Como son y como se hacen los diagramas de árboles

1. Diagramas de árbol
Qué son y cómo se hacen

2.  Un diagrama de árbol es una manera muy
adecuada para representar experimentos
compuestos
 Sirve especialmente cuando el segundo
experimento depende del primero
Diagramas de árbol

3.  Las primeras ramas parten de un punto
central.
 Habrá tantas ramas como resultados
posibles.
 Encima de la línea de la rama se pone la
probabilidad correspondiente
A1
P(A1)
P(A2)
A2
P(A3)
A3

4.  Veamos un ejemplo
 Tenemos una urna con 3 bolas blancas, 5
negras y 2 rojas.
 Sacamos una bola

5.  Nombramos a los sucesos B=Bola blanca, N=Bola
negra, R=Bola roja
 Recordamos que la probabilidad de cada suceso
son los casos favorables entre los casos posibles.
Así por ejemplo, la probabilidad de que salga
negra será P(N)=5/10, ya que hay 5 bolas negras
y 10 en total.
B
3/10
5/10
N
2/10
R

6.  Fíjate que la suma de las probabilidades tiene
que ser uno. 3/10+5/10+2/10=1
B
3/10
5/10
N
2/10
R

7.  Supongamos un nuevo experimento, en el que
sacamos dos bolas.
 El árbol de sucesos para la primera bola sigue
siendo el mismo, pero ¿qué pasa con la segunda?
 Vamos a ver que pasa si la primera bola es
blanca
B
3/10
5/10
N
2/10
R

8.  Una vez que hemos
sacado una bola
blanca, tenemos 9
bolas en total, y sólo 2
blancas.
 El árbol de sucesos
ahora es el siguiente: Segunda bola
B
2/9
Primera bola
5/9
N
2/9
R

9.  Las probabilidades que obtenemos ahora son
las condicionadas.
 Por ejemplo, la primera rama es la
probabilidad de que la segunda bola sea
blanca, si la primera lo ha sido, es decir,
P(segunda blanca/primera blanca). Por
comodidad, lo representamos como P(B/B
 El árbol de sucesos ahora es el siguiente:
Segunda bola
B
P(B/B)=2/9
Primera bola
P(N/B)= 5/9
N
P(R/B)= 2/9
R

10.  Unimos los dos esquemas.
 Ahora tenemos que hacer lo mismo para la bola
negra y la roja.
Segunda bola
B
2/9
Primera bola
5/9
B N
3/10
2/9
5/10
N R
2/10
R

11.  Si la primera bola es
negra, tenemos 9
bolas en total, y sólo
2 blancas.
 El árbol de sucesos
ahora es el siguiente:
Segunda bola
B
3/9
Primera bola
4/9
N
2/9
R

12.  Por último, si la
primera bola es roja,
el árbol de sucesos
ahora es el siguiente:
Segunda bola
B
3/9
Primera bola
4/9
N
1/9
R

13.  Unimos todos los árboles. Segunda bola
B
Primera bola 2/9
5/9
B N
2/9
3/10 R
B
3/9
5/10
4/9
N N
2/9
R
2/10
B
3/9
R 5/9
N
1/9
R

14.  Este árbol es útil, sin embargo no nos dice algo tan
sencillo como la probabilidad de que la primera bola
sea blanca y la segunda negra.
 La probabilidad de un suceso compuesto en el
diagrama de árbol se haya multiplicando las
probabilidades de las ramas
 Por ejemplo, la probabilidad que la primera bola sea
blanca y la segunda negra será 3/10 · 5/9 = 15/90.
Reduciendo, obtenemos 1/6
Segunda bola
B
Primera bola 2/9
5/9
B N P(B∩N) =
2/9
3/10 R
B
3/9
5/10
4/9
N N
2/9

15.  De la misma manera, procedemos en las otras dos
bolas
 La probabilidad de que las dos bolas sean blancas
será 3/10 · 2/9 = 6/90. Reduciendo, obtenemos 1/15
 La probabilidad que la primera sea blanca y la
segunda roja será 3/10 · 6/90. Reduciendo,
obtenemos 1/15
Segunda bola
B P(B∩B) = 6/90
Primera bola 2/9
5/9
B N P(B∩N) = 15/90
2/9
3/10 R P(B∩N) = 6/90
B
3/9
5/10
4/9
N N
2/9

16.  Continuamos con el resto. Segunda bola
B P(B∩B)= 6/90
Primera bola 2/9
5/9
B N P(B∩N)= 15/90
2/9
3/10 R P(B∩R)= 6/90
B P(N∩B)= 15/90
3/9
5/10
4/9
N N P(N∩N)= 20/90
2/9
R P(N∩R)= 10/90
2/10
B P(R∩B)= 6/90
3/9
R 5/9
N P(R∩N)= 10/90
1/9
R P(R∩R)= 2/90

17.  Al final del diagrama de árbol tenemos
todos los sucesos elementales, 9 en total.
Sus probabilidades suman 1.
B P(B∩B)= 6/90
Primera bola 2/9
5/9
B N P(B∩N)= 15/90
2/9
3/10 R P(B∩R)= 6/90
B P(N∩B)= 15/90
3/9
5/10
4/9
N N P(N∩N)= 20/90
2/9
R P(N∩R)= 10/90
2/10
B P(R∩B)= 6/90
3/9
R 5/9
N P(R∩N)= 15/90
1/9
R P(R∩R)= 2/90

18.  Para hallar muchas probabilidades habrá
que sumar las correspondientes a varios
sucesos elementales.
B P(B∩B)= 6/90
Primera bola 2/9
5/9
B N P(B∩N)= 15/90
2/9
3/10 R P(B∩R)= 6/90
B P(N∩B)= 15/90
3/9
5/10
4/9
N N P(N∩N)= 20/90
2/9
R P(N∩R)= 10/90
2/10
B P(R∩B)= 6/90
3/9
R 5/9
N P(R∩N)=10/90
1/9
R P(R∩R)= 2/90

19.  Por ejemplo, si nos piden la probabilidad de que la
segunda bola sea blanca, sumaremos
P(B∩B)+P(N∩B)+P(R∩B)=6/90+15/90+6/90=27/90
B P(B∩B)= 6/90
Primera bola 2/9
5/9
B N P(B∩N)= 15/90
2/9
3/10 R P(B∩R)= 6/90
B P(N∩B)= 15/90
3/9
5/10
4/9
N N P(N∩N)= 20/90
2/9
R P(N∩R)= 10/90
2/10
B P(R∩B)= 6/90
3/9
R 5/9
N P(R∩N)=10/90
1/9
R P(R∩R)= 2/90

20.  Aunque las fracciones deben de ponerse
reducidas, es conveniente no hacerlo hasta que no
hayamos terminado todas las cuentas, para que
resulten más sencillas.
B P(B∩B) = 6/90 = 1/15
Primera bola 2/9
5/9
B N P(B∩N) = 15/90 = 1/6
2/9
3/10 R P(B∩R) = 6/90= 1/15
B P(N∩B) = 15/90 = 1/6
3/9
5/10
4/9
N N P(N∩N) = 20/90 = 2/9
2/9
R P(N∩R) = 10/90= 1/9
2/10
B P(R∩B) = 6/90= 1/15
3/9
R 5/9
N P(R∩N) = 15/90= 1/6
1/9
R P(R∩R) = 2/90= 2/9

21. Espero que os haya
sido útil