Mathematique

1. Université Louis Pasteur Année Universitaire 2007/2008
Faculté des Sciences Economiques Licence 1ère année Economie-Gestion
Et de Gestion de Strasbourg
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Contrôle Terminal du jeudi 17 janvier 2008
UE MATHEMATIQUES
Matière: « Mathématiques 1 »
Sujet de: André RUBIO
Durée: 2 heures
Exercice 1. - Le tableau incomplet de valeurs qui suit est relatif à la fonction f (x) = Ax"
x image de x
20 120
22 156
24,2 Y
(1) Trouver la valeur de Y. Vous devez utiliser exclusivement un argument portant sur les accroissements.
(2) Déterminer A et a : en donner les valeurs arrondies à 10- 3 près.
Exercice 2. Les deux questions suivantes sont indépendantes.
(1) Déterminer la fonction f de la variable t = le temps mesuré en année, qui a un taux de croissance
instantané constant, qui triple tout les quatre ans et telle que 1 (0) 100.
(2) (a) Exprimer l'élasticité Ef/g (x) de la fonction t au point x en fonction des élasticités Ef (x) et
9
Eg (x). Il est demandé de démontrer cette relation
(b) Application:
(i) Calculer l'élasticité de la fonction l définie par l (x) ;;: x.
f (x)
(ii) En déduire une expression de l'élasticité au point x de la fonction h définie par h (x)
x
en fonction de Ef (x).
Exercice 3. - Soit.f la fonction suivante, définie sur l'intervalle 1= [-1/3, +oo[
1 (x) = (3x + 1)5/4
(1) Déterminer 1 (1).
(2) Montrer que la fonction réciproque 1- 1 existe et déterminer 1- 1 (x) pour x E 1 (1).
Exercice 4. - En vous référant aux données du tableau ci-dessous à propos des fonctions 1 et 9 et de
leurs dérivées
x 1 2 3 4
1 (x) 3 2 1 3
f' (x) 1 4 2 3
g(x) 2 1 4 2
gl (x) 4 2 3 1
trouver les valeurs suivantes :
(1) m' (4) si m (x) ;;: ln [~ i:?] .
(2) hl (4)sih(x) exp[/(x)-2g(x)].

2. (3) J' (4) si J (x) = IOn..).
(4) k'(4) si k(x)::::::/2(x) xg(x).
(5) En supposant que 1 est bijective, calculer (1-1)' (1) .
Exercice 5. - Soit 1 (x) ln (1- x).
(1) Ecrire la formule de Taylor-Young à l'ordre 1 au voisinage de 0 pour la fonction 1 (x). En déduire une
approximation de 1 (0,01) = ln (0, 99) . Il s'agit de l'approximation linéaire.
(2) Ecrire la formule de Taylor-Young à l'ordre 2 au voisinage de 0 pour la fonction 1 (x). En déduire une
approximation de 1 (0,01) = ln (0,99) .
Exercice 6. - Si a '" 0 et b sont deux paramètres, on définit la fonction 1 pour x E lR par
I(x) = (ax+b)e X
(1) Calculer la dérivée première f' (x). Ecrire cette dérivée sous la forme f' (x) = e"'h (x) où h est une
fonction à préciser.
(2) Calculer la dérivée seconde f" (x). Ecrire cette dérivée sous la forme f" (x) = eXg (x) où 9 est une
fonction à préciser.
(3) En appliquant les conditions nécessaires du premier et second ordre, donner les relations que doivent
vérifier les paramètres a et b si l'on veut que cette fonction 1 présente au point x = 0 un maximum
local. Indication: écrire b en fonction de a.
Dans la suite de l'exercice a et b vérifient les conditions trouvées dans la question (3).
(4) Dans ces conditions, montrer qu'au point x 0 on a en fait un maximum global. Pour cela, dresser le
tableau de variation.
(5) Montrer que cette fonction admet un point d'inflexion.
(6) Calculer la limite en +00. On admettra que x----oo 1 (x) = O.
lim
(7) Représenter graphiquement cette fonction dans le cas où a = -1.
1 Fin du sujet 1
l '
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3. · Université Louis Pasteur Année Universitaire 2007/2008
Faculté des Sciences Economiques Licence 1ère année Economie-Gestion
Et de Gestion de Strasbourg
Contrôle Terminal du jeudi 17 janvier 2008
UE MATHEMATIQUES
Matière: « Mathématiques 1 »
Sujet de : André RUBIQ
Durée: i heures
IDENTIFICATION DE L'ETUDIANT
AMPHI: PLACE: !
'--~--'---'
CODEANONYMAT:~I~~__~~~__~~_
ATTENTION: Si vous faites une erreur dans votre code vous ne pourrez plus être identifié!
Exercice 1. ­
(1) Calcul de Y :
(2) Calcul de A et a à 10-3 près :
Exercice 2.
(1) Détermination de la fonction f
(2) (a) Expression de l'élasticité Ef/g (x) en fonction des élasticités (x) et Eg (x)
1

4. (b) Application:
•
(i) Calculer de l'élasticité Er (x) :
(ii) Expression de l'élasticité Eh (x) en fonction de El (x) :
Exercice 3. ­
(1) Détermination de 1(/) :
(2) Preuve que la fonction réciproque 1- 1 existe et calcul de r l (x) pour x E 1 (1) :
Exercice 4. ­
(1) Calcul de m' (4) :
(2) Calcul de h' (4) :

5. (3) Calcul de j' (4) :
(4) Calcul de k' (4) :
(5) Calcul de (1-1)' (1) :
Exercice 5. ­
(1) Formule de Taylor-Young à l'ordre 1 au voisinage de ° puis approximation de f (0,01) ln (0,99) :
(2) Formule de Taylor-Young à l'ordre 2 au voisinage de ° puis approximation de f (0,01) = ln (0,99) :
Exercice 6. ­
(1) Calcul de la dérivée première f' (x) sous la forme f' (x) e"'h (x) :
3 1...
l

6. •
fil
(2) Calculer de la dérivée seconde f" (x) sous la forme f" (x) ;; e"'g (x) :
(3) Relations que doivent vérifier les paramètres a. et b si l'on veut que cette fonction f présente au point
x = 0 un maximum local :
(4) Preuve que dans ces conditions, la fonction admet au point x 0 un maximum global:
(5) Preuve que cette fonction admet un point d'inflexion:
(6) Calcul de lim
x-++oo
f (x) :
(7) Représentation graphique dans le cas où a. = -1 :