O documento discute os conceitos fundamentais de projeção ortogonal de pontos no espaço em planos de projeção, incluindo:
(1) Definição de projeção ortogonal e classificação de projeções;
(2) Métodos para determinar a posição de um ponto no espaço através de suas projeções ou planos cotados;
(3) Estudo das posições de um ponto em relação aos planos de projeção e classificação em diedros.
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Projeção de Ponto
1. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Prof. Marcelo Gitirana
É a ciência que tem por fim representar num plano as figuras do espaço de maneira tal
que, nesse plano, se possam resolver todos os problemas relativos a essas figuras.
2. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Sumário
Projeção ortogonal de um ponto
Determinação do ponto
Classificação das projeções
Estudo do ponto
Épura
Cota e afastamento
Posições do ponto
Coordenadas
Ponto no plano bissetor
Exercícios
Simetria de pontos
Exercícios
3. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Projeção ortogonal
de um ponto
(A)
()
A
É o pé da
perpendicular
baixada do
ponto ao plano.
Ponto
Projeção
Projetante
4. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Determinação do ponto
1. Método dos Planos Cotados
(B)
(A)
()
B
A
2
3
23
5. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Determinação do ponto
2. Método das Projeções
(B)
(A)
()
()
B
A
B’
A’
6. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Classificação das projeções
Cônica e paralela
(B)(A)
()
O
A
B
(B)(A)
() A
B
∆
7. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Classificação das projeções
Paralela ortogonal
(B)(A)
()
A
B
∆
8. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Estudo do ponto
(’)
()
(A)
A
A’
(’S)
(’I)
(A)(P)
1° diedro2° diedro
4° diedro3° diedro
Cota
Afastamento
10. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Ponto no 1° diedro
(’S)
(’I)
(A)
(P)
(A)A’
AA0
A1’
A’
A
Proj.em’
+
-
Proj.em
+
-
+
-
+
-
11. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Ponto no 2° diedro
(’S)
(’I)
(A)
(P)
(B) B’
B B0
B1’
B’
B
Proj.em’
+
-
Proj.em
+
-
+
-
+
-
12. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Ponto no 3° diedro
(’S)
(’I)
(A)
(P)
C
C’
(C) C’
C C0 C1’
Proj.em’
+
-
Proj.em
+
-
+
-
+
-
13. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Ponto no 4° diedro
(’S)
(’I)
(A)
(P)
D’
D
(D)D’
DD0 D1’
Proj.em’
+
-
Proj.em
+
-
+
-
+
-
14. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Ponto em ’S
(’S)
(’I)
(A)
(P)
(E)E’
E0
E1’
(E)E’
E
Proj.em’
+
-
Proj.em
+
-
+
-
+
-
15. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Ponto em ’I
(’S)
(’I)
(A)
(P)
(F)F’
F0 F1’
(F)F’
F
Proj.em’
+
-
Proj.em
+
-
+
-
+
-
16. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Ponto em A
(’S)
(’I)
(A)
(P)
(G)GG’
(G)G
G’
Proj.em’
+
-
Proj.em
+
-
+
-
+
-
17. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Ponto em P
(’S)
(’I)
(A)
(P)
(J)J J’
(J)J
J’
Proj.em’
+
-
Proj.em
+
-
+
-
+
-
18. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Ponto na Linha de Terra
(’S)
(’I)
(A)
(P)
M’M
M’M
Proj.em’
+
-
Proj.em
+
-
+
-
+
-
19. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Recapitulação
A’
A
B
B’
C’
C
D’
D
E
E’
F’
F
GG’
PlanoProjeçãoVertical
PlanoProjeçãoHorizontal
20. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Coordenadas
(’S)
(’I)
(A)(P)
(A)A’
AA0
A’
A
O
Cota
Afastamento
O
Cota
Afastamento
Abscissa
(A)[Abscissa; Afastamento; Cota]
+
-
+
-
+
-
Proj.em’
+
-
Proj.em
+
-
+
-
21. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Determinação de pontos
Espaço
No Espaço
Cota
positiva
1° ou 2°
diedros
Cota
negativa
3° ou 4°
diedros
Afastamento
positivo
1° ou 4°
diedros
Afastamento
negativo
2° ou 3°
diedros
(’S)
(’I)
(A)(P)
+
-
+
-
22. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Determinação de pontos
Épura
Na épura
Cota
positiva
acima da
LT
Cota
negativa
abaixo da
LT
Afastamento
positivo
abaixo da
LT
Afastamento
negativo
acima da
LT
(’S)
(’I)
(P)
(A)
Proj.em’
+
-
Proj.em
+
-
23. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Exemplo 1
(A)[1; 2; 1]
No Espaço
Cota
positiva
1° ou 2°
diedros
Cota
negativa
3° ou 4°
diedros
Afastamento
positivo
1° ou 4°
diedros
Afastamento
negativo
2° ou 3°
diedros
(’S)
(’I)
(A)(P)
1° diedro2° diedro
4° diedro3° diedro
24. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Exemplo 1
(A)[1; 2; 1]
A’
A
O
Na épura
Cota
positiva
acima da
LT
Cota
negativa
abaixo da
LT
Afastamento
positivo
abaixo da
LT
Afastamento
negativo
acima da
LT
25. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Exemplo 2
(B)[2; -1; 2]
No Espaço
Cota
positiva
1° ou 2°
diedros
Cota
negativa
3° ou 4°
diedros
Afastamento
positivo
1° ou 4°
diedros
Afastamento
negativo
2° ou 3°
diedros
(’S)
(’I)
(A)(P)
1° diedro2° diedro
4° diedro3° diedro
26. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Exemplo 2
(B)[2; -1; 2]
O
Na épura
Cota
positiva
acima da
LT
Cota
negativa
abaixo da
LT
Afastamento
positivo
abaixo da
LT
Afastamento
negativo
acima da
LT
B
B’
27. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Exemplo 3
(C)[-1; 3; -2]
No Espaço
Cota
positiva
1° ou 2°
diedros
Cota
negativa
3° ou 4°
diedros
Afastamento
positivo
1° ou 4°
diedros
Afastamento
negativo
2° ou 3°
diedros
(’S)
(’I)
(A)(P)
1° diedro2° diedro
4° diedro3° diedro
28. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Exemplo 3
(C)[-1; 3; -2]
C
C’
O
Na épura
Cota
positiva
acima da
LT
Cota
negativa
abaixo da
LT
Afastamento
positivo
abaixo da
LT
Afastamento
negativo
acima da
LT
29. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Ponto no plano bissetor
i
p
i
p
O afastamento
é igual à cota
O afastamento
é igual à cota
(em módulo)
Exercícios 1 a 7
da lista.
30. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Simetria de pontos
(A)
()
(M)
(B)
(A) e (B) são simétricos
em relação a (), qd este
é o plano mediador do
segmento formado
pelos dois pontos.
Casos
particulares
Em relação
ao planos de
projeção
Em relação
ao planos
bissetores
Em relação à
linha de
terra
Perpendicular ao
segmento (A)(B),
passando pelo seu
ponto médio.
31. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Pontos simétricos
em relação a ()
(’S)
(’I)
(A)
(P)
A’
B’
AB
(A)A’
AB
(B)B’
(A)[x; y; z]
(B)[x; y; -z]{
32. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Pontos simétricos
em relação a (’)
(’S)
(’I)
(A)
(P)
D
C
C’D’
C
(C)D’C’
D
(D)
(C)[x; y; z]
(D)[x; -y; z]{
33. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Pontos simétricos
em relação ao 1. bissetor (I)
(’S)
(’I)
(A)(P)
(A)
(B)
I
45°
A’
B’
BA
A’
B’
B
A
(A)[x; y; z]
(B)[x; z; y]{
34. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Pontos simétricos
em relação ao 2. bissetor (P)
(’S)
(’I)
(A)(P)
(A)
(B)
P
45°
A’
B’
B A
A’B
B’A
(A)[x; y; z]
(B)[x; -z; -y]{
35. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Pontos simétricos
em relação à linha de terra
(’S)
(’I)
(A)(P)
(A)
A’
B’
B
A
A’
B
B’
A
(B)
(A)[x; y; z]
(B)[x; -y; -z]{
36. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Resumindo
Casos
particulares
Em relação
ao planos de
projeção
Em relação
ao planos
bissetores
Em relação à
linha de
terra
(A)[x; y; z]
(B)[x; y; -z]{rel. a
(A)[x; y; z]
(B)[x; -y; z]{rel. a ’
(A)[x; y; z]
(B)[x; z; y]{rel. a I
(A)[x; y; z]
(B)[x; -z; -y]{rel. a P
(A)[x; y; z]
(B)[x; -y; -z]{rel. a ’
Exercícios 8 a 15
da lista.
- Foi criada no final do séc. XVIII pelo matemático francês Gaspar Monge.
- Ciência: do latim scientia, conhecimento, é um sistema de conhecimentos que são obtidos de leis gerais, testadas através de métodos científicos, dependentes da lógica.
Emprega-se apenas um plano de projeção e a cota do ponto.
Cota de um ponto é o comprimento da sua projetante.
Positiva para cima e negativa para baixo do plano horizontal.
O plano de projeção é o horizontal.
É chamado de plano cotado, porque nele se inscreve a cota do ponto.
Utilizam-se dois planos de projeção (não necessariamente ortogonais).
Este é o método que adotamos em GD, pois dispensa cotas algébricas.
Trabalhamos tão somente com desenhos.