1. Fibonacci
Trabajo 1º Bachiller Investigación
Matemáticas
Sergio Illán Bedmar
30/11/2008

2. Fibonacci
nov.
INDICE
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Φ Introducción……………Página 3.
Φ Sucesión de Fibonacci……………Página 4.
Φ Aplicaciones en distintas
disciplinas……………Página 5,6.
Φ Explicación Matemática del número de
Fibonacci:
-Definición Formal…….Página 7.
-Representaciones alternativas…….Página
8.
-Propiedades de la sucesión…….Página
8,9.
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INTRODUCCIÓN
El número de Fibonacci es una sucesión de cifras que ha dado lugar a no pocas
teorías, demostrándose que esta sucesión está presentes en la naturaleza de
forma estable, ya sea en la organización de los panales de las abejas, o incluso en
la descendencia de los zánganos.
Leonardo Fibonacci, también llamado Leonardo Pisano, fue un calculista que
nació y murió en la ciudad de Pisa, en Italia, del 1175 a 1240. Dedicó su vida a
recopilar todas las enseñanzas que recogió en sus numerosos viajes al mundo
árabe, de quienes difundió sus principios de cálculo en el mundo occidental. A esta
presentación agregó una explicación de procedimientos algebraicos y aplicaciones
a numerosos problemas.
Era hijo de Bonaccio, de ahí su nombre Fibonacci, que significa quot;hijo de
Bonaccioquot;. De su padre aprendió todo lo referente a los números, ya que era
director de una aduana en Argelia. Bonaccio, necesitaba que su hijo supiese de
números, por lo que le obligó a estudiar aritmética posicional hindú.
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SUCESIÓN DE FIBONACCI
El aporte de Fibonacci a las matemática es muy grande, pero sin duda por lo que
más se le conoce es por crear la sucesión de números que lleva su nombre. Los
conocidos como Números Fibonachi, fueron un intento de describir el
crecimiento de una población teniendo en cuenta que cada individuo tendría dos
hijos a lo largo de su vida.
Esta sucesión seguía una fórmula sencilla: Fn = Fn-1 + Fn-2. A raíz de esta
fórmula, la sucesión que el matemático italiano estableció fue la siguiente: 0, 1,
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, etcétera. donde cada elemento restante es la suma
de los dos anteriores.
Pero sin duda, lo más interesante de esta fórmula matemática, es que aparece en
una gran cantidad de los elementos de la naturaleza. Los números de Fibonacci
son utilizados en los estudios sobre el azar, en clasificación de datos e incluso en
los mecanismos para recuperar información en los ordenadores, así como en los
famosos fractales, objeto semi geométrico cuya estructura básica se repite a
diferentes escalas, como por ejemplo un copo de nieve o una nube
Un fractal es un objeto geométrico
cuya estructura básica se repite en diferentes escalas, hasta el infinito.
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APLICACIONES EN DISTINTAS DISCIPLINAS
Una de las aplicaciones más conocida de esta serie es la que rige la estructura de
los caparazones espirales de muchos caracoles, así como ciertas proporciones
de la anatomía humana, animal y vegetal. Además, también se han hallado la
misma estrutura en manifestaciones de artes plásticas, la arquitectura y la poesía,
por ejemplo en la obra de Virgilio, la Eneida.
Dentro de la ciencias naturales, encontramos esta misma estructura en la
disposición de las semillas de algunas flores (A), ubicadas en la gran parte
central en forma de espiral con funciones logarítmicas. Un grupo gira en sentido
horario y otro en el antihorario. Las abejas también tienen relación con las series
de Fibonacci, por ejemplo en la colocación de las celdas de una colmena, en las
que sólo hay una ruta posible para ir a la siguiente celda, dos hacia la siguiente y
así sucesivamente según la serie. Además, los machos o zánganos de la colmena
tienen árboles genealógicos (B) que siguen estrictamente la misma distribución, no
tienen padre, por lo que sólo hay una madre, dos abuelos... y así siguiendo la serie
propuesta por el matemático. Esta fórmula, la encontramos en la distribución de las
falanges (C) de la propia mano del ser humano.
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En la disciplina de la física, también se ve reflejada esta sucesión. Si se colocan
dos láminas planas de vidrio en contacto y se proyectan rayos de luz sobre ellas
que las atraviesen, algunos, dependiendo del ángulo de incidencia, las atravesarán
sin reflejarse, pero otros sufrirán una reflexión. El rayo que no sufre reflexión tiene
sólo una trayectoria posible de salida; el que sufre una reflexión tiene dos rutas
posibles; el que sufre dos reflexiones, tres trayectorias, el que experimenta tres
reflexiones, cinco...
Este número ha dado mucho que hablar y ha servido de inspiración también para
varias obras literarias y no menos películas. Por ejemplo en la famosa novela de
Dan Brown, quot;El código Da Vinciquot; aparece una versión desordenada de los primeros
ocho números de Fibonacci que funcionan como una pista dejada por el
conservador del museo del Louvre, Jacques Saunière. Esta misma sucesión la
podemos encontrar en el álbum Lateralus de la banda estadounidense Tool, en la
que los patrones de la batería de la canción Lateralus siguen el mismo patrón de
la sucesión de Fibonacci del número 13 (el número de pistas del disco):
1,1,2,3,5,8,13,1,1,2,3,5,8,13,1,1,...
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Dibujo de la portada del disco “Lateralus”.
EXPLICACIÓN MATEMÁTICA DEL NUMERO
DE FIBONACCI.
Definición Formal.
Los números de Fibonacci quedan definidos por las ecuaciones
para
Esto produce los números
•
•
•
•
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•
•
•
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y así sucesivamente hasta el infinito.
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Representaciones alternativas
Para analizar la sucesión de Fibonacci (y, en general, cualquier sucesión) es
conveniente obtener otras maneras de representarla matemáticamente.
Función generadora
Una función generadora para una sucesión cualquiera es la función
, es decir, una serie de
potencias donde cada coeficiente es un elemento de la sucesión. Los números de
Fibonacci tienen la función generadora
(4)
Cuando esta función se expande en potencias de , los coeficientes resultan ser la
sucesión de Fibonacci:
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Propiedades de la Sucesión
Los números de Fibonacci aparecen en numerosas aplicaciones de diferentes
áreas. Por ejemplo, en modelos de la crianza de conejos o de plantas, al contar el
número de cadenas de bits de longitud n que no tienen ceros consecutivos y en
una vasta cantidad de contextos diferentes. De hecho, existe una publicación
especializada llamada Fibonacci Quarterly dedicada al estudio de la sucesión de
Fibonacci y temas afines. Se trata de un tributo a cuán ampliamente los números
de Fibonacci aparecen en matemáticas y sus aplicaciones en otras áreas. Algunas
de las propiedades de esta sucesión son las siguientes:
La razón o cociente entre un término y el inmediatamente anterior varía
•
continuamente, pero se estabiliza en el número áureo. Es decir:
Este límite no es privativo de la Sucesión de Fibonacci.
Cualquier sucesión recurrente de orden 2, como la sucesión 3, 4, 7, 11,
18,..., lleva al mismo límite. Esto fue demostrado por Barr y Schooling en
una carta publicada en la revista londinense quot;The Fieldquot; del 14 de diciembre
de 1912. Los cocientes son oscilantes; es decir, que un cociente es
menor al límite y el siguiente es mayor.
Cualquier número natural se puede escribir mediante la suma de un
•
número limitado de términos de la sucesión de Fibonacci, cada uno de ellos
distinto a los demás. Por ejemplo, 17 = 13 + 3 + 1, 65 = 55 + 8 + 2.
Tan sólo un término de cada tres es par, uno de cada cuatro es múltiplo de
•
3, uno de cada cinco es múltiplo de 5, etc. Esto se puede generalizar, de
forma que la sucesión de Fibonacci es periódica en las congruencias
módulo m, para cualquier m.
La sucesión puede expresarse mediante otra fórmula explícita llamada
•
forma de Binet (de Jacques Binet). Si y , entonces
y
Cada número de Fibonacci es el promedio del término que se encuentra dos
•
posiciones antes y el término que se encuentra una posición después. Es
decir
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10. Fibonacci
La suma de los n primeros números es igual al número que ocupa la
•
posición n + 2 menos uno. Es decir
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• La suma de diez números Fibonacci consecutivos es siempre 11 veces
superior al séptimo número de la serie.
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