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Cap8

  1. 1. CAP´ ITULO 8 as atic INTRODUCCION A LA TEORIA atem DE ESTABILIDAD eM o. d ept 8.1. ´ SISTEMAS AUTONOMOS, EL PLANO ,D DE FASE uia tioq Frecuentemente nos ocurre que no podemos resolver una E.D. anal´ ıtica- mente y con m´s frecuencia si la E.D. es no lineal, pero aunque no podamos a An resolverla expl´ ıcitamente, s´ podemos analizar su comportamiento cualita- ı tivo. Buscaremos informaci´n cualitativa a partir de la E.D. sin resolverla o de expl´ıcitamente. ad Estudiaremos en este capitulo sistemas de la forma rsid dx = F (x, y) (8.1) ive dt Un dy = G(x, y) (8.2) dt donde F y G son continuas y tienen primeras derivadas parciales continuas en todo el plano. El sistema (8.1) y (8.2) en el que la variable independiente t no aparece en F y en G se le llama aut´nomo. o 281
  2. 2. CAP´ ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD Por el Teorema A.7 (de Picard), si t0 es cualquier n´mero y (x0 , y0 ) u es un punto cualquiera del plano XY , entonces existe una unica soluci´n: ´ o x = x(t) (8.3) y = y(t) (8.4) as tal que x(t0 ) = x0 y y(t0 ) = y0 atic Si x(t) y y(t) no son ambas constantes, entonces (8.3) y (8.4) son las atem ecuaciones par´metricas de una curva en el plano XY , a este plano lo lla- a maremos el plano de fase y la curva soluci´n la llamaremos una trayectoria o eM del sistema, la familia de trayectorias representadas en el plano de fase la llamaremos el retrato de fase o. d Nota: si (8.3) y (8.4) es soluci´n de (8.1) y (8.2), entonces o ept x = x(t + c) (8.5) ,D uia y = y(t + c) (8.6) tioq tambi´n es soluci´n de (8.1) y (8.2) para cualquier c. e o An Por tanto cada trayectoria viene representada por muchas soluciones que de difieren entre si por una translaci´n del par´metro. Tambi´n cualquier trayec- o a e ad toria que pase por el punto (x0 , y0 ), debe corresponder a una soluci´n de la o rsid forma (8.5) y (8.6), es decir, por cada punto del plano de fase pasa una sola trayectoria, o sea, que las trayectorias no se intersectan. ive Nota: Un i). La direcci´n de t creciente a lo largo de la trayectoria dada es la misma o para todas las soluciones que representan a esa trayectoria. Una trayectoria es por tanto una curva dirigida y en las figuras utilizamos flechas para indicar la direcci´n de t creciente sobre las trayectorias. o ii). Para el punto (x0 , y0 ) tal que dy dx = F (x0 , y0 ) = 0, y = G(x0 , y0 ) = 0 dt dt 282
  3. 3. 8.1. SIST. AUTON., PLANO DE FASE se cumple que x(t) ≡ x0 y y(t) ≡ y0 es tambi´n soluci´n (soluci´n constante), pero no la llamamos trayectoria. e o o De las anotaciones anteriores se concluye que las trayectorias cubren todo el plano de fase y no se intersectan entre si, la unica excepci´n a esta afir- ´ o maci´n ocurre en los puntos (x0 , y0 ), donde F y G son cero. o as atic Definici´n 8.1 (Punto Cr´ o ıtico) . atem Al punto (x0 , y0 ) tal que F (x0 , y0 ) = 0 y G(x0 , y0 ) = 0 se le llama un punto cr´ ıtico del sistema. eM Nota: en estos puntos la soluci´n es unica y es la soluci´n constante o ´ o o. d x(t) = x0 y y(t) = y0 . Como se dijo antes, una soluci´n constante no de- o fine una trayectoria, as´ que por un punto cr´ ı ıtico no pasa ninguna trayectoria. ept ,D Supondremos que todo punto cr´ ıtico (x0 , y0 ) es aislado, es decir, existe ırculo centrado en (x0 , y0 ) que no contiene ning´n otro punto cr´ un c´ u ıtico. uia tioq Vimos en el Cap. IV que la E.D. del p´ndulo amortiguado (4.18) en la e p´gina 155 era a d2 θ An c dθ g 2 + + sen θ = 0 dt m dt a de Haciendo x = θ y y = θ se obtiene el siguiente sistema aut´nomo no lineal o ad x = y = F (x, y) rsid c g y = − y − sen x = G(x, y). m a ive Un Los puntos (nπ, 0) para n ∈ Z son puntos cr´ ıticos aislados, ya que F (nπ, 0) = 0 y G(nπ, 0) = 0. Estos puntos (nπ, 0) corresponden a un estado de movimien- to de la part´ ıcula de masa m en el que tanto la velocidad angular y = dθ ´ dt dy d2 θ y la aceleraci´n angular dt = dt2 se anulan simult´neamente, o sea que la o ´ a part´ıcula est´ en reposo; no hay fuerza que act´e sobre ella y por consiguiente a u est´ en equilibrio. Por esta raz´n en algunos textos a los puntos cr´ a o ıticos tam- bi´n los llaman puntos de equilibrio. e 283
  4. 4. CAP´ ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD Como x (t) = F (x, y) y y (t) = G(x, t) son las componentes del vec- tor tangencial a las trayectorias en el punto P (x, y), consideremos el campo vectorial: V (x, y) = F (x, y)i + G(x, y)j dx dy donde dt = F (x, y) y dt = G(x, y) as atic atem C R v •S •Q eM P G F o. d ept ,D Figura 8.1 uia tioq En P (x, y) las componentes de V (x, y) son F (x, y) y G(x, y) (ver figura 8.1). An Como dx = F y dy = G, entonces V es tangente a la trayectoria en P y dt dt apunta en la direcci´n de t creciente. o de Si t es el tiempo, entonces V es el vector velocidad de una part´ ıcula que se mueve sobre la trayectoria. As´ el plano de fase est´ lleno de part´ ı a ıculas y cada ad trayectoria es la traza de una part´ıcula precedida y seguida por otras sobre rsid una misma trayectoria. Esto es lo que ocurre en un flu´ en movimiento ıdo y como el sistema es aut´nomo entonces V (x, y) no cambia con el tiempo, o ive por esta raz´n al movimiento del flu´ se le llama estacionario; los puntos o ıdo Un cr´ ıticos Q, R, S son puntos de velocidad cero, donde las part´ ıculas se hallan en reposo (puntos estacionarios del flu´ ıdo). De la figura se extraen las siguientes caracter´ ıticas: 1. Los puntos cr´ ıticos. 2. La disposici´n de las trayectorias cerca de los puntos cr´ o ıticos. 284
  5. 5. 8.2. TIPOS DE PUNTOS CRITICOS, ESTABILIDAD. 3. La estabilidad o inestabilidad de los puntos cr´ ıticos, es decir, si una part´ ıcula pr´xima a un punto cr´ o ıtico permanece cerca de ´l o se aleja e hacia otra zona del plano. 4. Las trayectorias cerradas como la C, corresponden a soluciones peri´di- o cas. Como en general los sistemas no lineales no pueden resolverse expl´ ıcita- as mente, el prop´sito de la teor´ cualitativa que desarrollaremos en este cap´ o ıa ıtu- atic lo es descubrir todo cuanto sea posible acerca de los diagramas de fase a partir de las funciones F y G. atem eM 8.2. TIPOS DE PUNTOS CRITICOS, ES- o. d TABILIDAD. Consideremos el sistema aut´nomo: o ept ,D dx = F (x, y) (8.7) dt uia tioq dy = G(x, y) (8.8) dt An donde F y G son continuas, con derivadas parciales continuas en el plano de de fase XY . Sea (x0 , y0 ) un punto cr´ ıtico aislado de (8.7) y (8.8). Si C = (x(t), y(t)) es una ad trayectoria de (8.7) y (8.8), decimos que C tiende a (x0 , y0 ), cuando t → ∞ rsid (o t → −∞), si ive l´ x(t) = x0 ım (8.9) t→±∞ Un l´ y(t) = y0 ım (8.10) t→±∞ Nota: si se cumple (8.9) y (8.10), entonces (x0 , y0 ) es punto cr´ ıtico de (8.7) y (8.8), adem´s, si a y(t) − y0 l´ ım : existe o es igual a ± ∞, t→±∞ x(t) − x0 285
  6. 6. CAP´ ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD entonces se dice que C entra al punto cr´ ıtico (x0 , y0 ) cuando t → ∞ o t → −∞. Esto significa que la recta que une (x0 , y0 ) con P (x, y) tiene una direcci´n determinada cuando t → ∞ o t → −∞. o Eliminando t tenemos que dx = G(x,y) : pendiente de la recta tangente a la dy F (x,y) trayectoria de (8.7) y (8.8) en (x, y) cuando F y G no se anulan simult´nea- a mente; cuando F y G se anulan simult´neamente, (x0 , y0 ) es un punto cr´ a ıtico as y ninguna trayectoria pasa por ´l.e atic atem 8.2.1. TIPOS DE PUNTOS CRITICOS. Sin p´rdida de generalidad supondremos que el punto (0, 0) es un cr´ e ıtico. eM 1. Nodos. (ver figura 8.2 y 8.3) o. d ept ,D y y uia tioq An x x de ad rsid ive nodo propio o nodo estrella nodo impropio Un asint´ticamente estable o asint´ticamente estable o Figura 8.2 Se distinguen dos tipos de nodos: nodos propios y nodos impropios. a). Los nodos propios : en estos el retrato de fase esta formado por semirrectas donde todas entran (o todas salen) del punto cr´ıtico, se le llama tambi´n nodo estrella. Cuando las trayectorias entran al punto e 286
  7. 7. 8.2. TIPOS DE PUNTOS CRITICOS, ESTABILIDAD. y y x as x atic atem eM nodo propio o nodo estrella nodo impropio o. d inestable inestable Figura 8.3 ept ,D ıtico (sea nodo u otro tipo de punto cr´ cr´ ıtico) se dice que es un su- uia midero y cuando salen de ´l se dice que es una fuente. e tioq b). Nodo impropio: a un punto de este tipo tienden e incluso entran An las trayectorias cuando t → ∞ (´ t → −∞). Para este nodo existen o cuatro trayectorias en forma de semirrectas con extremos en el origen. de Todas las dem´s trayectorias tienen el aspecto de ramas de par´bola y a a al tender hacia el origen sus pendientes tienden a la pendiente de una ad de las semirrectas. rsid ive Ejemplo 1. Consideremos el sistema siguiente dx = x y dy = −x + 2y dt dt entonces (0, 0) es punto cr´ ıtico. Un La soluci´n general es x = C1 et , y(t) = C1 et + C2 e2t . o Cuando C1 = 0 ⇒ x = 0 y y = C2 e2t esto implica que la trayectoria es el eje Y positivo si C2 > 0 y el eje Y negativo si C2 < 0 y cada trayectoria tiende y entra al or´ ıgen cuando t ⇒ −∞. Si C2 = 0 entonces x(t) = C1 et y y = C1 et y la trayectoria es la semir- recta y = x con x > 0 y C1 > 0, o tambi´n es la semirrecta y = x con e 287
  8. 8. CAP´ ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD y x as atic atem eM Figura 8.4 Nodo impropio, inestable o. d x < 0 y C1 < 0. En estos dos casos ambas trayectorias tienden y entran ept al or´ ıgen cuando t ⇒ −∞. ,D uia Cuando C1 = 0 y C2 = 0, las trayectorias est´n sobre las par´bolas a a C y = x + C2 x2 que entran al or´ıgen con pendiente 1. Debe entenderse tioq 2 1 que estas trayectorias constan solo de una porci´n de la par´bola, la o a parte con x > 0 si C1 > 0 y la parte x < 0 si C1 < 0. An de dy Obs´rvese que dx = −x+2y : pendiente de la tangente a la trayectoria que e x pasa por (x, y) = (0, 0); resolviendo la E.D. encontramos y = x + Cx2 ad que son las curvas (par´bolas) sobre las que se apoyan las trayectorias, a rsid excepto las que est´n sobre el eje Y (Ver figura 8.4). a ive 2. Punto de Silla. Un El origen es un punto de silla si el retrato de fase muestra que a este punto tienden y hacia ´l entran dos semirrectas con extremos en el ori- e gen cuando t → ∞ y hay otras dos semirrectas que salen del origen cuando t → ∞. Entre estas cuatro semirrectas hay cuatro regiones, las cuales contienen una familia de trayectorias en forma de hip´rbolas; e estas trayectorias no tienden hacia origen cuando t → ∞, sino que son asint´ticas a alguna de las semirrectas cuando t → ∞ (figura 8.5) o 288
  9. 9. 8.2. TIPOS DE PUNTOS CRITICOS, ESTABILIDAD. y x as atic atem eM Figura 8.5 Punto de silla o. d 3. Centros (o v´rtices)(ver figura 8.6) o ept ,D y uia tioq An x de ad rsid ive Un Figura 8.6 Centro (estable) Es un punto cr´ıtico que est´ rodeado por una familia de trayectorias a cerradas. Ninguna trayectoria tiende a ´l cuando t → ±∞. e 289
  10. 10. CAP´ ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD Ejemplo 2. Consideremos el sistema dx dy = −y, = x. dt dt Entonces (0, 0) es el unico punto cr´ ´ ıtico. Su soluci´n general es : o as x = −C1 sen t + C2 cos t atic y = C1 cos t + C2 sen t atem La soluci´n (o trayectoria) que satisface las condiciones iniciales x(0) = o 1 y y(0) = 0 es x = cos t y = sen t eM o. d y ept ,D uia C tioq 1 An 1,5 2 x de ad rsid ive Figura 8.7 Centro (estable) Un Y la soluci´n determinada por x(0) = 0 y y(0) = 1 es o π x = − sen t = cos t + 2 π y = cos t = sen t + 2 290
  11. 11. 8.2. TIPOS DE PUNTOS CRITICOS, ESTABILIDAD. Estas dos soluciones diferentes definen la misma trayectoria C, es decir, la circunferencia: x2 + y 2 = 1. En ambos casos la direcci´n del recorrido es en sentido contrario a las o agujas del reloj. dy Eliminando t del sistema, tenemos que dx = − x cuya soluci´n es y o 2 2 2 x + y = R que es una familia de circunferencias en el plano de fase xy, pero sin direcci´n de recorrido. En este caso (0, 0) es un cen- o as tro(ver figura 8.7). atic atem 4 Focos. (ver figura 8.8) y eM o. d ept ,D uia tioq An x de ad rsid ive Un Figura 8.8 Foco o espiral (asint´ticamente estable) o Un punto cr´ıtico se llama foco o punto espiral si el retrato de fase mues- tra que hacia ´l tienden (o salen de ´l) las trayectorias de una familia e e que gira en forma espiral un n´mero infinito de veces cuando t → ±∞. u N´tese que aunque las trayectorias tienden al origen, no entran a ´l en o e 291
  12. 12. CAP´ ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD una direcci´n determinada, es decir, o dy l´ ım no existe t→±∞ dx Ejemplo 3. Sea a una constante arbitraria y consideremos el sistema: dx = ax − y (8.11) dt as dy atic = x + ay (8.12) dt atem entonces (0, 0) es el unico punto cr´ ´ ıtico. La E.D. de las trayectorias es eM dy x + ay = (8.13) dx ax − y o. d Pasemos a coordenadas polares: x = r cos θ y y = r sen θ como y r2 = x2 + y 2 y θ = tan−1 x , entonces ept dr dy dθ dy ,D r =x+y r2 =x −y dx dx dx dx uia ı: dr Luego (8.13) queda as´ dθ = ar ⇒ r = Ceaθ es la ecuaci´n polar de las o tioq trayectorias. La direcci´n del recorrido se puede deducir del hecho que dx = −y o dt An cuando x = 0. Si a = 0 entonces el sistema (8.11) y (8.12) se colapsa en el sistema: de dx = −y (8.14) ad dt rsid dy =x (8.15) dt ive y se convierte en r = c, que es la ecuaci´n polar de la familia de o Un circunferencias x2 + y 2 = c 2 , de centro en el or´ ıgen y en este caso decimos que cuando el par´metro a a = 0 se ha producido una bifurcaci´n, a este punto lo llamamos punto o de bifurcaci´n, en esencia es un punto donde las soluciones cambian o cualitativamente de estables (o asint´ticamente estables) a inestables o o viceversa (Ver figura 8.9 ). 292
  13. 13. 8.2. TIPOS DE PUNTOS CRITICOS, ESTABILIDAD. y y y x x x as atic atem a<0 a=0 a>0 eM a) Asint´ticamente estable o b) Estable c) Inestable o. d Figura 8.9 Bifurcaci´n o Definici´n 8.2 (Estabilidad) . o ept ,D Supongamos por conveniencia que (0, 0) es un punto cr´ ıtico del sistema uia dx dy = F (x, y) = G(x, y) dt dt tioq Decimos que (0, 0) es un punto cr´ ıtico estable si para cada R > 0 existe An un r > 0 con r ≤ R, tal que toda trayectoria que est´ dentro del c´ a ırculo 2 2 2 2 2 2 x + y = r , para alg´n t = t0 , permanece en el c´ u ırculo x + y = R para de todo t > t0 , es decir, si todas las trayectorias que est´n suficientemente cerca a ad al punto cr´ıtico permanecen cercanas a ´l (ver figura 8.10). e rsid Definici´n 8.3 (Asint´ticamente Estable) Si es estable y existe un c´ o o ırcu- ive lo x2 + y 2 = r0 , tal que toda trayectoria que est´ dentro de ´l para alg´n 2 a e u t = t0 , tiende al or´ ıgen cuando t → ∞. Un Definici´n 8.4 . Si el punto cr´ o ıtico no es estable, diremos que es inestable. Los nodos de la figura 8.3 y 8.4, el punto de silla de la figura 8.5, el foco (o espiral) de la figura 8.9 c) son puntos inestables. 293
  14. 14. CAP´ ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD • t = t0 r • • R as atic atem eM Figura 8.10 o. d ept Los centros de la figuras 8.6 y 8.7 son estables, pero no asint´ticamente o estables. ,D uia Los nodos de la figura 8.2, el foco (o espiral) de la figura 8.8 y 8.9a) , son asint´ticamente estables. o tioq An Para los siguientes ejercicios determine el tipo del punto cr´ıtico que es (0, 0) y diga si es asint´ticamente estable, estable o inestable: o de Ejercicio 1. dx = −2x + y, dy = x − 2y ad dt dt (Rta: Nodo asint´ticamente estable.) o rsid ive Ejercicio 2. dx = 4x − y, dy = 2x + y dt dt (Rta: Nodo impropio inestable.) Un Ejercicio 3. dx = x + 2y, dy = 2x + y dt dt (Rta: Punto de Silla inestable.) Ejercicio 4. dx = 3x + y, dy = 5x − y dt dt (Rta: Punto de Silla inestable.) 294
  15. 15. 8.3. PUNTOS CRITICOS Y CRITERIOS DE ESTABILIDAD Ejercicio 5. dx = x − 2y, dy = 2x − 3y dt dt (Rta: Nodo asint´ticamente inestable.) o dy Ejercicio 6. dx = 5x − 3y, dt dt = 3x − y (Rta: Nodo inestable.) dy Ejercicio 7. dx = 3x − 2y, dt dt = 4x − y as (Rta: Punto espiral inestable.) atic Ejercicio 8. dx = x − 3y, dy = 6x − 5y dt dt atem (Rta: Punto espiral asint´ticamente estable.) o Ejercicio 9. dx = 2x − 2y, dy = 4x − 2y eM dt dt (Rta: Centro estable, pero no asint´ticamente estable.) o o. d Ejercicio 10. dx = x − 2y, dy = 5x − y dt dt (Rta: Centro estable, pero no asint´ticamente estable.) o ept ,D uia 8.3. PUNTOS CRITICOS Y CRITERIOS DE tioq ESTABILIDAD PARA SISTEMAS LI- An NEALES de Consideremos el sistema: ad dx rsid = a1 x + b 1 y (8.16) dt ive dy = a2 x + b 2 y (8.17) Un dt El cual tiene a (0, 0) como punto cr´ ıtico. Supondremos de ahora en adelante que a1 b 1 = a 1 b 2 − b 1 a2 = 0 (8.18) a2 b 2 Por tanto, (0, 0) es el unico punto cr´ ´ ıtico. (8.16) y (8.17) tiene una soluci´n no trivial de la forma o 295
  16. 16. CAP´ ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD i). x = Aem1 t , y = Bem2 t donde m1,2 son ra´ distintas de la cuadr´tica: ıces a m2 − (a1 + b2 )m + (a1 b2 − a2 b1 ) = 0 (8.19) que se conoce como ecuaci´n caracater´ o ıstica del sistema, la condici´n o as (8.18) impl´ que m = 0. ıca atic atem ii). O de la forma x = Aem1 t , y = Btem1 t eM si m1 es una ra´ de multiplicidad dos de la ecuaci´n caracter´ ız o ıstica o. d m2 − (a1 + b2 )m + (a1 b2 − a2 b1 ) = 0. o ept Teorema 8.1 (Caracterizaci´n de la naturaleza del punto cr´ ıtico) . ,D Sean m1 y m2 las ra´ de (8.19). La naturaleza del punto cr´ ıces ıtico est´ de- a terminada por estas ra´ıces. uia tioq Casos Principales: An CASO A: Si las ra´ ıces m1 y m2 son reales, distintas y del mismo signo, entonces es un nodo. de CASO B: Si las ra´ m1 y m2 son reales, distintas y de signos opuestos, ıces ad entonces es un punto de silla. rsid CASO C: Si las ra´ ıces m1 y m2 son complejas conjugadas pero no ive imaginarias puras, entonces es un foco. Un Casos Frontera: CASO D: Si las ra´ m1 y m2 son reales e iguales, entonces es un nodo. ıces CASO E: Si las ra´ ıces m1 y m2 son imaginarias puras, entonces es un centro. 296
  17. 17. 8.3. PUNTOS CRITICOS Y CRITERIOS DE ESTABILIDAD A2 y = B 2 x A1 y = B 1 x as atic atem Figura 8.11 Nodo impropio (asint´ticamente estable) o eM o. d CASO A: si las ra´ m1 y m2 son reales, distintas y del mismo signo, ıces entonces (0, 0) es un nodo. ept ,D Demostraci´n: supongamos que m1 < m2 < 0. o Sabemos que la soluci´n del sistema 8.16, 8.17 es: o uia x = C 1 A 1 e m1 t + C 2 A 2 e m2 t (8.20) tioq An y = C 1 B 1 e m1 t + C 2 B 2 e m2 t (8.21) de donde los vectores A 1 m1 t A 2 m2 t ad e y e B1 B2 rsid B1 B2 son linealmente independientes, por lo tanto A1 = A2 y las C son constantes ive arbitrarias. Analicemos los coeficientes C1 y C2 Un 1.) Si C2 = 0, entonces x = C 1 A 1 e m1 t , y = C 1 B 1 e m1 t (8.22) en este caso: a). Si C1 > 0, entonces (8.22) representa una trayectoria que consiste en la semirrecta A1 y = B1 x con pendiente B1 A 1 b). Si C1 < 0, entonces (8.22) representa una trayectoria que consiste de la 297
  18. 18. CAP´ ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD otra semirrecta opuesta a la anterior. Como m1 < 0, entonces ambas semirrectas tienden a (0, 0) cuando t → ∞ y y como x = B1 , entonces ambas semirrectas entran a (0, 0) con pendiente B1 . A 1 A 1 2). Si C1 = 0, entonces x = C 2 A 2 e m2 t , y = C 2 B 2 e m2 t (8.23) Similarmente (8.23) representan dos semirrectas de la recta A2 y = B2 x as con pendiente B2 , las cuales tienden a (0, 0) cuando t → ∞ y entran a ´l con 2 e atic A B2 pendiente A2 . atem 3). Si C1 = 0 y C2 = 0, entonces (8.20) y (8.21) representa trayectorias curvas; como m1 < 0 y m2 < 0, entonces estas trayectorias tienden a (0, 0) eM cuando t → ∞, adem´s, como a o. d m1 − m 2 < 0 y ept C1 B1 e(m1 −m2 ) t + B2 ,D y C 1 B 1 e m1 t + C 2 B 2 e m2 t C2 = = C 1 A1 x C 1 A 1 e m1 t + C 2 A 2 e m2 t e(m1 −m2 ) t + A2 uia C2 y entonces, x → B2 cuando t → ∞, as´ que las trayectorias entran a (0, 0) con 2 ı tioq A B2 pendiente A2 . De acuerdo a lo analizado (0, 0) es un nodo impropio y es, An como lo veremos m´s adelante, asint´ticamente estable (Ver figura 8.11). a o de Si m1 > m2 > 0, la situaci´n es exactamente la misma, excepto que las o trayectorias salen de (0, 0) cuando t → ∞, las flechas son al contrario del ad caso anterior, (0, 0) es un nodo impropio inestable. rsid CASO B: si las ra´ m1 y m2 son reales, distintas y de signos opuestos, ıces entonces (0, 0) es un punto de silla (ver figura 8.12). ive Un Demostraci´n: supongamos que m1 < 0 < m2 . o La soluci´n general de (8.16) y (8.17) es de la forma (8.20) y (8.21), como en o el CASO A se tienen cuatro trayectorias en forma de semirrectas opuestas; un par de semirrectas opuestas representadas por (8.22) con m1 < 0, que tienden y entran a (0, 0) cuando t → ∞ y el otro par de semirrectas opuestas representadas por (8.23) con m2 > 0 las cuales tienden y entran al origen (0, 0) cuando t → −∞. 298
  19. 19. 8.3. PUNTOS CRITICOS Y CRITERIOS DE ESTABILIDAD A1 y = B 1 x y as A2 y = B 2 x atic x atem eM o. d ept ,D uia tioq Figura 8.12 Punto de silla (inestable) An Si C1 = 0 y C2 = 0, la soluci´n general (8.20) y (8.21) representa trayecto- o de rias curvas, pero como m1 < 0 < m2 , entonces ninguna de ellas tiende a (0, 0) ad cuando t → ∞ o t → −∞. En lugar de esto una trayectoria es asint´tica ´ o rsid a una de las semirrectas de (8.23) cuando t → ∞ y asint´tica a una de las o semirrectas de (8.22) cuando t → −∞, en efecto, como m2 > m1 ive C1 B1 y C 1 B 1 e m1 t + C 2 B 2 e m2 t e(m1 −m2 ) t + B2 B2 Un C2 l´ ım = l´ ım = l´ ım C 1 A1 = t→∞ x t→∞ C1 A1 em1 t + C2 A2 em2 t t→∞ e(m1 −m2 ) t + A2 A2 C2 C2 B2 y C 1 B 1 e m1 t + C 2 B 2 e m2 t B1 + C1 e(m2 −m1 ) t B1 l´ ım = l´ ım m1 t + C A e m2 t = l´ ım C 2 A2 = t→−∞ x t→−∞ C1 A1 e 2 2 t→−∞ A1 + C1 e(m2 −m1 ) t A1 luego (0, 0) es un punto de silla y es inestable . 299
  20. 20. CAP´ ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD CASO C: si las ra´ m1 , m2 son complejas conjugadas pero no imagi- ıces narias puras, el punto cr´ ıtico es un foco (o punto espiral). Demostraci´n: m1 , m2 son de la forma a ± bi, donde a y b son reales no o nulos. En este caso el discriminante de 8.19 es negativo y por tanto D = (a1 + b2 )2 − 4(a1 b2 − a2 b1 ) = (a1 − b2 )2 + 4a2 b1 < 0 (8.24) as Suponiendo que al valor propio λ = a + ib esta asociado el vector propio atic A1 A2 v = v1 + iv2 = +i atem B1 B2 entonces la soluci´n general es de la forma o eM x = eat [C1 (A1 cos bt − A2 sen bt) + C2 (A1 sen bt + A2 cos bt)] (8.25) o. d y = eat [C1 (B1 cos bt − B2 sen bt) + C2 (B1 sen bt + B2 cos bt)] (8.26) ept donde C1 y C2 son par´metros. a ,D uia Si a < 0 entonces x → 0 y y → 0 cuando t → ∞, o sea que todas las trayectorias tienden a (0, 0) cuando t → ∞ y por tanto (0, 0) es asint´tica- o tioq mente estable. Probemos que las trayectorias no entran a (0, 0) cuando t → ∞, sino que An giran alrededor de ´l en forma de espirales. e Para ello utilicemos coordenadas polares y mostremos que a lo largo de de cualquier trayectoria, el signo de dθ no cambia para todo t. dt ad rsid Sabemos que y θ = tan−1 x ive dy dθ x − y dx Un = dt dt dt x2 + y 2 y usando (8.16) y (8.17): dθ x (a2 x + b2 y) − y (a1 x + b1 y) a2 x2 + (b2 − a1 )xy − b1 y 2 = = dt x2 + y 2 x2 + y 2 Como estamos interesados solo en soluciones que representan trayectorias, suponemos x2 + y 2 = 0. 300
  21. 21. 8.3. PUNTOS CRITICOS Y CRITERIOS DE ESTABILIDAD y y as x x atic atem eM a<0 a<0 a2 > 0 a2 < 0 o. d Figura 8.13 Focos (asint´ticamente estables) o ept ,D De (8.24): a2 y b1 deben tener signos opuestos. Supongamos que a2 > 0 y b1 < 0. uia Si tioq dθ y = 0⇒ = a2 > 0 (8.27) dt An Si de dθ y = 0⇒ =0 (8.28) ad dt rsid dθ ya que si dt = 0, entonces a2 x2 + (b2 − a1 )xy − b1 y 2 = 0, o sea, ive 2 x x a2 + (b2 − a1 ) − b1 = 0 Un y y ecuaci´n cuadr´tica cuyo discriminante es o a (b2 − a1 )2 + 4a2 b1 = D < 0 x seg´n (8.24); por lo tanto u y es n´mero complejo, lo cual es absurdo porque u x y es n´mero real. u 301
  22. 22. CAP´ ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD dθ dθ De la continuidad de dt , de (8.27) y de (8.28) se concluye que dt > 0 cuando a2 > 0 y b1 < 0. dθ Similarmente, si a2 < 0 y b1 > 0 entonces dt < 0. En conclusi´n θ(t) es una una funci´n siempre creciente para todo t o o o siempre decreciente para todo t, luego no entra al or´ ıgen. as Por (8.25) y (8.26): x y y cambian de signo infinitas veces cuando t → ∞, atic es decir, todas las trayectorias giran en espiral alrededor del or´ ıgen en sentido atem contrario a las agujas del reloj si a2 > 0 y en sentido horario si a2 < 0. Luego el punto cr´ıtico es un foco asint´ticamente estable (Ver figura 8.13). o eM Si a > 0: el an´lisis es el mismo, salvo que las trayectorias tienden a (0, 0) a cuando t → −∞ y el punto cr´ ıtico es inestable. o. d CASO D: si las ra´ m1 y m2 son reales e iguales, el punto cr´ ıces ıtico (0, 0) es un nodo. ept ,D Demostraci´n: supongamos que m1 = m2 = m < 0. o uia Dos casos: tioq i). a1 = b2 = 0 y a2 = b1 = 0 ii). Todas las dem´s posibilidades que conducen a una ra´ doble. a ız An i). Si a1 = b2 = a = 0 entonces la ecuaci´n caracter´ o ıstica (8.19) se de convierte en m2 − 2am + a2 = 0 y por tanto m = a con multiplicidad dos y el sistema de E.D. queda convertido en el sistema desacoplado siguiente ad rsid dx dy = ax, = ay. dt dt ive Es claro que su soluci´n general es o Un x = C1 emt , y = C2 emt (8.29) donde C1 y C2 son constantes arbitrarias, eliminando el par´metro t, obte- a nemos x C1 C1 = o sea que y = x y C2 C2 Las trayectorias definidas por (8.29) son semirrectas de todas las pen- dientes posibles y como m < 0, entonces estas trayectorias tienden y entran 302
  23. 23. 8.3. PUNTOS CRITICOS Y CRITERIOS DE ESTABILIDAD y x as atic atem eM Figura 8.14 Nodo propio o nodo estrella (asint´ticamente estable) o o. d a (0, 0) cuando t → ∞, de donde (0, 0) es un nodo (llamado tambi´n nodo ept e propio o nodo estrella) asint´ticamente estable (ver figura 8.14). o ,D Si m > 0, tenemos la misma situaci´n, excepto que las trayectorias entran o a (0, 0) cuando t → −∞, las flechas son al contrario, entonces es un nodo uia (nodo propio o nodo estrella) inestable. tioq ii). Para ra´ ıces repetidas sabemos de (7.22) en la p´gina 269 que para a A el valor propio m esta asociado el vector propio y el vector propio An B A1 de generalizado de rango dos , por lo tanto la soluci´n general es: o B1 ad x = C1 A emt + C2 (A1 + At) emt (8.30) rsid y = C1 B emt + C2 (B1 + Bt) emt ive (8.31) Un donde C1 y C2 son constantes arbitrarias. Cuando C2 = 0, entonces x = C1 A emt ; y = C1 B emt . Sabemos que estas soluciones representan dos semirrectas de la recta Ay = Bx con pendiente B y como m < 0, ambas trayectorias tienden a A y (0, 0) cuando t → ∞. Como x = B , entonces ambas trayectorias entran a A (0, 0) con pendiente B . A 303
  24. 24. CAP´ ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD y as x atic atem eM o. d ept Figura 8.15 Nodo impropio (asint´ticamente estable) o ,D uia Si C2 = 0, entonces (8.30) y (8.31) representan trayectorias curvas y como tioq m < 0, entonces estas trayectorias tienden a (0, 0) cuando t → ∞. Adem´s, a como C1 B emt + C2 (B1 + Bt) emt An y = x C1 A emt + C2 (A1 + At) emt de C1 B y C2 + B1 + Bt ad = C1 A x + A1 + At rsid C2 y B ⇒ → cuando t → ∞. ive x A Un Luego, estas trayectorias curvas entran a (0, 0) con pendiente B . A A este nodo se le llama nodo impropio (ver figura 8.15) y es asint´ticamente o estable. e y Cuando m > 0, observemos que tambi´n x → B cuando t → −∞, en A este caso las trayectorias curvas salen del origen. En este caso la situaci´n o es la misma excepto que las direcciones de las flechas se invierten y el punto cr´ ıtico es un nodo (impropio) inestable. 304
  25. 25. 8.3. PUNTOS CRITICOS Y CRITERIOS DE ESTABILIDAD CASO E: si m1 y m2 son imaginarias puras, el punto cr´ ıtico (0, 0) es un centro (ver figura 8.16). y as atic x atem eM o. d Figura 8.16 Centro (estable) ept ,D Demostraci´n: m1 y m2 son de la forma a ± ib con a = 0 y b = 0, luego o uia por (7.10) en la p´gina 260, a tioq x = C1 (A1 cos bt − A2 sen bt) + C2 (A1 sen bt + A2 cos bt) An y = C1 (B1 cos bt − B2 sen bt) + C2 (B1 sen bt + B2 cos bt) de Luego x(t) y y(t) son peri´dicas y cada trayectoria es una curva cerrada o que rodea al or´ıgen, estas trayectorias son elipses, lo cual puede probarse ad dy resolviendo la E.D.: dx = a2 x+b2 y . rsid a1 x+b1 y Luego (0, 0) es un centro estable, pero no asint´ticamente estable. o ive Un 305
  26. 26. CAP´ ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD q cuadrante inestable cuadrante asint´ticamente o p 2 estable − 4q ola = ´b 0 ra pa centros no do espirales espirales ite lim as sl semieje im estable os atic ite d no atem nodos nodos p eM cuadrante inestable cuadrante inestable o. d puntos de silla Figura 8.17 ept ,D uia Teorema 8.2 ( Criterio de estabilidad) . tioq El punto cr´ıtico (0, 0)del sistema lineal (8.16) y (8.17) es estable si y solo si ambas ra´ de la ecuaci´n auxiliar (8.19) tienen partes reales no positivas, ıces o An y es asint´ticamente estable si y solo si ambas ra´ o ıces tienen partes reales negativas. de Escribamos la ecuaci´n (8.19) de la forma siguiente: o ad (m − m1 )(m − m2 ) = m2 + pm + q = 0 rsid donde p = −(m1 + m2 ) y q = m1 m2 . ive Luego los cinco casos anteriores se pueden describir en t´rminos de p y q y e Un para ello utilizamos el plano pq (ver figura 8.17). El eje p (o sea q = 0), est´ excluido ya que q = m1 m2 = a1 b2 − a2 b1 = 0. Por a √ −p± p2 −4q tanto, toda la informaci´n la podemos extraer de m1,2 = o 2 Observando la figura vemos que: Por encima de la par´bola p2 − 4q = 0 se tiene p2 − 4q < 0. Luego a m1 , m2 son n´meros complejos y estos son imaginarios puros si y solo u 306
  27. 27. 8.3. PUNTOS CRITICOS Y CRITERIOS DE ESTABILIDAD si p = 0; estos son los casos C y E de focos y centros. Por debajo del eje p se tiene q < 0 ⇒ m1 , m2 son reales distintos y de signos opuestos, por tanto es un punto de silla o sea el caso B. La zona entre la par´bola y el eje p (excluido este eje e incluyendo a a as la par´bola), se caracteriza porque p2 − 4q ≥ 0 y q > 0 ⇒ m1 , m2 son a atic reales y del mismo signo y sobre la par´bola m1 = m2 ; por tanto son a nodos y son los casos A y D. atem eM El primer cuadrante excluyendo los ejes, es una regi´n con estabilidad o asint´tica; el eje positivo q corresponde a centros y por tanto es estable; o o. d el segundo, tercero y cuarto cuadrante son regiones inestables. Teorema 8.3 (Criterio para estabilidad asint´tica) . o ept El punto cr´ıtico (0, 0) del sistema lineal (8.16) y (8.17) es asint´ticamente o ,D estable si y solo si los coeficientes p = −(a1 + b2 ) y q = a1 b2 − a2 b1 , de la uia ecuaci´n auxiliar son ambos positivos. o tioq Encuentre los puntos cr´ ıticos: An dx dy Ejercicio 1. dt = 3x − y, dt = x + 3y de (Rta: (0, 0)) ad dx dy Ejercicio 2. = 3x − 2y, = 4x − 3y + 1 rsid dt dt (Rta: (2, 3)) ive dy Ejercicio 3. dx = 2x − xy, dt dt = xy − 3y Un (Rta: (0, 0) y (3, 2)) Ejercicio 4. dx = y, dy = − sen x dt dt (Rta: todos los puntos de la forma (nπ, 0), donde n es un entero.) Encuentre los puntos cr´ ıticos del sistema dado e investigue el tipo de es- tabilidad de cada uno: 307
  28. 28. CAP´ ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD Ejercicio 5. dx = −2x + y, dy = x − 2y dt dt (Rta: el or´ ıgen es un nodo asint´ticamente estable.) o Ejercicio 6. dx = x + 2y, dy = 2x + y dt dt (Rta: el or´ ıgen es un punto silla inestable.) Ejercicio 7. dx = x − 3y, dy = 6x − 5y dt dt as (Rta: el or´ ıgen es un foco o punto espiral asint´ticamente estable.) o atic Ejercicio 8. dx = x − 2y, dy = 4x − 2y dt dt atem (Rta: el or´ ıgen es un foco estable.) Ejercicio 9. dx = 3x − 2y, dy = 4x − y eM dt dt (Rta: el or´ ıgen es un foco o punto espiral inestable.) o. d Ejercicio 10 . dx = 3x − 2y, dy = 4x − y dt dt (Rta: el or´ ıgen es un foco o punto espiral inestable.) ept ,D uia 8.4. CRITERIO DE ESTABILIDAD POR EL tioq METODO DIRECTO DE LIAPUNOV An Consideremos el sistema aut´nomo o de dx = F (x, y) ad dt (8.32) dy rsid = G(x, y), dt ive y supongamos que tiene un punto cr´ ıtico aislado; sea (0, 0) dicho punto cr´ıtico (un punto cr´ ıtico (x0 , y0 ) se puede llevar al or´ ıgen mediante la traslaci´n de o Un coordenadas x = x − x0 , y = y − y0 ). Sea C = (x(t), y(t)) una trayectoria de (8.32) y consideremos la funci´n o E(x, y) continua y con primeras derivadas parciales continuas en una regi´n o que contiene a la trayectoria. Si un punto (x, y) se mueve a lo largo de las trayectorias de acuerdo a las ecuaciones x = x(t) y y = y(t), entonces E(x, y) = E(x(t), y(t)) = E(t) 308
  29. 29. 8.4. CRITERIO DE ESTABILIDAD: METODO DE LIAPUNOV es una funci´n de t sobre C , su raz´n de cambio es o o dE ∂E dx ∂E dy ∂E ∂E = + = F+ G (8.33) dt ∂x dt ∂y dt ∂x ∂y Esta f´rmula es la idea principal de Liapunov. o Definici´n 8.5 Supongamos que E(x, y) es continua y tiene primeras derivadas o as parciales continuas en una regi´n que contiene al origen. o atic Si E(0, 0) = 0 y atem i. Si E(x, y) > 0 con (x, y) = (0, 0), decimos que E es definida positiva. eM ii. Si E(x, y) < 0 con (x, y) = (0, 0), decimos que E es definida negativa. o. d iii. Si E(x, y) ≥ 0 con (x, y) = (0, 0), decimos que E es semidefinida posi- tiva. ept ,D iv. Si E(x, y) ≤ 0 con (x, y) = (0, 0), decimos que E es semidefinida nega- uia tiva. tioq Nota: An E(x, y) = ax2m + by 2n con a > 0, b > 0 y m, n enteros positivos, es de definida positiva. ad rsid E(x, y) es definida negativa si y solo si −E(x, y) es definida positiva. ive E(x, y) = ax2m + by 2n con a < 0 y b < 0 y m, n enteros positivos, es Un definida negativa. x2m es semidefinida positiva, ya que x2m = 0 para todo (0, y) y x2m > 0 para todo (x, y) = (0, 0). Similarmente se demuestra que y 2n , (x − y)2m son semidefinidas posi- tivas. 309
  30. 30. CAP´ ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD Si E(x, y) es definida positiva, entonces z = E(x, y) es la ecuaci´n o de una superficie que podr´ parecerse a un parabolo´ abierto hacia ıa ıde arriba y tangente al plano XY en el or´ ıgen (ver figura 8.18). z as atic atem eM o. d ept y ,D uia tioq An x de ad Figura 8.18 rsid ive Definici´n 8.6 (funci´n de Liapunov) E(x, y) es llamada una funci´n o o o Un de Liapunov para el sistema (8.32), si E(x, y) es continua, con primeras derivadas parciales continuas en una regi´n que contiene al or´ o ıgen, E(x, y) es definida positiva y adem´s, a ∂E ∂E dE F+ G= (x, y) (8.34) ∂x ∂y dt es semidefinida negativa. 310
  31. 31. 8.4. CRITERIO DE ESTABILIDAD: METODO DE LIAPUNOV Nota: Por (8.33), el requisito de que (8.34) sea semidefinida negativa impl´ ıca dE ∂E ∂E que la derivada de dt = ∂x F + ∂y G ≤ 0 y esto impl´ que E es no ıca creciente a lo largo de las trayectorias de (8.32) pr´ximas al or´ o ıgen. Por lo anterior las funciones E generalizan el concepto de energ´ total ıa as de un sistema f´ısico. atic Teorema 8.4 ( Criterio de Liapunov) . atem a. Si existe una funci´n de Liapunov para el sistema (8.32) , entonces el o eM punto cr´ıtico (0, 0) es estable. o. d b. Si (8.34) es definida negativa entonces (0, 0) es un punto cr´ ıtico asint´ticamente estable. o ept ,D c. Si (8.34) es definida positiva entonces (0, 0) es un punto cr´ ıtico uia inestable. tioq An Demostraci´n: sea C1 un c´ o ırculo de radio R > 0 centrado en el or´ıgen de tal manera que C1 se halla dentro del dominio de definici´n de la funci´n o o de E. Como E(x, y) es continua y definida positiva, tiene un m´ximo positivo a m en C1 . Adem´s, E(x, y) es continua en el or´ a ıgen y se anula en ´l, luego e ad podemos hallar un n´mero positivo r < R tal que 0 ≤ E(x, y) < m si (x, y) u rsid est´ dentro del c´ a ırculo C2 de radio r (Ver figura 8.19). ive Sea C = [x(t), y(t)] cualquier trayectoria que est´ dentro de C2 para e Un t = t0 , entonces E(t0 ) < m y como (8.34) es semidefinida negativa, entonces dE dt = ∂E F + ∂E G ≤ 0 lo cual impl´ que E(t) ≤ E(t0 ) < m para todo ∂x ∂y ıca t > t0 , luego la trayectoria C nunca puede alcanzar el c´ ırculo C1 en un t > t0 lo cual impl´ que hay estabilidad. ıca Probemos la segunda parte del teorema. Probemos que, bajo la hip´tesis adicional ( dE < 0), E(t) → 0, porque al ser o dt E(x, y) definida positiva, impl´ que C se aproxima al punto cr´ ıca ıtico (0, 0). 311
  32. 32. CAP´ ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD y c2 c1 t = t0 • r r• •R x as atic c3 atem c eM o. d Figura 8.19 ept Como dE < 0, entonces E(t) es decreciente y como E(t) est´ acotada a ,D dt inferiormente por 0, entonces E(t) tiene un l´ ımite L ≥ 0 cuando t → ∞. uia Supongamos que L > 0. Sea r < r (ver figura 8.19) tal que E(x, y) < L tioq para (x, y) dentro del c´ ırculo C3 de radio r, como la funci´n (8.34) es continua o y definida negativa, tiene un m´ximo negativo −k en el anillo limitado por a An los c´ ırculos C1 y C3 . Este anillo contiene a toda trayectoria C para t ≥ t0 , de luego de la ecuaci´n o t dE ad E(t) = E(t0 ) + dt t0 dt rsid y dE ≤ −k dt Se obtiene la desigualdad: ive E(t) ≤ E(t0 ) − k(t − t0 ) ∀t ≥ t0 Un Pero el miembro de la derecha tiende a −∞ cuando t → ∞, es decir, l´ E(t) = −∞, pero E(x, y) ≥ 0 (Absurdo!), luego L = 0. ım t→∞ Ejemplo 4. La E.D. de una masa m sujeta a un resorte de constante k, en un medio que ofrece un amortiguamiento de coeficiente C es d2 x dx m 2 +C + kx = 0 dt dt 312
  33. 33. 8.4. CRITERIO DE ESTABILIDAD: METODO DE LIAPUNOV donde C ≥ 0, k > 0. Analizar la estabilidad de su punto cr´ ıtico. Soluci´n: o El sistema aut´nomo equivalente es: o dx dy k C = y; =− x− y dt dt m m as 2 Su unico punto cr´ ´ ıtico es (0, 0). La energ´ cin´tica es my y la energ´ po- ıa e 2 ıa x atic 1 2 tencial (o energ´ almacenada en el muelle) es 0 kx dx = 2 kx ıa Luego la energ´ total: E(x, y) = 1 my 2 + 1 kx2 la cual es definida positiva, ıa 2 2 atem como ∂E ∂E k C F+ G = kxy + my − x − y = −Cy 2 ≤ 0 eM ∂x ∂y m m o. d Luego, E(x, y) es una funci´n Liapunov para el sistema y por tanto (0, 0) es o estable. Se sabe que si C > 0 el punto cr´ ept ıtico (0, 0) es asint´ticamente estable, pero o la funci´n Liapunov no detecta este hecho. o ,D uia Ejemplo 5. (Resorte no lineal). Este es un ejemplo de una masa m = 1 sujeta a un resorte no lineal, en el cual la fuerza restauradora es una funci´n o tioq de la distancia de la masa al origen, sea −f (x) una funci´n no lineal que o representa la fuerza restauradora tal que f (0) = 0 y xf (x) > 0 si x = 0; no An hay fricci´n. La E.D. de su movimiento es o de d2 x + f (x) = 0 ad dt2 rsid Analizar la estabilidad de su punto cr´ ıtico. ive Soluci´n: el sistema aut´nomo equivalente es o o Un x =y y = −f (x) Su unico punto cr´ ´ ıa e 1 ıtico es (0, 0). La energ´ cin´tica es 2 x 2 = 1 y 2 y la energ´ 2 ıa potencial es x F (x) = f (x) dx 0 313
  34. 34. CAP´ ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD y la energ´ total es ıa y2 E(x, y) = F (x) + 2 Como x, f (x) tienen el mismo signo entonces F (x) ≥ 0 y por tanto E(x, y) es definida positiva. Adem´s a E (x, y) = F (x)x + yy = f (x)y + y(−f (x)) = 0 as es decir, es semidefinida negativa y por el teorema el punto cr´ ıtico (0, 0) es atic estable. Igual que sucede con un resorte lineal, se puede demostrar que este punto cr´ıtico es un centro. atem Ejemplo 6. Analicemos la estabilidad del punto cr´ ıtico del siguiente sistema x3 eM x = −x − − x sen y, 3 o. d y3 y = −y − 3 Soluci´n: o ept ,D (0, 0) es el unico punto cr´ico. Sea E(x, y) = 1 (x2 + y 2 ), luego ´ t 2 uia x3 y3 x4 y4 E (x, y) = x(−x − − x sen y) + y(−y − ) = −x2 − − y 2 − − x2 sen y tioq 3 3 3 3 pero |x2 sen y| ≤ x2 y por tanto x2 + x2 sen y ≥ 0. Entonces An x4 y4 x4 y4 − y2 − − (x2 + x2 sen y) ≤ − − y 2 − de E (x, y) = − <0 3 3 3 3 ad para (x, y) = (0, 0), es decir E es definida negativa y por el teorema anterior, rsid parte b., (0, 0) es asint´ticamente estable. o ive Ejemplo 7. Analizar la estabilidad del punto cr´ ıtico del siguiente sistema Un dx dy = −2xy; = x2 − y 3 dt dt Soluci´n: o (0, 0) es punto cr´ ıtico aislado E(x, y) = ax2m + by 2n 314

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