Kiểm tra bền cho dầm chịu lực nhƣ hình vẽ nếu    16kN/cm2 .
 

 Bước 1: Vẽ biểu đồ nội lực:
Qmax  56kN; Mmax  50kNm;
 Bước 2: Xác định đặc trƣng hình học:
Chia mặt cắt thành 2 hình :
Hình 1 : b1xh1 = 12x20(cm), (x1O1y1) là hệ trục quán tính chính trung tâm.
Hình 2 : b2xh2 = 6x8(cm) khuyết, (x2O2y2) là hệ trục quán tính chính trung tâm.
 Xác định trọng tâm O của mặt cắt trong hệ tọa độ (x1O1y1):
0  4.( 8.6)  O1  (0, 1)
x1,O  0 , y1,O   1cm . Tọa độ trọng tâm 01; 02 trong (xOy) : 
20.12  8.6 O2  (0, 5)
 1   1 
Jx  J(1)  J(2)  (Jx1  y1 F1 )  (Jx2  y 2F2 )   203.12  ( 1)2 .20.12    83.6  ( 5) 2 .8.6   6784cm4
x x
2 2

 12   12 
S x  4,5.9.12  486(cm3 )
 Bước 3: Kiểm tra bền:
 Kiểm tra phân tố trạng thái ứng suất đơn:
M max 50.102
max   min  n
y max  11  8,1kN / cm2     16kN / cm2 (1)
Jx 6784
 Kiểm tra phân trƣợt thuần túy: (Điểm kiểm tra: điểm ở đƣờng trung hòa)
Q max .Sc 56.486   8 kN/ cm2
max 
x

Jx b C

6784.12
 0,33kN/ cm2    
2
  (2)

 Kiểm tra phân tố phẳng đặc biệt:
- Chọn mặt cắt kiểm tra: mặt cắt tại bên phải C có QC  40kN, MC  48kNm
- Điểm kiểm tra: Điểm B (thuộc phần dƣới):
2
Sc  2.12.(  9)  240(cm3 ) ; yB  8  1 9(cm) ; bC  3  3  6(cm)
x
2
MC 48.102 QC .Sc 40.240
B  yB  .9  6,37(kN/cm2) ; B  x
  0,24(kN/cm2)
Jx 6784 Jx.bc 6784.6
Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất:
 t  B  4B  6,372  4.0,242  6,38kN/cm2     16kN/cm2
2 2
  (3)

62

thanh hïng
(1,2,3)  dầm đảm bảo yêu cầu về bền.
Ví dụ 2: Chọn kích thƣớc mặt cắt ngang cho dầm chịu lực nhƣ hình vẽ biết [  ]=16 kN/cm2

Mx max
 60kNm; Qy  61kN;
max

 Bước 2: Tính đặc trƣng hình học:
1 1
Jx  J(1)  2J(2) 
x x (8b)3 .3b  2. (6b)3 .b
12 12
 92b 4 (cm4 )
Jx 92b 4
Wx    23b3
h/ 2 4b
S x  S(1)  2S(2)  (4b.3b).2b  2.(b.3b).1,5b  15b 3
x x

 Bước 3: Xác định sơ bộ mặt cắt ngang:
M max 60.102
max     [ ]  16  b  2,54cm → Chọn b=2,54cm
Wx 23b3
 Bước 4: Kiểm tra cho hai phân tố còn lại
 Kiểm tra cho phân tố trƣợt thuần túy

max 
Q max .S x

61.1,5.2,543
 0,15kN/ cm2    
  8kN/ cm2
Jx b c 4
92.2,54 .2,54 2
 Kiểm tra cho phân tố phẳng đặc biệt:
- Chọn mặt cắt tại bên trái B: QB  61kN, MB  60kNm
- Chọn điểm kiểm tra: điểm D (thuộc phần trên): bc=b=2,54cm
b
Sc  b.3b.(  3b)  10,5.b3  172,1cm3
x
2
MB 60.102 60.102
D  yD  .3b  .3  11,94(kN / cm2 )
Jx 92.b 4 92.2,54 3
QB .S c
x 61.10,5b 3 60.10,5
D   4
 2
 1,08(kN / cm2 )
Jx .bc 92.b .b 92.2,54
Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất:
t  D  4D  11,942  4.1,082  12,13kN/ cm2  
2 2

Vậy, với kích thƣớc đã chọn, dầm đảm bảo yêu cầu về bền.

63

thanh hïng

Ví dụ 3 : Hãy xác định giá trị tải trọng cho phép tác dụng lên dầm nhƣ hình vẽ :
biết [  ]=16 kN/cm2.

M max  2,5qa2 ; Q max  3qa;
 Bước 2: Tính đặc trƣng hình học:
Chia mặt cắt thành 2 hình :
Hình 1 : b1xh1 = 12x20(cm), (x1O1y1 )là hệ trục quán tính chính trung tâm.
Hình 2 : b2xh2 = 6x8(cm) khuyết, (x2O2y2 )là hệ trục quán tính chính trung tâm.
 Xác định trọng tâm O của mặt cắt trong hệ tọa độ (x 1O1y1):
0  4.( 8.6)  O  (0, 1)
x1,O  0 , y1,O   1cm . Tọa độ trọng tâm 01; 02 trong (xOy) :  1
20.12  8.6 O2  (0, 5)
 1   1 
Jx  J(1)  J(2)  (Jx1  y1 F1 )  (Jx2  y 2F2 )   203.12  ( 1)2 .20.12    83.6  ( 5) 2 .8.6   6784cm4
x x
2 2

 12   12 
S x  4,5.9.12  486(cm3 ) .
 Bước 3: Xác định sơ bộ tải trọng cho phép [q]
M max 2,5qa2 .102
max   min  n
y max  11     16kN / cm2  qS  10kN / m .
Jx 6784
 Bước 4: Với q chọn sơ bộ, kiểm tra bền cho hai phân tố còn lại:
 Kiểm tra cho phân tố trƣợt thuần túy:

max 
Q max .S x

3qa.S x 3.10.2.486
  0,36kN/ cm2    
  8kN/ cm2
Jx bC Jx bC 6784.12 2
 Kiểm tra cho phân tố phẳng đặc biệt:
- Chọn mặt cắt kiểm tra tại C: QC  2qa , MC  2,5qa2
- Chọn điểm kiểm tra: điểm B (thuộc phần dƣới):
2
Sc  2.12.(  9)  240(cm3 ) ; yB  8  1  9(cm) ; bC  3  3  6(cm)
x
2
MC 2,5.10.22.102 QC .Sc
x 2.10.2.240
B  yB  .11  13,3(kN / cm2 ) ; B    0,24(kN / cm2 )
Jx 6784 Jx .bc 6784.6

t  B  4B  13,32  4.0,242  13,31kN/ cm2     16kN/ cm2 .
2 2

64

thanh hïng
Vậy chọn q=10 kN/m.
§4. Quỹ đạo ứng suất chính của dầm khi uốn

Xét dầm chịu uốn ngang phẳng. Xác định
phƣơng các ứng suất chính của những phân tố tại
các điểm khác nhau trong dầm:

 Phân tố tại A, A’ (trạng thái ứng suất đơn):
phƣơng chính vuông góc với trục dầm.

 Phân tố tại B (trạng thái trƣợt thuần túy):
phƣơng chính làm với trục dầm góc 45o.

 Phân tố tại C, C’ (trạng thái ứng suất phẳng): Xác định
phƣơng chính nhờ vòng tròn MO.

 Quỹ đạo của ứng suất chính: là tập hợp các đƣờng cong mà
tiếp tuyến tại điểm bất kì trùng với phƣơng chính tại điểm ấy.

 lập thành 2 họ đƣờng cong:

 Quỹ đạo ứng suất chính nén

 Quỹ đạo ứng suất chính kéo
(xác định bằng phương pháp thực nghiệm)

Ứng dụng: Biết đƣợc quỹ đạo ứng suất chính thì cho phép bố trí vật liệu hợp lý để tăng khả
năng chịu lực của dầm

VD: Bê tông cốt thép: + Bê tông: chịu nén tốt

+Cốt thép: chịu kéo tốt  đặt theo phƣơng quỹ đạo ứng suất chính
kéo (VD: Cốt thép vai bò...)

65

thanh hïng

§5. Thế năng biến dạng đàn hồi

 Năng lƣợng làm vật thể biến dạng đàn hồi  gọi là năng lƣợng biến dạng đàn hồi
 Dầm chịu uốn ngang phẳng: Nói chung các phân tố tại một điểm nào đó của dầm là trạng
thái ứng suất phẳng ( 1  3  0,2  0 )
 Thế năng riêng biến dạng đàn hồi:
11 3 3 1 
U  U1  U2     1  3   3 3  1 
2 2 2E 2E (1)
1 2
 U  1  3  213 
2
2E  
Mặt khác:
 1 2
1  max    1  42 (2)
2 2
 1 2
3  min    1  4 2 (3)
2 2
(1),(2),(3) 2
2 2(1  ) 
2
2 M2 2 Q2 (Qc )2

x y x
U  .    2
y  2 2
2E 2 E 2E 2G 2EJx 2GJx bc
y  z 1
(max,min   (  z   y ) 2  4 2 )
zy
2 2
 Thế năng biến dạng đàn hồi của đoạn thanh dz:
dU   UdV   Udz.a'.F  dz  UdF
(V) (F) (F)

 M2
x Q2 (Sc )2
y x

 
2
 dU  dz  2
y dF  2 2

(F) 2EJx
 (F) 2GJx b c 

 M2x Q2 (Sc )2 
 y dF  2GJ2 
2 y
 dU  dz  2 x
2
dF  (4)
 2EJx
 (F) x (F) b c 

F (Sc )2
 b2 dF  y dF
2
Đặt   x
Ta có: Jx 
J2
x (F) c (F)

(4) M2
x Q2
y
 dU  dz   dz (5)
2EJ2
x 2GF

 Giả sử dầm có chiều dài l và F = const
l
M2
x
l
Q2
U   dU   dz   
y
dz
(l) 0 2EJ2
x 0
2GF

 Mỗi dạng mặt cắt dầm có  khác nhau
  - hệ số điều chỉnh sự phân bố không đều của ứng suất tiếp
 Mặt cắt chữ nhật:  = 1,20
 Mặt cắt tròn:  = 1,11
 Mặt cắt chữ I:  = F/F1
Trong đó: F: Diện tích chữ I
66

thanh hïng
F1: Diện tích phần lòng chữ I (F1 = (h-2t).d)

BÀI TẬP CHƢƠNG 6

67

thanh hïng

CHƢƠNG 7. CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN

§1: Khái niệm

Định nghĩa: "Đường đàn hồi là đường cong trục
dầm sau khi uốn".
Phƣơng trình đƣờng đàn hồi trong hệ (yOz) :
y = y(z)

Xét điểm K trên trục dầm trƣớc khi uốn, sau khi
dầm biến dạng K có vị trí la K'
KK’: Chuyển vị thẳng của điểm K
 u: Chuyển vị thẳng theo phƣơng ngang
v: Chuyển vị thẳng theo phƣơng đứng
Thực tế: u << v  bỏ qua chuyển vị ngang u  KK’= v, Vị trí điểm K sau khi dầm biến dạng
nằm trên đƣờng thẳng đi qua K.
v : độ võng của dầm tại K.
v = v(z) = y = y(z) (7.1)
: góc xoay của mặt cắt ngang dầm tại K .
’: Góc giữa tiếp tuyến của đƣờng đàn hồi tại điểm K’ với phƣơng ngang.
  = ’  tg’=y’(z) (7.2)
Trong thực tế tính toán dầm chị uốn, ngoài điều kiện bền cho dầm, ngƣời ta còn phải
kiểm tra điều kiện cứng cho dầm.

y max  f 
Điều kiện cứng:   (7.3)
l l
 l: Chiều dài nhịp dầm
 f: mũi tên độ võng

§2: Phƣơng trình vi phân của đƣờng đàn hồi
(Phƣơng trình vi phân gần đúng của đƣờng đàn hồi)

Trong chƣơng uốn ngang phẳng ta đã thiết lập đƣợc công thức biểu thị mối quan hệ giữa
bán kinh cong trục dầm  và mô men uốn Mx, ta có:
1 Mx
 (1)
 EJx
Mặt khác, vì đƣờng đàn hồi là đƣờng cong hình học nên theo hình học vi phân ta có:
1 y ''
 (2)
 (1  y '2 )3 / 2
y '' M

(1)
   x (3)
(2)
(1  y ' )
2 3/2
EJx

68

thanh hïng
Vì chỉ có duy nhất một đƣờng đàn hồi nên ta phải chọn dấu cho (3) sao cho phù hợp.
Xét đoạn dầm chịu uốn trong 2 trƣờng hợp:

Ta thấy: y’’ và Mx luôn trái dấu nên ta chọn dấu (-) cho hệ thức (3).

Mx
 3  (1 y ''' )
y
2 3/2

EJx
(7.4)

Theo giả thuyết 3 : Biến dạng  bé  nên y’ bé  bỏ qua đại lƣợng y’2.

 Ta có phƣơng trình vi phân gần đúng của đƣờng đàn hồi:

Mx
y ''   (7.5)
EJx

§3: Các phƣơng pháp xác định đƣờng đàn hồi

I. Phƣơng pháp tích phân không xác định
Mx
Ta thấy rằng Mx = Mx(z)  là hàm của z → (7.5) là phƣơng trình với biến số phân li.
EJx
Ta có:
dy '(z) M (z) M (z)
y ''(z)   x  dy '(z)   x dz
dz EJx EJx

M x dz 
y '(z)    C 
EJx 
tích phân  (7.6)
 M x dz 
y(z)       C dz  D 
EJx 
  

Trong đó: C,D: hằng số tích phân, xác định bằng điều kiện biên và điều kiện liên tục của dầm.
M(i)
Nếu dầm chia n đoạn  có n biểu thức x
(i=1n)
Ei J(i)
x

Từ (7.6)  2n hằng số tích phân Ci, Di , từ điều kiện biên và điều kiện liên tục của dầm ta lập
đƣợc hệ 2n phƣơng trình đại số, giải ra ta đƣợc 2n ẩn số Ci, Di.

69

thanh hïng

Ví dụ: Cho dầm chịu lực nhƣ hình vẽ: EJ x=const. Hãy xác định độ võng và góc xoay tại mặt cắt
A của dầm
Giải:
1. Xác định phản lực và phân đoạn dầm
2. Lập phƣơng trình vi phân
Đoạn 1: Dùng mặt cắt 1-1  AB, xét cân bằng phần bên trái:
2
qz1 M(1) qz 2
M(1)  
x  y ''1(z1 )   x  1
2 EJ 2EJ
 3
qz1
y'1(z1)   C1
 6EJ
 (0z1a)
 qz4
 y1(z1)  1  C1z1  D1
 24EJ
Đoạn 2: Dùng mặt cắt 2-2  BC, xét cân bằng phần bên trái:
qa2 qa a
M(2) 
x  (  z2 )  qaz2
2 1 2
M(2) qaz2
y''2(z2 )   x

EJx EJx

 qaz2
y'2(z2 )   C2
2
 2EJx
 (0z2a)
 qaz3
 y2(z2 )  2
 C2z2  D2
 6EJ
3. Xác định Ci, Di :
 Điều kiện biên:
Tại C: z2 =a, ta có: y'2(a)  0;y2(a)  0

 qa3  qa3
  C2  0 C2  
 2EJ  2EJ
  
 qa4  qa4
 6EJ  C2a  D2  0 D2 
  3EJ
 Điều kiện liên tục:
Tại B: (z1 =a, z2 =0) y'1(a)  y'2 (0); y1(a)  y2 (0)

 qa3 qa3  2qa3
  C1  0  C2   C1  
 6EJ 2EJ  3EJ
  
 qa 4
qa4  23qa4
 24EJ  C1a  D1  0  D2  D1 
 3EJ  24EJ

4. Xác định chuyển vị và góc xoay tai A: z1=0

70

thanh hïng

qz1 (2)qa3
4
23qa4 23qa4
y1(z1)   z1   yA  y1(0) 
24EJ 3EJ 24EJ 24EJ
3
qz1 2qa3 2qa3
y'1(z1)    y'A  y'1(0)  
6EJ 3EJ 3EJ

II. Phƣơng pháp đồ toán (phƣơng pháp dầm giả tạo)
 Quan hệ giữa Qy, Mx,q(z):
dQy dMx d2Mx
 q(z);  Qy;  q(z);
dz dz dz2
d2 y M
 Mặt khác: y ''(z)  2
 x ;
dz EJx

 Giả sử  một dầm giả tạo chịu tác dụng của tải trọng phân bố giả tạo:

Mx
qgt   (7.7)
EJx

 Gọi lực cắt và mômen uốn trên dầm giả tạo là Q gt, Mgt
d2Mgt M x d2 y(z)
  qgt   
dz 2 EJx dz 2

dMgt (z)
 y(z)  Mgt (z); y '(z)   Q gt (z) (7.8)
dz
Trong đó, liên kết của dầm giả tạo phải tƣơng ứng với sự làm việc của dầm thực:
y = 0, y’= 0  liên kết ở dầm giả tạo có : Mgt = 0; Qgt= 0
y ≠ 0, y’ ≠ 0  liên kết ở dầm giả tạo có : Mgt ≠ 0; Qgt ≠ 0

 Mét sè tr-êng hîp
DÇm thùc DÇm gi¶ t¹o

71

thanh hïng

Mx
 Từ (7.7) ta có: qgt  nếu EJx = const, dạng qgt giống dạng biểu đồ Mx.
EJx
Mx > 0  qqt < 0  qqt 

Ta thấy qqt và Mx ngƣợc dấu nhau: 
Mx < 0  qqt > 0  qqt 


 Chú ý: Phần diện tích giới hạn bởi đƣờng cong:
Hình  ZC Hình  ZC

HL L HL HL
3 4 n 1 n2

2 3 n n 1
HL L HL L
3 8 n 1 2(n  2)

Ví dụ: Cho hình vẽ nhƣ bên: dầm có EJx = const chịu
lực. Xác định độ võng của dầm:

Giải:

 Vẽ biểu đồ mômen uốn Mx

 Chọn dầm giả tạo và đặt tải trọng giải tạo.
Mx
qgt  
EJx
 Xác định yA và y'A .

Dùng mặt cắt qua A và xét cân bằng phần dầm
giả tạo bên phải ta có :
1  1 2 1 1  2qa3
 y  0 QgtA   F1  F2  EJX  2

qa .a  qa2 .a  
3 2  3EJx

72

thanh hïng

5 3 1 1 35 1 3  23qa4
 mA  0 MgtA  F . a  F. a 
2
3
1
4 EJx  2

qa a  qa3 a 
3 6 4  24EJx
23qa4 2qa3
Vậy: yA  MgtA  ; y'A  QgtA  
24EJx 3EJx

III. Phƣơng pháp thông số ban đầu
 Giả sử dầm chia ra n đoạn.
 Xét hai đoạn kề nhau (i) và (i+1).
Gọi độ võng, góc xoay, mômen uốn,
lực cắt, tải trọng phân bố và đạo hàm tải
trong phân bố tƣơng ứng ở 2 đoạn này
là :

Đoạn i:
yi(z),y’i(z), Mi(z), Qi(z), qi(z), q’i(z).

Đoạn i+1:
yi+1(z), y’i+1(z), Mi+1(z), Qi+1(z),
qi+1(z), q’i+1(z).

 Giả thiết tại mặt cắt z=a, 6 đại lƣợng
trên có bƣớc nhảy là: ya, y’a, Ma, Qa, qa, q’a.
(Ví dụ: đoạn nối 2, đoạn ray đƣờng tàu...)
 Giả sử đƣờng đàn hồi ở đoạn i đƣợc kéo dài sang đoạn (i+1)
 Xét mặt cắt z  a, yi+1(z) = yi(z)+  y(z) (1)
_____________________________
Nhắc lại:
 Hàm y= f(x). Khai triển Taylor tại x=xo
x=xo
f '(xo ) f ''(xo ) fi (xo ) fn(xo )
y= f(x) = f(xo ) + (x  xo )  (x  xo )2  ...  (x  xo )i  ...  (x  xo )n
1! 2! i! n!
Tại xo = 0  đƣợc chuỗi Macloranh
_____________________________
 Khai triển Taylor của hàm y(z) tại z = a:
y'(a) y''(a) y'''(a) yIV(a) yV(a)
y(z)  y(a)  (z  a)  (z  a)2  (z  a)3  (z  a)4  (z  a)5  ... (2)
1! 2! 3! 4! 5!
Xác định: y(a), y'(a), y''(a), y'''(a), y(IV) (a), , y(V) (a).
y(a)  ya

Theo giả thiết:  (a)
y'(a)  y'a

Mi1(z) M(z)
Ta có: y''(z)  y''i1 y''i    i
(EJ)i1 (EJ)i
1 ki 1 ki1 1
 y"(z)  [ki1.Mi1(z)  ki.M(z)]
i Với  ;  .
EJ EJ (EJ)i EJ (EJ)i1

73

thanh hïng

 1  1
y"(z)  EJ[ki1.Mi1(z)  ki .M(z)]
i y''(a)  - EJ[ki1.Mi1(a)  ki.M(a)]i
 
y'''(z)  - 1 [k .Q (z)  k .Q(z)] y'''(a)  - 1 [k .Q (a)  k .Q(a)]

 EJ
i1 i1 i i
thay za  EJ
i1 i1 i i
     (b)
y(IV) (z)   1 [k .q (z)  k .q(z)] y(IV) (a)   1 [k .q (a)  k .q(a)]
i1 i1 i1 i1
 EJ
i i
 EJ
i i
 
y(V) (z)  - 1 [ki1.q'i1(z)  ki.q'i (z)] y(V) (a)  - 1 [ki1.q'i1(a)  ki.q'i (a)]

 EJ 
 EJ
ki1.Mi1(a)  ki.M(a) k .Q (a)  ki.Q(a)
 yi+1(z) = yi (z) + ya + y 'a(z-a) -
thay(a),(b)
vµo (2)
 i
(z  a)2- i1 i1 i
(z  a)3+
2!EJ 3!EJ
ki1.qi1(a)  ki.q(a) 4 ki1.q'i1(a)  ki.q'i (a)
(7.9)
- i
(z  a) - (z  a)  ...
5
4!EJ 5!EJ

(7.9) Là công thức truy hồi. Nếu biết đƣợc y1(z) ta tìm đƣợc y2(z), y3(z)...→ Xác định y1(z).

 Để xác định y1(z) ta xét đoạn i =1, (Giả sử đoạn 0 bên trái đoạn1 có q0(z)  0, y0(z)  0)
 Tại mặt cắt z = a = 0, yo = yo ,y’o = y’o , q’o= q’o
 Các đại lƣợng tại mặt cắt đầu nút trái dầm (z = 0):
yo, y’o, Mo, Qo, qo, q’o  Các thông số ban đầu.

Thay i = 0 vào (7.9) với yo(0) = 0, y’o(0) = 0, Mo(0) = 0, Qo(0) = 0, qo(0) = 0, q’o (0) = 0.
(7.9) k1.M0z2 k1.Q0z3 k1q0z4 k1.q'0 z5
 y1(z) = y0 + y'0z - - - -  ... (7.10)
2!EJ 3!EJ 4!EJ 5!EJ

 Đặc biệt: Ei.Ji = Ei+1.Ji+1 = const  ki = 1 (i = 1,n )
(7.10) M0z2 Q0z3 q0z4 q'0 z5
 y1(z) = y0 + y'0 z - - - -  ... (7.11)
2!EJ 3!EJ 4!EJ 5!EJ
(7.9) Ma Q q q'
 yi+1(z) = yi (z) +  ya +  y'a (z-a) - (z a)2 - a (z a)3 - a (z  a)4 - a (z  a)5  ... (7.12)
2!EJ 3!EJ 4!EJ 5!EJ
 Ma  Mi1(a)  M(a) = Mf  Mt
i

 Qa  Qi1(a)  Qi (a) = Qf  Qt
Trong đó: 
 qa  qi1(a)  qi (a) = qf  qt
 q'  q' (a) q' (a) = q'  q'
 a i1 i f t

Lƣu ý dấu:
>0
→ M > 0 P → Q > 0
q' = tg > 0
<0
→ M < 0 P→Q < 0 q' = tg< 0

Chú ý :
- Nếu đoạn i và i+1 nối cứng thì : ya = 0, y’a = 0.
- Nếu đoạn i và i+1 nối khớp thì : ya = 0, y’a  0.

74

thanh hïng

- Nếu đoạn i và i+1 nối bằng liên kết trƣợt thì : ya  0, y’a = 0.

Ví dụ 1: Cho dầm chịu lực nhƣ hình vẽ, dầm có
độ cứng EJ = const. Hãy xác định độ võng và
góc xoay mặt cắt ngang dầm tại C.

Giải:
1. Xác định phản lực liên kết và phân đoạn dầm.
- Từ điều kiện cân bằng  VA= 3qa, VB= 4qa.
- Chia dầm thành 2 đoạn.
2. Lập bảng thông số.
Bảng thông số ban đầu
z=0 z = 2a
y0 = 0 y = 0
y'0  0 y' = 0
M0 = 0 M = 2qa2
Q0 = 3qa Q = -P= -2qa
q0 = -q q = q
2q
q’0= 0 q' 
3a
3. Viết phƣơng trình độ võng và góc xoáy ở các đoạn dầm
M0.z2 Q0.z3 q0.z4 q'0 .z5
 Đoạn 1: 0  z  2a : y1(z)  y0  y'0 .z    
2!EJ 3!EJ 4!EJ 5!EJ
 3qa.z3 q.z4
 y1(z)  y'0 .z  
 3!EJ 4!EJ
 (1)
 3qa.z2 qz3
 y'1(z)  y'0  
 2EJ 6EJ
 Đoạn 2: 2a  z  5a :
M(z  2a)2 Q(z  2a)3 q(z  2a)4 q'(z  2a)5
y2(z)  y1(z)  y  y'(z  2a)    
2!EJ 3!EJ 4!EJ 5!EJ
 2qa2.(z  2a)2 2qa.(z  2a)3 q.(z  2a)4 q.(z  2a)5
 y2(z)  y1(z)    
 2!EJ 6EJ 24EJ 180EJ.a
 (2)
 y' (z)  y' (z)  2qa .(z  2a)  P.(z  2a)  q.(z  2a)  q.(z  2a)
2 2 3 4



2 1
EJ 2EJ 6EJ 36EJ.a
4. Xác định thông số chƣa biết y'0 = ?
Để xác định y’0 ta dùng điều kiện biên:
Tại z = 5a ta có y2(5a) = 0

75

thanh hïng

3qa.(5a)3 q.(5a)4 2qa2.(3a)3 2qa.(3a)3 q.(3a)4 q.(3a)5
y2(5a)  y'0 .5a       0
3!EJ 4!EJ 6EJ 6EJ 24EJ 180EJ.a
qa3  125 625 27 27  2309 qa3
 y'0  .   9 9    . (3)
3EJ  2 24 8 20  300 EJ
5. Xác định yC, y’C. Thay y’0 vào (1) ta đƣợc:
 2309 qa3 qa.z3 q.z4  2309 qa3 qa.(2a)3 q.(2a)4 qa4
y1(z)  . .z   yC  y1(2a)  . .2a    12,06
 300 EJ 2EJ 24EJ t¹ i C  300 EJ 2EJ 24EJ EJ
  
z2a
 3 2 3 3
3 2 3
 2309.qa 3qa.z q.z  y'  y' (2a)  2309.qa  3qa.(2a)  q.(2a)  3,03. qa
 y'1(z)     C 1
 300EJ 2EJ 6EJ  300EJ 2EJ 6EJ EJ
Ví dụ 2: Cho dầm có EJ = const, chịu lực nhƣ hình vẽ. Tính độ võng và góc xoay tại C (yc, y’c).

Giải:
1. Xác định phản lực và phân đoạn.
Xét cân bằng dầm AB :
 mA = 0  VB = 5,25 qa.
 mB = 0  VA = 4,75 qa.
Chia dầm thành 3 đoạn.

2. Lập bảng thông số.
Bảng thông số ban đầu
z=0 z = 3a z = 5a
y0 = 0 y = 0 y = 0
y'0  0 y' = 0 y' = 0
M0 = 0 M = - qa2 M = 3qa2
Q0 = 4,75qa Q = -2qa Q = -2qa
q0 = 0 q = -q - (-2q) = q q = -2q - (-q) = -q
2q 2q 2q
qo '  tg   q'  q'f  qt '  q'  q'f  qt ' 
3a 3a 3a
3. Viết phƣơng trình đƣờng đàn hồi: Ei.Ji = const  ki = 1 (i = 1,n )
 Công thức: (7.11) và (7.12)
4,75qa 3 2q
 Đoạn 1: 0  z  3a : y1  z  0  y'0 .z  0  .z  0  .z5 .
3!EJ 3a.5!EJ
 4,75qa 3 q
y1  z  y'0 .z  3!EJ .z  180EJ.z
5


y'  z  y'  4,75qa .z2  q .z4
 1

0
2EJ 36aEJ
 Đoạn 2: 3a  z  5a :
qa2 2 2qa q 2q
y2  z  y1  z  0  0  . z  3a   z  3a3   z  3a4  . z  3a
5
2!EJ 3!EJ 4!EJ 3a.5!EJ
 qa2 qa q q
y2  z  y1  z  . z  3a   z  3a3   z  3a4  . z  3a
2 5
 2EJ 3EJ 24EJ 180aEJ

2
 qa qa q q
y'2  z  y'1  z  EJ . z  3a  EJ. z  3a  6EJ  z  3a  36aEJ. z  3a
2 3 4

 Đoạn 3: 5a  z  8a

76

Strength Of Materials 2

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Ähnlich wie Strength Of Materials 2

Ähnlich wie Strength Of Materials 2 (20)

Strength Of Materials 2