1. CAP´
ITULO 6
as
atic
TRANSFORMADA DE LAPLACE
atem
eM
o. d
6.1. INTRODUCCION ,D
ept
Definici´n 6.1 Sea f (t) una funci´n definida para todo t ≥ 0; se define la
o o
Transformada de Laplace de f (t) as´ ı:
uia
∞
tioq
£{f (t)}(s) = F (s) = e−st f (t)dt
0
An
b
= l´
ım e−st f (t)dt,
b→∞ 0
de
si el l´
ımite existe.
ad
rsid
Teorema 6.1 .
Si f (t) es una funci´n continua a tramos para t ≥ 0 y adem´s |f (t)| ≤ M ect
o a
ive
para todo t ≥ T , donde M es constante , c > 0 constante y T > 0 constante,
Un
entonces £{f (t)}(s) existe para s > c.
Demostraci´n: veamos que la siguiente integral existe, en efecto:
o
∞ ∞
|£{f (t)}(s)| = e−st f (t)dt ≤ |e−st ||f (t)|dt
0 0
∞
= e−st |f (t)|dt, sabiendo que e−st > 0
0
215

2. CAP´
ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
T ∞
−st
= e |f (t)|dt + e−st |f (t)|dt
0 T
I1 I2
T
I1 = e−st |f (t)|dt existe, ya que f es continua a tramos
0
as
∞ ∞ ∞
I2 = e−st |f (t)| dt ≤ e−st M ect dt = M e(−s+c)t dt
atic
T T T
≤ M ect
atem
∞
M
= e−(s−c)t , suponiendo que s − c > 0
−(s − c) T
eM
M −(s−c)T M −(s−c)T
= − (0 − e )= e
s−c s−c
o. d
Luego, £{f (t)}(s) existe, si s > c.
ept
NOTA: cuando f (t) ≤ |f (t)| ≤ M ect para t ≥ T , entonces decimos que
,D
f (t) es de orden exponencial (ver figura 6.1).
uia
f (t)
tioq
M ect , (c > 0)
An
f (t)
de
•
ad
(0, M ) •
rsid
ive
t
T
Un
Figura 6.1
Observaci´n: £ es un operador lineal, en efecto
o
∞
def.
£{αf (t) + βg(t)}(s) = e−st (αf (t) + βg(t)) dt
0
216

3. 6.1. INTRODUCCION
∞ ∞
= α e−st f (t) dt + β e−st g(t) dt
0 0
= α£{f (t)}(s) + β£{g(t)}(s)
Teorema 6.2 .
1
1). £{1}(s) = s
, s > 0,
as
k
£{k}(s) = , s > 0, k constante.
atic
s
atem
n!
2). £{tn }(s) = sn+1
, s > 0, n = 1, 2, . . .
eM
1
3). £{eat }(s) = , para s > a
o. d
s−a
ept
k
,D
4). £{ sen kt}(s) = s2 +k2
, s>0
uia
tioq
s
5). £{cos kt}(s) = s2 +k2
, s>0
An
de
k
6). £{ senh kt}(s) = s2 −k2
, s > |k|
ad
rsid
s
7). £{cosh kt}(s) = , s > |k|
ive
s2 −k2
Un
n!
8). £{tn eat }(s) = (s−a)n+1
, s > a, n = 1, 2, . . .
Demostraci´n 1). Si s > 0 se tiene que
o
∞ ∞
−st e−st 1
£{1}(s) = e 1 dt = =
0 −s 0 s
217

4. CAP´
ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Demostraci´n 2). Hagamos la demostraci´n por el m´todo de inducci´n.
o o e o
Para ello, suponemos que s > 0 y utilizamos el siguiente limite:
n
ım t
l´ | ect | = 0, n = 1, 2, . . .
t→∞
∞
u=t ⇒ du = dt
n = 1 : £{t}(s) = e−st t dt, hagamos
0 dv = e dt ⇒ v = − 1 e−st
−st
s
∞ ∞
te−st 1
= − + e−st dt
as
s 0 s 0
atic
∞
1 1 −st
atem
£{t}(s) = −(0 − 0) + e
s −s 0
1 1
eM
= − 2 (0 − 1) = 2
s s
o. d
Supongamos que se cumple para n − 1 y veamos que se cumple para n. En
efecto:
∞ ept
u = tn ⇒ du = ntn−1 dt
£{tn }(s) = e−st tn dt hagamos
dv = e−st dt ⇒ v = − 1 e−st
,D
0 s
∞
tn e−st n ∞
uia
= − + e−st tn−1 dt
s 0 s 0
tioq
£{tn−1 }(s)
An
n n
= −(0 − 0) + £{tn−1 }(s) = £{tn−1 }(s)
s s
de
(n−1)!
Pero por la hip´tesis de inducci´n £{tn−1 }(s) =
o o sn
, luego:
ad
n (n − 1)! n!
rsid
£{tn }(s) = n
= n+1
s s s
ive
Demostraci´n 4). Por el m´todo de los operadores inversos, tenemos:
o e
Un
∞
£{ sen kt}(s) = e−st ( sen kt) dt
0
∞ ∞
1 −st −st 1
= e sen kt =e sen kt
D 0 D−s 0
∞ ∞
−st D+s −st D+s
= e sen kt =e sen kt
D 2 − s2 0 −k 2 − s2 0
218

5. 6.2. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
∞
1
= − 2 + k2
e−st (k cos kt + s sen kt)
s 0
1 k
= − 2 (0 − k) = 2 , s>0
s + k2 s + k2
En la demostraci´n anterior utilizamos el siguiente teorema de l´
o ımites: si
l´ |f (t)| = 0 y g(t) es una funci´n acotada en R entonces l´ f (t)g(t) = 0
ım o ım
t→∞ t→∞
as
atic
6.2. TRANSFORMADA INVERSA DE
atem
LAPLACE
Si £{f (t)}(s) = F (s), entonces decimos que f (t) es una transformada
eM
inversa de Laplace de F (s) y se denota as´
ı:
o. d
£−1 {F (s)} = f (t)
NOTA: ept
,D
La transformada inversa de Laplace de F (s), no necesariamente es
uia
unica.
´
Por ejemplo la funci´n
o
tioq

1, si t ≥ 0 y t = 1, t = 2
An

f (t) = 3, si t = 1

de

−3, si t = 2
ad
y la funci´n g(t) = 1 (obs´rvese que f (t) = g(t)) tienen la misma
o e
rsid
transformada, es decir, £{f (t)} = £{g(t)} = 1 . Sinembargo £−1 { 1 } =
s s
f (t) y £−1 { 1 } = g(t) son diferentes.
ive
s
Pero cuando f (t) y g(t) son continuas para t ≥ 0 y £{f (t)} = £{g(t)}
Un
entonces f (t) = g(t) (Ver el libro de Variable Compleja de Churchill)
Para funciones continuas, £−1 es un operador lineal:
£−1 {αF (s) + β G(s)} = α£−1 {F (s)} + β£−1 {G(s)}
En los ejemplos de esta secci´n, utilizaremos los resultados del Ap´ndice
o e
C. para calcular fracciones parciales.
219

6. CAP´
ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Teorema 6.3 . Para a y k constantes se tiene:
1 k
1). £−1 = 1, y £−1 = k , si s > 0
s s
n! 1 tn
2). £−1 = tn y £−1 = , si s > 0
sn+1 sn+1 n!
1
= eat , si s > a
as
3). £−1
s−a
atic
k 1 sen kt
4). £−1 = sen kt, y £−1 = , si s > 0
atem
s 2 + k2 s 2 + k2 k
s
5). £−1 2 + k2
= cos kt , si s > 0
s
eM
k 1 senh kt
6). £−1 = senh kt y £−1 = , si s > |k|
o. d
s 2 − k2 s 2 − k2 k
s
7). £−1 2 − k2
= cosh kt , si s > |k| ept
s
,D
n! 1 tn eat
8). £−1 = tn eat y £−1 = , si s > a
(s − a)n+1 (s − a)n+1 n!
uia
tioq
Ejemplo 1. Con factores lineales en el denominador
An
7s − 1 A B C
de
£−1 = £−1 + +
(s − 3)(s + 2)(s − 1) s−3 s+2 s−1
ad
rsid
1 1 1
= A£−1 + B£−1 + C£−1
s−3 s+2 s−1
ive
= Ae3t + Be−2t + Cet
Un
Pero por fracciones parciales
7s − 1 A B C
= + +
(s − 3)(s + 2)(s − 1) s−3 s+2 s−1
Para hallar el coeficiente A, eliminamos de la fracci´n el factor correspon-
o
diente a A y en la parte restante sustituimos a s por la ra´ asociada a este
ız
factor; lo mismo hacemos para los coeficientes B y C.
220

7. 6.2. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
7 (3) − 1 7 (−2) − 1 7 (1) − 1
A= =2, B= = −1 , C = = −1,
(5) (2) (−5) (−3) (−2) (3)
7s − 1
£−1 = 2e3t − e−2t − et
(s − 3)(s + 2)(s − 1)
Ejemplo 2. Con factores lineales repetidos
as
atic
s+1 A B C D E
£−1 = £−1 + + + +
atem
s2 (s + 2)3 s 2 s (s + 2) 3 (s + 2) 2 s+2
1 1 1
= A£−1 + B£−1 + C£−1 +
eM
s2 s (s + 2)3
1 1
+D£−1 + E£−1
o. d
(s + 2) 2 s+2
2 −2t −2t
t e te
= A t + B (1) + C
2!
+D ept1!
+ E e−2t
,D
s+1 A B C D E
= 2+ + + +
s2 (s + 2)3 s s (s + 2) 3 (s + 2) 2 s+2
uia
tioq
y por los m´todos de las fracciones parciales hallamos
e
An
1 1 1 1
A = 8 , B = − 16 , C = − 4 , D = 0, E = 16
, luego
de
s+1 1 1 1 t2 e−2t 1 −2t
£−1 = t− − + e
s2 (s + 2)3 8 16 4 2! 16
ad
rsid
Ejemplo 3. Factores cuadr´ticos, lo factorizamos en factores lineales en los
a
complejos
ive
Un
s2 + 2 s2 + 2
£−1 = £−1
s(s2 + 2s + 2) s(s − (−1 + i))(s − (−1 − i))
A B C
= £−1 + +
s s − (−1 + i) s − (−1 − i)
1 1
= A£−1 + B£−1 +
s s − (−1 + i)
221

8. CAP´
ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
1
+C£−1
s − (−1 − i)
= A (1) + B e(−1+i)t + Ce(−1−i)t
= A + Be−t (cos t + i sen t) + C e−t (cos t − i sen t)
= A + e−t [(B + C) cos t + i(B − C) sen t]
as
Hallamos los coeficientes de la misma manera que en ejemplo 1.
atic
02 + 2 2
atem
A = = =1
[0 − (−1 + i)][0 − (−1 − i)] 1+1
(−1 + i)2 + 2 1
eM
B = =− =i
(−1 + i)[−1 + i − (−1 − i)] i
2
(−1 − i) + 2 1
o. d
C = = = −i
(−1 − i)[−1 − i − (−1 + i)] i
£−1
s2 + 2 ept
= 1 + e−t (0 cos t + i(2i) sen t)
s(s2 + 2s + 2)
,D
= 1 − 2e−t sen t
uia
tioq
6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANSFOR-
An
MADA DE LAPLACE
de
Los teoremas que veremos en esta secci´n nos permitir´n en muchos casos
o a
calcular la transformada inversa sin utilizar fracciones parciales.
ad
rsid
Teorema 6.4 .
Si f es una funci´n continua a tramos para t ≥ 0 y de orden exponencial
o
ive
para t ≥ T , entonces
Un
l´ £ {f (t)} (s) = l´ F (s) = 0
ım ım
s→∞ s→∞
Demostraci´n: como la funci´n f es continua a tramos en [0, T ], en-
o o
tonces es acotada en este intervalo y por tanto ∃M1 > 0 tal que |f (t)| ≤
M1 e0t , ∀t ∈ [0, T ] y como f (t) es de orden exponencial para t ≥ T , en-
tonces |f (t)| ≤ M2 eγt donde M2 y γ son constantes con M2 ≥ 0.
222

9. 6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Sea M = m´x{M1 , M2 } y sea α = m´x{0, γ}; por lo tanto, |f (t)| ≤ M eαt ,
a a
∀t ≥ 0.
∞ ∞ ∞
|F (s)| = e−st f (t) dt ≤ e−st |f (t)| dt ≤ e−st M eαt dt
0 0 0
∞ ∞
1
= M e−(s−α)t dt = e−(s−α)
−(s − α)
as
0 0
M M
atic
s>α
= − (0 − 1) =
s−α s−α
atem
M
⇒ l´ |F (s)| ≤ l´
ım ım =0
s→∞ s→∞ s − α
⇒ l´ F (s) = 0
ım
eM
s→∞
Teorema 6.5 (Primer Teorema de Translaci´n) .
o
o. d
Si a es un n´mero real cualquiera, entonces
u
£ eat f (t) (s) = £ {f (t)} (s − a)
ept
,D
= F (s − a)
uia
tioq
Demostraci´n:
o
An
∞ ∞
£{eat f (t)}(s) = e−st eat f (t) dt = e−(s−a)t f (t) dt
de
0 0
= £{f (t)}(s − a) = F (s − a)
ad
NOTA: £−1 {F (s − a)} = eat f (t)
rsid
ive
Ejemplo 4. £{e2t sen t}(s)
1
Soluci´n: £{e2t sen t}(s) = £{ sen t}(s − 2) =
o
Un
(s−2)2 +1
ya que £{ sen t}(s) = s21 +1
1
Ejemplo 5. £−1 s2 −2s+3
Soluci´n:
o
1 1 1 √
£−1 = £−1 = √ et sen 2t
s2 − 2s + 3 (s − 1)2 + 2 2
223

10. CAP´
ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
s
Ejemplo 6. £−1 s2 +4s+5
Soluci´n:
o
s (s + 2) − 2
£−1 = £−1
s2 + 4s + 5 (s + 2)2 + 1
s+2 1
as
= £−1 − 2 £−1
(s + 2)2 + 1 (s + 2)2 + 1
atic
= e−2t cos t − 2e−2t sen t
atem
Definici´n 6.2 (Funci´n Escal´n Unitario) .(Ver figura 6.2)
o o o
eM
0, si 0 ≤ t < a,
U(t − a) =
1, si t ≥ a
o. d
U(t − a)
ept
1
,D
t
uia
a
tioq
−1
Figura 6.2
An
Ejemplo 7. Al aplicar U(t − π) a la funci´n sen t trunca la funci´n sen t
o o
de
entre 0 y π quedando la funci´n g(t) = U(t − π) sen t como lo muestra la
o
ad
gr´fica 6.3
a
g(t)
rsid
1
ive
Un
t
π
−1
Figura 6.3
224

11. 6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Teorema 6.6 (Segundo Teorema de Translaci´n) . o
Si a > 0 y f (t) es continua para t ≥ 0 y de orden exponencial entonces
£{U(t − a)f (t − a)}(s) = e−as F (s) = e−as £{f (t)}(s)
Demostraci´n:
o
as
∞
atic
£{U(t − a)f (t − a)}(s) = e−st U(t − a)f (t − a) dt
0
atem
a ∞
−st
= e U(t − a)f (t − a) dt + e−st U(t − a)f (t − a) dt
0 a
a
eM
∞
= e−st 0f (t − a) dt + e−st 1f (t − a) dt
0 a
o. d
∞
= e−st f (t − a) dt
a
ept
Hagamos u = t − a ⇒ du = dt, por lo tanto,
,D
uia
∞
£{U(t − a)f (t − a)}(s) = e−s(u+a) f (u) du
tioq
0
∞
= e−sa e−su f (u) du
An
0
= e−as £{f (t)}(s)
de
NOTA: forma rec´
ıproca
ad
rsid
£−1 {e−as F (s)} = U(t − a)f (t − a)
ive
Ejemplo 8. Hallar £{U(t − a)}
Un
1 e−as
£{U(t − a)} = £{U(t − a) 1} = e−as =
s s
Ejemplo 9. Hallar £{U(t − π ) sen t}
2
Soluci´n:
o
π π π π
£ U t− sen t = £ U t − sen t − +
2 2 2 2
225

12. CAP´
ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
pero
π π π π π π
sen t − + = sen t − cos + sen cos t −
2 2 2 2 2 2
π
= cos t −
2
π π −π s
£ U t− cos t − = e 2 £{cos t}
2 2
s
as
π
= e− 2 s 2
atic
s +1
e−s
atem
Ejemplo 10. Hallar £−1 s(s+1)
Soluci´n:
o
eM
e−s 1
£−1 = £−1 e−s
s(s + 1) s(s + 1)
o. d
como
1 A B
ept
= + ⇒ A = 1, B = −1
,D
s(s + 1) s s+1
uia
1 1
= £−1 e−s − £−1 e−s
s s+1
tioq
= U(t − 1) − U(t − 1) e−(t−1)
An
Teorema 6.7 (Derivada de una Transformada) .
dn
de
£{tn f (t)}(s) = (−1)n dsn F (s), con n = 1, 2, . . .,
donde F (s) = £{f (t)}(s)
ad
rsid
Demostraci´n: por inducci´n sobre n.
o o
ive
∞ −st
n=1 F (s) = 0
e f (t) dt
Un
∞ ∞
dF (s) d ∂ −st
= e−st f (t) dt = (e f (t)) dt
ds ds 0 0 ∂s
∞ ∞
= −t e−st f (t) dt = − e−st (t f (t)) dt
0 0
def.£
= −£{t f (t)}(s)
d
⇒ £{t f (t)}(s) = − F (s)
ds
226

13. 6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Supongamos que se cumple para n = k
dk
£{tk f (t)}(s) = (−1)k F (s)
dsk
Veamos que se cumple para n = k + 1
n=1 d
£{tk+1 f (t)}(s) = £{t tk f (t)}(s) = − £{tk f (t)}(s)
ds
as
n=k d dk
= − [(−1)k k F (s)]
atic
ds ds
k+1
d
= (−1)k+1 k+1 F (s)
atem
ds
NOTA: para el caso n = 1, obtenemos una f´rmula que nos permite
o
eM
hallar la transformada inversa de transformadas que no tenemos en la tabla
de transformadas.
o. d
d
£{t f (t)}(s) = − F (s)
ds
ept
o sea que
,D
t f (t) = −£−1 {F (s)}
uia
1
f (t) = − £−1 {F (s)}
tioq
t
s−3
Ejemplo 11. Hallar £−1 ln = f (t)
An
s+1
Soluci´n:
o
de
1 d 1 d s−3
ad
f (t) = − £−1 F (s) = − £−1 ln
t ds t ds s+1
rsid
1 s + 1 (s + 1)1 − (s − 3)1
= − £−1
ive
t s−3 (s + 1)2
1 s+1 4 1 4
Un
= − £−1 = − £−1
t s − 3 (s + 1)2 t (s − 3)(s + 1)
4 1
= − £−1
t (s − 3)(s + 1)
utilizando fracciones parciales
1 A B
= +
(s − 3)(s + 1) s−3 s+1
227

14. CAP´
ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
1 1
⇒A= , B=−
4 4
4 −1 1 1
f (t) = − £ −
t 4(s − 3) 4(s + 1)
1 e−t − e3t
= − (e3t − e−t ) =
t t
Teorema 6.8 (Transformada de la Derivada) .
as
Si f (t), f (t), f (t), . . . , f (n−1) (t) son continuas para t ≥ 0 y de orden expo-
atic
nencial y si f n (t) es continua a tramos para t ≥ 0, entonces:
atem
£{f (n) (t)}(s) = sn F (s)−sn−1 f (0)−sn−2 f (0)−. . .−sf (n−2) (0)−f (n−1) (0)
eM
Demostraci´n: por inducci´n sobre n:
o o
o. d
para n = 1
£{f (t)}(s) =
∞
e−st f (t) dt,
ept
,D
0
uia
e integrando por partes
tioq
∞
−st ∞
=e f (t) 0
+s e−st f (t) dt
An
0
= −f (0) + s£{f (t)}(s)
de
= s F (s) − f (0)
ad
supongamos que se cumple para n = k :
rsid
£{f (k) (t)}(s) = sk F (s) − sk−1 f (0) − sk−2 f (0) − . . . − sf (k−2) (0) − f (k−1) (0)
ive
Un
Veamos que se cumple para n = k + 1:
£{f (k+1) (t)}(s) = £{[f (k) (t)] }(s)
n=1
= s£{f (k) (t)}(s) − f (k) (0)
n=k
= s(sk F (s) − sk−1 f (0) − sk−2 f (0) − . . . − sf (k−2) (0) − f (k−1) (0)) − f (k) (0)
= sk+1 F (s) − sk f (0) − sk−1 f (0) − . . . − s2 f (k−2) (0) − sf (k−1) (0) − f (k) (0)
228

15. 6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
NOTA: para resolver E.D. necesitamos, en la mayor´ de ejemplos, los
ıa
casos n = 1 y n = 2.
Para n = 1
£{y (t)}(s) = s Y (s) − y(0)
donde Y (s) = £{y(t)}(s)
n = 2 £{y (t)}(s) = s2 Y (s) − s y(0) − y (0)
as
Definici´n 6.3 (Producto Convolutivo) . Sean f y g funciones conti-
o
atic
nuas a tramos para t ≥ 0; el producto convolutivo entre las funciones f y g
se define as´
ı:
atem
t
(f ∗ g)(t) = f (τ ) g(t − τ ) dτ
0
eM
NOTA: haciendo el cambio de variable u = t−τ en la definici´n de producto
o
convolutivo se demuestra que: f ∗ g = g ∗ f (o sea que la operaci´n ∗ es
o
o. d
conmutativa)
Teorema 6.9 (Transformada del producto convolutivo) . ept
Si f y g son funciones continuas a tramos para t ≥ 0 y de orden exponencial,
,D
entonces
uia
£{(f ∗ g)(t)}(s) = £{f (t)}(s) £{g(t)}(s) = F (s) G(s)
tioq
Demostraci´n:
o
An
∞ ∞
def. def.
F (s) = e−sτ f (τ ) dτ G(s) = e−sβ g(β) dβ
de
0 0
∞ ∞
ad
−sτ −sβ
F (s) G(s) = e f (τ ) dτ e g(β) dβ
rsid
0 0
∞ ∞
= e−(τ +β)s f (τ ) g(β) dβ dτ
ive
0 0
∞ ∞
Un
= f (τ ) e−(τ +β)s g(β) dβ dτ (6.1)
0 0
Sea t = τ + β dejando constante a τ , luego dt = dβ.
Ahora, cuando β = 0 ⇒ t = τ y cuando β → ∞ entonces t → ∞
Luego en 6.1
∞ ∞
F (s) G(s) = f (τ ) e−ts g(t − τ ) dt dτ
0 τ
229

16. CAP´
ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
τ =t
τ
4
3
as
2
atic
1
atem
0 t
t
eM
Figura 6.4
o. d
Y como f y g son continuas a tramos, podemos cambiar el orden de inte-
ept
,D
graci´n (ver figura 6.4);
o
uia
∞ t
F (s) G(s) = f (τ ) e−ts g(t − τ ) dτ dt
tioq
0 0
 
An
∞
 t
 ∞
−ts
 
F (s) G(s) = e  f (τ ) g(t − τ ) dτ  dt = e−ts (f ∗ g)(t) dt
de
 
0  0  0
ad
(f ∗ g)(t)
rsid
def.
= £{(f ∗ g)(t)} (s)
ive
NOTA: forma rec´
ıproca del teorema (f ∗ g)(t) = £−1 {F (s) G(s)}
Un
Corolario 6.1 (Transformada de la integral) .
Si f es una funci´n continua a tramos para t ≥ 0 y de orden exponencial,
o
entonces: t
1 1
£ f (t) dt (s) = F (s) = £{f (t)}(s)
0 s s
Demostraci´n: tomando g(t) = 1 en el teorema de convoluci´n, tenemos
o o
230

17. 6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
1
£{g(t)}(s) = £{1}(s) =
s
t t
£{(f ∗ g)} = £ f (τ ) g(t − τ ) dτ =£ f (τ ) 1 dτ
0 0
= £{f (τ )}(s) £{g(τ )}(s) = F (s)£{1}(s)
t
as
1
£ f (τ ) dτ = F (s)
atic
0 s
atem
Teorema 6.10 (Generalizaci´n de la transformada de una potencia)
o
.
£{tx } = Γ(x+1) , para s > 0 y x > −1
eM
sx+1
Demostraci´n: la funci´n gamma como la definimos en el cap´
o o ıtulo anterior
o. d
es,
∞
Γ(x) = e−τ τ x−1 dτ ept
0
,D
hagamos τ = st, por tanto dτ = s dt y cuando τ = 0 entonces t = 0 y con
uia
τ → ∞ entonces t → ∞, por lo tanto
tioq
∞ ∞
e−st (st)x−1 s dt = s e−st sx−1 tx−1 dt
An
Γ(x) =
0 0
∞
de
x
=s e−st tx−1 = sx £{tx−1 }
0
ad
por lo tanto
rsid
Γ(x)
£{tx−1 } = con x > 0 y s > 0
ive
sx
luego (cambiando x por x + 1)
Un
Γ(x + 1)
£{tx } = con x + 1 > 0 (o sea x > −1) y s > 0
sx+1
Definici´n 6.4 Una funci´n f (t) se dice que es peri´dica con per´
o o o ıodo T
(T > 0) si para todo t se cumple f (t + T ) = f (t).
El siguiente teorema se deja como ejercicio.
231

18. CAP´
ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Teorema 6.11 (Transformada de una funci´n peri´dica) .
o o
Sea f (t) una funci´n continua a tramos para t ≥ 0 y de orden exponencial.
o
Si f (t) es peri´dica con per´
o ıodo T , entonces:
T
1
£{f (t)}(s) = e−st f (t) dt
1 − e−sT 0
as
t
Ejemplo 12. Hallar £ e−τ cos τ dτ (s)
atic
0
Soluci´n:
o
atem
t
1
£ e−τ cos τ dτ (s) = £{e−τ cos τ }(s)
0 s
eM
Pero
o. d
£{e−τ cos τ }(s) = £{cos τ }(s + 1)
s+1 ept
=
(s + 1)2 + 12
,D
t
1 s+1
£ e−τ cos τ dτ (s) =
uia
0 s (s + 1)2 + 1
tioq
Ejemplo 13. Hallar £{e−t ∗ et cos t}(s)
Soluci´n:
o
An
def ∗
£{e−t ∗ et cos t}(s) = £{e−t }(s) £{et cos t}(s)
de
1 s−1
=
ad
s + 1 (s − 1)2 + 1
rsid
Observese que el ejemplo siguiente lo resolvemos con los resultados de los teo-
ive
remas de la transformada y no necesitamos utilizar los dispendiosos m´todos
e
Un
de las fracciones parciales.
s
Ejemplo 14. Hallar £−1 (s2 +4)2 (t)
Soluci´n:
o
s 1 2 s
£−1 (t) = £−1
(s2 + 4)2 2 s 2 + 4 s2 + 4
t
1 1 def. * 1
= (f ∗ g)(t) = ( sen 2t ∗ cos 2t) = sen 2τ cos 2(t − τ ) dτ
2 2 2 0
232

19. 6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
1 t
= sen 2τ (cos 2t cos 2τ + sen 2t sen 2τ ) dτ
2 0
t t
1 1
= cos 2t sen 2τ cos 2τ dτ + sen 2t sen 2 2τ dτ
2 0 2 0
1 1 1
= cos 2t sen 2 2t + t sen 2t − sen 2t sen 4t
8 4 16
Utilizando los teoremas vistos sobre transformada, efectuar los siguientes
as
ejercicios.
atic
∞ −5t t
te3t sen 2t dt] dt
atem
Ejercicio 1. Hallar 0
e [ 0
1
(Rta.: 40 )
eM
Ejercicio 2. Mostrar que
o. d
s3 + 3s2 + 1 3 −t 1 1
£−1 = e cos t + 2e−t sen t − + t
s2 (s2 + 2s + 2) 2 2 2
ept
,D
s
Ejercicio 3. Mostrar que £−1 = e−2t cos t − 2e−2t sen t
uia
s2 +4s+5
tioq
π s sen 2t
Ejercicio 4. Mostrar que £−1 2
− tan−1 2
= t
An
1 sen t
Ejercicio 5. Mostrar que £−1 tan−1 s
= t
de
3 e−2t sen 3t
Ejercicio 6. Mostrar que £−1 tan−1 s+2
= t
ad
Ejercicio 7. Mostrar que £−1 s
= 1 (t sen t − t2 cos t)
rsid
(s2 +1)3 8
s π
Ejercicio 8. Hallar £−1 e− 2 s
ive
s2 +1
(Rta.: −U(t − π ) sen t))
2
Un
1
Ejercicio 9. Hallar £−1 (s+2)2 +4
e−πs
1
(Rta.: 2 e−2(t−π) sen 2(t − π)U(t − π))
t
Ejercicio 10. Hallar £ t 0
sen τ dτ (s)
3s2 +1
(Rta.: s2 (s2 +1)2
)
233

20. CAP´
ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
t
Ejercicio 11. Hallar £ e−2t 0
τ e2τ sen τ dτ (s)
2s
(Rta.: (s+2)(s2 +1)2
)
1
Ejercicio 12. Hallar £−1 (s2 +1)(s2 +4)
s+1
Ejercicio 13. Hallar £−1 (s2 +2s+2)2
as
5 1
15 π
Ejercicio 14. Mostrar que £{t 2 } = 5 s
2
atic
8s 2
5
Ejercicio 15. Hallar £{t 2 e2t }
atem
Ejercicio 16. Emplear la transformada de Laplace y su inversa para
eM
mostrar que
m!n!
tm ∗ t n = tm+n+1
o. d
(m + n + 1)!
Ejercicio 17. Sea f (t) = a t de per´
ıodo b (funci´n “serrucho”, ver figura
o
6.5). Hallar £{f (t)}(s)
b ept
,D
f (t)
uia
a
tioq
t
An
b 2b 3b 4b 5b 6b 7b
de
Figura 6.5
ad
rsid
1 1
(Rta.: a ( bs −
s ebs−1
)
ive
Ejercicio 18. Sea
Un
sen t, si 0 ≤ t ≤ π
f (t) =
0, si π ≤ t ≤ 2π
peri´dica de per´
o ıodo 2π (funci´n rectificaci´n de la mitad de la onda seno.
o o
Ver figura 6.6 ). Hallar £{f (t)}(s)
234

21. 6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
f (t)
1
t
π 2π 3π
−1
Figura 6.6
as
atic
1
(Rta.: (s2 +1)(1−e−πs ) )
atem
Ejercicio 19. Sea
eM
1, si 0 ≤ t < a
f (t) =
o. d
−1, si a ≤ t < 2a
peri´dica de per´
o ept
ıodo 2a (funci´n onda cuadrada. Ver figura 6.7). Hallar
o
£{f (t)}(s)
,D
uia
f (t)
tioq
1
An
t
a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a
de
−1
ad
Figura 6.7
rsid
ive
(Rta.: 1 [ 1+e−as − 1] = 1 [ 1+e−as ] = 1 tanh as )
2 1−e −as
Un
s s s 2
Ejercicio 20. Sea

b, si 0 ≤ t < a


0, si a ≤ t < 2a
f (t) =
−b, si 2a ≤ t < 3a



0, si 3a ≤ t < 4a
235

22. CAP´
ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
peri´dica de per´
o ıodo 4a
b 1−e−as
(Rta.: s [ 1+e−2as ])
Ejercicio 21. Sea f (t) la funci´n de onda tri´ngular (ver figura 6.8).
o a
Mostrar que £{f (t)}(s) = s12 tanh 2
s
f (t)
as
1
atic
t
atem
−1 1 2 3 4 5 6 7 8
−1
eM
Figura 6.8
o. d
Ejercicio 22. Sea f (t) la funci´n rectificaci´n completa de la onda de
o o
sen t (ver figura 6.9). Mostrar que £{f (t)}(s) = s21 coth πs
+1 2
ept
,D
f (t)
uia
1
tioq
t
π 2π 3π 4π
An
−1
de
Figura 6.9
ad
rsid
Ejercicio 23.
ive
a). Si f (t) es continua a tramos y de orden exponencial y si
Un
f (t)
l´ +
ım
t→0 t
existe, entonces
∞
f (t)
£{}(s) = F (s) ds
t s
donde F (s) = £{f (t)}(s)
236

23. 6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
b). Mostrar que
∞ ∞
f (t)
dt = F (s) ds
0 t 0
c). Hallar
∞ −ax sen bx
1. e ( x )
as
0
dx
b
(Rta.: tg −1 a )
atic
atem
∞ e−ax −e−bx
2. 0 x
dx
b
(Rta.:ln a )
eM
t
3. Mostrar que £{ e −e } = ln(s + 1) − ln(s − 1), con s > 1
−t
t
o. d
t 1−cos aτ 1 2 +a2
4. Mostrar que £{ dτ } = ln s
0 τ 2s
ept
s2
,D
5. Mostrar formalmente, que si x > 0 entonces
∞ ∞
a) f (x) = 0 sen xt dt = π ; b) f (x) = 0 cos xt dt = π e−x
uia
t 2 1+t2 2
tioq
6. Hallar £{ sen kt }
t
(Rta.: tan−1 k )
An
s
de
Ejercicio 24. Mostrar que
ad
a). £−1 { e s2 } = (t − 3)U(t − 3)
−3s
rsid
e −πs
b). £−1 { s2 +1 } = sen (t − π)U(t − π) = − sen tU(t − 3)
ive
c). £−1 { 1−e+1 } = (1 − U(t − 2π)) sen t
−2πs
Un
s2
d). £−1 { s(1+e 2 ) } = (1 − U(t − 3)) cos πt
−3s
s2 +π
e). Hallar £−1 { s−se 2 }
−πs
1+s
(Rta.: cos t − U(t − π) cos(t − π))
237

24. CAP´
ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
6.4. APLICACIONES DE LA TRANSFOR-
MADA A E.D. CON CONDICIONES
INICIALES
Pasos:
Aplicar la transformada a ambos lados de la ecuaci´n
o
as
atic
Aplicar el teorema de la transformada de la derivada
£{y } = sY (s) − y(0)
atem
£{y } = s2 Y (s) − sy(0) − y (0)
donde Y (s) = £{y(t)}(s)
eM
Conseguir una funci´n en s, es decir, despejar Y (s)
o
o. d
Hallar la transformada inversa: y(t) = £−1 {Y (s)}
ept
,D
Ejemplo 15. Hallar la soluci´n de y −4y +4y = t3 e2t ,
o y(0) = y (0) = 0
Soluci´n:
o
uia
1 : £{y } − 4£{y } + 4£{y} = £{t3 e2t }
tioq
3!
2 : s2 Y (s) − sy(0) − y (0) − 4(sY (s) − y(0)) + 4Y (s) =
An
(s − 2)4
3!
3 : s2 Y (s) − 4sY (s) + 4Y (s) =
de
(s − 2)4
ad
3!
(s−2)4 3! 3!
4 : Y (s) = = =
rsid
s2 − 4s + 4 (s − 2)4 (s − 2)2 (s − 2)6
3!
ive
y(t) = £−1 {Y (s)} = £−1
(s − 2)6
Un
1 3! (4 × 5) 1 5! t5 2t
= £−1 = £−1 = e
4×5 (s − 2)6 4×5 (s − 2)6 20
t
Ejemplo 16. Hallar la soluci´n de y (t) = 1− sen t−
o 0
y(t) dt, y(0) = 0
Soluci´n:
o
t
1 : £{y (t)}(s) = £{1}(s) − £{ sen t}(s) − £ y(t) dt (s)
0
238

25. 6.4. APLIC. A E.D. CON COEF. CONST. Y COND. INICIALES
1 1 1
s Y (s) − y(0) = − 2 2
− Y (s)
s s +1 s
1 1 1
2 : Y (s) s + = − 2
s s s +1
s2 + 1 1 1
Y (s) = − 2
s s s +1
s 1 1 1 s
3 : Y (s) = 2 − 2 = 2 − 2
as
s +1 s s +1 s + 1 (s + 1)2
atic
1 s
4 : y(t) = £−1 {Y (s)} = £−1 2+1
− £−1 2 + 1)2
s (s
atem
1 s
y(t) = sen t − £−1 2 + 1 s2 + 1
= sen t − sen t ∗ cos t
s
eM
t
o. d
= sen t − sen τ cos(t − τ ) dτ
0
t ept
= sen t − sen τ (cos t cos τ + sen τ sen t) dτ
,D
0
t t
uia
= sen t − cos t sen τ cos τ dτ − sen t sen 2 τ dτ
0 0
tioq
1 1 1
= cos t sen 2 t − t sen t + sen t sen 2t
2 2 4
An
Ejemplo 17. Hallar la soluci´n de ty − y = t2 ,
o y(0) = 0
de
Soluci´n:
o
ad
£{ty }(s) − £{y }(s) = £{t2 }
rsid
d 2!
(−1) £{y }(s) − (s Y (s) − y(0)) = 3
ive
ds s
d 2 2!
− (s Y (s) − s y(0) − y (0)) − s Y (s) = 3
Un
ds s
d 2!
− (s2 Y (s)) − sY (s) = 3
ds s
2
−(s2 Y (s) + 2sY (s)) − s Y (s) =
s3
2
−s2 Y (s) − 3sY (s) = 3
s
239

26. CAP´
ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
3 2
Y (s) + Y (s) = − 5 , E.D. lineal de primer orden
s s
3
3 ln s
F.I e s
ds
= e = s3
2 s−1
Y (s) s3 = − 5 s3 ds + C = −2 +C
s −1
2 C
Y (s) = 4 + 3
s s
as
2 1
y(t) = £−1 + C£−1
atic
s 4 s3
t3 t2
atem
= 2 +C
3! 2!
Ejemplo 18. Hallar la soluci´n de ty + y = 0,
o y(0) = 0
eM
Soluci´n:
o
d
o. d
£{ty }(s) + Y (s) = (−1) (£{y }(s)) + Y (s)
ds
d 2 ept
=− (s Y (s) − sy(0) − y (0)) + Y (s)
ds
,D
d
= − (s2 Y (s)) + Y (s) = −(s2 Y (s) + 2sY (s)) + Y (s)
uia
ds
= −s2 Y (s) − 2sY (s) + Y (s) = s2 Y (s) + Y (s)(2s − 1)
tioq
2s − 1 2 1
= Y (s) + 2
Y (s) = Y (s) + − 2 Y (s)
s s s
An
F.I. = e ( s − s2 ) ds = e2 ln s− −1 ,
2 1 s −1
de
E.D. lineal del primer orden
ad
rsid
1
F.I. = s2 e s
ive
1
Y (s) s2 e s = F.I. (0) + C
Un
1
C −1 e− s
Y (s) = 2 e s = C
s s2
1 1 1 1 1 1 1 (−1)n 1
=C 2 1− + − + ... + + ...
s 1! s 2! s2 3! s3 n! sn
1 1 1 1 1 1 1 (−1)n 1
Y (s) = C − + − + ... + + ...
s2 1! s3 2! s4 3! s5 n! sn+2
y(t) = £−1 {Y (s)}
240

27. 6.4. APLIC. A E.D. CON COEF. CONST. Y COND. INICIALES
t 1 t2 1 t3 1 t4 1 (−1)n tn+1
=C − + − + ... + + ...
1! 1! 2! 2! 3! 3! 4! 4! n! (n + 1)!
Resolver los siguientes ejercicios por transformada de Laplace
Ejercicio 1. y − 4y + 4y = t3 e2t , y(0) = 0, y (0) = 0
1
(Rta.: y = 20 t5 e2t )
as
Ejercicio 2. y − 6y + 9y = t2 e3t , y(0) = 2, y (0) = 6
4
atic
(Rta.: y = 2e3t + 2 t e3t )
4!
atem
Ejercicio 3. y − 2y + y = et , y(0) = 0, y (0) = 5
(Rta.: y = 5tet + 1 t2 et )
2
eM
Ejercicio 4. y − 6y + 9y = t, y(0) = 0, y (0) = 1
(Rta.: y = 10 te3t − 27 e3t + 9 + 27 )
2 t 2
o. d
9
t
Ejercicio 5. y + y − 4y − 4 0 y dτ = 6et − 4t − 6, ept y(0) = y (0) = 0
(Rta.: y(t) = −et − 1 e−t + 4e−2t + 1 e2t )
3 3
,D
Ejercicio 6. Hallar f (t) para la siguiente ecuaci´n integral
o
uia
t
tioq
f (t) + f (τ ) dτ = 1
0
An
(Rta.: f (t) = e−t )
de
t
Ejercicio 7. y (t) + 6y(t) + 9 0
y(τ ) dτ = 1, y(0) = 0
(Rta.: y = te−3t )
ad
rsid
t
Ejercicio 8. y (t) − 6y(t) + 9 0
y(τ ) dτ = t, y(0) = 0
(Rta.: y = 3 e3t − 1 e3t + 1 )
t
ive
9 9
t
Un
Ejercicio 9. y (t) + 6y(t) + 9 0
y(τ ) dτ = t, y(0) = 0
t 1 1
(Rta.: y = − 3 e−3t − 9 e−3t + 9 )
t
Ejercicio 10. y (t) = cos t + 0
y(τ ) cos(t − τ ) dτ, y(0) = 1
(Rta.: y = 1 + t + 1 t2 )
2
Ejercicio 11. ty + 2ty + 2y = 0, y(0) = 0, y (0) = 3
(Rta.: y(t) = 3te−2t )
241

28. CAP´
ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Ejercicio 12. ty − ty − y = 0, y(0) = 0, y (0) = 3
Ejercicio 13. ty + 4ty + 4y = 0, y(0) = 0, y (0) = 2
(Rta.: y = 2te−4t )
Ejercicio 14. t2 y + 2ty + t2 y = 0, y(0) = C
(Rta.: y = −C sen t )
t
as
Ejercicio 15. ty + y = 12t, y(0) = 0
atic
2 1 3 1 4 1 t5 1 t n+1
(Rta.: y(t) = 12t + C(t − t + 2! t − 3! t +
2! 3! 4! 4! 5!
− . . . + (−1)n n! (n+1)! + . . .))
atem
1 0≤t<1
Ejercicio 16. y + 4y = f (t) donde f (t) =
0 t≥1
eM
y(0) = 0, y (0) = −1
1
(Rta.: y(t) = 4 − cos 2t − 1 U(t − 1) sen 2(t − 1) − 2 sen 2t)
4 2
1
o. d
Ejercicio 17. y + 4y = f (t) donde f (t) = sen t U(t − 2π)
y(0) = 1, y (0) = 0 ept
1 1
,D
(Rta: y(t) = cos 2t + 3 sen (t − 2π) U(t − 2π) − 6 sen 2(t − 2π) U(t − 2π))
uia
Ejercicio 18. y − 5y + 6y = U(t − 1), y(0) = 0, y (0) = 1
(Rta.: y(t) = e3t − e2t + U(t − 1)[ 1 + 1 e3(t−1) − 2 e2(t−1) ])
1
tioq
6 3
Ejercicio 19. y − y = et cos t, y(0) = 0, y (0) = 0
An
(Rta: y = 1 − 2 et cos t + 1 et sen t)
2
1
2
de
Ejercicio 20. Hallar f (t) si:
ad
t
i. f (t) + 0 (t − τ ) f (τ ) dτ = t
rsid
(Rta: f (t) = sen t)
ive
t
ii. f (t) + 4 sen τ f (t − τ ) dτ = 2t
Un
0
t
iii. f (t) = tet + 0 τ f (t − τ ) dτ
1
(Rta: f (t) = − 8 e−t + 1 et + 3 tet + 1 t2 et )
8 4 4
t
iv. f (t) + 0 f (τ ) dτ = et
(Rta: f (t) = 1 e−t + 2 et )
2
1
242

29. 6.5. IMPULSO UNITARIO O DELTA DE DIRAC
t
v. f (t) + 0 f (τ ) dτ = t
(Rta: f (t) = −e−t + 1)
Ejercicio 21. Sea x(t) la soluci´n de la ecuaci´n de Bessel de orden cero
o o
tx + x + tx = 0
tal que x(0) = 1 y x (0) = 0. Demostrar que
√ 1
as
a. £{x(t)}(s) = £{J0 (t)}(s) = s2 +1
,
atic
∞
b. Mostrar formalmente J0 (x) dx = 1,
atem
0
1 π
eM
c. Mostrar formalmente J0 (x) = π 0 cos(x cos t) dt
π
(Ayuda: 0 cos2n x dx = 1·3·5·7···(2n−1) π)
2·4·6···2n
o. d
6.5. ´
IMPULSO UNITARIO O “FUNCION ept
DELTA”DE DIRAC
,D
uia
En muchos sistemas mec´nicos, el´ctricos, etc; aparecen fuerzas externas
a e
muy grandes que act´an en intervalos de tiempo muy peque˜os, por ejemplo
u n
tioq
un golpe de martillo en un sistema mec´nico, o un rel´mpago en un sistema
a a
el´ctrico. La forma de representar esta fuerza exterior es con la “funci´n δ”-
e o
An
Dirac.
de
1
, si t0 − a ≤ t ≤ t0 + a
ad
Definici´n 6.5 δa (t − t0 ) =
o 2a
0 , si t < t0 − a o t > t0 + a
rsid
donde a y t0 son constantes positivas y t0 ≥ a.
ive
Nota: para todo a > 0 y para todo t0 > 0 se cumple que (Ver figura 6.10)
Un
∞
δa (t − t0 ) = 1
−∞
Definici´n 6.6 Se llama impulso unitario o funci´n delta de Dirac a la “fun-
o ´ o
ci´n”definida por el l´
o ımite:
δ(t − t0 ) = l´ δa (t − t0 )
ım
a→0
243